5 bài giảng xác suất thống kê của đại học kinh tế quốc dân

5 bài giảng xác suất thống kê của đại học kinh tế quốc dânTổng hợp một số đề thi và bài giảng môn xác suất thống kê của đại học kinh tế quốc dân

5 BÀI GIẢNG TOÁN XÁC SUẤT ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN

MỤC LỤC

Bài giảng 1: Biến cố ngẫu nhiên, xác suất cổ điển và một số dạng bài tập

Bài giảng 2: Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

Bài giảng 3: Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

Bài giảng 4: Biến ngẫu nhiên, hàm các biến ngẫu nhiên và các định lý giới hạn Bài giảng 5: Phân phối chuẩn và một số bài tập minh họa

Một số đề thi xác suất thống kê của Đại học kinh tế quốc dân

Chương I: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

§ 1 Phép thử và biến cố

1 Định nghĩa:

Trước một trận bóng đá, ta thường thấy trọng tài tung một đồng xu sau đó để cho đội trưởng hai đội quan sát xem xuất hiện mặt sấp hay mặt ngửa Ở đây, trọng tài đã thực hiện một phép thử đó là : tung đồng xu

Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản nào đó khi tiến hành một thí nghiệm, đo lường hay quan sát một hiện tượng gọi là phép thử

Ví dụ 1: + Xem viên đạn có trúng bia hay không người ta phải thực hiện một phép thử : bắn viên đạn

đó vào bia

+ Quan sát số chấm trên một con xúc xắc: Gieo một con xúc xắc

Khi bắn một viên đạn vào bia có thể xảy ra các hiện tượng: viên đạn trúng bia, viên đạn trượt bia Hiện tượng có thể xảy ra khi tung một đồng xu ?

Hiện tượng có thể xảy ra hoặc không xảy ra trong kết quả của một phép thử gọi là biến cố

-Biến cố xuất hiện mặt 5 chấm

-Biến cố xuất hiện mặt 8 chấm

-Biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn

Ghi chú: Một biến cố chỉ có thể xảy ra khi một phép thử gắn liền với nó được thực hiện

2 Phân loại biến cố

Trong thực tế có thể xảy ra các loại biến cố sau:

+ Biến cố chắc chắn: Biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện một phép thử, kí hiệu: U

+ Biến cố không thể có: Biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện một phép thử, kí hiệu: V

+ Biến cố ngẫu nhiên: Biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện một phép thử, thường kí hiệu: A, B, C A1, B2…

Ví dụ 3: Gieo một con xúc xắc, xét các biến cố sau: loại biến cố?

a.Biến cố “được mặt có số chấm 6”: B/c chắc chắn: U

b.Biến cố “được mặt 7 chấm”: B/c không thể có: V

c Biến cố “được mặt 5 chấm”: B/c ngẫu nhiên A

d Biến cố “Được mặt chấm chẵn” B/c ngẫu nhiên B

Nhận xét: Việc các biến cố trên xảy ra hay không xảy ra là không thể đoán trước được

Biến cố nào dễ xảy ra hơn, phải chăng khả năng xảy ra biến cố B là cao hơn A? Để so sánh, người ta biểu thị khả năng xảy ra các biến cố bởi một con số

§2 Xác suất của biến cố

Khả năng xảy ra của một biến cố được gọi là xác suất của biến cố Xác suất của biến cố A được kí hiệu là P(A)

Xác suất là một con số xác định phụ thuộc vào những điều kiện xảy ra của phép thử chứ không phụ thuộc vào ý muốn chủ quan của con người

1 Định nghĩa cổ điển về xác suất

Trước hết ta xét ví dụ sau:

Trong một thùng kín đựng 10 quả cầu giống nhau về mọi mặt, chỉ khác nhau về màu sắc, trong đó có

4 quả màu trắng, 6 quả màu đen Thực hiện phép thử: rút hú hoạ một quả Hỏi xác suất rút được quả trắng?

Vì trong thùng có 10 quả, nên có thể xảy ra 10 kết cục, những kết cục này thoả mãn 2 điều kiện: + Tính duy nhất: Kết quả phét thử chỉ xảy ra 1 trong các kết cục trên

+ Tính đồng khả năng: Khả năng rút được mỗi quả là như nhau

Nếu gọi A là biến cố rút ra được quả cầu trắng, ta thấy có 4 khả năng mà nếu xảy ra sẽ xảy ra A Tự nhiên, người ta lấy tỷ số 4/10 là xác suất của biến cố A

Định nghĩa: Giả sử trong 1 phép thử có n kết cục duy nhất đồng khả năng, trong đó có m kết cục thuận lợi cho biến cố A Ta gọi tỷ số m/n là xác suất của biến cố A Kí hiệu: P(A)=m/n

Tính chất: a 0  P ( A )  1

b.P(U)=1, P(V)=0

Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất Tính xác suất để

a Xuất hiện mặt 5 chấm

a Lấy được 3 quả cầu đen

b Lấy được 2 quả cầu đen và 1 quả cầu trắng

Giải:

Số kết cục đồng khả năng: C103

a Gọi A là biến cố “ lấy được 3 quả cầu đen”

Số kết cục thuận lợi cho A: C63

6

1 )

10

3 6





C

C A P

b Gọi B là biến cố “lấy được 2 quả cầu đen và 1 quả cầu trắng”

Số kết cục thuận lợi cho B: C62.C41

2

1 )

10

1 4 2 6





C

C C B P

Ví dụ 3: Trong một nhóm N sản phẩm cùng loại có M sản phẩm đạt tiêu chuẩn, N-M sản phẩm không đạt tiêu chuẩn Rút ngẫu nhiên n sản phẩm Tính xác suất sao cho trong số sản phẩm được rút ra có m sản phẩm đạt tiêu chuẩn

Giải:

Gọi A là biến cố “trong n sản phẩm được rút ra có m sản phẩm đạt tiêu chuẩn”

