Lý thuyết xác xuất thống kê trường đh kinh tế quốc dân NEU. Bao gồm 7 bài Bài 1: Biến cố và xác suất Bài 2 Các định lý xác suất Bài 3 Biến ngẫu nhiên rời rạc Bài 4 Biến ngẫu nhiên liên tục Bài 5 Cơ sở lý thuyết mẫu Bài 6 Ước lượng tham số Bài 7 Kiểm định giả thuyết thống kê
Bài 1: Biến cố xác suất BÀI BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Hướng dẫn học Đây học mở đầu cho môn học, gồm khái niệm bản, ký hiệu quan trọng dùng cho tất sau Với khái niệm định nghĩa có ví dụ cụ thể chi tiết để giải thích, minh họa Vì người học cần theo dõi ví dụ làm tập để hiểu rõ nắm khái niệm cách thức tính tốn Càng sau ví dụ nâng cao dần ví dụ sau sử dụng kết ví dụ trước, khơng bỏ qua ví dụ trình học tập Bài giới thiệu số khái niệm lí thuyết xác suất phép thử, biến cố xác suất biến cố Đồng thời hướng dẫn phương pháp tính xác suất biến cố cách xác định mối quan hệ biến cố Ngồi ra, hai ngun lí xác suất nêu Để học tốt này, sinh viên cần tham khảo phương pháp học sau: Học lịch trình mơn học theo tuần, làm luyện tập đầy đủ tham gia thảo luận diễn đàn Đọc tài liệu: Giáo trình Lý thuyết xác suất thống kê toán NXB Đại học KTQD Sinh viên làm việc theo nhóm trao đổi với giảng viên trực tiếp lớp học qua email Tham khảo thông tin từ trang Web môn học Nội dung Các khái niệm bản: phép thử, kết cục, biến cố, xác suất Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển: định nghĩa, phương pháp liệt kê, phương pháp sử dụng đại số tổ hợp Tính xác suất theo định nghĩa thống kê Nguyên lý xác suất lớn nhỏ Mối quan hệ biến cố: tổng, tích, độc lập, xung khắc, nhóm đầy đủ, đối lập Mục tiêu Sau học xong này, sinh viên cần đảm bảo yêu cầu sau: Hiểu rõ khái niệm, đặt biến cố, phân biệt loại biến cố Hiểu khái niệm xác suất, điều kiện quy ước xác suất Tính xác suất liệt kê biến cố, liệt kê dạng bảng, sử dụng đại số tổ hợp Hiểu khái niệm tần suất, nguyên lý xác suất nhỏ lớn Biết cách biễu diễn biến cố qua tổng tích biến cố khác xác định mối quan hệ biến cố tổng tích TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 Bài 1: Biến cố xác suất Tình dẫn nhập Xác suất để người chơi trúng thưởng Tình xác suất kinh tế thơng thường phức tạp có nhiều trường hợp riêng Vì ta xét tình trị chơi có thưởng truyền hình, xét khía cạnh tình kinh tế phần thưởng lợi ích kinh tế mà người chơi đạt cịn người tổ chức trò chơi Một người tham gia trị chơi truyền hình, chẳng hạn chương trình “Hãy chọn giá đúng” Có hai bàn ký hiệu A B, bàn có hộp giống hệt Người chơi biết số hộp bàn A có hộp bên có phần thưởng; số hộp bàn B có hộp bên có phần thưởng, khơng biết cụ thể hộp Tình 1: Người chơi phải chọn bàn từ lấy hộp, nhận phần thưởng bên hộp (nếu có) Người chơi có chắn phần thưởng khơng? Có chắn khơng hay khơng? Nếu muốn có phần thưởng người chơi nên chọn bàn A hay bàn B? Nếu lệ phí tham gia trị chơi 10 nghìn phần thưởng có trị giá 500 nghìn số tiền được/mất người chơi chủ trị chơi có trường hợp khả bao nhiêu? Tình 2: Người chơi lấy từ bàn A hai hộp, để riêng mở Hãy đánh giá khả người chơi: Được hai phần thưởng, phần thưởng, không phần thưởng Hãy tìm tình tương tự trò chơi đời sống kinh tế xã hội? TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 Bài 1: Biến cố xác suất Môn học nghiên cứu tượng có tính ngẫu nhiên kinh tế – xã hội Hiện tượng có tính ngẫu nhiên xuất thường xuyên quanh ta, ta xuất phát từ tượng đơn giản thường gặp sống Để xây dựng lý thuyết tìm hiểu ví dụ tính tốn, trước hết ta bắt đầu với khái niệm nhất, phép thử, biến cố 1.1 Phép thử biến cố 1.1.1 Khái niệm Trong tự nhiên xã hội, tượng gắn liền với nhóm điều kiện tượng xảy nhóm điều kiện gắn liền với thực Vì vậy, muốn nghiên cứu tượng ta cần thực nhóm điều kiện Định nghĩa 1.1 – Phép thử: Phép thử việc thực nhóm điều kiện xác định để quan sát tượng có xảy hay khơng Hiện tượng xảy không xảy kết phép thử gọi biến cố Khi thực phép thử, kết xảy gọi kết cục, biến cố tập hợp kết cục mà người nghiên cứu quan tâm Việc “thực nhóm điều kiện” khơng thiết người nghiên cứu phải làm thử, mà ghi nhận lại thơng tin từ người khác thử Ví dụ 1.1 Một người học quan tâm đến kết làm kiểm tra trắc nghiệm nào, thực phép thử thơng qua việc làm tập gồm hai câu trắc nghiệm Việc làm tập phép thử Khi làm có kết cục xảy ra: khơng làm câu nào, làm câu, làm hai câu Khi tượng xảy gọi biến cố Ta có biến cố: biến cố không làm câu nào, biến cố làm câu, biến cố làm hai câu Trong trường hợp trên, người quan tâm đến tượng nên phải tự làm Nếu người khơng phải người học, quan tâm đến việc học viên làm nào, quan sát kết sinh viên khác, cho phép thử Ví dụ 1.2 Một người quan tâm đến việc đầu tư vào mã chứng khoán, lợi nhuận cổ phần sau năm Người khơng thiết phải đầu tư thực sự, mà