(SKKN mới NHẤT) SKKN kinh nghiệm giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức 3 biến có tính chất hoán vị vòng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆM GIẢI CÁC BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC BA BIẾN CĨ TÍNH CHẤT “ HỐN VỊ VÒNG” Người thực hiện: Lê Đăng Hà Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn MỤC LỤC THANH HÓA NĂM 2018 download by : skknchat@gmail.com Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài …………………………………………………….2 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………………………2 1.3 Đối tượng nghiên cứu … ………………………………………….2 1.4 Phương pháp nghiên cứu.………………………… NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm……………………………3 2.2 Thực trạng vấn đề ….………………………………… ….….3 2.3 Giải pháp tổ chức thực hiện.…………………………………………4 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường ……………………….… 14 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận………………………………………………………… …15 3.2 Kiến nghị …………………………….………………… …… 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………….17 download by : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Bài toán chứng minh bất đẳng thức hay tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức ln tốn mà học sinh đánh giá tốn khó Có nhiều học sinh, chí học sinh có khiếu tốn xác định bỏ toán thi Trong kỳ thi Học sinh giỏi cấp tỉnh tỉnh Thanh Hóa, tốn chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, nhỏ ln đóng vai trò câu chốt đề thi Trong năm gần toán tập trung khai thác biểu thức đối xứng ba biến, nhiên năm học 2016-2017 năm học 2017-2018 tốn chứng minh bất đẳng thức lại chuyển hướng sang biểu thức có tính chất “ Hốn vị vịng” Trong hai năm học vừa qua giao phụ trách tham gia dạy đội tuyển học sinh giỏi Toán nhà trường có chuyên đề chứng minh bất đẳng thức, nghiên cứu xu hướng tốn chứng minh bất đẳng thức tơi rút số kinh nghiệm tốn có xu hướng này, mạnh dạn chọn đề tài: “ KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CĨ TÍNH CHẤT HỐN VỊ VỊNG” 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong khn khổ đề tài không hi vọng giải tất tốn chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức ba biến có tính chất “Hốn vị vịng” mà tập trung hướng dẫn giải số vấn đề tìm trường hợp dấu xảy sử dụng bất đẳng thức bản, sử dụng đánh giá để giải toán dạng đặc biệt toán chứng minh bất đẳng thức kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh Thanh Hóa 1.3 Đối tượng nghiên cứu Như nói kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh tỉnh Thanh Hóa tốn liên quan đến bất đẳng thức câu chốt, thể chất đề thi, đặc biệt hai năm học vừa qua toán bất đẳng thức chuyển từ biểu thức biến có tính đối xứng dễ dàng nhận thấy trường hợp dấu xảy sang biểu thức có tính chất “Hốn vị vịng” khó đốn trường hợp xảy dấu hơn, gây khó khăn định hướng giải chúng Và thực tế hai năm vừa qua kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh có thí sinh giải tốn Trong đề tài cố gắng kinh nghiệm thân q trình dạy học ơn luyện đội tuyển học sinh giỏi, giới thiệu đến độc giả đồng nghiệp số kinh nghiệm định hướng nhằm hướng dẫn học sinh giải toán dạng download by : skknchat@gmail.com 1.4 Phương pháp nghiên cứu Hoàn thiện hệ thống sở lý luận, kiến thức bản, hướng dẫn tiếp cận toán, phân tích, đánh giá kết luận liên quan đến dạng toán Áp dụng kinh nghiệm cho em học sinh thông qua kiểm tra, khảo sát chất lượng đội tuyển học sinh giỏi nhà trường Báo cáo đề tài trước tổ chuyên môn, tổ chun mơn góp ý, nhận xét bổ sung đánh giá cao Bản thân tơi có tham khảo số ý kiến đồng nghiệp có nhiều kinh nghiệm lĩnh vực ôn thi học sinh giỏi đặc biệt đam mê toán chứng minh bất đẳng thức NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Trên