Số kết cục đồng khả năng: CnN

Do có thể lấy m sản phẩm đạt tiêu chuẩn từ M sản phẩm theo CM cách, còn n-m sản phẩm không đạt tiêu chuẩn từ N-M sản phẩm theo CnN--mMcách Nên số kết cục thuận lợi cho A là: CmMCnN--mM

n

N

m - n M - N m M

C

C C P(A) 

Nhận xét: Định nghĩa cổ điển về xác suất có ưu điểm là dễ vận dụng, tuy nhiên định nghĩa này chỉ áp

dụng được với các phép thử có hữu hạn kết cục đồng khả năng xảy ra Trong nhiều bài toán thực tế, việc tính hết các kết cục của một phép thử không dễ dàng, chẳng hạn: phép thử bắn một viên đạn vào bia thì

2 kết cục trúng bia và trượt bia không thể xem là đồng khả năng được Để khắc phục hạn chế đó người

ta đưa ra định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê

2 Định nghĩa thống kê về xác suất :

Giả sử tiến hành n phép thử cùng loại, trong mỗi phép thử có thể xuất hiện biến cố A, gọi k là số phếp thử xuất hiện biến cố A Khi đó tỷ số k/n được gọi là tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử

đã cho, kí hiệu f(A)=k/n

Ví dụ 4: Một người bắn 100 viên đạn vào bia, thấy có 70 viên trúng bia Như vậy tần suất bắn trúng bia của người đó là 70/100=0,7

Người ta nhận thấy nếu tiến hành các phép thử trong những điều kiện như nhau và số phép thử khá lớn thì giá trị tần suất thể hiện tính ổn định Nghĩa là khi n khá lớn thì tần suất biến thiên rất ít xung quanh một hằng số nào đó

Ví dụ 5: Nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng xu, người ta thu được bảng sau:

Xác suất của biến cố là giá trị số ổn định của tần suất khi số phép thử tăng lên vô hạn

Trong thực tế, nếu số phép thử đủ lớn, ta có thể lấy: f(A)P(A)

Ghi chú: + Phương pháp xác định xác suất theo quan điểm thống kê có phạm vi ứng dụng hết sức rộng

rãi: Tìm ra quy luật diễn biến của thời tiêt, tỷ lệ phế phẩm, lập kích thước quần áo may sẵn…

+ Tuy nhiên, có một số hạn chế như: phải tiến hành số phép thử đủ lớn, xác suất được tìm ra khi đã thực hiện phép thử…

3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học:

Ví dụ 6: Giả sử châm ngẫu nhiên một mũi kim vào hình chữ nhật U-chiều dài 5cm, chiều rộng 4cm Gọi

A là biến cố “mũi kim rơi vào hình tròn C bán kính 1cm” P(A)=?

Định nghĩa: Xét một phép thử có vô hạn kết cục đồng khả năng Giả sử ta có thể biểu thị tập hợp mọi kết cục đồng khả năng bởi một miền hình học U, những kết cục thích hợp cho biến cố A bởi các điểm thuộc miền con C Khi đó P(A)= Kích thước miền C

Kích thước miền U

Trở lại ví dụ, ta có P(A) = Diện tích hình tròn C = 12.3,14

Diện tích hình chữ nhật U 4.5

4 Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn

- Nguyên lý xác suất nhỏ: Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ thì thực tế có thể cho rằng trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra

-Nguyên lý xác suất lớn: Nếu biến cố có xác suất gần bằng 1 thì thực tế có thể cho rằng biến cố đó chắc chắn xảy ra

Chú ý: Việc quy định một mức xác suất đủ coi là nhỏ hay lớn tuỳ thuộc vào bài toán cụ thể

Bài tập…

U

C

§3 Các định lý và công thức xác suất

Ở các mục trước chúng ta đã nghiên cứu các phương pháp tính xác suất của các biến cố bằng định nghĩa Tuy nhiên những cách tính trực tiếp này không phải lúc nào cũng tiện lợi và có thể dùng ngay được

Khi cần tính xác suất của một biến cố A khá phức tạp, thông thường chúng ta phải phân tích A thành các biến cố đơn giản B, C, D…(dễ tính xác suất ), sau đó kết hợp các xác suất trên để tính P(A)

Để kết hợp các xác suất, người ta dùng các định lý xác suất

I Định lý nhân xác suất:

1.1 Định nghĩa: (Tích của 2 biến cố )

Một biến cố A được gọi là tích của hai biến cố B và C nếu A xảy ra khi và chỉ khi B và C cùng xảy ra

Kí hiệu: A= B.C (A=BC)

1.2 Định nghĩa: (tích của n biến cố )

Biến cố A được gọi là tích của n biến cố A1, A2,….An nếu A xảy ra khi và chỉ khi cả n biến cố trên đồng

thời xảy ra, kí hiệu 





n i i

A A

1

1.3 Xác suất có điều kiện:

Xác suất của biến cố A được tính với giả thiết biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của A với giả thiết B, kí hiệu P(A/B)

Ví dụ 7: Trong hộp có 5 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 quả cầu (không hoàn lại) Tìm xác suất để lần thứ 2 lấy được quả cầu trắng nếu biết:

a Lần 1 đã lấy được cầu trắng

b Lần 1 đã lấy được cầu đen

Giải: Gọi A là biến cố “lần 2 lấy được cầu trắng”

B là biến cố “lần 2 lấy được cầu đen”

Hai biến cố A và B không độc lập gọi là phụ thuộc nhau

Ví dụ 8: Trong ví dụ trên nếu giả thiết lấy lần lượt 2 sản phẩm có hoàn lại thì A và B độc lập

Với điều kiện A đã xảy ra thì số kết cục duy nhất đồng khả năng của phép thử đối với biến cố B là m1, trong đó có k kết cục thuận lợi cho biến cố B, hay P(B/A)=k/m1

Ta có: P(AB)=k/n=(m1/n).(k/m1)=P(A).P(B/A)

