Giải tích ôn thi đại học

1 CHƯƠNG I:LÝ THUYẾT GIỚI HẠN §1: SỐ THỰC 1) Chú ý mở đầu: Trong thực tế và nghiên cứu số hữu tỷ không đáp ứng được,nên nhất thiết phải mở rộng tập hợp số Ví dụ: Tìm số hữu tỷ (nếu có) mà khi bình phương số đó được kết quả bằng 2 2) Định nghĩa: 1. Số thập phân vô hạn không tuần hoàn được xem là biểu diễn một số vô tỷ 2. Nếu gọi tập hợp số hữu tỷ là  và tập hợp số vô tỷ là I.thì tập hợp số thực được xác định bởi I     . Nếu với mỗi tập   X x  có một số M sao cho x M   thì nói tập X bị chặn trên bởi số M.Trái lại nếu có số m để x m   thì nói tập X bị chặn dưới .Tập bị chăn trên(dưới) có thể không bị chặn dưới(trên).Số M hay m được gọi là cận trên hay dưới của tập X. Nhận xét:Một tập bị chặn trên(dưới) có vô số cận trên(dưới). 3. Định nghĩa  Số bé nhất trong các cận trên được gọi là cận trên đúng và được gọi là x X M = SupX  .  Số lớn nhất trong các cận dưới được gọi là cận dưới đúng được gọi là x X m = inf X  . 3) Định lý  Số M được gọi là cận trên đúng của tập X  o o x X sao cho x M      .  Số m được gọi là cận dưới đúng của tập X  o o x X sao cho x m      . 2 §2:HÀM MỘT BIẾN SỐ 1) Khái niệm hàm số :Hàm số là ánh xạ f: X Y  trong đó X ;Y     Ta gọi X là tập xác định , còn f(X) Y  gọi là tập giá trị. 2) Cách cho hàm số:  Lập bảng  Đồ thị  Biểu thức giải tích 3) Một số lớp hàm quan trọng: a) Hàm sơ cấp  Hàm đa thức: n n 1 n 2 n 3 o 1 2 3 n 1 n y a x + a x a x a x a x a            Hàm hữu tỷ nguyên: n n 1 n 2 n 3 o 1 2 3 n 1 n n n 1 n 2 n 3 o 1 2 3 n 1 n a x + a x a x a x a x a y b x + b x b x b x b x b                     Hàm lũy thừa: a y x  với a là hằng số thực tùy ý.  Hàm mũ: x y a  với a > 0 và a ≠ 1  Hàm lôgarit: a y log x  với a > 0 và a ≠ 1; x 0   Hàm lượng giác: y = sinx ; y = cosx ; y = tgx ; y = cotgx  Hàm hypebonic x x x x e e e e shx chx shx ;chx ;thx ;coth x 2 2 chx shx         b) Hàm ngược:Giả sử hàm y = f(x)được cho trong miền X nào đó,và giả sử Y là tậptất cả các giá trị mà hàm đó lấy khi x biến thiên trong miền X. Với 0 0 0 0 y Y x X:f(x ) y      Như thế với mỗi y Y  sẽ ứng với một hay một số giá trị x X  .Như vậy trong Y ta có hàm x = g(y) được gọi là hàm ngược của hàm f(x). Hàm lượng giác ngược  y = arcsinx xác định trên   1,1  và nhận giá trị trên , 2 2          Còn Arcsinx arcsinx k2    3  y = arccosx xác định trên   1,1  và nhận giá trị trên   0,  và arccosx arcsinx 2    vì cos(arccosx) cos arcsin x x sin(arcsinx) 2             y arctgx  thỏa mãn arctgx 2 2      Ngoài ra ta còn có mối liên hệ giữa arctgx và arcsinx 2 2 x x arctgx arcsin khi ( , ) V arcsin x arctg khi ( 1 x 1) 1 x 1 x           y arccotgx  có miền xác định ( , )   và miền giá trị (0, )  Mặt khác còn có mối liên hệ arccotgx arctgx 2    . Ngoài ra còn các hàm ngược của các hàm siêu việt §3:GIỚI HẠN DÃY SỐ 1) KHÁI NIỆM: Cho dãy số 1 2 n 1 n x ,x , ,x ,x ,  Số a được gọi là giới hạn của dãy biến n x nếu bắt đầu từ một chỗ nào đó tức là đối với mọi số thứ tự n khá lớn biến n x sai khác a nhỏ bao nhiêu cũng được. Hoặc: số a được gọi là giới hạn của dãy   n x nếu 0, N( ) N 0       sao cho n N   đều thỏa mãn n x a     n n lim x a   . Khi đó ta có thể viết n x a  hoặc n lim x = a . Khi đó ta nói dãy n x hội tụ đến a.