Đại số 10 ôn tập chương 4 bất đẳng thức

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG IV – ĐẠI SỐ 10 CƠ BẢN I Bất đẳng thức Kiến thức cần nhớ 1 A > B A – B > 0 2 A A 3 A > B A C > B C 4 A = B 5 EMBED Equation DSMT4 A C 6 EMBED Equation DSMT4 A + C > B + D 7 A >[.]

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG IV – ĐẠI SỐ 10 CƠ BẢN I Bất đẳng thức: Kiến thức cần nhớ: A > B  A – B > A B  A=B  A  B   AC  BC neáu C  A > B    AC  BC neáu C  x a(a  0)   a x a A  A A B  A C  B  C  A > B  A C > B C A  B  A+C>B+D  C  D  x 0 10 x a(a  0)  x  a x a  ab * Bất đẳng thức Côsi: + Nếu a, b không âm (tức a, b 0 ) a + b 2 ab   ab   Dấu “=” xảy  a = b abc  a, b, c  + Nếu a, b, c không âm (tức ) a + b + c 3 abc   abc    Dấu “=” xảy a=b=c * Phương pháp chứng minh bất đẳng thức: Dùng phép biến đổi tương đương: + Một số bất đẳng thức thông dụng: a) a2 0, dấu “=” xảy  a = b) (a – b)2 0, dấu “=” xảy  a = b c) (a + b)2 0, dấu “=” xảy  a = -b d) (a + b + c)2 0, dấu “=” xảy  a + b = -c e) (a + b – c)2 0, dấu “=” xảy  a + b = c + Phương pháp chứng minh: Để c/m: A B  A – B 0 (đúng) xét A = B nào? Ghi nhớ: + (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc + Nếu a, b, c ba cạnh tam giác a + b > c  a + b – c > (tổng hai cạnh lớn cạnh thứ ba) * Bài tập mẫu: a b Bài 1: Cho a, b > Chứng minh:  2 b a a b Giải: Ta có:  2 (1)  a2 + b2 2ab  a2 – 2ab + b2 0  (a – b)2 0 (đúng) b a Vậy: (1)  a, b > Dấu “=” xãy  a = b Bài 2: Với a, b Chứng minh rằng: a2 + b2 + ab + 2(a + b) Giải: Ta có: a2 + b2 + ab + 2(a + b) (1)  a2 + b2 + – ab – 2a – 2b 0  2a2 + 2b2 + – 2ab – 4a – 4b 0  (a2 + b2 – 2ab) + (a2 – 4a + 4) + (b2 – 4b + 4) 0  (a – b)2 + (a – 2)2 + (b – 2)2 0 (đúng) Vậy (1) Dấu “=” xảy  a = b = 2 a2  b  ab Bài 3: Với a, b Chứng minh rằng:      a2  b a2  2ab  b2 a2  b2  ab   a2 + 2ab + b2 2a2 + 2b2  Giải: Ta có:  (1)     2  a – 2ab + b 0  (a – b) 0 (đúng) Vậy (1) Dấu “=” xảy  a = b a2  b2  c2 ab  ac  2bc Bài 4: Với a, b, c Chứng minh rằng: a a2  b2  c2 ab  ac  2bc (1)   b2  c2  ab  ac  2bc 0 Giải: Ta có: 4 a    b  c  0 (đúng) Vậy (1) Dấu “=” xảy  a – 2b = -2c 2  Bài 5: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng: a3 + b3 a2b + ab2 Giải: Ta có: a3 + b3 a2b + ab2 (1)  a3 + b3 – a2b – ab2 0  a3 – a2b + b3 – ab2 0  a2(a – b) – b2(a – b) 0  (a – b)(a2 – b2) 0  (a – b)2(a + b) 0 (đúng) Vậy (1) Dấu “=” xảy  a = b Bài 6: Với a, b, c Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca Giải: Ta có: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca (1)  a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca 0  2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ca 0  (a2 – 2ab + b2) + (b2 – 2bc + c2) + (c2 – 2ca + a2) 0  (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 0 (đúng) Vậy: (1) Dấu “=” xảy  a = b = c Bài 7: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác a) Chứng minh: (b – c)2 < a2 b) Từ suy ra: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Giải: a) a, b, c ba cạnh tam giác nên: * a + c > b  a + c – b > *a+b>c  a+b–c>0  Suy ra: (a + c – b)(a + b – c) > [a – (b – c)][a + (b – c)] >  a2 – (b – c)2 >  a2 > (b – c)2 (đpcm) b) Theo câu a) Ta có: a2 > (b – c)2 , chứng minh tương tự, ta được: b2 > (c – a)2 c2 > (a – b)2 Suy ra: a2 + b2 + c2 > (b – c)2 + (c – a)2 + (a – b)2  a2 + b2 + c2 > b2 – 2bc + c2 + c2 – 2ca + a2 + a2 – 2ab + b2  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) (đpcm) * Bài tập tự luyện: (a  b  c)2 2 Bài 1: Chứng minh với a, b, c, ta có: a  b  c  a b c  1 1   2     Bài 2: Cho a, b, c > Chứng minh: bc ca ab  a b c 2 Bài 3: Với x, y, z Chứng minh rằng: x + 4y + 3z2 + 14 > 2x + 12y + 6z Bài 4: Với a, b Chứng minh rằng: a2 + b2 + ab + a + b Bài 5: Với x, y, z Chứng minh rằng: 2xyz x2 + y2z2 Bài 6: Với x, y Chứng minh rằng: (x2 – y2)2 4xy(x – y)2 Bài 7: Với a, b Chứng minh rằng: + a2(1 + b2) 2a(1 + b) a b   a b Bài 8: Cho a > 0, b > Chứng minh rằng: b a Bài 9: Cho a, b Chứng minh rằng: a2 + 2b2 + 2ab + b + > Dùng bất đẳng thức Côsi: Với số a, b khơng âm, ta có: a + b 2 ab Dấu “=” xảy  a = b * Bài tập mẫu: Bài 1: Với a, b 0 Chứng minh rằng: (a + b)(ab + 1) 4ab Giải: Ta có: a + b 2 ab ab + 2 ab  a b  a=b=1 Suy ra: (a + b)(ab + 1) 4ab (đpcm) Dấu “=” xảy   ab 1 Bài 2: Chứng minh rằng: a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 + a2) 6abc Giải: Ta có: a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 + a2) = a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c2 + c2a2 = (a + b2c2) + (b2 + c2a2) + (c2 + a2b2) Theo BĐT Cơsi, ta có: a2 + b2c2 2 a2 b2 c2 = 2abc b2 + c2a2 2 a2 b2 c2 = 2abc c2 + a2b2 2 a2 b2 c2 = 2abc Suy ra: (a2 + b2c2) + (b2 + c2a2) + (c2 + a2b2) 6abc a2 b c2  2 Vậy: a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 + a2) 6abc (đpcm) Dấu “=” xảy   b a c  a = b = c =  c2 a2 b2   1 1 Bài 3: Với a, b, c > Chứng minh rằng: (a + b + c)       a b c Giải: Ta có: a + b + c 3 abc 1 1   3 a b c abc abc  1 1  1 1 9 9 hay (a + b + c)     9 Suy ra: (a + b + c)     9 abc  a b c  a b c a b c  Dấu “=” xảy   1  a = b = c =  a  b  c Bài 4: Với a, b, c 0 a + b + c = Chứng minh rằng: (1 – a)(1 – b)(1 – c) 8abc 1  a b  c 2 bc  Giải: Ta có: a + b + c =  1  b c  a 2 ca  1  c a  b 2 ab Suy ra: (1 – a)(1 – b)(1 – c) 8 a2 b2 c2 8abc (đpcm) Dấu “=” xảy  a = b = c Bài 5: Tìm giá trị lớn hàm số sau: f(x) = x(1 – x) với x 1 2 x 1 x     Giải: Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có: x(1 – x)          2 1 Suy ra: f(x) = x(1 – x)  Vậy: Hàm số f(x) đạt GTLN x = – x  2x =  x = 4 Bài 6: Tìm giá trị nhỏ hàm số f(x) = x + + với x > x 4 Giải: Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có: x + +  + x = + = x x 4 Suy ra: f(x) = x + + 8 Vậy: Hàm số f(x) đạt GTNN x =  x2 =  x = x x Bài 7: Tìm giá trị lớn hàm số f(x) =  2x  2x  đoạn [-2; 3] Giải: Ta có: f2(x) = – 2x + (6  2x)(2x  4) + 2x + = 10 + (6  2x)(2x  4) 10 + (6 – 2x + 2x + 4) = 20  f(x)  20 2 Vậy: Hàm số f(x) đạt GTLN – 2x = 2x +  4x =  x = * Bài tập tự luyện: Bài 1: Với a, b, c  Chứng minh: (a + b)(a + c)(b + c) 8abc a  b  c  Bài 2: Với a, b, c > Chứnh minh:          8 b  c  a  Bài 3: Với a, b, c 0 Chứng minh: (a + b + c)(ab + bc + ca) 9abc ab bc ca   6 Bài 4: Với a, b, c > Chứng minh: c a b ab a b bc b c ca c a a b   ,   ,   ; nhóm  2 ) (HD: c c c a a a b b b b a bc ca ab   a  b  c Bài 5: Với a, b, c > Chứng minh: a b c ab bc ab2 c  2 2b , cộng vế với vế  đpcm) c a ac Bài 6: Với a, b, c 0 Chứng minh: a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca 8a2b2c2 Bài 7: Cho a, b, c 0 abc = Chứng minh: (1 + a)(1 + b)(1 + c) 8 1 Bài 8: Với x, y > Chứng minh: (x  y)(  ) 4 x y a b a3c b3a b3c c3a c3b      6abc Bài 9: Với a, b, c > Chứng minh: c b c a b a (HD: Áp dụng BĐT Côsi cho số) Bài 10: Với a, b, c 0 Chứng minh: (a + b + c)(a2 + b2 + c2) 9abc    1 Bài 11: Với a, b, c > a + b + c = Chứnh minh:          64 b  c  a  abc b c bc (HD: + = + = + +   , sau nhân vế với vế  đpcm) a a a a a Bài 12: Tìm giá trị nhỏ của: x 5(1  x)  a) f(x) = x   với x > b) f(x) = với < x < x 1 x x c) f(x) = x  với x > d) f(x) =  với < x < x x 1 x a2 a   e) f(x) = e) f(x) = a 1 a2  Bài 13: Tìm giá trị lớn hàm số sau: a) f(x) = x3(8 – x3) đoạn [0; 2] b) f(x) = (14 – 7x)(7x + 21) đoạn [-3; 2]  3 b) f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) đoạn  ;   5 Bài 14: Tìm giá trị lớn hàm số sau: a) f(x) =  x  x  đoạn [1; 5] b) f(x) = 2x   10  2x đoạn [-4; 5] (HD: