1 AB CHINH THUC SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG ĐỀ THI TH Ử ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM 2014 Môn thi TOÁN – Khối A, A1, B Thời gian làm bài 180 phút I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0[.]
www.LuyenThiThuKhoa.vn www.NhomToan.com ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2014 Mơn thi: TỐN – Khối A, A1, B Thời gian làm bài: 180 phút SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) I Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 3x + (C ) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số cho; b) Tìm tất giá trị m để đường thẳng (d ) : y = mx − 2m + cắt đồ thị (C ) ba điểm phân biệt A (2, ) , B,C cho tam giác OBC cân O , với O gốc tọa độ Câu (2,0 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình a) y x + + y2 = 1+x +x b) x 2 + x + + y = y sin 2x − cos 2x = 2 cos x + (x, y ∈ R) π Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ (x + sin x ) sin x dx Câu (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có tam giác ABC vuông B , AB = a, BC = 2a Hình chiếu A ' mặt phẳng (ABC ) trung điểm H BC , cạnh bên A ' A hợp với đáy góc 45o Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách từ C đến mặt phẳng (AA ' B ' B ) −1 Câu (1,0 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm ;1 − x − x + 2x + = m II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần ( A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 6.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trung tuyến AI : x + y − = , đường cao AH : x − 2y + = trọng tâm G thuộc trục hồnh Tìm tọa độ B C ; biết E (5; −1) thuộc đường cao qua C Câu 7.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1;1;2) , B (−1; 3; −2) đường x −1 y + z = = Tìm điểm I d cho tam giác IAB cân I , viết phương trình −2 −1 mặt cầu qua hai điểm A, B có tâm thuộc đường thẳng d thẳng d : ( ) Câu 8.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn 3z − z − + z = + 7i B Theo chương trình Nâng cao Câu 6.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A (1; 6) , trực tâm H (1; 2) , tâm đường tròn ngoại tiếp I (2; 3) Tìm tọa độ B,C ; biết B có hồnh độ dương Câu 7.b (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( S ) : x2 + y2 + z2 − x + y − 6z = x − y −1 z −1 = = Tìm tọa độ giao điểm ∆ ( S ) , viết phương trình mặt phẳng −1 1 ( P ) chứa đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu ( S ) đường thẳng ∆ : Câu 8.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa (1 + i ) z + z = i Tìm mơđun số phức ω = + i + z Hết SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC Trường THPT Hùng Vương ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2014 Mơn thi: Tốn; Khối: A, A1, B Đáp án Điểm Câu 1.a Cho hàm số y = x − 3x + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số cho; Tập xác định D = R + Giới hạn: lim y = −∞; lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ x = + y ' = 3x − ; y ' = ⇔ x = −1 + Bảng biến thiên x −∞ −1 + y' y +∞ − + +∞ −∞ Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −1) (1; +∞) Hàm số nghịch biến khoảng (−1;1) ; Hàm số đạt cực đại điểm x = −1 , y = Hàm số đạt cực tiểu điểm điểm x = , y = Đồ thị hàm số qua điểm đặc biệt: −2 −1 x y 14 12 10 f(x) = x3 3·x + 15 10 5 10 15 Câu 1.b Tìm m để đường thẳng (d ) : y = mx − 2m + cắt (C ) ba điểm phân biệt A, B, C cho A cố định tam giác OBC cân O, với O gốc tọa độ Ta có (d ) : y = mx − 2m + Phương trình hồnh độ giao điểm (d) ( C) là: x − 3x + = mx − 2m + ( ) ⇔ (x − 2) x + 2x + − m = x = ⇔ (1) f (x ) = x + 2x + − m = (d) cắt ( C) ba điểm phân biệt phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khác ∆ ' > ⇔ m > f (2) ≠ m ≠ Ta có A (2; 4) , gọi B (x ; mx − 2m + ) ,C (x ; mx − 2m + ) theo Vi-et ta có x + x = −2 x1.x = − m Tam giác OBC cân O ⇔ OB = OC ⇔ x12 + (mx − 2m + ) = x 22 + (mx − 2m + ) ( ) ⇔ (x − x ) 3m − 4m + = m = ⇔ 3m − 4m + = ⇔ m = Câu 2.1 Giải phương trình: sin 2x − cos 2x = 2 cos x + sin 2x − cos 2x = 2 cos x + ⇔ sin x cos x − cos2 x − 2 cos x = ( ) ⇔ cos x sin x − cos x − = cos x = cos x = ⇔ ⇔ π =1 − x sin − − x x sin cos x = π + k π ⇔ x = π + k 2π y x + + y2 = Câu 2.b Giải hệ phương trình: + x + x x 2 + x + + y = y Điều kiện: y ≠ x x + y( x + − x ) + y = + y + x + − x = y Ta có hệ : x ⇔ + x + + y = x 2 + x + + y = y y Trừ vế theo vế phương trình (**) cho lần phương trình (*) ta có: x 2x x 2x ⇔ 2− + y − 2y + 2x = ⇔ + 2x + y − − 2y = y y y y x + y = −1 x x ⇔ + y − + y − = ⇔ y y x y +y = y (*) (**) Trường hợp 1: x + y = −1 , thay vào (*) ta có −1 + x + − x = y ⇔ x + = x + ⇔ x = , với x = ta có y = x Trường hợp 2: + y = ta có hệ phương trình: y x x +y = + y = y (vô nghiệm) ⇔ y x 2 x +1 = x −3 + y + x + − x = y Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: (0; −1) π Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ (x + sin x ) sin x dx π I = π ∫ x sin x dx + ∫ sin x dx π • Xét M = ∫ M = −x cos x u = x du = dx x sin x dx , đặt ⇒ dv = sin xdx v = − cos x π π + ∫ cos x dx = + sin x π =1 π π 0 ( ) π • N = ∫ sin3 x dx = ∫ − cos2 x sin x dx = ∫ π ( cos3 x 2 cos2 x − d(cos x ) = − cos x = 3 ) = 3 ' ' ' Câu (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC ABC có tam giác ABC vng B , ' AB = a, BC = 2a Hình chiếu A mặt phẳng (ABC ) trung điểm H BC, Vậy I = M + N = + ' ' cạnh bên hợp với đáy góc 45o Tính thể tích lăng trụ ABC A'BC khoảng cách từ C đến mặt phẳng AA'B 'B ( ) ' Ta có: A'H ⊥ (ABC ) ⇒ AAH = 45o BH = a , AH = AB + BH = a • A'H = AH = a • Thể tích lăng trụ ' V = S ABC AH = AB.BC A'H = a 2 (đvtt) • Gọi L hình chiếu C ' A'B ⇒ CL ⊥ AB ) ( ) ( ( ( ' ' ' ⇒ AB ⊥ CL ⇒ CL ⊥ AAB B ⇒ d C , AA'B 'B Ta có: AB ⊥ ABC )) = CL • A'B = A'H + HB = a ' AH BC 4a Ta có: A B.CL = AH BC ⇒ CL = = ' AB 4a ' ' Vậy d C , AAB B = CL = Câu Tìm m để phương trình sau có nghiệm −1 − x − x + 2x + = m (1) ;1 ' ' ( ( )) Lời giải: −1 Xét hàm số f (x ) = − x − x + 2x + ;1 −3x 3x + 4x 3x + − = −x + Ta có f ' (x ) = 2 1−x x + 2x + x + 2x + 1−x −1 ;1 Xét hàm số g (x ) = x + 2x + Ta có g ′ (x ) = 3x + 4x = ⇔ x = Ta có bảng biến thiên − x g '(x ) + − g(x ) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x ) ≥ 1, ∀x ∈ − ;1 ∀x ∈ − ;1 ta có 3(− ) + ≤ 3x + ≤ 3.1 + ⇔ ≤ 3x + ≤ 2 3x + Suy + > 0, ∀x ∈ − ;1 Do f ′ (x ) = ⇔ x = − x2 x + 2x + Bảng biến thiên x − f '(x ) f (x ) 3 − 22 + 1 − PT (1) phương trình hồnh độ giao điểm d : y = m (C ) : f (x ) = − x − x + 2x + −4 Phương trình có nghiệm −4 ≤ m < 3 − 22 m = PHẦN RIÊNG Câu 6.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trung tuyến AI : x + y − = , đường cao AH : x − 2y + = trọng tâm G thuộc trục hồnh Tìm tọa độ B C; biết E (5; −1) thuộc đường cao qua C • A (0;2) , G (2; 0) • I (3; −1) , BC : 2x + y − = • B ∈ BC ⇒ B (t ;5 − 2t ) ⇒ C (6 − t ; 2t − 7) AB (t ; − 2t ) , EC (1 − t ;2t − 6) Ta có: AB.EC = ⇔ t (1 − t ) + (3 − 2t )(2t − 6) = t = ⇔ 5t − 19t + 18 = ⇔ t = 21 17 • Vậy B (2;1) ,C ( 4; −3) B ; ,C ; − 5 5 Câu 7.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm x −1 y + z = = A (1;1;2) , B (−1; 3; −2) đường thẳng d : Tìm điểm I d −2 −1 cho tam giác IAB cân I, viết phương trình mặt cầu qua hai điểm A, B có tâm thuộc đường thẳng d x = + t •d : y = −2 − 2t , I ∈ d ⇒ I (1 + t ; −2 − 2t ; −t ) z = −t • IA = IB ⇔ t + (2t + 3) + (t + 2) = (t + 2) + (2t + 5) + (t − 2) ⇔ t = −5 ⇒ I (−4;8; 2 2 • Mặt cầu cần viết có tâm I (−4;8;5) bán kính R = IA = 52 + 72 + 32 = 83 • Vậy phương trình mặt cầu (x + 4) + (y − 8) + (z − 5) = 83 2 ( ) Câu 8.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn 3z − z − + z = + 7i Gọi z = a + bi , a, b ∈ R ta có (a + bi ) − (a − bi − 1) + a + b = + 7i a + b − a = a = a = ⇔ ⇔ v 7b = b = b = Kết luận z = i, z = + i Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A (1; 6) , trực tâm H (1; 2) , tâm đường trịn ngoại tiếp I (2; 3) Tìm tọa độ B,C ; biết B có hồnh độ dương • Gọi A' điểm đối xứng với A qua I ' hình bình hành với tâm M ⇒ HBAC ' ⇒ A (3; 0) ⇒ M (2;1) • BC qua M vng góc với AH ⇒ BC : y = • B ∈ BC ⇒ B (t ;1) ; t > Ta có: t = − (loai ) IA = IB ⇔ + = (t − 2) + ⇔ t = + ⇒ B + 6;1 2 ( ( ) Oxyz cho ) • M trung điểm BC, suy C − 6;1 ( ) ( ) Vậy B + 6;1 , C − 6;1 Câu 7.b (1,0 điểm) Trong không gian mặt cầu x − y −1 z −1 Tìm = = 1 −1 tọa độ M giao điểm ∆ (S ) , viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường (S ) : x + y + z − 2x + 4y − 6z = đường thẳng ∆ : thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S ) Gọi M (2 − t ;1 + t ;1 + t ) ∈ ∆, M ∈ (S ) ta có (2 − t ) + (1 + t ) + (1 + t ) − (2 − t ) + (1 + t ) − (1 + t ) = ⇔ 3t = ⇔ t = ⇒ M (2;1;1) Vì ∆ & (S ) có điểm chung nên (P ) tiếp xúc với (S ) M (P) qua M (2;1;1) có véc tơ pháp tuyến IM (1; 3; −2) nên có phương trình (P ) : x + 3y − 2z − = 2 2 Câu 8.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa điều kiện (1 + i ) z + z = i Tìm mơđun số phức ω = 1+ i + z • Gọi z = x + yi; x, y ∈ R x = y = (1 + i ) z + z = i ⇔ (1 + i )( x + yi ) + x − yi = i ⇔ ( x − y ) + xi = i ⇔ • z = + 2i • ω = + i + z = + i + + 2i = + 3i ω = 13 Hết ... Trường THPT Hùng Vương ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2014 Môn thi: Toán; Khối: A, A1, B Đáp án Điểm Câu 1.a Cho hàm số y = x − 3x + Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị (C ) hàm... − = −x + Ta có f '' (x ) = 2 1−x x + 2x + x + 2x + 1−x −1 ;1 Xét hàm số g (x ) = x + 2x + Ta có g ′ (x ) = 3x + 4x = ⇔ x = Ta có bảng biến thi? ?n − x g ''(x ) +... y (*) (**) Trường hợp 1: x + y = −1 , thay vào (*) ta có −1 + x + − x = y ⇔ x + = x + ⇔ x = , với x = ta có y = x Trường hợp 2: + y = ta có hệ phương trình: y x x +y = + y = y (vô