sở lý thuyết học sinh học sách giáo khoa lớp 10 phần Bất đẳng thức Học sinh nắm vững định lý, tính chất bất đẳng thức, biết vận dụng số bất đẳng thức Đề tài sâu vào tốn chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức ba biến có tính “Hốn vị vịng” phương pháp dễ vận dụng, giúp học sinh có phương pháp đủ tự tin giải toán thuộc dạng Khơi dạy đam mê giải tốn khó bất đẳng thức, phát triển tư toán học cho em học sinh 2.2 Thực trạng vấn đề Bài toán chứng minh bất đẳng thức nói chung tốn khó, có tính phân loại cao đề thi Nhiều học sinh chí thầy có tư tưởng bỏ trống chun đề này, điểm qua mang tính chất giới thiệu mà không yêu cầu học sinh quan tâm đến tốn Bản thân dạng tốn khó cộng với kiến thức bất đẳng thức chưa nắm vững, chưa rèn luyện cung cấp phương pháp tiện dụng để giải tốn Do dạng tốn gây nhiều khó khăn cho em học sinh định hướng tìm cách giải Trong kỳ thi THPT Quốc gia tốn liên quan đến bất đẳng thức lại giải theo hướng tìm đáp số phương pháp trắc nghiệm có hỗ trợ máy tính cầm tay nên việc trang bị cho học sinh kiến thức phương pháp giải có phần bị xem nhẹ Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh đa số học sinh ôn luyện theo kiểu học tủ trúng đề, trúng dạng làm cịn khơng bỏ qua Trong hai năm vừa qua đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa tăng độ khó cho câu hỏi liên quan đến bất đẳng thức cách chuyển từ toán chứng minh bất đẳng thức liên quan đến biểu thức ba biến có tính chất đối xứng sang biểu thức có tính chất “Hốn vị vịng” làm cho học sinh gặp khó khăn từ download by : skknchat@gmail.com lúc ban đầu tìm dấu xảy để định hướng phép biến đổi giải toán 2.3 Giải pháp tổ chức thực 2.3.1 Một số kiến thức 10) Khái niệm bất đẳng thức Giả sử hai số thực Các mệnh đề dạng gọi bất đẳng thức 20) Các tính chất bất đẳng thức Với số thực ta có tính chất  Nếu  Ta có  Nếu  Nếu 30) Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (AM-GM) a) Đối với hai số không âm Với hai số thực khơng âm, ta có Dấu đẳng thức xảy b) Đối với ba số không âm Với ba số thực khơng âm, ta có Dấu đẳng thức xảy c) Tổng quát số không âm Với số thực khơng âm ta có Dấu đẳng thức xảy Lưu ý: Người ta gọi bất đẳng thức bất đẳng thức Cô-si 30) Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski a) Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski hai cặp số thực download by : skknchat@gmail.com Với hai cặp số thực Nếu ta có dấu đẳng thức xảy b) Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski hai ba số thực Với hai ba số thực Nếu ta có dấu đẳng thức xảy c) Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski hai số thực Với hai ba số thực Nếu ta có dấu đẳng thức xảy 2.3.2 Bất đẳng thức liên quan đến biểu thức ba biến có tính chất “Hốn vị vòng” với điều kiện xảy dấu biến nhận giá trị Ta tốn sau: Ví dụ Cho số thực dương thỏa mãn: Chứng minh rằng: Phân tích: - Bài tốn liên quan đến biểu thức vừa có tính đối xứng, vừa có tính chất “Hốn vị vịng” Vì ta khai thác điều kiện dấu xảy biến nhận giá trị nhau: - Từ điều kiện dấu xảy ta đến đánh giá đảm bảo điều kiện đó: - Kết hợp với tính đối xứng biểu thức ba biến vế trái bất đẳng thức ta đến lời giải Giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương ta có download by : skknchat@gmail.com Hay (1) Tương tự ta có (2); (3) Từ (1), (2) (3) suy Dấu xảy Bài toán chứng minh Nhận xét: - Với cách đặt vấn đề phần sở lý luận đề tài học sinh dã có kiến thức biết áp dụng bất đẳng thức hướng giải toán Nên ví dụ tơi đưa toán quen thuộc người học bất đẳng thức - Việc phán đoán kiểm tra dấu xảy đơn giản, nên bước thuận lợi Ta dùng kỹ thuật xét dấu sử dụng bất đẳng thức Cơ-si cho mẫu số - Nhìn vị trí, thứ tự biến ta thấy chúng đảm bảo