Tương tự P(AB)= P(B).P(A/B)

Hệ quả 1: Nếu P(B)>0 thì

) (

) ( ) / (

B P

AB P B A

Nếu P(A)>0 thì

) (

) ( ) / (

A P

AB P A B

Hệ quả 2: A và B là 2 biến cố độc lập khi và chỉ khi P(AB)=P(A).P(B)

Ta cũng có định lý nhân cho tích n biến cố

Định lý: Nếu P(A1A2….An-1)>0 thì

P(A1A2….An)=P(A1).P(A2/A1)…P(An/A1…An-1)

v à nếu các biến cố A1 , A2….An-1 độc lập toàn phần thì

P(A1A2….An)=P(A1).P(A2)…P(An)

Ví dụ 1: Một hộp đựng 5 cầu trắng, 3 đen Lấy nn lần lượt 2 quả cầu Tính xác suất để lần thứ nhất lấy được cầu trắng, lần thứ 2 lấy được cầu đen

Giải: Gọi A là biến cố “lần 1 lấy được cầu trắng”

B là biến cố “lần 2 lấy được cầu đen”

Giải: Gọi A là biến cố “người đó bấm đúng số máy”

B là biến cố “người đó bấm đúng số hàng trăm”

C là biến cố “người đó bấm đúng số hàng chục”

D là biến cố “người đó bấm đúng số hàng đơn vị”

Khi đó A=BCD, P(A)=P(BCD)

a Do B, C, D độc lập nên P(A)=P(B)P(C)P(D)=1/10.1/10.1/10=1/1000

b.B, C, D không độc lập P(A)=P(B)P(C/B)P(D/BC)=1/10.1/9.1/8=1/720

II Định lý cộng xác suất

2.1.Biến cố tổng:

Định nghĩa 1: Biến cố A được gọi là tổng của 2 biến cố B và C nếu A chỉ xảy ra khi ít nhất một trong 2

biến cố B hoặc C xảy ra K/h: A=B+C (hoặc A=BC)

Ví dụ 3: Hai người cùng bắn vào một bia, B là biến cố “người thứ nhất bắn trúng”

C là biến cố “xuất hiện mặt 2 chấm”

A là biến cố “được nhiều nhất mặt 2 chấm” A=B + C

Định nghĩa 2: Biến cố A được gọi là tổng của n biến cố A1 , A2….An nếu A xảy ra khi ít nhất một trong

n biến cố ấy xảy ra

K/h: A= A1 + A2….+An

2.2.Tính xung khắc của các biến cố :

Định nghĩa 3: Hai biến cố B, C được gọi là xung khắc nếu chúng không thể đồng thời xảy ra khi thực

hiện phép thử (BC=V)

Định nghĩa 4: Các biến cố A1 , A2….An gọi là đôi một xung khắc (xung khắc từng đôi) nếu 2 biến cố bất kì trong chúng xung khắc.( AiAj=V)

Ví dụ 5: 2 biến cố trong ví dụ 1 không xung khắc

2 biến cố trong ví dụ 2 xung khắc

Định nghĩa 5: (biến cố đối lập)

Biến cố đối lập của biến cố A, kí hiệu A, là biến cố thoả mãn A+A=U, AA=V

Nhận xét: A và A xung khắc

Ví dụ 6: A là biến cố xuất hiện mặt chấm chẵn

B là biến cố xuất hiện mặt chấm lẻ

+ Ai là biến cố “xuất hiện mặt I chấm”

Các biến cố A1, A2,A3…A6 lập thành một hệ đầy đủ

+ A là biến cố “xuất hiện mặt chấm chẵn”

B là biến cố “xuất hiện mặt chấm lẻ”

A, B lập thành một hệ đầy đủ các biến cố

*Một hộp đựng 3 bi xanh, 4 bi đỏ, 5 bi vàng Lấy ngẫu nhiên 1 viên

H1 là biến cố “lấy đựoc bi xanh”

H2 là biến cố “lấy đựoc bi đỏ”

H3 là biến cố “lấy đựoc bi vàng”

H1, H2, H3 lập thành một hệ đầy đủ các biến cố

Định lý ( cộng xác suất):

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Chứng minh:

Giả sử có n kết cục đồng khả năng có thể xảy ra trong phép thử

Số kết cục thuận lợi cho A là m1, số kết cục thuận lợi cho B là m2 Do A và B không xung khắc, nên có

k kết cục thuận lợi cho cả AB xảy ra Kết cục thuận lợi cho ít nhất một trong 2 biến cố A, B xảy ra là m1+m2-k (đpcm)

cách 2: Chứng minh bằng mô tả biểu đồ Ven

Hệ quả 1: Nếu A và B là 2 biến cố xung khắc thì P(A+B)=P(A)+P(B)

Hệ quả 2: Xác suất của tổng n biến cố không xung khắc:

)

( ) 1 (

) (

) ( )

( )

1 1

n n

k j i

k j i j

i

j i n

i

i n

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( A1 A2 A3 P A1 P A2 P A3 P A1A2 P A1A3 P A2A3 P A1A2A3

i n

A

P

1 1

) ( )

(

Ví dụ 9: Xác suất để động cơ thứ nhất của máy bay bị trúng đạn là 0,2; để động cơ thứ 2 bị trúng đạn là 0,3; để phi công bị trúng đạn là 0,1 Tìm xác suất để máy bay bị rơi, biết rằng máy bay bị rơi khi hoặc cả hai động cơ bị trúng đạn hoặc phi công bị trúng đạn

Giải:

Gọi Ai là biến cố “động cơ thứ i bị trúng đạn”, i=1,2

A3 là biến cố “phi công bị trúng đạn”

A là biến cố “máy bay rơi”

A=A1A2+A3, P(A)=P(A1)P(A2)+P(A3)-P(A1)P(A2)P(A3)

=0,2.0,3+0,1-0,2.0,3.0,1=0,154

Ví dụ 10: Một sản phẩm xuất xưởng phải qua 3 lần kiểm tra Xác suất để một phế phẩm bị loại ở lần kiểm tra đầu là 0,8; nếu không bị loại thì xác suất nó bị loại ở lần thứ 2 là 0,9; nếu lần thứ 2 nó cũng không bị loại thì xác suất để nó bị loại ở lần kiểm tra thứ 3 là 0,95 Tính xác suất để một sản phẩm bị loại qua 3 lần kiểm tra

Giải:

Gọi Ai là biến cố “phế phẩm bị loại ở lần kiểm tra i” i=1,2,3 A là biến cố “phế phẩm bị loại qua 3 lần kiểm tra” Khi đó A là tổng của ba biến cố xung khắc A  A1  A1A2  A1A2A3

) / ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) ( ) (

) ( )

A2 là biến cố “người thứ hai đỗ”

Suy ra: Biến cố “cả hai người đỗ”:A1A2

Biến cố ít nhất một người không đỗ:A 1 A2 hoặc A1A2

Biến cố cả hai người không đỗ:A 1 A2 hoặc A1A2

Ta có công thức De Morgan:

n

n A A A A

Nếu A1, A2,…An không xung khắc, độc lập thì P(A i)1P(A i)

Ví dụ 12: Hai người bắn một viên đạn vào bia Xác suất bắn trúng lần lượt là 0,8; 0,7 Tìm xác suất để bia bị bắn

Giải:

Gọi A1 là biến cố “người thứ nhất bắn trúng bia”

A2 là biến cố “người thứ hai bắn trúng bia”

A là biến cố “bia bị bắn”

A=A1+A2

Cách 1: A A1A2  A1A2 A1A2 -

)()()()()()

a Xác suất trúng của mỗi viên là 0,7;0,8;0,9

b Xác suất trúng của mỗi viên đều là 0,7

+ Ở mỗi phép thử chỉ phân làm 2 kết quả A và A

+Xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi phép thử P(A) = p (P(A)=1- p = q)

Lược đồ trên gọi là lược đồ Bernoullli với 2 tham số n,p

3.2 Công thức Bernoulli:

Xác suất để biến cố A xảy ra x lần trong n phép thử trên, được kí hiệu và tính bởi công thức:

x n x

x n

Ví dụ 15: Một người bắn 3 viên đạn độc lập với nhau vào một bia, xác suất mỗi viên trúng là 0,7 Tính xác suất để

a Có một viên trượt bia

b Bia bị trúng đạn

Giải: Gọi A là biến cố “mỗi viên trúng bia”->P(A)=0,7

a Xácsuấtđể một viên trượt :1 ( 3 ) 1 3( 0 , 7 )3( 1 0 , 7 )3 3 0 , 657

3

C P

b Xác suất để bia bị trúng đạn:

973 , 0 ) 7 , 0 ( 3

, 0 ) 7 , 0 ( )

3 , 0 ).(

7 , 0 ( ) 3 ( ) 2 ( )

1

P

IV.Công thức xác suất toàn phần-Công thức Bayes:

4.1.Công thức xác suất toàn phần:

Giả sử biến cố A có thể xảy ra với một trong các biến cố Hi (i=1 n), trong đó các biến cố H1, H2, Hn lập thành một hệ đầy đủ các biến cố

Khi đó ta có thể phân tích biến cố A như sau:

A=AH1+AH2+…AHn

P(A)=P(H1)P(A/H1)+…+P(Hn)P(A/Hn)





n i

i

i P A H H

P A

P

1

)/()()

( -gọi là công thức xác suất toàn phần

Ví dụ 16:

Có 5 hộp bóng đèn, trong đó có 3 hộp loại 1, mỗi hộp có 9 bóng tốt, 1 bóng xấu; 2 hộp loại 2, mỗi hộp

có 4 bóng tốt, 2 bóng xấu Lấy ngẫu nhiên một hộp, từ đó rút ra một bóng Tính xác suất để bóng lấy ra

là xấu

Giải:

Gọi A là biến cố “bóng lấy ra là xấu”

H1 là bc “lấy được hộp loại 1”

H2 là bc “lấy được hộp loại 2”

Ta có : P(A).P(Hi/A)=P(Hi).P(A/Hi)

->

) (

) / ( ).

( ) / (

A P

H A P H P A H

Công thức trên gọi là công thức Bayes

Các xác suất P(Hi/A) gọi là các xác suất hậu nghiệm

Các xác suất P(Hi) gọi là các xác suất tiên nghiệm

Ví dụ 17: Với các giả thiết cho trong ví dụ 1.Giả sử bóng lấy ra là xấu Tìm xác suất để bóng đó thuộc loại 1

150 / 29

5 / 3 10 / 1 )

(

) ( ).

/ ( ) /

A P

H P H A P A H

P

Ví dụ 18:

Hộp 1 đựng 3T, 7Đ; Hộp 2 đựng 7T, 3Đ; Hộp 3 đựng 10Đ Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên

1 quả cầu

a Tính xác suất để được quả cầu Đ

b Nếu quả cầu lấy ra là Đ, xác suất để nó thuộc mỗi hộp là bao nhiêu

c Nếu quả cầu lấy ra là Đ, người ta trả nó về hộp vừa lấy, sau đó lại lấy ngẫu nhiên ra 1 quả cầu Tính xác suất để quả cầu này là Đ

Giải: Gọi A là biến cố “quả cầu lấy ra Đ”

H1 là biến cố hộp được lấy ra là hộp 1

H2 là biến cố hộp được lấy ra là hộp 2

H3 là biến cố hộp được lấy ra là hộp 3

(

) / ( ) ( ) /

A P

H A P H P A H

P

20

3 )

(

) / ( ) ( ) /

A P

H A P H P A H

P

20

10 )

(

) / ( ) ( ) /

A P

H A P H P A H

P

b Đặt P(Hi/A)=P(H’i) ,i=1,2,3

Gọi B là biến cố quả lấy được lần thứ 2 là Đ

' '

( B P H1 P B H1 P H2 P B H2 P H 3 P B H3

 7 / 20 7 / 10  3 / 20 3 / 10  10 / 20 10 / 10  158 / 200

Ví dụ 19: Tỷ lệ công nhân nghiện thuốc lá ở một nhà máy là 30%, biết rằng tỷ lệ người viêm họng trong

số công nhân nghiện thuốc là 60%, còn trong số người không nghiện thuốc là 40%

a Chọn ngẫu nhiên một công nhân, thấy người này bị viêm họng Tính xác suất để công nhân

6 , 0 3 , 0 )

(

) / ( ).

