2014 1 1 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2013 2014 Môn TOÁN; Khối D Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát để I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,[.]
www.LuyenThiThuKhoa.vn www.NhomToan.com ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn: TỐN; Khối D Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian phát để I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3mx + 4m3 có đồ thị (Cm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = Tìm m để (Cm) có điểm cực đại, cực tiểu phía đường thẳng x − y + = Câu II: (2,0 điểm) π Giải phương trình: tan x − = tan x − 4 Giải phương trình: log ( x + 1) + = log 2 − x + log8 ( + x ) Câu III: (1 điểm) Tính tích phân I= ∫x − x dx Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A Có SA = AB = a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) 60o Tính thể tích khối chóp S.ABC Trong tam giác SAC vẽ phân giác góc A cắt cạnh SC D Tính khoảng cách hai đường thẳng AC BD Câu V: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng cho n đường thẳng đôi cắt cho khơng có ba đường đồng quy n đường thẳng chia mặt phẳng thành miền khơng có điểm chung trong, có miền đa giác Tính theo n số đa giác PHẦN RIÊNG: (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A ( 0; ) , B ( 5;0 ) đường thẳng ( d ) : x − y + = Lập phương trình hai đường thẳng qua A, B nhận đường thẳng (d) làm đường phân giác Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(0;0; −3), B ( 2;0; −1) mặt phẳng ( P ) :3x − y + z − = a) Tìm tọa độ giao điểm I đường thẳng AB với mặt phẳng (P) b) Tìm tọa độ điểm C nằm mp(P) cho ABC tam giác Câu VII.a: (1,0 điểm) Cho M, N hai điểm mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự số phức z, w khác thỏa mãn đẳng thức z + w2 = zw Chứng minh tam giác OMN tam giác B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : x + y − x + y − 10 = điểm M (1;1) Lập phương trình đường thẳng qua M cắt (C) A, B cho MA = 2MB 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) mặt cầu (S) có phương trình x − y + z − = 0; x + y + z − x + y − z − = a) Xét vị trí tương đối mặt cầu (S) mặt phẳng (P) b) Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua mặt phẳng (P) Câu VII.b: (1,0 điểm) Cho số thực dương x, y Tìm giá trị nhỏ biểu thức x2 ( x + y ) + y2 ( y + x ) P= x4 y + x2 y4 - Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Câu Phần a) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ Mơn: Tốn D Nội dung 3 có đồ thị (Cm) Cho hàm số y = x − 3mx + 4m Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = Tìm m để (Cm) có điểm cực đại, cực tiểu phía đường thẳng x − y + = Điểm 2,0 điểm Khi m = ta có y = x3 − x + Tập xác định D = R Sự biến thiên: y ' = x − x ; y ' = ⇔ x = x = 0,25 Các khoảng đồng biến : ( −∞;0 ) ( 2; +∞ ) 0,25 Khoảng nghịch biến: ( 0; ) Hàm số đạt cực tiểu x = 2, yCT = ; đạt cực đại x = 0, yCÐ = Giới hạn lim y = −∞; lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ Bảng biến thiên: −∞ x y' Câu I 0 + - + +∞ y −∞ +∞ 0,25 Đồ thị: 0,25 -5 -2 b y ' = x − 6mx; y ' = ⇔ x = x = 2m 0,25 Các điểm cực trị: 0,25 A ( 0; 4m3 ) ; B ( 2m;0 ) Hai điểm cực trị nằm phía với đường thẳng x − y + = ( − 8m Câu II + ) ( 6m + ) > −4 ⇔ ( m − 1)( 3m + ) < ⇔ m ∈ ;1 −4 Kết luận: Vậy m ∈ ;1 thỏa mãn yêu cầu đề π Giải phương trình: (1) tan x − = tan x − 4 0,25 0,25 1,0 điểm 3π π π x − ≠ + kπ x ≠ + kπ ⇔ Điều kiện: π x ≠ + kπ x ≠ π + kπ 2 0,25 ( sin x − cos x ) = sin x − cos x ⇔ cos x ( sin x + cos x ) ( sin x − cos x )2 ⇔ ( sin x − cos x ) − =0 ( sin x + cos x ) cos x ⇔ ( sin x − cos x ) ( sin x + 2sin x cos x + 5sin x cos x ) = 0,25 (1) 0,25 sin x = sin x = ⇔ ⇔ x x sin cos − = sin x − cos x = 2 sin x + sin x cos x + cos x = x = kπ sin x = ⇔ ⇔ x = π + kπ − = x x sin cos Kết luận x = kπ x = π 0,25 Thỏa mãn ĐK + kπ Giải phương trình: log ( x + 1) + = log 2 − x + log8 ( + x ) 1,0 điểm 0,25 (2) x ≠ −1 Điều kiện: x < x ≠ −4 ⇔ log x + + log = log ( − x ) + log ( + x ) (2) 0,25 ⇔ log ( x + ) = log (16 − x ) ⇔ x + = 16 − x x > −1 x > −1 x > −1 TH1: ⇔ ⇔ x = ⇔ x = x + x − 12 = x + x − 12 = x = −6 x > −1 x < −1 ⇔ x = + ⇔ x = − TH2: x − x − 20 = x = − 0,25 (TM) 0,25 (TM) Kết luận: x = − Câu III 1,0 điểm Tính tích phân I= ∫x − x dx I = ∫ x − x dx = − Câu IV 1 1 2 x d x − x2 − − = − ∫ 20 ( ) ( ) ( ) = ( 5 −8 ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A Có SA = AB = a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc đường thẳng 1,0 điểm SC mặt phẳng (ABC) 60o Tính thể tích khối chóp S.ABC Trong tam giác SAC vẽ phân giác góc A cắt cạnh SC D Tính khoảng cách hai đường thẳng AC BD 1) SA = AB = a S = 60o SCA ⇒ AC = a a2 S ABC = a.a = 2 a a3 VS ABC = a = 2 H K A D B 0,5 C ( H ∈ SA) Kẻ AK ⊥ BH ( K ∈ BH ) 0,5 Kẻ DH // AC Suy AC // mp(BDH) d ( AC , BD ) = d ( A, ( BDH ) ) = AK Ta có ) ( 3a − ( ) ⇔ AK = a ) 3− 15 − 5−2 Trong mặt phẳng cho n đường thẳng đôi cắt cho khơng có ba đường đồng quy n đường thẳng chia mặt phẳng thành miền khơng có điểm chung trong, có miền đa giác Tính theo n số đa giác Giải Chẳng hạn vẽ n đường thẳng thỏa mãn đề Ta rút bớt đường thẳng Như n – giao điểm Số miền [(n – 1) +1] = n miền Lần lượt rút n đường thẳng mặt phẳng Số miền bị n + (n – 1) + (n – 2) + + + lại mặt phẳng n ( n + 1) + miền Suy n đường thẳng lúc đầu chia mặt phẳng thành ⇒ AK = Câu V ( a 3− HA DC AC = = Tính HA = HS DS AS 1 1 + = ⇒ + = 2 2 AK AH AB AK 3a a2 − điểm 0,5 0,25 Số giao điểm mà n đường thẳng tạo hữu hạn Vẽ đường tròn đủ lớn để tất điểm nằm bên đường trịn Ta nhận 2n giao điểm n đường thẳng đường tròn Suy số miền đa giác 2n miền n ( n + 1) n − 3n + + − 2n = Vậy số miền đa giác thỏa mãn đề : 2 PHẦN RIÊNG Câu VIa Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A ( 0; ) , B ( 5;0 ) đường thẳng ( d ) : x − y + = Lập phương trình hai đường thẳng qua A, B nhận đường thẳng (d) làm đường phân giác - Lấy B’ đối xứng với B qua d Giả sử H ∈ d cho BH ⊥ d 2t + 2t + Suy H = t ; ⇒ BH = t − 5; 2t + BH ⊥ d ⇔ ( t − ) + =0⇔t= −1 11 11 ⇒ B' = ; ⇒ H = ; 2 4 - Phương trình đường thẳng AB’ 3x + y − = - Tìm giao điểm I d AB’: Tọa độ I nghiệm hệ x = 2 x − y + = ⇔ 3x + y − = y = 11 Hai đường thẳng cần tìm AI BI Phương trình AI : x + y − = Phương trình BI : x + y − = a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(0;0; −3), B ( 2;0; −1) mặt phẳng ( P ) :3x − y + z − = a) Tìm tọa độ giao điểm I đường thẳng AB với mặt phẳng (P) b) Tìm tọa độ điểm C nằm mp(P) cho ABC tam giác Giả sử I = ( x; y; z ) Khi AB = ( 2; 0; ) , AI = ( x; y; z + 3) Vì AI AB phương nên có số k cho AI = k AB hay x = 2k y=0 y=0 ⇒ x − z − = z + = 2k Mặt khác, I ∈ ( P ) nên x − y + z − = Vậy ta có hệ: 0,25 điểm 0,5 0,5 1,0 điểm 0,5 11 x= y=0 4 11 − − = ⇔ = 0 ⇒ I = ;0; − x z y 5 5 3 x − y + z − = z = − b Ta có AB = 2 Giả sử C = ( x; y; z ) 0,5 x + y + ( z + 3)2 = CA = 2 2 Ta phải có CB = 2 ⇔ ( x − ) + y + ( z − 1) = C ∈ ( P) 3x − y + z − = x + y + ( z + 3)2 = x + z +1 = ⇔ 3x − y + z − = Giải hệ ta có hai nghiệm có hai điểm C: 2 1 C ( 2; −2; −3) , C − ; − ; − 3 3 Cho M, N hai điểm mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự số phức z, w khác thỏa mãn đẳng thức z + w2 = zw Chứng minh tam giác OMN tam giác Ta cần chứng minh OM = ON = MN Câu VIIa điểm 1,0 z + w = z−w Tức 2 3 z = w ( z − w ) z = w z − w Từ z + w = zw ⇔ ⇒ ⇒ z = w ⇒ z = w w = z ( w − z ) w = z z − w 2 Suy z = w = z − w Câu VI.b Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : x + y − x + y − 10 = điểm M (1;1) Lập phương trình đường thẳng qua M cắt (C) A, B cho MA = 2MB Gọi I tâm đường tròn (C) ⇒ I = (1; −1) điểm 0,5 Đường trịn (C) có bán kính R = IM = ( 0; ) ⇒ IM = < R nên M nằm (C) Tức MA = −2 MB x = −2 xB + xM x A − xM = −2 ( xB − xM ) ⇔ ⇔ A y A = −2 y B + y M y A − yM = −2 ( yB − yM ) Giả sử B = ( a; b ) ⇒ A = ( −2a + 3; −2b + 3) ; Ta có hệ a + b − 2a + 2b − 10 = 2 ( 2a − 3) + ( 2b − 3) + ( 2a − 3) − ( 2b − 3) − 10 = 239 a = + 239 15 239 ; MB = ; B = 1 + 8 8 ⇔ a = − 239 ⇒ ⇒ 239 B = 1 − 239 ; 15 = − MB ; 8 8 b= Được hai phương trình đường thẳng: ( x − 1) − 239 ( y − 1) = 0,5 ( x − 1) + 239 ( y − 1) = a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) mặt cầu (S) có phương trình x − y + z − = 0; x + y + z − x + y − z − = a) Xét vị trí tương đối mặt cầu (S) mặt phẳng (P) b) Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua mặt phẳng (P) Mặt cầu (S) có tâm I (1; −2; ) bán kính R = d ( I ; ( P )) = b 2.1 − ( −2 ) + 2.4 − điểm 0,5 =3