Microsoft Word Thi thu lan 2 khoiD 2014 doc TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC – HUẾ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 Tổ Toán Môn TOÁN; khối D – Năm học 2013 2014 Thời gian 180 phút (không kể thời gian phát đề) I PH[.]
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN Mơn: TỐN; khối D – Năm học: 2013 - 2014 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) - TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC – HUẾ Tổ Toán www.LuyenThiThuKhoa.vn www.NhomToan.com I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 3mx + (1) , m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = b) Tìm m ∈ để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị đường thẳng qua hai điểm cực trị tạo với trục Ox góc ϕ mà cos ϕ = π π Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: sin x + sin x = cos2 − x − cos2 + x ( x ∈ ) 4 4 Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: x + + x − = x − + x2 − x + ( x ∈ ) Câu (1,0 điểm) Cho (H) hình phẳng giới hạn đường: y = ( x − 1) ln x , y = 0, x = e Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình (H) quanh trục Ox Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi Biết tứ diện SABD tứ diện cạnh a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng BD SC Câu (1,0 điểm) Cho x y hai số thực dương thay đổi cho log2 ( x + y ) = + log2 x + log2 y 32 x + 3−2 y 3x +1 + 3− y II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần ( phần A phần B) A Theo chương trình Chun Câu 7a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có BD = 2AC, điểm H ( 2; −1) , phương trình Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = đường thẳng BD x − y = Gọi M trung điểm cạnh CD Giả sử H hình chiếu vng góc điểm A đường thẳng BM Viết phương trình đường thẳng AH Câu 8a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x − y + z − = hai điểm A ( 0;0;2 ) , B (1; −1;0 ) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc mặt phẳng Oxy, qua hai điểm A, B tiếp xúc với (P) Câu 9a (1,0 điểm) Có hai hộp A B đựng viết Hộp A gồm viết màu đỏ viết màu xanh Hộp B gồm viết màu đỏ viết màu xanh Lấy ngẫu nhiên lúc từ hộp viết Tính xác suất cho hai viết lấy có màu A Theo chương trình Nâng cao Câu 7b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có AD BC hai đáy, AB = BC = Biết điểm E (2;1) thuộc cạnh AB, điểm F (−2; −5) thuộc cạnh AD phương trình đường thẳng AC x − y − = Tìm tọa độ đỉnh A, B x −1 y − z = = mặt cầu (S) có Câu 8b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : −1 phương trình ( x − 3)2 + ( y − 2)2 + ( z + 1)2 = 25 Tìm tọa độ điểm A đường thẳng ∆ tọa độ điểm B mặt cầu (S) cho A B đối xứng qua trục Ox Câu 9b (1,0 điểm) Tìm số phức z, biết z.z = z − − z số ảo -HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:………………………………………… Số báo danh:………… ĐÁP ÁN THỬ ĐẠI HỌC LẦN TRƯỜNG THPT CHUN QUỐC HỌC Mơn: TỐN; khối D – Năm học: 2013 - 2014 Tổ Toán Điểm Đáp án Câu 1a • Khi m = hàm số trở thành: y = x − x + 0,25 • Tập xác định: D = • Giới hạn: lim y = +∞, lim y = −∞ x →+∞ x →−∞ Sự biến thiên: x = y ' = 3x − x , y ' = ⇔ x = • Bảng biến thiên: x 0,25 -∞ + y' - 0 +∞ + +∞ y 0,25 -2 -∞ • Hàm số