theo dõi giá cổ phiếu sàn giao dịch Khi phép thử ghi nhận lại thơng tin xảy sau năm Có nhiều kết cục xảy giá cổ phiếu có nhiều giá trị có Người quan tâm xét biến cố: có lãi (giá sau năm tăng lên so với giá mua vào), hòa (giá cũ), lỗ (giá giảm) Biến cố có lãi xét thành nhiều biến cố nhỏ như: lãi nghìn đồng/cổ phần, lãi 10 nghìn đồng/cổ phần… Với đầu tiên, để đơn giản dễ dàng tính tốn, ta xét hai ví dụ sau: Ví dụ 1.3 Quan tâm đến việc gieo đồng xu xảy tượng gì, người gieo đồng xu cân đối, đồng chất, mặt phẳng cứng Việc gieo đồng xu lần thực phép thử Với phép thử gieo đồng xu đó, kiện “xuất mặt sấp”, “xuất mặt ngửa”… biến cố Ví dụ 1.4 Gieo xúc sắc cân đối, đồng chất, mặt phẳng cứng thực phép thử Những kiện “xuất mặt có i chấm”, với i = 1, , biến cố TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 Bài 1: Biến cố xác suất 1.1.2 Các loại biến cố Biến cố tượng ta xác định, có tính chủ quan, kết phép thử khách quan, có trường hợp khác Trong thực tế thực phép thử, xảy loại biến cố sau: Biến cố chắn: biến cố định xảy phép thử thực hiện, ký hiệu (đọc ômêga) ký hiệu U Biến cố khơng thể có: biến cố định không xảy phép thử thực hiện, ký hiệu (đọc rỗng) ký hiệu V Biến cố ngẫu nhiên: biến cố xảy khơng xảy phép thử thực Thường ký hiệu biến cố ngẫu nhiên chữ in hoa: A, B, C Trường hợp có nhiều biến cố đánh số A1, A2… Ví dụ 1.3 (tiếp) Trong phép thử gieo lần đồng xu, thì: Biến cố : “xuất mặt sấp mặt ngửa” biến cố chắn Biến cố : “xuất mặt có số chấm nhỏ 7” biến cố chắn Biến cố : “xuất mặt sấp mặt ngửa” biến cố Biến cố S: “xuất mặt sấp” biến cố ngẫu nhiên Ví dụ 1.4 (tiếp) Trong phép thử gieo xúc sắc, thì: 1.2 Biến cố : “xuất mặt có số chấm lớn 7” biến cố Biến cố A: “xuất mặt có chấm” biến cố ngẫu nhiên Biến cố B: “xuất mặt có số chấm chẵn” biến cố ngẫu nhiên Xác suất biến cố Trong kinh tế, việc nhận thức tính ngẫu nhiên tượng khơng q khó, nhiên việc quan trọng không phải đo lường ngẫu nhiên để định Với phương án đầu tư, nhà đầu tư không nhận việc “có lãi” biến cố ngẫu nhiên (có thể có lãi khơng có lãi) mà cịn quan tâm đến “khả có lãi” muốn chọn phương án có “khả có lãi” cao Khơng “khả có lãi” mà cịn “khả có lãi cao” Khi xuất vấn đề đo lường khả xảy biến cố ngẫu nhiên Nhận thấy việc đo lường “khả năng” cần phải xét cách khách quan, nghĩa khơng phải nhận định hồn tồn chủ quan người Với ví dụ đơn giản, phép thử dễ thực dễ suy luận, việc nhận thức số khách quan cảm nhận được, ta xét từ ví dụ đơn giản Bằng trực giác ta nhận thấy, khả xảy biến cố khác không Chẳng hạn, ta nhận thấy khả để “xuất mặt sấp” (S) gieo đồng xu lớn khả để “xuất mặt chấm” (A2) gieo xúc sắc Hơn nữa, lặp lặp lại nhiều lần phép thử điều kiện người ta thấy tính chất ngẫu nhiên biến cố dần khả xảy biến cố thể theo qui luật định Từ cho thấy, đo khả khách quan xuất biến cố phép thử TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 Bài 1: Biến cố xác suất Định nghĩa 1.2 – Xác suất: Xác xuất biến cố số đặc trưng khả khách quan xuất biến cố thực phép thử Ký hiệu: xác suất biến cố A P(A) Vì số đo khả có nhiều dạng thể hiện, chẳng hạn đời thường ta nói “khả 80%”, “khả 10 10”; “khả ăn thua”, cần chuẩn hóa đại lượng để thống tính tốn Quy ước: Xác suất phải số nằm đoạn từ đến 1, xác suất lớn khả xảy biến cố nhiều P(A) (1.1) Theo cách hiểu trên, xác suất A lớn xác suất B: P(A) > P(B) ta nói khả xảy A lớn khả xảy B, hay A dễ xảy B B khó xảy A Nếu P(A) = P(B) nói khả xảy A B Ta mơ tả khái niệm qua sơ đồ hình học hình 1.1 A B Hình 1.1 Mơ tả biến cố Trong hình 1.1, tồn khả có biến cố chắn , mơ tả hình chữ nhật, biến cố A thể tập hợp Nếu diện tích hình chữ nhật 1, thể xác suất biến cố chắn 1, diện tích hình (gần) trịn A thể xác suất xảy biến cố A Trong hình vẽ thấy xác suất xảy biến cố A lớn xác suất xảy biến cố B Có thể nói cụ thể hơn, chấm hồn toàn ngẫu nhiên điểm phạm vi hình chữ nhật khả chấm vào hình trịn A lớn khả chấm vào hình trịn B Như câu nói khả số khách quan, thì: “Khả 80%” chuyển đổi thành xác suất 0,8 “Khả 10 10” chuyển đổi thành xác suất “Khả ăn thua” chuyển đổi thành xác suất nửa, hay 0,5 Cũng từ thấy: Xác suất biến cố chắn 1: P() = Xác st biến cố khơng thể có 0: P() = Xác suất biến cố ngẫu nhiên nằm khoảng đến 1: < P(A) < Vấn đề đặt để tính xác suất khách quan đó, số phải có tính logic, hợp lý người cơng nhận Các phần sau trình bày định nghĩa, hay cách thức để tính xác suất TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 Bài 1: Biến cố xác suất 1.3 Định nghĩa cổ điển xác suất Cách tính xác suất theo suy luận cổ điển đề cập đến từ 300 năm trước, tính cách đếm xem có tổng cộng trường hợp xảy ra, số có trường hợp có tượng mà ta nghiên cứu để tính khả Cách suy luận đưa thành công thức, gọi