de thi thu lan 1 khoi A, B nam 2014 1 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1 x y x += − có đồ thị là (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b) V[.]
www.LuyenThiThuKhoa.vn SỞ GD VÀ ĐT HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT CAN LỘC ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2013 – 2014 Mơn: TỐN – Khối A, A1, B (Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề) Kho De Thi Thu I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) www.NhomToan.com x+2 Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = có đồ thị (C) x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(1; 0) có hệ số góc k > 0, cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt M N cho AM = 2AN sin x cos x Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: + = cot x − cos x sin x y + y − xy ( y − 1) = x + 10 x Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: ( x, y ∈ ℝ ) x − x + + 18 = y Câu (1,0 điểm) Tính tích phân: I = ∫ x + ln ( ) x +1 x x ( x + 1) 1+ x dx = 600 , cạnh AB = Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, góc BAC a , SAC tam giác cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M thuộc đường thẳng BC cho MB = − CB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA BC biết đường thẳng SM tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: 2x + 4y + 7z = 2xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + z II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 7a (1,0 điểm) Trong mặt với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD Gọi N trung điểm cạnh BC, M điểm thuộc cạnh CD cho DC = 4DM Biết tọa độ M(1; 2), phương trình đường thẳng AN: 4x – y + = Tìm tọa độ đỉnh A biết xA < − Câu 8a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho điểm A(1; 1; 2), I điểm thuộc trục hoành Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I, (S) qua điểm A gốc tọa độ Câu 9a (1,0 điểm) Gọi A tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số phân biệt chọn từ chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; Chọn ngẫu nhiên số từ tập A Tính xác suất để số chọn thiết phải có mặt hai chữ số cho đứng cạnh B Theo chương trình nâng cao 2 Câu 7b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho đường tròn (T) ( x − 1) + ( y − 1) = , đường thẳng (d): mx + y − = Tìm m để (d) tồn điểm M cho từ M kẻ hai tiếp tuyến MA MB tới (T), (A, B hai tiếp điểm) thỏa mãn góc hai tiếp tuyến MA MB 600 Câu 8b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho điểm A(1; 1; 2), M(1; 1; 0) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz), biết (S) qua điểm A, M gốc tọa độ x −1 + − y = Câu 9b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: ( x, y ∈ ℝ ) log log + = x ( ) 3 y3 …………HẾT……… Câu Câu 2,0 điểm ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Đáp án Điểm a) (1,0 điểm) * Tập xác định: D = R \ {1} * Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: −3 Ta có: y ' = < 0, ∀x ∈ D ( x − 1) 0,25 Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) (1; +∞ ) - Giới hạn tiệm cận: lim y = lim y = ; tiệm cận ngang y = x →−∞ x →+∞ 0,25 lim− y = −∞; lim+ y = +∞ ; tiệm cận đứng x = x →1 - Bảng biến thiên: x -∞ y’ y x →1 +∞ - +∞ - 0,25 -∞ * Đồ thị 0,25 -5 O -2 b) (1,0 điểm) Phương trình đường thẳng d có dạng: y = k(x – 1) Phương trình hoành độ giao điểm (d) (C ) là: x+2 = k ( x − 1) ⇔ x + = k ( x − 1) (do x = không nghiệm) x −1 ⇔ kx − ( 2k + 1) x + k − = (*) (d) cắt (C ) hai điểm phân biệt M N (*) có nghiệm phân biệt ∆ = ( 2k + 1) − 4k ( k − ) > k > − ⇔ ⇔ 12 , (Thỏa mãn với ∀k > ) ≠ k k ≠ 0,25 Gọi M ( a; k ( a − 1) ) ; N ( b; k ( b − 1) ) hai giao điểm ( a b nghiệm (*)) ta có: 0,25 a − 2b = −1 AM = AN ⇔ ( a − 1) + k (a − 1) = 4(b − 1) + 4k (b − 1)2 ⇔ a + 2b = Câu Câu 1,0 điểm Câu 1,0 điểm Đáp án 2k + a + b = k * TH1: a − 2b = −1 (1) Theo Viet ta có: (2) ab = k − k Từ (1) (2) suy ra: k = − (loại) 27 * TH2: a + 2b = (3) Từ (3) (2) suy ra: k = Vậy phương trình (d): y = ( x − 1) Đk: sinx ≠ cosx ≠ cos2 x.cos x + sin x.s inx = −2 Khi phương trình cho tương đương với: s inx.cos x sin x s inx = −1 1 ⇔ = −2 ⇔ s inx = s inx sin x Vì cosx ≠ nên sinx = -1 loại π x = + k 2π Do sin x = ⇔ , (k ∈ ℤ ) x = 5π + k 2π π 5π Vậy nghiệm phương trình: x = + k 2π x = + k 2π với k ∈ ℤ 6 Đk: x + ≥ Ta có: y − xy + xy + y = x + 10 x ⇔ ( x − y ) ( x + y + ) = y = Vì 2x + ≥ nên 2x + y2 + ≥ Dấu “=” thay vào không thỏa 2 x + = Do y = 2x (*) Thay vào phương trình thứ hai ta được: x + 18 = x + x + x − = ⇔ ( x − 2) + 2x + − = ⇔ ⇔x=2 x + − = Thay x = vào (*) ta nghiệm hệ phương trình: (x; y) = (2; 4) ( Câu 1,0 điểm Ta có: I = ∫ ) ( ) Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1+ x ln x +1 dx + ∫ dx x ( x + 1) x x ( x + 1) 0,25 x 1 I1 = ∫ − = ln dx = ln x x +1 x +1 1 ln (1 + x ) ln (1 + x ) ( x + 1) dx dx = ∫ x x ( x + 1) x x 1 I2 = ∫ Câu Đặt t = x suy x = t2 suy dx = 2tdt Đổi cận: x = ta t = 1; x = ta t = 2 ln ( t + 1) Do I = ∫ dt t 0,25 Đáp án 1 t +1 Đặt u = ln(t + 1), dv = dt, ta du = dt , v = − t t t +1 Khi đó: 2 dt 2 ln ( t + 1) t +1 t +1 ∫1 t dt = − t ln ( t + 1) + ∫1 t = − t ln ( t + 1) + ln t = 3ln − ln Vậy I = ln + ln − 3ln Điểm Câu 1,0 điểm 0,25 0,25 S K D E A C H N B M Gọi H trung điểm cạnh AC, SH ⊥ AC , (SAC) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC) Trong tam giác ABC ta có BC = AB.tan600 = 3a , AC = 2a = 600 Từ giả thiết MB = − CB suy CM = 4a góc SMH =a Trong tam giác MHC ta có: MH2 = CM2 + CH2 – 2.CM.CH.cos MCH Xét tam giác vng SMH ta có SH = HM.tan600 = a 21 3a (đvtt) Vậy VS ABC = AB.BC.SH = Trong mặt phẳng (ABC) lấy điểm D cho ABCD hình chữ nhật Khi AD//BC nên BC // (SAD), gọi N trung điểm BC ta có d ( BC , SA) = d ( BC , ( SAD) ) = d ( N , ( SAD) ) = 2d ( H , ( SAD) ) Gọi E trung điểm AD, K hình chiếu vng góc H lên SE ta có: (SAD) ⊥ (SHE) HK ⊥ (SAD) Từ suy d ( H , ( SAD) ) = HK Trong tam giác SHE ta có: 0,25 0,25 0,25 0,25 1 29 a 609 ⇒ HK = = + = 2 2 HK HE HS 21a 29 2a 609 29 2x + y Từ giả thiết ta có: z = xy − Vậy d ( BC , SA ) = Câu 1,0 điểm Ta đưa tốn tìm f ( x, y ) = x + y + Câu Đáp án Cố định x, coi f(x, y) hàm số theo biến y, ta có: f ' ( x, y ) = − 14 0,25 x + 28 + điểm cực tiểu 2x Do đó: f ( x, y ) ≥ f ( x, y0 ) = x + x + 28 11 + = g ( x) 2x x 0,25 11 , g '( x) = ⇔ x = x2 