THI THU LAN III NAM 2014 ban cuoi SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN III NĂM 2014 MÔN TOÁN; KHỐI A, A1, B, V Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu[.]
SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN III NĂM 2014 MÔN: TOÁN; KHỐI: A, A1, B, V Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian phát đề www.LuyenThiThuKhoa.vn www.NhomToan.com Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = − x + 2mx − (1), m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông cân sin2x + sin x − 3(1 − cos4x)(1-2sin x) =0 tanx-1 x + y + y − 5x + = Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ( x, y ∈ ℝ ) 3 5 x − x y − x y = xy − x + y Câu (1,0 điểm) Giải phương trình x3 − x Câu (1,0 điểm) Tính tích phân ∫ dx x +1 Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAD = 600 , SA = SB = SD, tam giác SAC vuông S, M trung điểm SC Tính thể tích khối chóp S.ABCD tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBMD theo a Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z số thực không âm x + y > Tìm giá trị lớn biểu thức P= x + y + z2 + z + − ( x + y )3 ( z + 2)3 Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm A thuộc đường thẳng d : x + y − = , đường trịn đường kính AC có phương trình ( x − 1)2 + ( y − 2)2 = 20 cắt đường thẳng BC điểm H (-3; 0), (H ≠ C) , biết cosABC = −1 Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết điểm C có hồnh độ số nguyên Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x −1 y −1 z x +1 y − z +1 x + y + z − x − y − = hai đường thẳng d1 : d2 : = = = = −1 1 −2 Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với hai đường thẳng d1, d2 cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có bán kính Câu (1,0 điểm) Cho n số nguyên dương thỏa mãn 2Cn3 + Cn1 = 46 Tìm số hạng chứa x n 3x − , x ≠ khai triển nhị thức Niutơn x Hết - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Cảm ơn Việt Lưu Tuấn (tuanviet96hd@gmail.com) đã gửi tới www.laisac.page.tl SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG CÂU (2,0 đ) ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN III NĂM 2014 MƠN: TỐN; KHỐI: A, A1, B, V (Đáp án - thang điểm gồm 05 trang) ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐÁP ÁN ĐIỂM (1,0 điểm) Khi m=3, khảo sát y = − x + x − * Tập xác định: ℝ * Sự biến thiên: y ' = −4 x3 + 12 x; ( ) ( y ' < ∀x ∈ − 3; ∪ ) x = y' = ⇔ x = ± 0,25 ( ) ( 3; + ∞ ; y ' > ∀x ∈ −∞; − ∪ 0; ( ) ( 3; + ∞ ) ; ) ( 0; ) ) ⇒ Hàm số nghịch biến khoảng − 3; Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; − 0,25 Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = ± , y C § = Hàm số đạt cực tiểu x = , y CT = −5 Giới hạn: lim y = lim ( − x + x − ) = −∞; x →−∞ lim y = lim ( − x + x − ) = −∞ x →−∞ Bảng biến thiên: x −∞ − y' y + − x →+∞ 0 x →+∞ +∞ + − −5 −∞ * Đồ thị: Đồ thị cắt trục Oy điểm (0; -5) ; cắt trục hoành điểm (− 5;0), ( 5; 0), (−1; 0), (1; 0) Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng 0,25 −∞ 0,25 (1,0 điểm) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu x = y ' = −4 x + 4mx = x(− x + m); y ' = ⇔ x = m Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ pt y ' = có ba nghiệm phân biệt ⇔ m > 0,25 Khi m > đồ thị hàm số có điểm cực trị A(0; -5), B (− m ; m − 5), C( m ; m − 5) ⇒ AB = AC 2 0,25 Tam giác ABC cân A nên tam giác ABC vuông cân ⇔ AB.AC = 0,25 AB (− m ; m ), AC( m ; m ) ⇒ AB AC = − m + m = m(m − 1) Khi AB AC = ⇔ m(m − 1) = ⇔ m = (vì m > 0) 0,25 Vậy m = giá trị cần tìm (1,0 đ) Giải phương trình sin2x + sin x − 3(1 − cos4x)(1-2sin x) = tanx-1 π x ≠ + kπ cosx ≠ Điều kiện: ⇔ , k ∈ℤ π tanx ≠ x ≠ + kπ Phương trình cho tương đương với 2sin x cos2 x − sin 2 xcos2 x = 0,25 ⇔ sin x cos x − sin x sin x = 0,25 ⇔ sin x (cos2x − sin x ) = kπ ,k ∈Z x = kπ • Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x = −π + kπ π π • • sin x = ⇔ 4x=kπ ⇔ x = cos2x − sin x ⇔ tan x = ⇔x= 12 +m , m ∈ Z (thỏa mãn) −π x = kπ ; x = + kπ ; k ∈ Z Vậy phương trình có nghiệm (1,0 đ) 0,25 x + y + y − x + = Giải hệ phương trình 3 5 x − x y − x y = xy − x + y x= π 12 +m π 0,25 , m∈Z ( x, y ∈ ℝ ) Hệ phương trình cho tương đương: x + y + y − x + = x4 + y + y − 5x + = ⇔ ( x + 1)(5 x − y − xy ) = 5 x − y = xy 0,25 x + y − xy + = (1) ⇔ 5 x − y = xy (2) 0,25 Nhận xét: x + y ≥ x y ⇒ x + y − xy + ≥ x y − xy + = 2( xy − 1) ≥ 4 2 4 2 x2 = y2 x = y = Suy (1) ⇔ ⇔ x = y = −1 xy = Thay x = y = vào phương trình (2) thấy thỏa mãn Thay x = y = -1 vào phương trình (2) thấy không thỏa mãn Vậy, ( x; y ) = (1;1) nghiệm hệ phương trình (1,0 đ) 0,25 0,25 x3 − x ∫0 x + dx Tính tích phân x3 − x x3 2x dx = ∫0 x + ∫0 x + dx − ∫0 x + dx = I1 − I 1 x3 d ( x + 1) ln I1 = ∫ dx = ∫ = ln( x + 1) = x +1 x +1 4 0 1 0,25 0,25 I2 = ∫ 2x dx x +1 Đặt x = tan t ⇒ xdx = π dt π ; x = tan t ; x = 0, t = 0; x = 1, t = cos t π 0,25 dt π I2 = ∫ = ∫ dt = 2 (tan t + 1)cos t 4 x3 − x ln − π ∫0 x + dx = Vậy (1,0 đ) 0,25 Tính thể tích Vì SA = SB = SD nên hình chiếu điểm S xuống mặt phẳng (ABCD) H HA = HB = HD suy H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Mà tam giác ABD (vì BAD = 600 AB =AD =a) => H trọng tâm tam giác ABD ⇒ H ∈ AC AH= Do tam giác SAC vuông S nên ta có AH AC = AS2 ⇒ AS= ⇒ SH = SA2 − AH = a − AC 0,25 AC = a a 2a = ⇒ SH = a 3 0,25 Thể tích hình chóp S.ABCD V = SH S ABCD = a a = a 3 Ta có: SA = SB = SD = CB = CD = a nên BM ⊥ SC , DM ⊥ SC , SC = a Gọi O = AC ∩ BD MO đường trung bình tam giác SAC ⇒ MO = SA a BD = = 2 0,25 Suy tam giác MBD vng M, tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác MBD O Kẻ Ox//SM, từ trung điểm J SM kẻ đường thẳng song song với MO, cắt đường thẳng Ox I IS = IB = IM = ID, hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SMBD a a 3a a SC IM = IO + MO = + = ⇒ IM = + MO = 8 a Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SMBD R = (1,0 đ) 2 Tìm giá trị lớn biểu thức P= x + y + z + 2z + 2 2 − 0,25 ( x + y )3 ( z + 2)3 P= x + y + ( z + 1)2 + 1 ta có P = x + y + t +1 2 − − ( x + y )3 ( z + 2)3 Đặt z + = t ≥ ( x + y )3 (t + 1)3 Áp dụng bất đẳng thức: a + b ≥ (a + b) , ∀ a, b dấu “=” xảy a = b ta có Suy 1 x + y ≥ ( x + y ) , t + ≥ (t + 1)2 2 1 x + y + t + ≥ ( x + y + t + 1) ⇒ x + y + t + ≥ ( x + y + t + 1) (1) 2 0,25 a+b ab ≤ , ∀a, b dấu “=” a = b, Lại có x + y + t +1 nên ( x + y )(t + 1) ≤ (2) 32 từ (1) (2 ) suy P ≤ − x + y + t + 3( x + y + t + 1)3 Đặt a = x + y + t + ≥ 2 32 Xét hàm số f (a ) = − với a ∈ [ 2; +∞) a 3a −2 32 f '(a) = + , f '(a) = ⇔ a = (v× a ≥ 2), a a Suy bảng biến thiên 0,25 0,25 f '(a) > ∀a ∈ [ 2; 4) 0,25 Từ bảng biến thiên suy ra: f (a ) ≤ , dấu “=” xảy a = , Suy giá trị lớn P (1,0 đ) đạt x = y = t = ⇔ x = y = 1; z = Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Từ giả thiết suy tâm đường trịn đường kính AC M(1 ; 2) trung điểm cạnh AC Vì A ∈ d nên A(a; − 3a + 3a ) C (2 − a; ), 2 0,25 H thuộc đường tròn đường kính AC nên HA ⊥ HC ⇒ HA.HC = − 3a 3a + HA = a + 3; ; HC − a; HA.HC = ⇔ −13a + 14a + 75 = ⇔ a = a = −25 51 ⇒ xC = không thỏa mãn ; 13 13 * a = ⇒ A(3; −2), C (−1;6) −25 13 0,25 * a= Phương trình đường thẳng BC qua hai điểm C(-1 ; 6) H(-3 ; 0) 3x − y + = ⇒ B (b;3b + 9) 0,25 BA = (3 − b; −11 − 3b); BC = (−1 − b; −3 − 3b) BA.BC = 10b + 40b + 30, BA = 10b + 60b + 130, BC = 10b + 20b + 10 cos ABC = cos( BA, BC ) = BA.BC BA BC b + 4b + = b + 6b + 13 b + 2b + 2 = 10b + 40b + 30 10b + 60b + 130 10b + 20b + 10 b + 4b + < ⇔ ⇔ b = −2 ⇒ B (−2;3) + + = b b =− 0,25 Vậy A(3 ; -2), B(-2 ; 3), C(-1 ; 6) (1,0 đ) Viết phương trình mặt phẳng (P) song song d1, d2… Mặt cầu (S) tâm I(1; 1; 0) bán kính R=3 mặt phẳng (P) song song với hai đường thẳng d1, d2 có véctơ phương 0,25 u1 (1; −1;1); u2 (1; −2;3) suy vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) n = u2 , u1 = (1; 2;1) (1,0 đ) Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: x + y + z + D = + 2.1 + + D = d ( I ;( P)) = R − r = − = ⇔ ⇔ D + = ⇔ D = D = −9 Vậy phương trình mặt phẳng (P) x + y + z + = x + y + z − = Cho n số nguyên dương thỏa mãn 2Cn3 + Cn1 = 46 … n(n − 1)(n − 2) + n = 46 ⇔ n3 − 3n + 5n − 138 = ⇔ n = ta có 2Cn3 + Cn1 = 46 ⇔ n 3x 3x 3x Khi đó: − = − = ∑ C6i x x i =1 (đk n ≥ , n ∈ Z ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 −i i −1 3 = ∑ C6i x i =1 −i (−1)i x12−3i 0,25 Số hạng chứa x9 tương ứng với 12 -3i = ⇔ i=1, số hạng cần tìm 3 C 2 6 −1 (−1) x 12 −3 −729 = x 16 0,25 Chú ý: Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa - HẾT Cảm ơn Việt Lưu Tuấn (tuanviet96hd@gmail.com) đã gửi tới www.laisac.page.tl ... THPT HỒNG QUANG CÂU (2,0 đ) ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN III NĂM 2014 MƠN: TỐN; KHỐI: A, A1, B, V (Đáp án - thang điểm gồm 05 trang) ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐÁP ÁN ĐIỂM (1,0 điểm) Khi m=3,... m để hàm số có cực đại, cực tiểu x = y '' = −4 x + 4mx = x(− x + m); y '' = ⇔ x = m Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ pt y '' = có ba nghiệm phân biệt ⇔ m > 0,25 Khi m > đồ thị hàm số có điểm cực... chiếu điều kiện ta có nghiệm x = −π + kπ π π • • sin x = ⇔ 4x=kπ ⇔ x = cos2x − sin x ⇔ tan x = ⇔x= 12 +m , m ∈ Z (thỏa mãn) −π x = kπ ; x = + kπ ; k ∈ Z Vậy phương trình có nghiệm (1,0 đ)