định nghĩa cổ điển hay công thức cổ điển 1.3.1 Định nghĩa cổ điển Định nghĩa 1.3 – Công thức cổ điển: Xác suất xuất biến cố A phép thử tỉ số số kết cục thuận lợi cho A tổng số kết cục đồng khả xảy thực phép thử Nếu ký hiệu: n tổng số kết cục đồng khả năng; m số kết cục thuận lợi cho A (kết cục làm cho A xảy ra); P(A) xác suất biến cố A Thì cơng thức tính xác suất là: m (1.2) n Trong định nghĩa có điều lưu ý: kết cục trường hợp xảy thực phép thử Các kết cục đồng khả nghĩa trường hợp có khả xảy nhau, không trường hợp dễ khó xảy trường hợp khác Chẳng hạn đồng xu đối xứng đồng chất mỏng gieo khả xuất mặt sấp mặt ngửa nhau, kết cục “mặt sấp” kết cục “mặt ngửa” đồng khả Tuy nhiên đồng xu không đồng chất, mặt nặng mặt hai kết cục khơng đồng khả năng, định nghĩa không áp dụng P ( A) 1.3.2 Phương pháp liệt kê Để áp dụng định nghĩa cổ điển, cần phải biết số kết cục đồng khả số kết cục thuận lợi Trong nhiều trường hợp ta liệt kê kết cục để tính xác suất Ví dụ 1.5 Gieo đồng xu đối xứng đồng chất lần, tính xác suất để: (a) Xuất mặt sấp (b) Xuất mặt sấp, mặt ngửa (c) Có xuất mặt sấp (d) Khơng xuất mặt ngửa Giải: Liệt kê tất trường hợp xảy gieo đồng xu hai lần: Sấp – Sấp; Sấp – Ngửa; Ngửa – Sấp; Ngửa – Ngửa Khi số kết cục đồng khả 4, hay n = (a) Đặt A biến cố “xuất mặt sấp”, ta có mA = có trường hợp thỏa mãn biến cố A Do đó: P ( A) mA 0, 25 n TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 Bài 1: Biến cố xác suất (b) Đặt B biến cố “xuất mặt sấp, mặt ngửa”, ta có: mB = có hai trường hợp thỏa mãn biến cố B, Sấp – Ngửa Ngửa – Sấp Do đó: (c) Đặt C biến cố “có xuất mặt sấp” có nghĩa “có xuất mặt sấp”, ta có: mB = có ba trường hợp thỏa mãn biến cố C, gồm trường hợp có mặt sấp trường hợp có mặt sấp P (C ) mC 0, 75 n (d) Đặt D biến cố “không xuất mặt ngửa”, có nghĩa hai mặt xuất sấp, ta thấy biến cố D hoàn toàn giống biến cố A, mD = và: mD 0, 25 P( A) n Ví dụ 1.6 Gieo xúc sắc cân đối, đồng chất Tính xác suất để: (a) Xuất mặt chấm (b) Xuất mặt có số chấm bội P( D) Giải: Khi gieo xúc sắc có kết cục xảy xuất chấm, chấm, chấm, chấm, chấm chấm Trong đó, kết cục kết cục có khả xảy Vì vậy, có tất kết cục đồng khả hay n = (a) Đặt A biến cố “xuất mặt chấm” Biến cố A xảy xuất chấm hay số kết cục thuận lợi cho A mA = Vậy: P ( A) (b) Đặt B biến cố “xuất mặt có số chấm bội số 3” (hay chia hết cho 3) Biến cố B xảy xuất chấm chấm hay số kết cục thuận lợi cho cho B mB = 2 Ví dụ 1.7 Cho bảng thông tin ngành học nhân viên công ty kinh doanh sau (con số bảng số lượng người): Vậy: P ( B) Ngành học Có học ngoại ngữ Khơng học ngoại ngữ Có học kinh tế 25 Khơng học kinh tế 15 Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên người người đó: (a) Có học kinh tế (Biến cố A) (b) Có học kinh tế ngoại ngữ (Biến cố B) (c) Có học ngành (Biến cố C) (d) Không học ngành (Biến cố D) TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 Bài 1: Biến cố xác suất Giải: Để biết số kết cục đồng khả năng, cộng toàn số người cơng ty, ta có: n = 25 + 15 + + = 50 Đề đặt tên biến cố, ta khơng cần đặt lại (a) Số người có học kinh tế là: mA = 25 + = 32 Xác suất người chọn có học kinh tế: P ( A) mA 32 0, 64 n 50 (b) Số người có học kinh tế ngoại ngữ: mB = 25 Xác suất người chọn có học kinh tế ngoại ngữ: P( B) mB 25 0,5 n 50 (c) Số người có học ngành: mC = 25 + 15 + = 47 Xác suất người chọn có học ngành: P (C ) mC 47 0,94 50 n (d) Số người không học ngành nào: mD = Xác suất người chọn không học ngành nào: P( D) mD 0, 06 n 50 Nhận thấy hai biến cố C D có tính chất “ngược nhau”, tổng xác suất chúng 1.3.3 Phương pháp dùng tổ hợp Trong nhiều trường hợp, để tính số kết cục đồng khả số kết cục thuận lợi, không dễ để liệt kê trường hợp tổng hợp dạng bảng ví dụ Khi ta phải sử dụng cơng thức tổ hợp để tính số phần tử Thường công thức tổ hợp dùng từ số phần tử chọn lấy phần tử Công thức tổ hợp Từ n phần tử, chọn lúc k phần tử (0 k n), số trường hợp tổ hợp chập k n, ký hiệu Cnk tính công thức: Cnk n! k !(n k )! (1.3) Trong dấu ! ký hiệu cho giai thừa: n ! n(n 1)(n 2) 2.1 Cơng thức rắc rối, với k nhỏ dùng cách sau: Tổ hợp chập k n phân số mà k số lùi dần từ n, k số lùi từ k Chẳng hạn: C102 10 1 C20 20 19 18 100 99 98 97 C100 1 1 TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 Bài 1: Biến cố xác suất Một số trường hợp đặc biệt: : từ n phần tử có cách chọn phần tử, khơng chọn Cn1 n : từ n phần tử có n cách chọn phần tử Cnn : từ n phần tử có cách chọn n phần tử, chọn tất Ví dụ 1.8 Một hộp có 10 sản phẩm, có phẩm phế phẩm (a) Lấy ngẫu nhiên từ hộp sản phẩm, tính xác suất để lấy phẩm (b) Lấy ngẫu nhiên đồng thời từ hộp hai sản phẩm, tính xác suất để lấy hai phẩm (c) Lấy ngẫu nhiên đồng thời từ hộp hai sản phẩm, tính