( ) /

A P

B A P B P A B

P

b Xác suất để công nhân đó nghiện thuốc nếu không bị viêm họng

54 , 0

4 , 0 3 , 0 )

(

) / ( ).

( ) /

A P

B A P B P A B

P

Chương 2: Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

§1 Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên 1.Định nghĩa biến ngẫu nhiên:

Ví dụ 1: Thực hiện phép thử: gieo một con xúc xắc Gọi X là số chấm xuất hiện Rõ ràng ta chưa biết

X sẽ nhận giá trị nào trong các giá trị có thể có là X=1 chấm, 2 chấm, ….6 chấm

Ví dụ 2: Bắn một viên đạn vào bia Gọi Y là khoảng cách từ tâm bia đến điểm chạm bia của viên đạn, thì Y có thể nhận các giá trị trong khoảng [  0 , )

§2 Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa: Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là sự tương ứng giữa các giá trị có thể

có của nó và các xác suất tương ứng với các giá trị đó

1 Bảng phân phối xác suất:

Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên là ại lượng mà trong kết quả của phép thử, nó sẽ nhận một và chỉ một trong các kết quả có thể có của nó (tùy thuộc vào sự tác động của các nhân tố ngẫu nhiên)

Các biến ngẫu nhiên thường được kí hiệu X, Y , X1, X2, còn các giá trị có thể có của chúng được kí hiệu x1, x2, y1, y2,…

Chú ý: +/ Gọi X là biến ngẫu nhiên vì trước khi tiến hành phép thử ta chưa biết X sẽ nhận giá trị nào trong các giá trị có thể có của nó x1, x2,

+/ Khi biến ngẫu nhiên ngẫu nhiên X nhận các giá trị cụ thể x1,x2,…xn thì các biến cố (X=x1),

…(X=xn) tạo nên một hệ đầy đủ các biến cố trong phép thử

2 Phân loại biến ngẫu nhiên

a Biến ngẫu nhiên X gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể có của nó lập nên một tập hữu hạn hoặc đếm được

b Biến ngẫu nhiên gọi là liên tục nếu các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng trên trục số

Ví dụ 3: X trong Vd1 là biến ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị 1,2,3,4,5,6 Z trong Vd 4 là biến ngẫu nhiên liên tục

Ví dụ 4: Z là số người vào mua hàng trong một siêu thị, Z là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị 1,2,3…

Bảng phân phối xác suất chỉ dùng để mô tả quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc.Giả sử biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị x1,x2….xi, (xi I), pi=P(X=xi) là xác suất của biến cố X nhận giá trị xi

Quy luật này được thể hiện dưới dạng bảng sau

-Hàng trên liệt kê các giá trị có thể có của X

-Hàng dưới là các xác suất tương ứng

Chú ý: Các pi phải thỏa mãn điều kiện

1

i i

i I

p p

Ví dụ 1: X là sô chấm xuất hiện khi gieo một con xúc xắc

Ta có bảng phân phối xác suất

Ví dụ 2: Một hộp có 8 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu Từ hộp lấy ngẫu nhiên 2 sp Lập bảng phân phối xác suất của số sp xấu thu được

Gọi Y là số sản phẩm xấu được lấy ra

Ta có bảng phân phối xác suất của Y

Ví dụ 3: Một nguời được giao 3 viên đạn và bắn vào bia đến khi nào trúng thì ngừng bắn Biết các lần

bắn độc lập và xác suất trúng mỗi lần là 0,7 Tìm quy luật phân phối xác suất của số đạn phải bắn Gọi X là số đạn phải bắn

Ta có P(X=1)=0,7; P(X=2)=0,3.0,7=0,21; P(X=3)=0,32

Ví dụ 4: Một người phải tiến hành thí nghiệm cho tới khi nào thành công thì dừng Lập bảng phân phôi xác suất sô lần phải tiến hành Biết các lần tiến hành độc lập với nhau và xác suất thành công mỗi lần là p (0<p<1)

Giải: Gọi X là “số lần phải tiến hành”

Ta thấy X là biến ngẫu nhiên nhận các giá trị trong khoảng [0;30]

Do đó không có bảng phân phối xác suất của X, tuy nhiên ta có thể so sánh xác suất để X nhận các giá trị nhỏ hơn 5 và xác suất để X nhận các giá trị nhỏ hơn 10 ?

II Hàm phân phối xác suất :

1.Định nghĩa: Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, là xác suất để X nhận giá trị nhỏ hơn x, với x là số thực bất kì

Kí hiệu F(x)=P(X<x)

Chú ý: Định nghĩa trên tổng quát cho cả trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc Khi đó hàm phân

X P x

45/

44

10

45/

28

00

x khi

x khi

x khi

x khi

2 Các tính chất của hàm phân phối xác suất :

x

Tính chất 2: Hàm phân phối xác suất là hàm không giảm, tức là với mọi x2 > x1 thì F ( x2)  F ( x1)

Chứng minh: Phân tích biến cố (X < x2) thành 2 biến cố xung khắc là (X < x1) và

) ( x1  X  x2

Cho x  0, Ta có lim ( ) lim ( ) ( )

0 0

x F x x F x

x X x P

x x

) (

) (

)

III Hàm mật độ xác suất :

Như ta đã biết, hàm phân phối xác suất không đặc trưng được xác suất để một biến ngẫu nhiên