Đặc biệt khi n x = a với mọi n thì lim n x = a. Từ (1) có n n x a a x a             và khoảng mở (a ,a )     được gọi là lân cận của điểm a.Như vậy với lân cận bé bất kỳ của điểm a,tất cả các giá trị của n x bắt đầu từ một giá trị nào đấy cần phải rơi vào lân cận đó. Ví dụ 4 a. Chứng minh rằng 2 2 2 n n n 1 n 1 lim 0; lim n 2 3n 2        Chứng minh: để 2 2 n 1 n 1 0 n 2 n 2           hay 2 1 1 n n    hay 2 2 n n      Chọn 2 N 1          vậy với n > N ta có 2 n 1 0 n 2      tức là 2 n n 1 lim 0 n 2     b. Chứng minh rằng 2 2 n n 1 1 lim 3 3n 2     Để 2 2 2 2 n 1 1 1 1 1 2 3n 2 n 3 3 3 3n 2 3n 2                Chọn 1 2 N 1 3 3           thì khi đó với mọi n > N ta có điều phải chứng minh. 1. Đại lượng vô cùng bé (gọi là vô cùng bé - VCB): Biến n x được gọi là đại lượng vô cùng bé nếu lim n x = 0. Ví dụ: n 1 n n n 1 1 ( 1) x ,x ,x n n n       đó là các vô cùng bé 2. Đại lương vô cùng lớn (VCL) Dãy n x được gọi là VCL nếu với các giá trị n khá lớn , nó sẽ trở nên và mãi mãi có giá trị tuyệt đối lớn hơn một số A > 0 lớn tùy ý cho trước. Hay n n lim x     với A 0   đủ lớn 0 0 n N 0 sao cho n N x A       Ví dụ: n n x q khi q 1   là một VCL Chú ý : + Số 0 không phải là một VCB,cũng như 23 10 cũng không phải là VCL + Nghịch đảo của một VCB (VCL) là một VCL (VCB) 5 2) CÁC TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN DÃY 1. Định lý: n 0 0 n n n lim x a ,a p(a q) N 0 sao cho n N :x p(x q)            Chứng minh: chọn a p a p        thì n n n lim x a a x a          0 n khi n N x p     tương tự cho trường hợp a < q 2. Định lý 2: n n lim x a   thì a là duy nhất. Chứng minh: Giả sử n n lim x a    và a a r :a r a        Do n n lim x a   nên có 1 1 n N 0 ; n N x r     và n n lim x a    nên có 2 2 n N 0 ; n N x r     Chọn N = max   1 2 n n N ,N n N x r ;x r      .Điều này vô lý , nên a  = a . 3. Định lý 3 :Nếu n x có giới hạn thì n x giới nội Chứng minh: n n n lim x a a 1 x a 1        Chọn   1 2 N M max a 1,x ,x , x   thì n x M n   4. Định lý 4: Cho n n n x y z   và n n n n n n lim x lim z a lim y a        ( nguyên lý bị kẹp giữa) Chứng minh: n 1 1 n n lim x a 0, N n N a x a               n 2 2 n n lim z a 0, N n N a z a                 1 2 Khi N max N ,N  n n n n n n a x y z a a y a lim y a                    5. Định nghĩa: Dãy 1 2 n 1 n x ,x , ,x ,x ,  6  Được gọi là dãy tăng nếu 1 2 n 1 n x x x x ,      Được gọi là dãy tăng nghiêm ngặt nếu 1 2 n 1 n x x ,x x ,      Được gọi là dãy giảm nếu 1 2 n 1 n x x x x ,      Được gọi là dãy giảm nghiêm ngặt nếu 1 2 n 1 n x x ,x x      6. Định Lý n n Cho x a;y b   thì ta có các kết quả sau  n cx ca khi c cosnt    n n x y a b khi , cosnt            n n x y ab   n n x a khi b 0 y b    n n x y a b    7. Định lý: Mọi dãy đơn điệu bị chặn đều hội tụ.Nếu   n x đơn điệu tăng(giảm) và bị chặn trên(dưới) thì hội tụ, 8. Dãy con: Cho dãy n x và một dãy   k n x được trích ra từ dãy n x ở đây dãy   k n là dãy tăng và chỉ số chạy là k chứ không phải n.Dãy   k n x gọi là dãy