xác suất để lấy phẩm phế phẩm Giải: (a) Đặt A biến cố “lấy sản phẩm phẩm” Khi lấy ngẫu nhiên từ hộp sản phẩm ta lấy sản phẩm số 10 sản phẩm Vì vậy, có tất 10 kết cục đồng khả hay n = 10 Biến cố A xảy ta lấy số phẩm nên số kết cục thuận lợi cho A mA = Vậy: P ( A) 0, 10 (b) Đặt B biến cố “lấy sản phẩm phẩm” Khi lấy ngẫu nhiên từ hộp hai sản phẩm, ta lấy sản phẩm số 10 sản phẩm tức số kết cục đồng khả phép thử số tổ hợp chập 10 phần tử hay: n C102 Biến cố B xảy sản phẩm chọn phẩm tức số kết cục thuận lợi cho B số tổ hợp chập phần tử hay mB C62 65 C 15 Vậy: P ( B ) 1 0,333 10 C 45 1 10 (c) Đặt C biến cố “lấy sản phẩm phẩm phế phẩm” Dễ thấy số kết cục đồng khả n C102 45 Số kết cục thuận lợi tính số trường hợp: phẩm lấy phẩm phế phẩm lấy phế phẩm Vì vậy: mC C61C41 24 Vậy: P (C ) TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 C61C41 24 0,533 C102 45 15 Bài 1: Biến cố xác suất Ví dụ 1.9 Một cơng ty cần tuyển người Có 20 người nộp đơn có nam 12 nữ Giả sử khả trúng tuyển 20 người nhau, tính xác suất để: (a) Có nam trúng tuyển (b) Có nữ trúng tuyển Giải: Phép thử chọn ngẫu nhiên người 20 người nên số kết cục đồng khả là: n C204 20 19 18 17 4845 3 1 (a) Đặt A biến cố “có nam trúng tuyển” “có nam trúng tuyển hai nữ trúng tuyển”, biến cố A xảy chọn nam số nam chọn nữ số 12 nữ nên số kết cục thuận lợi cho A là: mA C82C122 Vậy: P ( A) 12 11 28 66 1848 1 1 C82C122 1848 0,381 C204 4845 (b) Đặt B biến cố “có nữ trúng tuyển” Biến cố B “có nữ trúng tuyển có nữ trúng tuyển”, xảy chọn nữ số 12 nữ chọn nam số nam, chọn nữ số 12 Do đó: mB C123 C81 C124 12 1110 12 1110 8 220 495 2255 1 1 2255 0, 465 4845 Ví dụ 1.10 (Tình dẫn nhập) Có hai bàn A B, bàn A có hộp có hộp có phần thưởng; bàn B có hộp có hộp bên có phần thưởng (a) Người chơi chọn bàn lấy hộp, nên chọn bàn nào? Khi được/mất người chơi lệ phí chơi 10 nghìn phần thưởng 500 nghìn? (b) Từ bàn A lấy hai hộp, đánh giá khả năng: hai phần thưởng, phần thưởng, không phần thưởng Giải: (a) Khi phải chọn bàn, khả phần thưởng chọn bàn A chọn bàn B là: Vậy: P( B) P(Có phần thưởng chọn bàn A) = 0, P(Có phần thưởng chọn bàn B) = Dễ thấy khả có thưởng chọn bàn A lớn chọn bàn B, nên người chơi nên chọn bàn A Lưu ý chọn bàn A người chơi “dễ có thưởng 10 TXTOKT02_Bai1_v1.0014109205 Bài 7: Kiểm định giả thuyết thống kê BÀI KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ Hướng dẫn học Cùng với toán ước lượng, tốn kiểm định giả thuyết kết hợp tính toán số liệu thống kê quy luật phân phối xác suất để suy diễn kết luận hợp lý Do người học cần nắm ý nghĩa tham số đặc trưng chủ yếu biến ngẫu nhiên: kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn (học 3), nắm nội dung số quy luật phân phối xác suất phổ biến thực tế: quy luật Không – Một, quy luật Nhị thức, quy luật Chuẩn (học 4), nhớ quy luật phân phối xác suất số thống kê quan trọng (học số 5) nhớ nội dung nguyên lý xác suất nhỏ (học số 1) Để học tốt này, sinh viên cần tham khảo phương pháp học sau: Học lịch trình mơn học theo tuần, làm luyện tập đầy đủ tham gia thảo luận diễn đàn Đọc tài liệu: Giáo trình Lý thuyết xác suất thống kê tốn NXB Đại học KTQD Sinh viên làm việc theo nhóm trao đổi với giảng viên trực tiếp lớp học qua email Tham khảo thông tin từ trang Web môn học Nội dung Lý thuyết kiểm định; Thủ tục thực toán kiểm định; Kiểm định giá trị trung bình tổng thể phân phối Chuẩn; Kiểm định phương sai tổng thể phân phối Chuẩn; Kiểm định tỷ lệ tổng thể (kỳ vọng biến ngẫu nhiên phân phối Không – Một) Mục tiêu Sau học xong này, sinh viên cần đảm bảo yêu cầu sau: Nhận biết giả thuyết thống kê; Chuyển đổi giả thuyết thành cặp giả thuyết tương ứng, hiểu khái niệm sai lầm kiểm định; Biết cách sử dụng miền bác bỏ, kết luận việc bác bỏ hay chưa bác bỏ giả thuyết thống kê; Trả lời cho câu hỏi đặt cách đắn 128 TXTOKT02_Bai7_v1.0014109205 Bài 7: Kiểm định giả thuyết thống kê Tình dẫn nhập Kiểm định đánh giá kế hoạch sách Sở Nông nghiệp tỉnh muốn biết liệu suất lúa năm có đạt mức trung bình tấn/ha hay không, để đánh giá tổng sản lượng lúa tồn vùng, từ có kế hoạch phù hợp cho việc tiêu thụ nông sản (dự trữ, xuất khẩu, tiêu thụ nội địa…), xác định mức giá hợp lý Đơn vị nghiên cứu thị trường muốn biết giá thị trường năm có biến động nhiều so với năm ngối hay khơng Một tổ chức quốc tế muốn đánh giá hiệu Chương trình xóa đói giảm nghèo triển khai quốc gia, cần xem xét liệu tỷ lệ hộ nghèo có giảm xuống hay khơng, so với mức trước triển khai chương trình (giả sử 12%) Tất câu hỏi hoàn toàn giải đáp ta thu hoạch toàn điểm trồng lúa tỉnh đó, điều tra tình trạng đói nghèo tất hộ gia đình quốc gia Nhưng làm khơng làm việc đó, hạn chế nguồn lực người, tài chính, thời gian, kỹ thuật? Trong