theo thứ tự định Những biểu thức gọi biểu thức ba biến có tính chất “Hốn vị vịng” Về khác với biểu thức có tính chất đối xứng Tuy nhiên ví dụ ta khẳng định biểu thức có hai tính chất nói tính đối xứng tính chất “Hốn vị vịng” - Ví dụ tơi tiếp tục đưa toán tương tự giúp cho học sinh làm quen, có hứng thú từ ví dụ ban đầu, tạo điều kiện thuận lợi cho em theo dõi nghiên cứu tiếp sau Ví dụ Cho số thực dương thỏa mãn: Chứng minh rằng: Phân tích: - Vì mục đích nhằm giúp cho học sinh vận dụng lời giải nhận xét ví dụ 1, nên toán áp dụng cách giải tương tự Chỉ cần phát đánh giá đến lời giải sau Giải Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho số dương ta có download by : skknchat@gmail.com Hay (1) Tương tự ta có (2); (3) Từ (1), (2) (3) suy Áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta có Dấu xảy Bài tốn chứng minh Ví dụ Cho số thực dương thỏa mãn  Tìm giá trị nhỏ biểu thức Phân tích: - Với ví dụ điều kiên dấu xảy ví dụ trên, nhiên việc sử dụng đánh giá bất đẳng thức biến đổi địi hỏi kỹ thuật tốt Ở sử dụng kỹ thuật nghịch đảo bất đẳng thức Cơ-si Ta có biến đổi đánh giá sau Giải Với số thực dương ta có Từ suy ra: Tương tự ta có: Từ (1), (2), (3) suy download by : skknchat@gmail.com Ta có Suy Vậy giá trị nhỏ S Nhận xét: Ta nhận thấy bước đầu ba ví dụ 1, và số tập vận dụng giúp cho học sinh nhìn toán chứng minh bất đẳng thức liên quan đến biểu thức ba biến có tính chất “Hốn vị vịng” Nó có liên quan quen thuộc, hay nói cách khác xuất phát từ biểu thức ba biến có tính đối xứng Sau tơi tiếp tục mở rộng đưa dạng Trong dạng tơi muốn mở rộng việc xác định điều kiện dấu xảy cho tốn Đó dấu xảy điểm biên giá trị không 2.3.3 Bất đẳng thức liên quan đến biểu thức ba biến có tính chất “Hốn vị vịng” với điều kiện xảy dấu biến nhận giá trị điểm biên điều kiện xác định nhận giá trị không Trong đề tài trọng tâm khai thác toán bất đẳng thức liên quan đến biểu thức ba biến có tính chất “Hốn vị vòng” chứa nhân tử số hạng Với điều kiện dấu xảy khó đốn nhận Ta mở đầu với ví dụ sau Ví dụ Cho số thực đôi khác thuộc đoạn Chứng minh rằng: Phân tích: - Với tốn mở đầu ta thấy đoán nhận dấu đẳng thức xảy khó khăn Điều kiện số thực đôi khác nên ta có biến nhận giá trị - Có kỹ thuật thường ý đến dạng tốn là: vai trị biến nên ta giả sử tùy theo điều kiện giả thiết - Có lưu ý là: toán chứa nhân tử số hạng dấu xảy thơng thường hoặc có số khơng - Trong toán cần đánh giá được: download by : skknchat@gmail.com  Do vai trò  Nhận xét nên giả sử hai số dương , ta có: Dấu xảy - Từ ta có cách giải sau Giải Ta chứng minh Đẳng thức xảy Do vai trò nên giả sử Khi hai số dương áp dụng BĐT (1) trên, ta có: Đẳng thức xảy Suy Mặt khác, nên Đẳng thức xảy Do Đẳng thức xảy Bài toán chứng minh hoán vị Nhận xét: - Việc nhận xét vai trò giả sử giúp ta định hướng dấu xảy Đây trường hợp phổ biến dấu tốn có tính chất “Hốn vị vịng” chứa số hạng nhân tử dạng - Ngoài việc định hướng ta xét trường hợp dấu xảy hai ba số hạng - Trong ví dụ dạng tơi chọn tốn mà dấu xảy có hai điều kiện giúp cho học sinh có nhiều định hướng giải tốn - Các ví dụ ta tiếp tục thấy tiện dụng hai điều kiện việc định hướng giải tốn Ví dụ Cho số thực không âm thỏa mãn Chứng minh rằng: Phân tích: - Đây tốn chứng minh bất đẳng thức mà biểu thức chứa nhân tử Nên ta có định hướng ví dụ Ta có hai yếu tố cần xác định để giải toán: download by : skknchat@gmail.com  Do vai trò  Đánh giá nên giả sử Dấu xảy - Từ ta có cách giải sau Giải: Ta xét: nên giả sử Vì vai trị Suy ra: Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: Đẳng thức xảy khi : Vậy giá trị lớn M đạt hốn vị Ví dụ Cho ba số thực không âm thỏa mãn điều kiện giá trị lớn biểu thức: (Đề thi HSG MTBT lớp 12 tỉnh Thanh Hóa 2016 - 2017) Phân