Tính chất 1: f ( x )  0, (do tính không giảm của hàm phân phối)

Tính chất 2:    

b a

dx x f b X a

x

dx x f x

X P

x X P x

Về mặt hình học, giá trị của hàm phân phối xác suất tại điểm a bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, đường f(x) bên trái đường x=a

0 ) (

dx x f

x f

Ví dụ 1: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất

0

a Xác định C

b Tìm hàm phân phối xác suất F(x)

c Tính P ( 3  X  5 )theo 2 cách (dùng hàm phân phối, hàm mật độ)

1 1

Chú ý: Để hàm số f(x) có thể là hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục nào đó thì nó

phải thỏa mãn 2 điều kiện sau:

C

f x ( ) x (2;6)

(2;6) x

4

1 )

(x f

Ta có: Khi x 2, F(x)= 0

Khi 2<x 6, F(x)=

2

1 4 4

1 )

( )

t f dt t f

4

1 )

( )

( )

t f dt t f dt t f

6 2

2

1 4

2 0

) (

x khi

x khi x

x khi dt

t f

(

5

3 5

3 0

2

x khi

x khi Ax

) (

khi x

F x

3 0

9 1

0 0

)

x khi

x khi x

x khi x

3 0

9 2

0 0

) (

x khi

x khi x

x khi x

f

b Xác suất để một khách hàng phải chờ không quá 2 phút: P(X2)=F(2)=

9

4 2 9

1 2



xác suất để trong 3 khách hàng có 2 người phải chờ không quá 2 phút là

329 , 0 9

5 ) 9

4 (

§3 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Mặc dù quy luật phân phối xác suất cho ta nắm được toàn bộ thông tin về biến ngẫu nhiên, tuy nhiên, trong thực tế, ta lại thường quan tâm đến những thông tin cô đọng phản ánh tổng hợp những đặc trưng quan trọng nhất của biến ngẫu nhiên Những thông tin cô đọng phản ánh từng phần về biến ngẫu nhiên gọi là các tham số đặc trưng

ip x X

E ( )Nếu X chỉ nhận hữu hạn giá trị x1,x2,….xn với xác suất tương ứng p1,p2,….pi thì

Ví dụ 1: X là số chấm xuất hiện khi tung con xúc xắc, X có bảng phân phối xác suất

21 6

1 6 6

1 5 6

1 4 6

1 3 6

1 2 6

) 1 , 0 ( 2 6 6

) (

2

x

x x

x x

Chú ý: + Kì vọng toán của biến ngẫu nhiên là một con số xác định

+ Đơn vị của kì vọng trùng với đơn vị của X

E(CX)=Cx1p1+Cx2p2+….+Cxnpn=CE(X) TC3: Kì vọng của tổng hai biến ngẫu nhiên bằng tổng các kì vọng của các biến ngẫu nhiên thành phần: E(X+Y)=E(X)+E(Y)

Ghi chú: Tổng của hai biến ngẫu nhiên X, Y là biến ngẫu nhiên X+Y mà các giá trị có thể có của nó là tổng của mỗi giá trị có thể có của X và mỗi giá trị có thể có của Y

Ta sẽ chứng minh tính chất trong trường hợp X, Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc

Giả sử X, Y có bảng phân phối xác suất như sau:

Ta có bảng phân phối xác suất của X+Y

Trong đó pij = P(X+Y=xi+yj)

i m j ij i n

i m j

ij j

x Y

i m j ij

n i

i

X E





n i i

X n

E

1

)

1 (  nếu E(Xi)=  i

) ( ) ( )

E

j j i i

i j

j i j

i n

i

X E

TC5: +) Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối P(X= xi) = pi 





n i

i

i p x X

E

1

) ( ))

3 Bản chất và ý nghĩa của kỳ vọng toán:

+/ Kì vọng toán của biến ngẫu nhiên gần bằng trung bình số học các giá trị quan sát của biến ngẫu nhiên (bằng trung bình theo nghĩa xác suất) Nó phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

XY x1y1 x1y2 … xnym

P p1q1 p1q2 … pnqm

Định nghĩa: (Hai biến ngẫu nhiên độc lập)

-Hai biến ngẫu nhiên X,Y gọi là độc lập với nhau nếu quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên này không phụ thuộc gì vào việc biến ngẫu nhiên kia nhận giá trị bao nhiêu

-Các biến ngẫu nhiên gọi là độc lập lẫn nhau nếu các quy luật phân phối của một số bất kì các biến ngẫu nhiên nào đó không phụ thuộc gì vào việc các biến ngẫu nhiên còn lại nhận giá trị bằng bao nhiêu

TC4:Nếu X, Y độc lập thì E(XY)=E(X).E(Y)

Thật vậy:

+/ Kì vọng toán có cùng đơn vị với biến ngẫu nhiên

Ví dụ 1: Cho phân phối xác suất của số máy hỏng trong một ca sản xuất

a Tính số máy trung bình trong một ca sản xuất

b Tính E[X-E(X)]2

c Mỗi máy hỏng phải sửa chữa hết 3 triệu đồng Tính số tiền sửa máy trung bình trong một ca sản xuất

Giải:

a Số máy hỏng trung bình E(X)= 0.0,72+1.0,26+2.0,02=0.3

c Gọi Y là chi phí phải chữa: Y=3X, E(Y) =E(3X)=3E(X)=0.9( triệu)

Ví dụ 2:Chứng minh rằng E(X-E(X))=0

II Trung vị:

Là giá trị nằm chính giữa tập hợp các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên, kí hiệu md

- Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì xi sẽ là trung vị nếu F(xi)0,5<F(xi+1)

- Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì 

f ( ) 0 , 5

III Mốt:

Kí hiệu m0, là giá trị của biến ngẫu nhiên ứng với

IV Phương sai, độ lệch chuẩn:

Do trung bình sai lệch của biến ngẫu nhiên so với kì vọng toán bằng không Nên để đo độ phân tán của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình, người ta đo trung bình bình phương các sai lệch