thực tiễn kinh tế xã hội, có tốn đặt u cầu kiểm tra tính sai mệnh đề/một tình giả định, chưa có đầy đủ thơng tin xác Vì mệnh đề không nên cần kiểm định, để kết luận tính thừa nhận hay khơng thừa nhận mệnh đề Khi phải thực kiểm tra, kiểm định dựa thơng tin có từ mẫu, phương pháp thống kê cụ thể Bài toán kiểm định áp dụng nhiều công việc nghiên cứu liên quan đến số liệu, kết có mặt rộng rãi lĩnh vực, cấp độ, đời sống kinh tế xã hội TXTOKT02_Bai7_v1.0014109205 129 Bài 7: Kiểm định giả thuyết thống kê 7.1 Lý thuyết kiểm định giả thuyết 7.1.1 Giả thuyết thống kê Chúng ta nghiên cứu vấn đề tổng thể thơng qua dấu hiệu Trong trình nghiên cứu cần kiểm tra xem dấu hiệu có hay khơng có tính chất Do khơng có đầy đủ thơng tin tổng thể nên khơng thể đánh giá xác vấn đề Thơng tin mẫu sử dụng để kiểm tra đánh giá tính chất theo phương pháp tốn học Những tốn gọi tốn kiểm định giả thuyết thống kê Dấu hiệu nghiên cứu đặc trưng (các) biến ngẫu nhiên – gọi biến ngẫu nhiên gốc Việc kiểm tra mệnh đề liên quan đến biến ngẫu nhiên gốc kiểm định giả thuyết thống kê, bao gồm loại: Kiểm định dạng phân phối xác suất (chẳng hạn, liệu biến ngẫu nhiên có phân phối Chuẩn hay khơng?) Kiểm định tham số đặc trưng (trung bình, phương sai, tỷ lệ) Kiểm định tính độc lập biến ngẫu nhiên (chẳng hạn, việc xếp quầy hàng theo thứ tự khác hài lịng khách hàng có liên quan với hay khơng?) Trong giới hạn chương trình, ta xét giả thuyết thống kê tham số đặc trưng tổng thể (chính tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên gốc) Để thuận tiện chuẩn xác mặt toán học, mệnh đề cần kiểm định đặt dạng cặp giả thuyết Tùy mục đích nghiên cứu trường hợp, cặp giả thuyết tương ứng với mệnh đề Cặp giả thuyết gồm giả thuyết gọi giả thuyết gốc, kí hiệu H0, giả thuyết đối, kí hiệu H1 Khi bác bỏ giả thuyết H0 chấp nhận giả thuyết H1 kèm theo Các cặp giả thuyết thống kê tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên gốc quy ba dạng sau: H : H1 : H : H1 : H : H1 : (7.1) Ví dụ 7.1 Một nhà máy sản xuất khẳng định trọng lượng trung bình sản phẩm họ sản xuất 350g Khách hàng nhà máy muốn kiểm tra điều khẳng định đó, cặp giả thuyết có dạng: H : m m0 350 H : m m0 Với m trung bình tổng thể, kì vọng biến ngẫu nhiên X – “Trọng lượng sản phẩm” Giả thuyết H0 thể điều khẳng định nhà sản xuất đúng, giả thuyết H1 thể điều khẳng định sai Ví dụ 7.2 Một quan chức ngành ngân hàng cho độ dao động giá ounce vàng – đo phương sai – vượt 20 USD2, ta kiểm định mệnh đề thơng qua cặp giả thuyết: H : 02 20 H : 02 130 TXTOKT02_Bai7_v1.0014109205 Bài 7: Kiểm định giả thuyết thống kê Ở 2 phương sai tổng thể, phương sai biến ngẫu nhiên X – “Giá ounce vàng” Giả thuyết H0 thể điều khẳng định quan chức sai, độ dao động giá vàng mức 20 USD2, H1 thể điều khẳng định đúng, độ dao động giá vàng vượt mức 20 USD2 Ví dụ 7.3 Báo cáo phịng chăm sóc khách hàng nói tỷ lệ khách khơng hài lịng chưa đến 10%, cặp giả thuyết có dạng: H : p p0 0,1 H : p p0 Trong p tỷ lệ khách khơng hài lòng tổng thể Giả thuyết H0 thể báo cáo phịng chăm sóc khách hàng sai, tỷ lệ khách khơng hài lịng đến 10%, giả thuyết H1 thể báo cáo đúng, tỷ lệ khách khơng hài lịng chưa đến 2% Để kiểm tra giả thuyết hay không, cần phải kiểm định, sử dụng phương pháp thống kê, dựa mẫu thực nghiệm để kết luận, với phương pháp suy luận sau: 7.1.2 Giả sử H0 đúng; Khi H0 đúng, với mẫu, biến cố A xảy với xác suất nhỏ; Theo nguyên lý xác suất nhỏ, nói với phép thử, A không xảy ra; Với mẫu cụ thể A xảy bác bỏ H0, A khơng xảy chưa có sở bác bỏ H0 Phương pháp kiểm định Xét mẫu ngẫu nhiên (X1, X2,…, Xn) lập từ tổng thể, tùy thuộc cặp giả thuyết, ta chọn lập thống kê tương ứng với giả thuyết gốc, kí hiệu G f ( X , X , , X n ) Thống kê G chọn cho H0 quy luật phân phối xác suất G hoàn toàn xác định Cùng với thống kê G, xác định miền W cho với giá trị (0;1) đủ nhỏ (thường lấy 0,05 0,1) xác suất để thống kê G thuộc miền W giá trị đủ nhỏ Tức là: P(G Wα | H0) = α (7.2) Khi đó, theo nguyên lý xác suất lớn nhỏ, H0 đúng, xác suất để biến cố (G Wα) xảy nhỏ, nên với mẫu, tính giá trị cụ thể G Gqs = f(x1, x2,…, xn), biến cố (G Wα) xảy cho H0 không theo cách kiểm định Thống kê G gọi Tiêu chuẩn kiểm định; Giá trị gọi Mức ý nghĩa kiểm định; Miền W gọi Miền bác bỏ giả thuyết H0 với mức ý nghĩa Với mẫu cụ thể, tính giá trị quan sát Gqs tiêu chuẩn kiểm định: Nếu giá trị quan sát thuộc miền bác bỏ bác bỏ H0 Nếu giá trị quan sát không thuộc miền bác bỏ chưa bác bỏ H0 TXTOKT02_Bai7_v1.0014109205 131 Bài 7: Kiểm định giả thuyết thống kê 7.1.3 Các loại sai lầm Khi sử dụng phương pháp kiểm định thống kê trên, mắc phải sai lầm Các sai lầm gồm hai loại: Sai lầm loại một: bác bỏ điều Xác suất mắc sai lầm loại