tích: - Ta có Tìm Nên xét hai biểu thức:  ; - Có thể áp dụng ví dụ để tìm giá trị lớn biểu thức Đối với biểu thức ta đánh giá cách Tuy nhiên vấn đề chúng có đạt GTLN với điều kiện dấu xảy khơng - Ta có cách giải sau trả lời vấn đề hai biểu thức M N có đạt GTLN với điều kiện Giải: *) Tìm giá trị lớn M : 10 download by : skknchat@gmail.com Theo ví dụ ta có giá trị lớn M đạt hốn vị *) Tìm giá trị lớn N: Áp dụng Cơsi ta có : Dấu đẳng thức xảy khi : hệ thỏa mãn Giá trị lớn N Vậy giá trị lớn Dấu ‘‘=’’ Ví dụ Cho hoán vị số thực phân biệt không âm Chứng minh Phân tích : - Đây tốn chứng minh bất đẳng thức mà biểu thức chứa nhân tử Nên ta có định hướng ví dụ ví dụ Ta có hai yếu tố cần xác định để giải toán:  Do vai trị nên giả sử  Thực đánh giá bám sát điều kiện - Từ ta có cách giải sau Giải Vì vai trị nên ta giả sử 11 download by : skknchat@gmail.com Ta có đẳng thức: Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: Khi đó: Ta lại có : Từ (1) (2) suy bất đẳng thức chứng minh Dấu xảy Ví dụ Cho số thực phân biệt không âm Chứng minh (Đề thi HSG mơn Tốn lớp 11 tỉnh Thanh Hóa 2017 - 2018) Phân tích: - Đây tốn chứng minh bất đẳng thức mà biểu thức chứa nhân tử Nên ta có định hướng ví dụ ví dụ Ta có hai yếu tố cần xác định để giải tốn:  Do vai trị nên giả sử  Thực đánh giá bám sát điều kiện - Từ ta có cách giải sau Giải 12 download by : skknchat@gmail.com Ta có Khơng tính tổng qt, giả sử Khi có bất đẳng thức sau: (ln đúng) Tương tự có Từ suy ra: Áp dụng BĐT: với Ta có: Suy Vậy Đẳng thức xảy Bài toán chứng minh Nhằm giúp học sinh vận dụng rèn luyện giải tốn dạng tơi đưa số tập tương tự sau Bài tập vận dụng Bài Cho ba số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng: 13 download by : skknchat@gmail.com Bài Cho số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn biểu thức Bài Cho số thực dương thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng: Bài Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abc = Chứng minh Bài Cho số thực dương thỏa mãn  Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài Cho số thực phân biệt không âm Chứng minh Bài Cho số thực khơng âm thỏa mãn  Tìm giá trị lớn biểu thức Bài Cho số thực khơng âm Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường - Qua thực tế giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi lớp 10 11 trường THPT Triệu Sơn năm học 2017-2018, áp dụng đề tài giúp em cảm thấy tự tin say mê việc học tốn có thêm cơng cụ giải dạng tốn khó tốn chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức ba biến có tính ‘’ Hốn vị vịng ‘’ - Đặc biệt năm học 2017 - 2018 qua kỳ thi Học sinh giỏi cấp tỉnh Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa tổ chức có học sinh đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn nhà trường vận dụng giải câu chứng minh bất đẳng thức đề thi đạt giải môn Tốn tồn tỉnh Đây tốn khó, đa số học sinh tham gia kỳ thi không làm thêm bớt số dẫn đến khơng xử lý phần cịn lại, học sinh tham gia học sinh giỏi trường THPT tỉnh - Đề tài báo cáo dạng chuyên đề sinh hoạt chuyên mơn tổ Tốn trường THPT Triệu Sơn thầy góp ý đánh giá cao dùng làm tài liệu chuyên môn tổ áp dụng vào giảng dạy ôn thi THPT Quốc Gia ( phần phán đoán dấu xảy sử dụng MTBT hỗ trợ để 14 download by : skknchat@gmail.com tìm kết quả) giảng dạy cho em học sinh lớp chọn cuối lớp 10 lớp 11 đội tuyển Toán nhà trường - Qua theo dõi tinh thần học tập nhóm học sinh đội tuyển sau cung cấp phương pháp chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức ba biến có tính chất ‘’ Hốn vị vịng’’ đề tài này, tơi thấy em tự tin có hứng thú học tập, có tinh thần tìm tịi học hỏi dạng tốn khó - So sánh kết làm tập trước sau em cung cấp phương pháp giải tốn Kết có thay đổi rõ rệt Thống kê kiểm tra chuyên đề bất đẳng thức đội tuyển HSG khối 10 năm học 2017-2018 trước sau cung cấp phương pháp (Đề kiểm tra gồm phần tập vận dụng trên) Làm Làm Làm Làm Kết Tổng số hs SL % SL % SL % SL % Trước 15 0 0 33.33 10 66.67 Sau 15 13.34 3.33 33.33 20 Kết làm BĐT đề thi chọn HSG cấp trường năm 2017-2018 (thống kê số 15 học sinh lớp 10C1, so với 30 em học sinh tham gia thi ) Làm tốt Bài có sai sót Khơng làm Kết Tổng số hs SL % SL % SL % Thực nghiệm 15 73.33 15.56 11.11 Đối chứng 30 0 16.67 25 83.33 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận - Qua trình áp dụng vào thực tế dạy đội tuyển học sinh giỏi nhà trường, đề tài giúp cho em thêm tự tin say mê việc giải toán bất đẳng thức đặc biệt phát xu hứng đề thi học sinh giỏi tỉnh hai năm gần năm học 2016-2017 năm học 2017-2018 - Đề tài tổ chuyên môn đánh giá cao định hướng áp dụng giải dạy cho học sinh đội tuyển khối 10 khối 11 Các em vận dụng tốt kỳ thi HSG cấp tỉnh năm học 2017-2018 vừa qua nêu - Trong phạm vi SKKN dạng tốn khó nên tơi tập trung vào hai dạng tốn trên, tơi tiếp tục nghiê cứu tài liệu, học hỏi đồng nghiệp để hoàn thiện đề tài - Trên kinh nghiệm thực tế qua trình giảng dạy nhiều năm rút cho thân bước đầu áp dụng có kết khả quan Do kinh nghiệm chưa nhiều nên đề tài không tránh hạn chế, tơi tiếp tục bổ sung hồn thiện dần năm học tới, mong nhận đóng góp ý kiến quý vị bạn đồng nghiệp để đề tài vào thực tiễn áp dụng nhiều đạt hiệu cao giảng dạy 15 download by : skknchat@gmail.com Kiến nghị - Kiến nghị với sở GD - ĐT Thanh Hóa phổ biến đề tài nghiên cứu có chất lượng áp dụng rộng rãi trường Nhà trường tổ mơn nên có kế hoạch tổ chức buổi hội thảo trao đổi chuyên môn nâng cao chất lượng giảng dạy, phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm, báo cáo khoa học - Tăng cường bồi dưỡng cho giáo viên kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề bồi dưỡng cho học sinh, quan tâm tạo điều kiện cho hệ trẻ phát huy tốt lực mình, nâng cao chất lượng giảng dạy XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 16 tháng 05 năm 2018 Tơi xin cam đoan SKKN viết khơng chép nội dung người khác Lê Đăng Hà 16 download by : skknchat@gmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Đại số Giải tích lớp 10 nâng cao BGD-ĐT Đề thi HSG năm tỉnh Thanh Hoá Chuyên đề bồi dưỡng HSG qua kỳ thi Olympic NXB ĐHQGHN Sáng tạo Bất đẳng thức NXB Tri Thức Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi số trường tỉnh, tỉnh năm 2016 - 2017 năm học 2017 - 2018 Tạp chí tốn học tuổi trẻ Bài tập chuyên đề trang web: www.vnmath.vn Bài tập chuyên đề trang web: www.violet.vn 17 download by : skknchat@gmail.com DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lê Đăng Hà Chức vụ đơn vị công tác: Trường THPT Triệu Sơn I TT Tên đề tài SKKN Phát triển số ứng dụng BĐT Cơ-si Giải tốn lập số tự nhiên phương pháp chọn vị trí Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại HĐKH cấp ngành C 2011-2012 HĐKH cấp ngành B 2014-2015 chữ số 18 download by : skknchat@gmail.com ... Những biểu thức gọi biểu thức ba biến có tính chất “Hốn vị vịng” Về khác với biểu thức có tính chất đối xứng Tuy nhiên ví dụ ta khẳng định biểu thức có hai tính chất nói tính đối xứng tính chất. .. CĨ TÍNH CHẤT HỐN VỊ VỊNG” 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong khn khổ đề tài không hi vọng giải tất tốn chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức ba biến có tính chất “Hốn vị vịng”... mãn  Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài Cho số thực phân biệt không âm Chứng minh Bài Cho số thực không âm thỏa mãn  Tìm giá trị lớn biểu thức Bài Cho số thực khơng âm Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2.4