I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 3 2 3 2 y x x = − + có đồ thị là (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường t[.]
SỞ GD VÀ ĐT HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT CAN LỘC www.LuyenThiThuKhoa.vn www.NhomToan.com ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM HỌC 2013 – 2014 Mơn: TỐN – Khối D (Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = x - x 2 + 2 có đồ thị là (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng (d) y = m(x – 1) tại ba điểm phân biệt có hồnh độ là x1, x2, x3 thỏa mãn: x12 + x22 + x3 2 = 5 s inx + t anx 2 Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình: = (1 + cos x ) t anx - s inx 3 Câu 3 (1,0 điểm) Giải bất phương trình: ( x + + x +1 )( ) x 2 + x + - ³ 2 x + ln ( x + 1 ) Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân: I = ị dx x 2 1 Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a , SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Gọi M là điểm thuộc cạnh AD sao cho MD = 2MA Tính theo a thể tích khối chóp S.BCDM và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) biết đường thẳng SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 0 . Câu 6 (1,0 điểm) Cho x, y là các số dương thỏa mãn: x + y = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 - x - y 2 + P= 2 1 + y 1+ x 2 II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x – 2y + 1 = 0, d2: x – y = 0 và điểm M(2; 1). Viết phương trình đường thẳng d cắt d1, d2 tại A và B sao cho M là trung điểm AB. Câu 8a (1,0 điểm) Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y + z + 8 = 0, mặt cầu (S) có phương trình: x 2 + y 2 + z 2 – 2x – 4y +1 = 0. Chứng minh mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu và hãy xác định tiếp điểm của mặt phẳng và mặt cầu. Câu 9a (1,0 điểm) Tìm số phức z biết: z - ( + 3i ) z = - 9 i B. Theo chương trình nâng cao ỉ 14 2ử Cõu7b(1,0im).TrongmtphngtaOxy,choim M ỗỗ ữữ VitphngtrỡnhcaElip 4 è ø 4 có tâm sai e = và đi qua điểm M. 5 Câu 8b (1,0 điểm). Trong khơng gian với hệ trục Oxyz cho điểm A(1; 1; 2), B(2; 1; 1) và đường thẳng d: x y - z - 1 = = Tìm điểm M thuộc d có hồnh độ dương sao cho diện tích tam giác ABM bằng 1 - 2 Câu 9b (1,0 điểm). Cho z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình: z 2 – 2z + 4 = 0. Hãy biểu diễn dạng z lượng giác của số phức: w = 1 , biết z1 có phần ảo dương. z2 …………HẾT……… Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm Cảm ơn bạn Nghia Phan ( nghiatinh21062011@gmail.com) đã gửi tới www.laisac.page.tl Câu Câu 1 2,0 điểm ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Đáp án Điểm a) (1,0 điểm) * Tập xác định: D = R * Sự biến thiên: Chiều biến thiên: é x = 0 Ta có: y' = 3x 2 – 6x; y' = 0 Û ê ë x = 2 Hàm số đồng biến trên khoảng ( -¥ ; ) ( 2; +¥ ) ; nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) 0,25 Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 2; đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = 2 0,25 Giới hạn: lim y = -¥; lim y = +Ơ x đ-Ơ xđ+Ơ ưBngbinthiờn: x Ơ 02+ ¥ y’ + 0 0 + 2 + ¥ y 2 ¥ * Đồ thị y 0,25 4 2 1 O 1 2 3 5 x 2 0,25 4 b) (1,0 điểm) Ta có phương trình hồnh độ giao điểm: é x = 1 x - x + = m( x - 1) Û ( x - 1) ( x 2 - x - m - ) = 0 Û ê 2 ë x - x - m - = 0 Đặt g(x) = x 2 - x - m - 2 Để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt thì phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt ì g (1) ¹ ìm ¹ -3 khác 1. Û í Ûí Û m > -3 ỵ1 + m + > ỵ m > -3 Giả sử x1 = 1, khi đó x2, x3 là hai nghiệm của phương trình g(x) = 0 Yêu cầu bài toán tương đương với: x22 + x3 2 = 4 0,25 0,25 0,25 2 Û ( x2 + x3 ) - x2 x3 = Û + ( m + ) = Û m = - 2 Đối chiếu điều kiện ta được m = 2 0,25 Câu 2 ìcos x ¹ ìcos x ¹ 0 Đk: Û í í 1,0 điểm ît anx - s inx ¹ î cos x ¹ ±1 Khi đó phương trình đã cho tương đương với: s inx ỉ ỉ s inx ỗ s inx + - s inxữ ữ = (1 + cos x)ỗ cos x ứ ố è cos x ø 2 Û s inx ( 2cos x + 3cos x + 1) = Û 2cos x + 3cos x + = 0, ( Do : s inx ¹ 0 ) Câu 3 1,0 điểm écos x = -1 Ta có: cos 2 x + 3cos x + = 0 Û ê 1 êcos x = ë 2 Vì cos x ¹ - 1 nên ta có: 2 p cosx = - Û x = + k 2p , ( k ẻ Â) 3 2 p Vậy nghiệm phương trình: x = ± + k 2 p với k Î ¢ 3 Đk: x > 1 Do x + - x + > 0 Ta có bất phương trình tương đương với: ( Û ) ( x 2 + x + - ³ ( )( x + -1 ) x + - x + 1 ) x + + ³ 0 ( 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ) Û x + - ³ 0, Do : x + + > 0 Û x ³ 0 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của bpt: x ³ 0 2 Câu 4 dx ln ( x + 1 ) I = + dx 1,0 điểm 2 ò1 x ò x 1 2 2 dx Ta có: I1 = ị = ln x = ln 2 1 x 1 ln ( x + 1 ) Tính I 2 = ị dx x 2 1 1 x + 1 Đặt u = ln( x + 1), dv = 2 dx suy ra: du = dx, v = x x + 1 x 2 2 x + 3 Do đó I 2 = ln( x + 1) + ò dx = 3ln - ln 3 1 1 x x 2 0,25 0,25 2 0,25 0,25 3 Vậy I = ln - ln 3 2 0,25 Câu 5 1,0 điểm Gọi H là trung điểm cạnh AB, khi đó SH ^ AB , do (SAB) ^ (ABCD) nên SH ^ (ABCD). Do đó HC là hình chiếu vng góc của SC lên mặt phẳng đáy. · · = 60 0 Suy ra góc giữa SC và đáy là góc SCH , ta có: SCH S 0,25 K A M D H I B C a 2 a 5 Ta có HC = a + = 2 2 Trong tam giác vng SHC ta có: SH = HC.tan60 0 = a 15 2 a 5 a 2 Ta có: SBCDM = SABCD – SABM = a = 6 3 5a 15 Vậy VS BCDM = S BCDM SH = (ĐVTT) 36 Ta có: d ( C , ( SBD ) ) = d ( A, ( SBD ) ) = 2d ( H , ( SBD ) ) Gọi I là hình chiếu vng góc của H lên BD, K là hình chiếu vng góc của H lên SI, khi đó: (SHI) ^ (SBD) nên HK ^ (SBD), do đó: d ( H , ( SBD ) ) = HK 2 a 2 AC = 4 Trong tam giác vng SHI 1 = + Þ HK = 2 HK HI HS 2 0,25 0,25 Ta có: HI = HI HS HI + HS 2 = a 15 124 0,25 15 Vậy d ( C , SBD ) = 2 a 124 Câu 6 Ta có: < x, y b > 0 ) a - b 2 4 Ta có: e = = Û 9a = 25 b 2 (1) a 5 175 9 Do M thuộc elip nên ta có: + 2 = 1 (2) 8a 8 b Từ (1) và (2) ta được: a = 25, b 2 = 9 x y 2 = 1 + 25 9 Câu 8b Vì M thuộc d nên tọa độ M có dạng: M ( a;1 - 2a; a + 1 ) uuur uuuur 1,0 điểm Ta có: AM = ( a - 1; -2a; a - 1) , AB = (1; -2; -1 ) uuuur uuur Suy ra: éë AM , AB ùû = ( 4a - 2; 2a - 2; 2 ) uuuur uuur 1 2 Ta có: S DAMB = éë AM , AB ùû = ( 4a - ) + ( 2a - ) + = 5a 2 - 6a + 3 2 é a = 0 2 Theo giả thiết ta có phương trình: 5a - 6a + = Û 5a - 6a = 0 Û ê ê a = 6 ë 5 æ 11ử VỡMcúhonh dngnờn tacntỡm: M ỗ - ữ è 5 5 ø Câu 9b Vì D = 3, nên phương trình có hai nghiệm phức: z1 = + 3i, z = - 3 i , (Do z1 có 2 1,0 điểm phần ảo dương) Ta có: Vậy phương trỉnh của elip: ( 2 ) 2 2 æ1 z 1 + 3i + 3 i p pư ỉ ỉ 2p 2 p = = = ỗỗ + + i.sin ữ i ữữ = ỗ cos + i.sin ữ = ỗ cos ứ 3ø è z 2 - 3 i è 2 ø è …………… Hết…………… Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 ...Câu Câu 1 2,0 điểm ĐÁP? ?ÁN? ?VÀ THANG ĐIỂM Đáp? ?án? ? Điểm a) (1,0 điểm) * Tập xác định: D = R * Sự biến? ?thi? ?n: Chiều biến? ?thi? ?n: é x = 0 Ta? ?có: y'' = 3x 2 – 6x; y'' = 0 Û ê... B. Theo chương trình Nâng cao Câu Đáp? ?án? ? 2 Câu 7b x y 1,0 điểm Gọi phương trình elip? ?có? ?dạng: a + b 2 = 1 , ( a > b > 0 ) a - b 2 4 Ta? ?có: e = = Û 9a = 25 b 2 (1) a 5 175 9 Do M thuộc elip nên ta? ?có: +... 2 û æ 5 ù Ta? ?có: f ''(t ) = 4t - 2 > 0, "tẻ ỗỗ1 ỳ t ố ỷ ổ - Doú f (t )Ê f ỗỗ ÷÷ = 10 è ø -5 1 , : x = y = 10 2 A. Theo chương trình chuẩn Đáp? ?án? ? Gọi điểm A thuộc d1? ?có? ?tọa độ: A ( 2a