mức ý nghĩa Sai lầm loại hai: thừa nhận điều sai Xác suất mắc sai lầm loại hai , gọi lực kiểm định 7.1.4 Các bước thực Bài toán kiểm định thực với giá trị cho trước mức ý nghĩa Các bước tiến hành tổng quát sau: Xây dựng giả thuyết gốc H0 cần kiểm định, từ viết cặp giả thuyết; Lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n; Chọn tiêu chuẩn kiểm định G xác định quy luật phân phối xác suất G giả thuyết H0 đúng; Xác định miền bác bỏ tốt tùy thuộc vào giả thuyết đối H1; Lập mẫu cụ thể tìm giá trị quan sát tiêu chuẩn kiểm định; So sánh giá trị quan sát với miền bác bỏ kết luận Trên thực tế, ta thường xét số toán kiểm định tham số trung bình (μ), phương sai (2) tổng thể phân phối Chuẩn, tỷ lệ tổng thể (p) mẫu cho thơng tin Do tiêu chuẩn kiểm định, miền bác bỏ xác định trước Công việc phải thực là: Xác định xác cặp giả thuyết; Tìm tiêu chuẩn kiểm định miền bác bỏ; Tính thống kê dựa mẫu, tính giá trị quan sát; Tra bảng số để kết luận bác bỏ chưa bác bỏ H0; Kết luận câu hỏi 7.2 Kiểm định trung bình tổng thể Cũng tương tự toán ước lượng khoảng, ta xét toán kiểm định với tổng thể phân phối Chuẩn Xét biến ngẫu nhiên gốc tổng thể phân phối chuẩn X ~ N(μ ; 2) với tham số tổng thể chưa biết, hay chưa biết, trung bình tổng thể theo dấu hiệu nghiên cứu Ta kiểm định giả thiết tham số , với việc so sánh với số thực 0 cho trước Các chứng minh trình bày giáo trình, ta áp dụng công thức để thực kiểm định đưa kết luận phù hợp với trường hợp Xét cặp giả thuyết đầu tiên: H : 0 H1 : 0 132 TXTOKT02_Bai7_v1.0014109205 Bài 7: Kiểm định giả thuyết thống kê Trong μ0 số đưa giả thuyết cần kiểm định Khi sử dụng thống kê chứa tham số cần kiểm định có quy luật phân phối xác suất xác định (tiêu chuẩn kiểm định) sau: T ( X 0 ) n S Nếu H0 đúng, chứng minh xác suất để T t( n/21) α đủ nhỏ, theo nguyên lý xác suất nhỏ, nói biến cố khơng xảy thực phép thử Khi thực phép thử, nghĩa với số liệu mẫu cụ thể, tính được: Tqs ( x 0 ) n s Nếu Tqs t( n/21) tức biến cố “khơng xảy ra” xảy ra, từ cho H0 sai Trình tự thực kiểm định sau: H : 0 Với cặp giả thuyết: H1 : 0 Tiêu chuẩn kiểm định: T ( X 0 ) n S Với mức ý nghĩa α cho trước, miền bác bỏ H0 là: Giá trị quan sát là: Tqs ( x 0 ) n s Nếu Tqs Wα hay Tqs t( n/21) bác bỏ H0 Nếu Tqs Wα hay Tqs t( n/ 21) chưa bác bỏ H0 Với hai loại cặp giả thuyết có dấu lớn nhỏ hơn, tiêu chuẩn kiểm định giá trị quan sát không thay đổi so với cặp giả thuyết trên, có miền bác bỏ thay đổi Loại cặp giả thuyết H : 0 H1 : 0 Miền bác bỏ H0 : W = {T : T > t( n-1) } Nếu TqsWα hay Tqs > t( n-1) bác bỏ H0 Nếu TqsWα hay Tqs < t( n-1) chưa bác bỏ H0 Sự khác biệt so với cặp giả thuyết thay trị tuyệt đối |T| khơng có trị tuyệt đối, giá trị tới hạn mức α/2 mà α: t( n-1) thay cho t( n/-21) Loại cặp giả thuyết H : 0 H1 : 0 Miền bác bỏ H0 : W = {T : T < -t( n-1) } TXTOKT02_Bai7_v1.0014109205 133 Bài 7: Kiểm định giả thuyết thống kê Nếu TqsWα hay Tqs < -t( n-1) bác bỏ H0 Nếu TqsWα hay Tqs > -t( n-1) chưa bác bỏ H0 Như sử dụng T khơng có trị tuyệt đối, giá trị tới hạn mức α có dấu âm: -t( n-1) , quy cách bác bỏ khác cặp giả thuyết Có thể tóm tắt ba cặp giả thuyết bảng sau: Tiêu chuẩn T ( X 0 ) n S Giá trị quan sát Tqs ( x 0 ) n s Cặp giả thuyết Miền bác bỏ H0 Bác bỏ H0 H : 0 H1 : 0 W T : T t( n/ 21) Tqs t( n/21) H : 0 H1 : 0 W T : T t( n 1) Tqs t( n 1) H : 0 H1 : 0 W T : T t( n 1) Tqs t( n 1) Để đơn giản, từ phần sau, cặp giả thuyết, tiêu chuẩn kiểm định miền bác bỏ tóm tắt bảng Ví dụ 7.4 Xem xét trọng lượng loại (tính gam), người ta tiến hành cân thử số lấy ngẫu nhiên, đựợc số liệu cho bảng Trọng lượng (gam) 25 – 27 27 – 29 29 – 31 31 – 33 33 – 35 35 – 37 Số tương ứng Biết trọng lượng đại lượng có phân phối chuẩn (a) Tiêu chuẩn đặt cho trọng lượng trung bình 30g Với mức ý nghĩa 5%, nói loại đạt tiêu chuẩn hay không? (b) Mùa vụ trước trọng lượng trung bình loại 29g Với mức ý nghĩa 5% nói trọng lượng trung bình tăng lên không? Giải: Đặt X trọng lượng loại này, theo giả thiết, X ~ N(μ ; 2), µ trọng lượng trung bình,2 phương sai trọng lượng, hai đại lượng chưa biết Ta có thơng tin mẫu cụ thể kích thước n = 25 Với số liệu này, tính thống kê đặc trưng mẫu kết quả: x 30, 48(g) ; s 8, 4267(g ) ; s 2,903(g) (a) Câu hỏi yêu cầu kiểm định xem trọng lượng trung bình có 30 hay khơng, hay µ có 30 hay không, với α = 0,05 Cặp giả thuyết là: H : 30 H : 30 Trong giả thuyết H0 nghĩa loại đạt tiêu chuẩn, H1 loại không đạt tiêu chuẩn 134 TXTOKT02_Bai7_v1.0014109205 Bài 7: Kiểm định giả thuyết thống kê Lưu ý ta khơng sử dụng giá trị trung bình mẫu 30,48 để kết luận trung bình tổng thể khác 30, số 30,48 mẫu Phải thực kiểm định chi tiết Tiêu chuẩn kiểm định T ( X 0 ) n ; miền bác bỏ H0: W T : T t( n/21) S