- Xác suất lớn nhất nếu là biến ngẫu nhiên rời rạc

- Cực đại của hàm mật độ xác suất nếu là biến ngẫu nhiên liên tục

+ Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc,có phân phối xác suất P(X= xi) = pi ,

i

i E X p x

Ta cũng có thể tính theo công thức V(X)=E(X2)-[E(X)]2

Thật vậy, V(X)=E[X-E(X)]2=E[X2-2XE(X)+E2(X)]=E(X2)-[E(X)]2

Chú ý : Phương sai của một biến ngẫu nhiên luôn không âm

 gọi là độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X

Ví dụ 1: Tìm phương sai của số máy bị hỏng

) 1 , 0 ( 2

6 6

) (

2

x

x x

x x

b V(CX)=E(C2X2)-[E(CX)]2=C2{E(X2)-[E(X)]2}=C2V(X)

c V(X+Y)=E[(X+Y)2]-[E(X+Y)]2=E[X2+2XY+Y2]-[E(X)+E(Y)]2

=E[X2]-[E(X)]2+E[Y2]-[E(Y)]2=V(X)+V(Y)

Hệ quả:Nếu X1,X2,…Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập thì

i n

i

X V

1 1

) ( )

(Hơn nữa, nếu các Xi cùng phân phối (V(Xi)=) thì

 n

X n V X V

n i i

1 )

1 ( ) (

Ví dụ 3: Cho X và Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập chỉ lợi nhuận (%) hàng năm khi đầu tư vào 2 ngành

A, B nào đó Giả sử E(X)=12, V(X)=25, E(Y)=14, V(Y)=36 Một người đầu tư vào cả hai ngành A, B thì cần lựa chọn tỉ lệ đầu tư như thế nào để ít rủi ro nhất

Giải: Gọi a là tỉ lệ vốn đầu tư xào A

thì 1-a là tỉ lệ vốn đầu tư vào B Gọi Z là lợi nhuận thu được, ta có Z=aX+(1-a)Y

V(Z)=V(aX+(1-a)Y)=a2V(X)+(1-a)2V(Y)=61a2-72a+36

V(Z)min khi a=36/61 59%

Vậy nhà đầu tư nên đầu tư 59% vào A và 41% vào B

Ví dụ 4: Tung 12 con xúc xắc Tìm kì vọng, phương sai của tổng số chấm thu được

Giải: Gọi Xi (i=1 12) là số chấm thu được khi tung con xúc xắc thứ i, X là tông số chấm thu được X=

12

i

X

Bảng phân phối của biến ngẫu nhiên Xi

1

) ( )

(

i

i

X V X

) (

X E

X



nếu E(X)0 Chú ý: + Hệ số biến thiên dùng để đo mức độ thuần nhất của một phân phối, CV càng nhỏ thì mức độ thuần nhát càng lớn Ngoài ra nó còn dùng để đo mức độ phân tán của hai biến ngẫu nhiên có kì vọng khác nhau

+ Trong kinh tế, kinh doanh, phươnng sai, độ lệch chuẩn, hệ sô biến thiên thường dùng để đo mức độ rủi ro của các hoạt động kinh tế

Chương III Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

§1 Quy luật không-một A(p)

1 Định nghĩa:

Giả sử tiến hành một phép thử, xác suất xảy ra biến cố A là p, P(A)=p, P(A)=1-p=q Gọi X là số

lần xuất hiện biến cố A trong phép thử đó, ta có bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X

Ta có thể biểu thị bởi công thức Px= px(1-p)1-x, x = 0,1

Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một tron v giá trị 0 hoặc 1 với xác suất tương ứng được tính bởi công thức trên gọi là phân phối theo quy luật không một, kí hiệu X~A(p)

2 Các tham số đặc trưng

Giả sử X~A(p), ta có E(X)=p, V(X)=pq,  ( X )= pq

Ví dụ: Tung một con xúc xắc, gọi X là số lần xuất hiện mặt 6 chấm Tìm quy luật phân phối xác suất và các tham số đặc trưng của X

Do đó X~A(1/6), E(X)=1/6, V(X)=5/36

Chú ý: Trong thực tế quy luật không-một thường dùng để đặc trưng cho các dấu hiệu nghiên cứu

định tính có 2 phạm trù luân phiên như: nam-nữ, đồng ý-không đồng ý…

§2 Quy luật nhị thức B(n,p)

Ta xét ví dụ sau:

Cho một lo có N quả cầu, trong đó có M cầu trắng và N-M cầu đen Lấy lần lượt n quả cầu theo phương thức hoàn lại Trong mỗi lần lấy chỉ có 2 khả năng, hoặc lấy được cầu trắng kí hiệu biến cố A, hoặc lấy được cầu đen A Xác suất lấy được cầu trắng P(A)=M/N=p, P(A)=1-p

Với lược đồ Bernoulli như trên, gọi X là “số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử độc lập” thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị có thể có 0,1,2…n

Ta có P(X=x)=Px=Cxnpxqn-x

1.Định nghĩa:

Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị 0,1,2…n với các xác suất tương ứng được tính theo công thức trên gọi là phân phối theo quy luật nhị thức với các tham sô n, p, kí hiệu X~B(n,p)

Bảng phân phối xác suất

x X P

1

1 ) (

2 Các tham số dặc trưng

Giả sử thực hiện n phép thử độc lập, gọi Xi (i=1 n) là số lần xuất hiện biến cố A trong phép thử

thứ i, Xi~A(p) Do đó, X là số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử thì X=



n

1 i i

i) X (

i) X (

a Cho máy đó sản xuất 5 sản phẩm Tìm xác suất để được không quá một phế phẩm

b Cho máy đó sản xuất 10 sản phẩm Tìm xác suất để số chính phẩm sản xuất ra sai lệch so với số chính phẩm trung bình <1

c Nếu mỗi đợt sản xuất muốn có trung bình 12 chính phẩm thì phải cho máy đó sản xuất bao nhiêu sản phẩm