con của dãy n x . Lưu ý: 1. k n k  2. Mỗi dãy là dãy con của chính nó 9. Định nghĩa: Dãy   n n 1    trong đó   n n n a ,b ;   được gọi là dãy đoạn thắt nếu  n 1 n n 1,2,       n n n lim (b a ) 0    10. Bổ đề: Nếu   n n 1    là dãy các đoạn thắt thì tồn tại một điểm duy nhất thuộc mọi đoạn của dãy. 7 Chứng minh: Do n 1 n n 1,2,      nên 1 2 n n a a a b      nên   n a là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên,nên n n n n lim a a b n         . Giả sử có  cũng thuộc mọi đoạn n  , thế thì n n 0 b a       nhưng n n n lim (b a ) 0    . Nên    . 11. Bổ đề bônxanô-Vâystrat:Từ mọi dãy đoạn thắt luôn rút ra được một dãy con hội tụ. Chứng minh :Giả sử   n x có n a x b n    .Chia   a,b thành hai phần bằng nhau ,khi đó ít nhất có một đoạn chứa vô số các phần tử của   n x gọi đoạn đó là 1  .lại chia 1  thành hai hai phần bằng nhau và lại có một phần chứa vô số các phần tử của   n x gọi là 2  .Cứ tiếp tục như vậy ta thu được dãy đoạn thắt   n n 1    trong đó n n n b a b a 0 khi n 2       .Nên có số  thuộc mọi đoạn n  .Trong mỗi đoạn n  rút ra một phần tử bất kỳ,ký hiệu là k k n n x  và k n n n a x b   nhưng n n n n lim a lim b       k n n lim x    12. Định lý (Côsi): Điều kiện cần và đủ để dãy   n x hội tụ là n m 0, N sao cho n,m N: a a         Chứng minh : n n m n ( )Do lim x a 0 N: x a n N; m N: x a 2 2                  n m n m n m x x x a x a x x             ( )  Từ n m x x    cố định một m thì hiển nhiên   n x bị chặn nên tồn tại dãy con   k n x Thỏa mãn k n n lim x    và do k k n n n n n n x x x x lim x              8 13. SỐ e: Cho dãy số n n 1 x 1 n         tìm giới hạn của dãy số đó. \ Chứng minh : Ta có n n 2 n 1 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n 2) (n n 1) 1 x 1 1 n. . . n n 1.2 1.2.3 n n n                   1 1 1 1 2 1 1 2 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2! n 3! n n n! n n n                                            mặt khác n 1 1 1 1 1 2 n x 1 1 1 1 1 1 2! n 1 (n 1)! n 1 n 1 n 1                                     Hiển nhiên n n 1 x x   và n 2 n 1 1 1 1 x 2 2 3 1 2 2 2 1 2           Tức là dãy   n x đon điệu tăng và bị chặn trên,do đó n n lim x   và người ta chứng minh được giới hạn đó là e = 2,718218828459015…đó là số vô tỷ. §4:GIỚI HẠN HÀM SỐ 1) Giới hạn hàm số tại một điểm: Cho hàm số f(x) xác định trên tập X   và nhận giá trị trên  , 0 x là một điểm giới hạn của tập X. 1. Định nghĩa : Số  được gọi là giới hạn của hàm f(x) khi x dần tới 0 x nếu 0, 0     0 sao cho x : x x     thì f(x)      0 x x lim f (x)    Ví dụ : chứng minh x 2 lim (3x 3) 9    2. Định lý: Nếu 0 x x lim f (x) A   thì A là duy nhất. 9 Chứng minh : Giả sử 0 1 x x lim f (x) A   và 1 A A  ,đặt 1 1 A A 2 0 A A           Vì 0 x x lim f (x) A   nên 1 0 1 0 sao cho A f (x) A x :0 x x              thì A f (x) A       Ta cũng có 2 1 1 0 2 0 sao cho A f(x) A x :0 x x              thì 1 1 A f(x) A       Chọn 1 2 min( , )     ,khi đó với mọi x thỏa mãn 0 0 x x     1 1 1 f (x) A A A <>A A 2 f (x) A                    vô lý.Vậy 1 A A  . 