– Gọi R bán kính mặt cầu thì: Diện tích mặt cầu: S 4 R Thể tích khối cầu: V R Cho mặt cầu S O; R mặt phẳng P , gọi d khoảng cách từ O đến P H hình chiếu vng góc O P O O O r P H H P P dR P S O; R S H ; r d R với P S O; R H r R2 d d O; P OH R r H d R P S O; R P tiếp xúc với S O, R OH P d O; P OH R Lưu ý: Khi d mặt phẳng P qua tâm O mặt cầu, mặt phẳng gọi mặt phẳng kính; giao tuyến mặt phẳng kính với mặt cầu đường trịn có tâm O bán kính R , đường trịn gọi đường trịn lớn mặt cầu “Nếu hôm chưa học đừng nên ngủ” Liên hệ: 1900866806 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt [1] Cho mặt cầu S O; R đường thẳng Gọi H hình chiếu vng góc O d OH khoảng cách từ O đến Khi đó: A O O H B d O H H d d dR dR S O; R A, B S O; R H H trung điểm AB gọi tiếp tuyến mặt d O; d OH R AB dR S O; R cầu S O; R hay tiếp xúc với S O; R H tiếp điểm d O; d OH R Ta có hai cách thơng thường (cách + 2) để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp sau: Bước 1: Dựng trục ngoại tiếp đa giác đáy Bước 2: Dựng mặt phẳng trung trực P cạnh bên Bước 3: Giao P tâm mặt cầu ngoại tiếp I hình chóp cho Bước 1: Dựng trục ngoại tiếp đa giác đáy Bước 2: Dựng trục ngoại tiếp d đa giác mặt bên tam giác tạo thành từ ba đỉnh Bước 3: Giao , d tâm mặt cầu ngoại tiếp I hình chóp cho Bước 1: Chỉ tất điểm nhìn đoạn thẳng góc vng Bước 2: Tâm mặt cầu ngoại tiếp điểm trung điểm đoạn thẳng, bán kính “Nếu hơm chưa học đừng nên ngủ” Liên hệ: 1900866806 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt [2] Tam giác cạnh a R a 3 R Hình vng cạnh a R Tam giác vuông cạnh huyền b b a 2 R Hình chữ nhật đường chéo d d a b c a 2R Định lí hàm sin: sin A sin B sin C abc abc R ; với S p p a p b p c p Tam giác ba cạnh a, b, c 4S Tam giác vuông cân cạnh a R – (Mã 102 - 2020 lần 2) Cho mặt cầu có bán kính r Diện tích mặt cầu cho A 25 B 500 C 100 D 100 Tính diện tích mặt cầu S biết chu vi đường trịn lớn 4 A S 32 B S 16 C S 64 D S 8 Thể tích khối cầu có đường kính 2a A 4 a B 4 a C a3 D 2 a Cho mặt cầu có diện tích 36 Thể tích khối cầu giới hạn mặt cầu cho A 27 B 108 C 81 D 36 Cho mặt cầu S mặt phẳng P , biết khoảng cách từ tâm mặt cầu S đến mặt phẳng P a Mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo giao tuyến đường trịn có chu vi 3 a Diện tích mặt cầu S bao nhiêu? A 12 a B 16 a C 4 a D 8 a “Nếu hôm chưa học đừng nên ngủ” Liên hệ: 1900866806 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt [3] Đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh a A 3a C 6a B a D 3a Cho hình lập phương ABCD ABCD có cạnh 3a Quay đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD quanh đường kính ta mặt cầu Tính diện tích mặt cầu A 27 a B 21 a C 24 a D 25 a Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC có cạnh a Tính diện tích S mặt cầu qua đỉnh hình lăng trụ A S 7 a B S 7a C S 49 a 144 D S 49a 114 S S R SC I Tâm I trung điểm SC I A C A D B B C (Mã 105 - 2017) Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vng C , AB vng góc với mặt phẳng BCD , AB 5a , BC 3a CD 4a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A R 5a B R 5a 3 C R 5a 2 D R 5a Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB , AD , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc SC mặt phẳng đáy 45 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD A R B R C R D R “Nếu hôm chưa học đừng nên ngủ” Liên hệ: 1900866806 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt [4] S Bước 1: Tìm bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy RÐ K I Bước 2: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: R RÐ2 SA C A O B Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA 2a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A 8 a B 16 a C 16 a D 16 a (Mã 101 - 2020 lần 1) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh 4a , SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng SBC mặt phẳng đáy 60 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A 172 a B 76 a C 84 a D S Bước 1: Tính độ dài đường cao hình chóp h SO Bước 2: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: R 172 a SA2 2SO Đặc biệt: A ABCD hình vng, hình chữ nhật, O giao hai đường B chéo ABC vng, O trung điểm cạnh huyền ABC đều, O trọng tâm, trực tâm “Nếu hơm chưa học đừng nên ngủ” Liên hệ: 1900866806 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt [5] D O C (Đề tham khảo 2017) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a, cạnh bên 5a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD 25a A R 3a B R 2a C R D R 2a Cho hình chóp tam giác S.ABC , có cạnh đáy 3a , góc cạnh bên mặt đáy 45 Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A 4 a 3 4 a3 B 4 a C D 4 a3 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB 3, AD cạnh bên hình chóp tạo với mặt đáy góc 60 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho A V 250 B V 125 C V 50 D V 500 27 S Bước 1: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng SAB ABC vng góc với nhau: SAB ABC AB Bước 2: Tính R1 , R2 bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB ABC O I C A AB Bước 3: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: R R R 2 J H B Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 3a , tam giác SBC vuông S mặt phẳng SBC vng góc với mặt phẳng ABC Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC A 12 a B 36 a C 18 a D 12 a Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho 21 a3 A V 54 21 a3 B V 18 3 a3 C V 81 3 a3 D V 27 “Nếu hơm chưa học đừng nên ngủ” Liên hệ: 1900866806 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt [6] Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: R x r với: r bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy x SO r ; đó: S đỉnh hình chóp, O tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy, h 2h chiều cao khối chóp Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B với AB BC , AD Cạnh bên SA SA vng góc với đáy Gọi E trung điểm AD Diện tích S mc mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE A Smc 5 B S mc 3 C S mc 11 Cho mặt cầu có bán kính r Diện tích mặt cầu cho 64 A 16 B 64 C D S mc 2 D 256 D 4 a D a Diện tích mặt cầu bán kính 2a A 4 a B 16 a Cho mặt cầu có diện tích A a B C 16a 8 a Bán kính mặt cầu a C a Thể tích khối cầu có đường kính 2a A 4 a B 4 a C a3 D 2 a Cho khối cầu có bán kính R Thể tích khối cầu cho A 4 B 8 C Thể tích khối cầu bán kính 3a A 4 a B 12 a 8 C 36 a D 4 D 36 a “Nếu hơm chưa học đừng nên ngủ” Liên hệ: 1900866806 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt [7] Cho mặt cầu có diện tích 36 Thể tích khổi cầu giới hạn mặt cầu cho A 27 B 108 C 81 D 36 Cho mặt cầu S mặt phẳng P , biết khoảng cách từ tâm mặt cầu S đến mặt phẳng P a Mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo giao tuyến đường trịn có chu vi 3 a Diện tích mặt cầu S bao nhiêu? A 12 a B 16 a C 4 a D 8 a Cho hình lập phương ABCD ABCD có cạnh 3a Quay đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD quanh đường kính ta mặt cầu Tính diện tích mặt cầu A 27 a B 21 a C 24 a D 25 a Cho hình lập phương có cạnh Thể tích mặt cầu qua đỉnh hình lập phương A 2 B 3 C 3 D 3 Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCD có AB a , AD AA 2a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp cho A 9 a B 3 a C 9 a D 3 a Tính thể tích V cầu khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a A V a3 B V 4 a C V a3 D V a3 Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có chiều cao 4, đáy ABC tam giác cân A với 120 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ AB AC 2; BAC A 64 B 16 C 32 D 32 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật với AB 3a , BC 4a , SA 12a SA vng góc với đáy Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD 13a 5a 17a A R B R 6a C R D R 2 Cho hình chóp ABCD có đáy hình thang vng A B Biết SA vng góc với ABCD , AB BC a , AD 2a, SA a Gọi E trung điểm AD Bán kính mặt cầu qua điểm S , A, B , C , E A a B a 30 C a D a Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA a vng góc với đáy ABCD Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD A 8 a B a2 C 2 a D 2a “Nếu hôm chưa học đừng nên ngủ” Liên hệ: 1900866806 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt [8]