3 Quy luật phân phối xác suất của tần suất:

Giả sử X là số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử thì

n

X

f  là tần suất xuất hiện biến cố

A Do việc chia biến ngẫu nhiên cho hằng số không làm thay đổi phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nên f~B(n,p)

Ta có bảng phân phối xác suất của f

npq )

! x

e P

x x





gọi là phân phối theo quy luật Poisson với tham số , kí hiệu X~P()

Ghi chú:

+ Nếu trong quy luật Bernoulli, số phép thử n quá lớn mà xác suất p quá nhỏ thì việc tính toán gặp nhiều khó khăn Trong thực tế, nếu n khá lớn (n>20) và p khá nhỏ (p<0,1), tích np=không đổi thì các công thức xác suất Px có thể xấp xỉ bằng công thức Poisson

+ Các giá trị của Px được tính sẵn trong bảng phụ lục

x

! x

1 x

)!

1 x (

! x

e

Phương sai: V(X)=E(X2)-[E(X)]2=

Mốt: m0 được xác định bởi công thức   1  m0  

Ví dụ 1: Người ta chở 1000 chai rượu vào kho với xác suất bị vỡ mỗi chai là 0,002

a.Tìm xác suất để có không quá 2 chai bị vỡ

b Tìm số chai bị vỡ trung bình khi vận chuyển

c Tìm số chai bị vỡ có khả năng nhiều nhất khi vận chuyển

+ Quy luật Poison được ứng dụng nhiều trong thực tế, chẳng hạn trong lý thuyết phục vụ công cộng, người ta đề cập đến các hệ thống phục vụ dòng các yêu cầu như dòng người vào cửa hàng, dòng tàu chờ cập cảng…

Ví dụ 2: (Bài tập 3.25)

Gọi X là số khách chờ đi xe bus X~P(2),  =2 người/15 phút

a Xác suất để không có khách nào chờ xe bus:

P(X=0)=P0=0,1351

b Xác suất để xe chật khách

P(X  6)=1-P(X<6)=1-(P0+P1+P2+P3+P4+P5)=

1-(0,1351+0,2707+0,2702+0,1804+0,0902+0,0361)=0,0173

c P(X > 7) < 0,1 Không phải tăng thêm xe chở khách

§4 Quy luật phân phối siêu bội

Giả sử trong 1 hộp có N quả cầu, trong đó có M cầu trắng, N-M cầu đen Lấy ngẫu nhiên n quả cầu theo phương thức không hoàn lại Ta có, xác suất để trong n quả cầu lấy ra có x quả cầu

N

x n M N x M x

C

C C

n N N

M N N

M n

) thì phân phối siêu bội có thể coi như xấp xỉ nhị thức

§5 Quy luật phân phối đều

1 Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi là có phân phối đều trên đoạn [a,b], kí hiệu

X~U[a,b], nếu hàm mật độ xác suất có dạng

b a x a b x f

,0

,1

)(

Từ đó suy ra hàm phân phối

b x a a b

a x

a x x

F

1

0

)(

Ví dụ: Xe bus xuất hiện tại bến đợi 15 phút một lần Một hành khách tới bến vào một thời điểm ngẫu nhiên Gọi X là thời gian chờ xe của hành khách đó Khi đó X có phân phối đều trên đoạn [0,15]

a Viết hàm phân phối xác suất của X

b Tìm xác suất để hành khách đó phải đợi ít nhất 5 phút

c Tìm xác suất để hành khách đó phải đợi trên 10 phút

15,015

1)(

x

x x

150

15

00

)(

x

x x

x x

§6 Quy luật phân phối luỹ thừa

1.Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi là phân phối theo quy luật luỹ thừa với tham số

)(

x e

x x

e dx

e dx x

Giá trị exđược tính sẵn trong bảng phụ lục

Ví dụ: Biến ngẫu nhiên liên tục X phân phối theo quy luật lũy thừa với hàm mật độ xác suất

b Tìm xác suất để trong kết quả của phép thử X nhận giá trị trong khoảng [0,3;1]

c.Tìm kỳ vọng toán và phương sai của X

0 1

) (

2

x

x e

x F

 X E

Phương sai:

4

1 1 ) (  2 

 X

Chương 6: Cơ sở lý thuyết mẫu

Đ1 Khái niệm về phương pháp mẫuTrong thực tế thường phải nghiên cứu một hay một số dấu hiệu định lượng hoặc địnhtính trên một tập hợp các phần tử thuần nhất Toàn bộ tập hợp các phần tử đồng nhất theomột dấu hiệu nghiên cứu định tính hoặc định lượng nào đó gọi là tổng thể nghiên cứuhoặc tổng thể

Thực chất các dấu hiệu này là các biến ngẫu nhiên Vì vậy việc nghiên cứu một tổng thểthực chất là tìm các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên đặc trưng cho tổng thể đó

Ví dụ: Nghiên cứu kết quả sản xuất kinh doanh của các doanh nghiệp, có thể có các dấuhiệu định lượng như: lợi nhuận, doanh thu, thị phần

Để xác định các tham số đặc trưng của tổng thể, có thể dùng phương pháp điều tra toàn

bộ tức là thống kê toàn bộ tổng thể và phân tích từng phần tử của nó

Tuy nhiên, phương pháp này ít được sử dụng vì có rất nhiều hạn chế

Trong thực tế, người ta thường dùng phương pháp mẫu: Là nghiên cứu một bộ phận củatổng thể , gồm một số phần tử của tổng thể được chọn ra làm đại diện Dựa trên thông tinthu được của các phần tử trong mẫu, bằng phương pháp suy luận khoa học để tìm thôngtin tổng quát

Phương pháp này có nhiều ưu điểm như:

-Tính khả thi: khi không thể điều tra toàn bộ tổng thể

-chi phí ít tốn kém hơn so với điều tra toàn bộ tổng thể