Với mẫu cụ thể trên, Tqs ( x ) n (30, 48 30) 25 0,8267 s 2,903 (24) t( n/21) t0,025 2, 064 W T : T 2, 064 Do |Tqs| < 2,064, chưa có sở bác bỏ H0, hay hiểu H0 coi đúng, nói loại đạt tiêu chuẩn Như dù trung bình mẫu khơng 30 coi trung bình tổng thể 30, coi đạt tiêu chuẩn Chính xác chưa thấy chứng cho thấy không đạt tiêu chuẩn (b) Câu hỏi yêu cầu kiểm định xem trọng lượng trung bình có lớn 29 hay khơng, với α = 0,05 Cặp giả thuyết là: H : 29 H : 29 Trong giả thuyết H0 nghĩa trọng lượng trung bình khơng tăng, H1 trọng lượng trung bình có tăng lên Tiêu chuẩn kiểm định T ( X 0 ) n ; miền bác bỏ H0: S W T : T t( n 1) Với mẫu cụ thể trên, Tqs ( x 0 ) n (30, 48 29) 25 2,5491 s 2,903 (24) t( n 1) t0,05 1, 711 W T : T 1, 711 Do Tqs > 1,711 bác bỏ H0, nói trọng lượng trung bình tăng lên so với mùa vụ trước 7.3 Kiểm định giả thuyết phương sai tổng thể Giả sử tổng thể có biến ngẫu nhiên gốc phân phối chuẩn, X ~ N( , 2), tham số 2 đặc trưng cho độ phân tán/độ biến động/độ ổn định/độ đồng tổng thể theo dấu hiệu nghiên cứu, chưa biết Ta kiểm định giả thuyết mối quan hệ phương sai tổng thể 2 với số 02 cho trước Sử dụng mẫu kích thước n với phương sai mẫu S2, độ lệch chuẩn S TXTOKT02_Bai7_v1.0014109205 135 Bài 7: Kiểm định giả thuyết thống kê Ta thiết lập thủ tục kiểm định dựa quy luật phân phối xác suất thống kê sau: (n 1) S ~ (n 1) Từ xây dựng tiêu chuẩn kiểm định, cơng thức tính giá trị quan sát ứng với mẫu cụ thể kích thước n (phương sai mẫu s2, độ lệch chuẩn mẫu s) miền bác bỏ ứng với cặp giả thuyết sau: 2 Tiêu chuẩn 2 (n 1) S Giá trị quan sát qs2 (n 1) s 02 Cặp giả thuyết Miền bác bỏ H0 H : 02 H : 02 W 12(n/ 12) qs 12(n /21) hoặc 2(/n21) H : 02 H : 02 W 2( n 1) H : 02 H : 02 W 12(n 1) Bác bỏ H0 2qs 2(/2n 1) 2qs 2( n 1) qs 12(n 1) Ví dụ 7.5 Với số liệu ví dụ 7.4 phần trên, cân thử 25 thấy trọng lượng trung bình mẫu 30,48 gam, phương sai mẫu 8,4267 gam2, độ lệch chuẩn mẫu 2,903 gam Biết trọng lượng đại lượng phân phối chuẩn (a) Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định ý kiến cho phương sai trọng lượng gam2 Nếu mức ý nghĩa 2% kết luận có thay đổi khơng? (b) Mùa vụ trước trọng lượng có độ phân tán gam, với mức ý nghĩa 5% nói mùa vụ trọng lượng đồng không? Giải: Đặt X trọng lượng loại này, theo giả thiết, X ~ N( , 2), 2 phương sai, đo độ đồng trọng lượng, chưa biết Thơng tin có mẫu cụ thể kích thước n = 25, ta tính thống kê đặc trưng mẫu: x 30, 48( g ) ; s 8, 4267( g ) ; s 2,903( g ) (a) Câu hỏi kiểm định giả thuyết 2 5, với α = 0,05 Cặp giả thuyết H : H : Trong giả thuyết H0 nghĩa ý kiến đúng, H1 ý kiến sai Tiêu chuẩn kiểm định (n 1) S ; 02 Miền bác bỏ H0: W 12(n /21) 2(/2n 1) Với mẫu cụ thể ta tính được: 2qs (n 1) s 24 8, 4267 40, 448 02 Ta xác định giá trị tới hạn: 2(24) 2(24) 12(n / 1)2 0,975 12, ; 2(/2n 1) 0,025 39,36 136 TXTOKT02_Bai7_v1.0014109205 Bài 7: Kiểm định giả thuyết thống kê Như bác bỏ H0 2qs < 12,4 2qs > 39,36 Như 2qs > 39,36: bác bỏ giả thuyết H0, ý kiến cho phương sai trọng lượng gam2 sai Nếu mức ý nghĩa α = 0,02 thì: 2(24) 2(24) 12(n / 1)2 0,99 10,86 ; 2(/2n 1) 0,01 42,98 Khi 10,86 < 2qs < 42,98: chưa có sở bác bỏ H0, ý kiến cho phương sai trọng lượng gam2 (b) Độ đồng mùa vụ trước gam, tức độ lệch chuẩn trọng lượng vụ trước 4, phương sai mùa vụ trước 42 = 16 gam2 Độ đồng tăng lên tức phương sai trọng lượng nhỏ so với mùa vụ trước Câu hỏi kiểm định giả thuyết 2 nhỏ 16, với α = 0,05 Cặp giả thuyết là: H : 16 H : 16 Trong giả thuyết H0 nghĩa ý kiến sai, H1 ý kiến Tiêu chuẩn kiểm định (n 1) S ; Miền bác bỏ H0: W : 12(n 1) 02 Với mẫu cụ thể ta tính được: qs (n 1)s 24 8, 4267 12, 64 02 16 2(24) Tìm giá trị tới hạn: 12(n 1) 0,95 14, 61 W : 14, 61 Do 2qs < 14,61: bác bỏ H0, nói ý kiến cho trọng lượng đồng mùa vụ trước 7.4 Kiểm định tỷ lệ tổng thể Tỷ lệ tổng thể, hay gọi tần suất tổng thể kí hiệu p Từ yêu cầu thực tế đặt ra, ta đưa đến việc kiểm định giả thuyết mối quan hệ tham số p với số p0 cho trước Ta lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n, từ xác định tần suất mẫu f Thủ tục kiểm định tần suất tổng thể thiết lập dựa quy luật phân phối xác suất thống kê sau đây: U ( f p) n ~ N (0;1) p (1 p ) Nếu p = p0 (giả thuyết H0 đúng) U TXTOKT02_Bai7_v1.0014109205 ( f p0 ) n ~ N (0;1) p0 (1 p0 ) 137 Bài 7: Kiểm định giả thuyết thống kê Dựa lý thuyết chung kiểm định giả thuyết, ta xây dựng tiêu chuẩn kiểm định xác định miền bác bỏ tương ứng cho cặp giả thuyết bảng đây: Tiêu chuẩn U ( f p0 ) n p0 (1 p0 ) Cặp giả thuyết Miền bác bỏ H0 Bác bỏ H0 H : p p H1 : p p W U : U u /2 |Uqs| > u/2 H : p p H1 : p p W U : U u Uqs > u H : p p H1 : p p W U : U u Uqs < –u Ví dụ 7.6 Tổng điều tra khu vực năm trước cho thấy có 10% dân số độ tuổi trưởng