x2 + x Xét dấu g’(x) ta x = điểm cực tiểu 15 Vậy minf(x, y) = g(3) = A Theo chương trình chuẩn Đáp án Đặt DM = x (x > 0), đó: A B AB = CD = 4x, AD = BC = 2BN = 2x Ta có S ∆AMN = S ABCD − S ∆ADM − S ∆MCN − S ∆ABN Ta có g '( x) = − − = 8x2 − x2 − N C M D 0,25 Điểm x + 28 x + 28 + , ' , = ⇔ = f x y y ( ) (2 xy − 7)2 2x Xét dấu f’(x, y) ta y0 = Câu Câu 7b 1,0 điểm 2x + y , với x, y > 0, 2xy – > xy − Do ta có: x = 1, suy AM = Điểm 0,25 3x x2 − 2x2 = 2 Mặt khác 1 7x S ∆AMN = d ( M , AN ) AN = x 17 = 2 17 0,25 0,25 Gọi A(a; 4a + 5) thuộc AN Khi AM = 0,25 5⇔ ( a − 1) + (4a + 3)2 = a = −1 ⇔ 17 a + 22a + = ⇔ a = − 17 nên a = -1 Vậy tọa độ A ( −1;1) Vì I thuộc trục hồnh nên tọa độ I ( a; 0;0 ) 0,25 Vì xA < − Câu 8a 1,0 điểm Mặt cầu qua A O nên ta có: IA = IO ⇔ ( a − 1) + = a2 ⇔ a = Vậy phương trình mặt cầu: ( x − 3) + y + z = 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 9a 1,0 điểm Số phần tử tập A là: n(A) = A64 = 2160 Gọi B tập hợp tất số có chữ số phân biệt có chữ số đứng cạnh Ta “buộc” với xem số n Khi số tập B thành lập từ chữ số 0; n; 3; 4; 5; 6, với ý n ∈ {12; 21} Xem số tập B có chữ số phân biệt thiết có mặt chữ số n abcd Nếu a = n, có A53 cách chọn cho b, c, d Nếu a ≠ n, có vị trí đặt chữ số n, cách chọn a A42 cách chọn cho hai chữ số lại Do có: n(B) = ( A53 + 12 A42 ) = 408 0,25 0,25 0,25 n( B) 408 17 = = n( A) 2160 90 B Theo chương trình Nâng cao Đáp án TH1: AMB = 600 Vậy xác suất cần tìm: P = Câu Câu 7b 1,0 điểm 0,25 Điểm AI = , suy M thuộc sin 300 đường trịn tâm I bán kính IM có phương Khi IM = (d) A trình: ( x − 1) + ( y − 1) = M I B 0,25 Để (d) tồn điểm M thỏa mãn yêu cầu tốn m−2 d ( I , (d ) ) = IM ⇔ =1⇔ m = m +1 0,25 AMB = 1200 TH2: AI , suy M thuộc đường tròn tâm I bán kính IM có phương = sin 60 2 trình: ( x − 1) + ( y − 1) = Để (d) tồn điểm M thỏa mãn u cầu tốn m−2 ± 14 = ⇔m= d ( I , (d ) ) = IM ⇔ 2 m +1 Khi IM = ± 14 m = Vì tâm I thuộc mp(Oyz) nên I(0; b; c) Do (S) qua A, M, O nên ta có: AI = MI = OI ⇔ AI2 = MI2 = OI2 Ta có: AI2 = + (b – 1)2 + (c – 2)2, IM2 = + (b – 1)2 + c2, OI2 = b2 + c2 Do ta có: b = c = suy tọa độ I(0; 1; 1) Vậy phương trình mặt cầu cần tìm: x2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 = ĐK: x ≥ < y ≤ 0,25 0,25 Vậy giá trị cần tìm: m = Câu 8b 1,0 điểm Câu 9b 1,0 điểm Ta có pt thứ hai tương đương với: log ( 3x ) = log ( y ) ⇔ x = y Khi ta có pt: x −1 + − x = ⇔ x = x = ( x − 1)( − x ) = ⇔ Vậy nghiệm hệ phương trình: (x; y) = (1; 1) (x; y) = (2; 2) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ...Câu Câu 2,0 điểm ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Đáp án Điểm a) (1,0 điểm) * Tập xác định: D = R \ {1} * Sự biến thi? ?n: - Chiều biến thi? ?n: −3 Ta có: y '' = < 0, ∀x ∈ D ( x − 1) 0,25 Hàm... biệt có chữ số đứng cạnh Ta “buộc” với xem số n Khi số tập B thành lập từ chữ số 0; n; 3; 4; 5; 6, với ý n ∈ {12; 21} Xem số tập B có chữ số phân biệt thi? ??t có mặt chữ số n abcd Nếu a = n, có A53... ABC ta có BC = AB.tan600 = 3a , AC = 2a = 600 Từ giả thi? ??t MB = − CB suy CM = 4a góc SMH =a Trong tam giác MHC ta có: MH2 = CM2 + CH2 – 2.CM.CH.cos MCH Xét tam giác vng SMH ta có SH