3. Định nghĩa : Ta gọi số  là giới hạn trái của hàm f(x) khi 0 x x 0   (nghĩa là 0 x x  nhưng luôn bé hơn 0 x ) nếu 0, 0 sao cho     0 x:0 x x f(x)           .Ký hiệu 0 0 x x 0 lim f (x) f(x 0)     4. Định nghĩa : Ta gọi số  là giới hạn phải của hàm f(x) khi 0 x x 0   (nghĩa là 0 x x  nhưng luôn lớn hơn 0 x ), nếu 0 0, 0 sao cho x:0 x x f(x)               Ký hiệu 0 0 x x 0 lim f(x) f(x 0)     5. Định lý : 0 0 0 x x x x 0 x x 0 lim f (x) lim f (x) lim f(x)            2) Giới hạn ở vô tận và giới hạn vô tận 6. Định nghĩa : Ta gọi số  là giới hạn của hàm f(x) khi x   nếu 0 , M 0 sao cho f(x)         xảy ra với mọi x > M. Ký hiệu x lim f(x)    10 7. Định nghĩa : Ta gọi số  là giới hạn của hàm f(x) khi x   nếu 0   M 0 sao cho f(x)       xảy ra với mọi x <- M. Ký hiệu x lim f(x)    8. Định nghĩa :Nếu A 0 , (A) 0 sao cho f (x) A        với 0 x:0 x x      thì ta viết 0 x x lim f (x)    3) TÍNH CHẤT VÀ CÁC PHÉP TOÁN 1. Định lý 1 :Nếu x a lim f (x)    và A<  <B thì tồn tại khoảng J chứa điểm a sao cho x C J,x a     thì A f(x) B   . 2. Định lý 2: x a lim f (x)    và f(x)           3. Định lý 3 : x a lim f (x)    và x a lim g(x)     thỏa mãn     thì tồn tại khoảng J chứa a sao cho f(x) > g(x) x C J , x a     4. Định lý 4: Cho hai hàm f(x) và g(x) cùng xác định trên tập C; f(x) > g(x) x C   . Nếu x a lim f (x)    và x a lim g(x)     thì     5. Định lý 5: Cho các hàm f(x) , h(x) và g(x) cùng xác định trên tập C,trong đó f(x) < h(x) < g(x) và x a x a lim f (x) lim g(x)      thì x a lim h(x)    Ví Dụ: Tìm x x 1 lim 1 x         + xét x   : Với mỗi x > 0 , luôn có số tự nhiên n thỏa mãn: n x n 1    n x n 1 1 1 1 khi n : n x n 1 1 1 1 n 1 x n                                n x n 1 x x 1 1 1 1 hay:e 1 1 1 e lim 1 e n 1 x n x                                      [...]... f (x)dx với a bất kỳ a Cách tính tích phân xác định: 1 Công thức Newton-Lepnit:Nếu f(x) liên tục trên  a, b  và có nguyên hàm b F(x) thì xb  f (x)dx  F(x) x  a  F(b)  F(a) a 2 Khi tính nguyên hàm của f(x) ta áp dụng các cách tính tích phân đã biết trong tích phân không xác định 6)Tính gần đúng tích phân xác định 7) ứng dụng của tích phân xác định: 1 Diện tích hình phẳng:Miền phẳng giới hạn... không vượt quá mỗi tổng trên,mặc dù tổng trên ứng với cách chia khác nhau 2) Định lý: Tích phân xác định tồn tại  lim (S  s)  0  0 3) Các lớp hàm khả tích 1 Nếu hàm f(x) lien tục trên  a, b  thì khả tích trên đó 2 Hàm f(x) giới nội trên  a, b  chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn,thì khả tích trên  a, b  3 Hàm f(x) đơn điệu giới nội trên  a, b  thì khả tích trên đó 4) Tính chất của tích. .. phép toán tìm họ nguyên hàm của hàm f(x) gọi là tích phân bất định của hàm f(x) và viết  f (x)dx  F(x)  C 2) Các tính chất (Tự đọc) 3) Phương pháp tính 1 Đổi biến số: đặt x  (t)  dx  (t)dt thì  f (x)dx   f  (t)  (t)dt 2 Tích phân từng phần:  UdV  UV   VdU 3 Tích phân truy hồi: thực tế là giải phương trình tích phân,ví dụ như tính tích phân I   e x sin x dx 4) Bảng nguyên hàm... học ở phổ thông trung học, nhưng lưu ý khi xét cực trị của hàm số mà gặp trường hợp các đạo hàm của hàm số thỏa mãn f (k) (x 0 )  0 với k  1, n  1 ,thì ta xét theo kết quả: 2)Định lý : Hàm f(x) xác định tại x 0  (a,b) và f (k) (x 0 )  0 với k  1, n  1 và f (n) (x 0 )  0 Nếu n lẻ thì hàm số không có cực trị, nếu n chẵn thì hàm số có cực trị tại x 0 :  Khi f (n) (x 0 )  0 thì hàm số có cực đại. .. ax 2  bx  c 2a ax 2  bx  c  (Ax  B)dx 5 Tích phân dạng I5   Cách giải :Đặt Ax  B  dx (Ax  B) ax 2  bx  c 1 1 dy By  1  dx   2 khi đó x   thì ta sẽ được tích phân y A y Ay dạng 3 6 Tích phân dạng I6   ax 2  bx  c dx Nếu a  0  I6  a  u 2  k 2 du trong đó u  x  26 b 2a Nếu a  0  I6  a  k 2  u 2 du trong đó u  x  b 2a 7 Tích phân dạng I7   R(x, ax 2  bx  c)dx Nếu... r  r() với      thì L   r 2 ()  r 2 ()d  5 Thể tích vật thể: b a Vật V có thể tích V   S(x)dx trong đó S = S(x) ( a  x  b ) là thi t diện a thẳng vuông góc với trục 0x b b Do y  f (x) (a  x  b) quay xung quanh 0x: V0x    f 2 (x)dx a b c Do y  f (x)  0 (a  x  b) quay xung quanh 0y: V0y  2 xf (x)dx a 6 Diện tích mặt tròn xoay do đường cong phẳng y  f (x) với (a  x ...  a dx  x  a  ln x  x 2  a 2  C 2 2 2 2 5) Một số dạng tích phân hàm thực 1 Tích phân dạng I1   dx ax 2  bx  c 2  b  b 2  4ac  Cách giải ax  bx  c  a  x     2a  4ac     2 I dx ax 2  bx  c  a du u2  k2 b b 2  4ac trong đó x   u;  k 2 2a 4ac A Ab   (2ax  b)   B    Ax  Bx  dx 2a 2a   2 Tích phân dạng: I 2   2  dx ax  bx  c ax 2  bx  c A d(ax... 0  (a,b) Nếu hàm số không liên tục tại x 0 ,hoặc không liên tục trái (phải) tại đó §2:CÁC PHÉP TOÁN TRÊN HÀM SỐ LIÊN TỤC 1) Định lý 1: Tổng, tích, thương (mẫu số ≠ 0) các hàm liên tục tại x 0 là hàm liên tục x 0 2) Định lý 2: Nếu hàm số f(x) liên tục tại x 0 ,và hàm g(y) liên tục tại y 0  f (x 0 ) thì hàm hợp g  f (x)  liên tục tại x 0 Chú ý: Hàm của một biểu thức toán học xác định ở đâu thì liên... k : x k  k  x k 1 n Lập tổng    f (k )x k và được gọi là tổng tích phân của hàm f(x) trên a, b ,nếu k 0 n tồn tại giới hạn lim  f (k )x k mà không phụ thuộc  0 k  0 vào phép chia  a, b  thì giới b hạn đó gọi là tích phân xác định của hàm f(x) trên  a, b  , và viết I   f (x)dx Khi đó a hàm f(x) là hàm khả tích trên  a, b  29 Nếu ta gọi m k và M k tương ứng là cận dưới và cận... (x  x 0 ) n n! f (x)  f (x 0 )   Nếu n lẻ thì (x  x 0 )n đổi dấu khi x biến thi n qua x 0 dẫn đến f (x)  f (x 0 ) đổi dấu khi x biến thi n qua x 0  Nếu n chẵn thì (x  x 0 )n nguyên mội dấu khi x biến thi n qua x 0 dẫn đến f (x)  f (x 0 ) giữ nguyên một dấu:  f (n) (x 0 )  0 thì f (x)  f (x 0 ) ,hàm đạt cực đại tại x 0  f (n) (x 0 )  0 thì f (x)  f (x 0 ) , hàm đạt cực tiểu tại x 0 3) . hữu tỷ không đáp ứng được,nên nhất thi t phải mở rộng tập hợp số Ví dụ: Tìm số hữu tỷ (nếu có) mà khi bình phương số đó được kết quả bằng 2 2) Định nghĩa: 1. Số thập phân vô hạn không tuần. 1. Đại lượng vô cùng bé (gọi là vô cùng bé - VCB): Biến n x được gọi là đại lượng vô cùng bé nếu lim n x = 0. Ví dụ: n 1 n n n 1 1 ( 1) x ,x ,x n n n       đó là các vô cùng bé 2. Đại. đoạn tại 0 x (a,b).  Nếu hàm số không liên tục tại 0 x ,hoặc không liên tục trái (phải) tại đó. §2:CÁC PHÉP TOÁN TRÊN HÀM SỐ LIÊN TỤC 1) Định lý 1: Tổng, tích, thương (mẫu số ≠ 0) các hàm