thành chữ Năm điều tra ngẫu nhiên 400 người có 22 người độ tuổi trưởng thành chữ Với mức ý nghĩa 5%: (a) Nhận xét ý kiến cho tỷ lệ mù chữ không giảm so với năm trước (b) Phải tỷ lệ mù chữ 3%? (c) Có thể cho tỷ lệ mù chữ giảm cịn 5% hay khơng? Giải: Đặt p tỷ lệ mù chữ khu vực Tỷ lệ năm trước 10% = 0,1 Với mức ý nghĩa α = 0,05, ta thực kiểm định giả thuyết theo yêu cầu đề (a) Đề yêu cầu kiểm định p có nhỏ 0,1 hay khơng, cặp giả thuyết là: H : p 0,1 H : p 0,1 Tiêu chuẩn U ( f p0 ) n p0 (1 p0 ) Miền bác bỏ W U : U u k 22 0, 055 n 400 Từ ta tính giá trị quan sát tiêu chuẩn kiểm định: Tỷ lệ mù chữ mẫu f U qs (0,055 0,1) 400 3 0,1(1 0,1) Với mức ý nghĩa cụ thể: u u0,05 1, 645 W U : U 1, 645 U qs W , bác bỏ H0, chấp nhận H1 Như nói tỷ lệ mù chữ giảm đi, ý kiến đưa sai (b) Yêu cầu kiểm định p có lớn 0,03 hay không, cặp giả thuyết là: H : p 0,03 H : p 0,03 Tiêu chuẩn U ( f p0 ) n p0 (1 p0 ) Miền bác bỏ W U : U u U qs 138 (0, 055 0, 03) 400 2,931 0, 03(1 0, 03) TXTOKT02_Bai7_v1.0014109205 Bài 7: Kiểm định giả thuyết thống kê Miền bác bỏ giả thuyết H0: U qs W , bác bỏ H0, chấp nhận H1 Do nói tỷ lệ mù chữ cịn 3% (c) u cầu kiểm định p có 0,05 hay khơng, cặp giả thuyết là: H : p 0,05 H : p 0,05 Tiêu chuẩn U ( f p0 ) n p0 (1 p0 ) Miền bác bỏ W U : U u /2 U qs (0, 055 0, 05) 400 0, 4588 0, 05(1 0, 05) Xác định giá trị tới hạn chuẩn: u /2 u0,025 1,96 W U : U 1,96 Ta thấy U qs W , chưa có sở bác bỏ H0, dựa mẫu cụ thể, nói tỷ lệ mù chữ 5% Ví dụ 7.7 (tổng hợp toán kiểm định tham số) Tuổi thọ sản phẩm doanh nghiệp sản xuất có phân phối chuẩn Qua q trình theo dõi tuổi thọ số sản phẩm sử dụng người ta có số liệu sau: Tuổi thọ (giờ) 320 350 390 400 450 Số sản phẩm 12 25 35 20 (a) Tính trung bình mẫu độ lệch chuẩn mẫu (b) Với mức ý nghĩa 5% nói tuổi thọ trung bình sản phẩm 400 giờ? (c) Trước độ phân tán tuổi thọ sản phẩm (đo độ lệch chuẩn) 25 Với mức ý nghĩa 5%, nói độ phân tán tuổi thọ sản phẩm tăng lên? (d) Phải tỷ lệ sản phẩm tuổi thọ 400 10% Kết luận với mức ý nghĩa 5% Giải: Gọi X “Tuổi thọ sản phẩm” Theo giả thiết X có phân phối chuẩn, X ~ N(µ ; 2) Trong µ kỳ vọng X tuổi thọ trung bình sản phẩm; 2 phương sai, đo độ phân tán tuổi thọ sản phẩm Ở µ 2 chưa biết (a) Từ số liệu mẫu cụ thể ta tính được: n = 100, k ni xi 37840 , i 1 x k n x i 1 i i 14434800 k 37840 ni xi 378, n i 1 100 14434800 378, 42 1164, 44 100 n 100 1164, 44 s2 ms 1173,172 n 1 99 ms x ( x ) s s 1173,172 34, 2515 Như trung bình mẫu 378,4 (giờ), độ lệch chuẩn mẫu 34,2515 (giờ) TXTOKT02_Bai7_v1.0014109205 139 Bài 7: Kiểm định giả thuyết thống kê (b) Theo yêu cầu đề ta kiểm định xem tuổi thọ trung bình có nhỏ 400 hay không, với α = 0,05 Cặp giả thuyết là: H : 400 H : 400 Trong giả thuyết H1 thể nhận định đề Tiêu chuẩn kiểm định T ( X 0 ) n ; miền bác bỏ H0: W T : T t( n 1) S Với mẫu cụ thể trên, Tqs ( x ) n (3780, 400) 100 6,306 s 34, 2515 Ta xác định giá trị tới hạn: 99 t( n 1) t0,05 u0,05 1, 645 W T : T 1, 645 Do Tqs < – 1,645: bác bỏ H0 Như nói tuổi thọ trung bình sản phẩm 400 (c) Độ phân tán tuổi thọ sản phẩm tăng lên tức phương sai tuổi thọ sản phẩm lớn so với trước Câu hỏi kiểm định giả thuyết 2 lớn 252, với α = 0,05 Cặp giả thuyết là: Trong giả thuyết H0 nghĩa ý kiến sai, H1 ý kiến Tiêu chuẩn kiểm định (n 1) S ; Miền bác bỏ H0: W : 2( n 1) 0 Với mẫu cụ thể ta tính được: qs (n 1) s 99 1173,172 185,83 02 625 2(99) Tìm giá trị tới hạn: 2( n 1) 0,05 124,34 W : 124,34 Do 2qs > 124,34: bác bỏ H0, nói ý kiến cho tuổi thọ sản phẩm có độ phân tán tăng trước (d) Đặt p tỷ lệ sản phẩm tuổi thọ 400 Đề yêu cầu kiểm định p có nhỏ 0,1 hay không, cặp giả thuyết là: H : p 0,1 H : p 0,1 Tiêu chuẩn U ( f p0 ) n p0 (1 p0 ) Miền bác bỏ W U : U u k 0, 08 n 100 Từ ta tính giá trị quan sát tiêu chuẩn kiểm định: Tỷ lệ sản phẩm tuổi thọ 400 mẫu f U qs (0, 08 0,1) 100 0, 667 0,1(1 0,1) Với mức ý nghĩa cụ thể: u u0,05 1, 645 W U : U 1, 645 Do Uqs > –1,645 chưa đủ sở bác bỏ H0 Như chưa thể nói tỷ lệ sản phẩm tuổi thọ 400 10% 140 TXTOKT02_Bai7_v1.0014109205 Bài 7: Kiểm định giả thuyết thống kê Tóm lược cuối Nghiên cứu dấu hiệu kiểm tra dấu hiệu có tính chất → tốn kiểm định giả thuyết Phương pháp kiểm định: bao gồm giả thuyết thống kê tiêu chuẩn kiểm định Các cặp giả thuyết Kiểm định cặp giả thuyết với tham số biến ngẫu nhiên: μ, σ2 p TXTOKT02_Bai7_v1.0014109205 141 Bài 7: Kiểm định giả thuyết thống kê Câu hỏi ôn tập Thế toán Kiểm định giả thuyết tham số? Khi cần thực công việc Kiểm định? Dấu hiệu để xác định công việc đề yêu cầu Kiểm định giả thuyết? Dấu hiệu để nhận biết Bài tốn kiểm định µ; 2 hay p Cách chọn cặp giả thuyết kiểm định dạng cặp giả thuyết Quy trình thực toán kiểm định gồm bước nào? 142 TXTOKT02_Bai7_v1.0014109205