đồng biến (−∞;0) (2; +∞) , nghịch biến (0;2) Hàm số đạt cực đại x = 0, yCD = ; hàm số đạt cực tiểu x = 2, yCT = −2 • Đồ thị: y -1 O 0,25 x -2 1b x = Ta có: y ' = x − 6mx; y ' = ⇔ x = 2m Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị ⇔ y ' = có nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ Gọi A ( 0;2 ) , B ( m; −4 m + ) điểm cực trị đồ thị hàm số (1) Khi đường thẳng qua hai điểm cực trị có vectơ phương AB = ( m; −4 m3 ) có vectơ pháp tuyến n = ( m ;1) Trục Ox có vectơ pháp tuyến j = (0;1) Đường thẳng qua hai điểm cực trị tạo với trục Ox góc ϕ Ta có: n⋅ j 1 1 cos ϕ = ⇔ cos n, j = ⇔ = ⇔ = 5 5 n j 4m + ( ) 0,25 0,25 0,25 ⇔ m + = ⇔ m = ±1 (thỏa mãn điều kiện m ≠ ) Vậy m = m = −1 0,25 π π π π Ta có: cos2 − x − cos2 + x = + cos − x − − cos + x = sin x + sin x 4 4 2 2 0,25 Phương trình cho tương đương với: sin x + sin x = sin x + sin x ⇔ 2sin x cos x = sin x cos x ⇔ cos x = cos x sin x = x = k 2π x = x + k 2π ⇔ cos x = cos x ⇔ (k ∈ ) k 2π x = x x k = − + 2 π kπ sin x = ⇔ x = (k ∈ ) kπ Vậy phương trình có nghiệm x = Chú ý: Nếu thí sinh khơng ghi k ∈ , khơng gộp nghiệm khơng trừ điểm Điều kiện: x ≥ Đặt a = x − ( a ≥ ) , ta có: x = a + Phương trình cho trở thành: a + a4 + = x −1 + ( x −1 Xét hàm số f ( t ) = t + t + với t ≥ Ta có f ' ( t ) = + ) +2 2t t4 + 0,25 0,25 0,25 0,25 (1) > 0, ∀t ≥ 0,25 Suy hàm số f ( t ) đồng biến [ 0; +∞ ) (1) ⇔ f ( a ) = f ( ) x −1 ⇔ a = x −1 ⇔ 2x −1 = x −1 0,25 x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ x =2+ x = ± x − x + = 0,25 Vậy phương trình cho có nghiệm x = + Tập xác định: D = [1; +∞ ) Phương trình hồnh độ giao điểm đường y = ( x − 1) ln x với y = là: ( x − 1) x ≥ ln x = ⇔ ln x = ⇔ x = Do x ≥ nên y = ( x − 1) ln x ≥ 2 x − = e ( ) e Thể tích vật thể cần tính là: V = π ∫ (2 x − 1) ln x dx = π ∫ (2 x − 1)2 ln xdx 0,25 u = ln x , ta có Tính I = ∫ (2 x − 1)2 ln xdx Đặt dv = (2 x − 1) e e 0,25 e dx du = x v = (2 x − 1) 0,25 e e x3 (2 x − 1)3 (2 x − 1)3 (2 x − 1)3 ln x 8e3 − 9e2 + I= dx = − x2 + x − = ln x − ∫ ln x − x 6 9 1 1 Vậy V = π 8e3 − 9e2 + 0,25 S H D A Gọi G hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) Vì tứ diện SABD nên G trọng tâm tam giác ABD a2 Ta có S ABCD = S∆ABD = 0,25 G O C B Trong tam giác vng SGA, ta có: SG = SA2 − GA2 = a2 − a2 a = 3 a3 Do đó: VS ABCD = S ABCD SG = Gọi O tâm hình thoi Gọi H hình chiếu vng góc O SC, suy OH ⊥ SC DB ⊥ BC ⇒ DB ⊥ ( SAC ) ⇒ DB ⊥ OH DB ⊥ SG 0,25 0,25 Vậy OH đoạn vng góc chung SC BD nên d ( DB, SC ) = OH , SC = a a a HO CO CO.GS = a = ⇒ HO = = ∆CHO ∼ ∆CGS ⇒ GS CS CS 2a Chú ý: Thí sinh dùng phương pháp tọa độ không gian để giải 0,25 Từ giả thiết log2 ( x + y ) = + log2 x + log2 y suy x + y = xy ≤ 2( x + y)2 ⇒ x + y ≥ 0,25 32 x + 3−2 y 32 x + y + 1 = Đặt t = 3x + y Vì x + y ≥ nên t ≥ −y x +1 x+ y +3 3⋅3 +1 2 t +1 Lúc P = = f (t ) 3t + 0,25 Ta có : P = Xét hàm số f (t ) = t −3 t2 + 3; +∞ Ta có f '(t ) = ; f '(t ) = ⇔ t = 2 3t + + + t t 1 ( ) ) Bảng biến thiên : t 3 0,25 f'(t) f(t) ∞ +∞ 3 +1 10 2+ x + y = x= Vậy P ≥ Dấu "=" xảy x + y = xy ⇔ 10 2 − x, y > y = Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 10 2− x = 2+ y = 0,25 7a A I B D Gọi I tâm hình thoi G giao điểm BM với AC G trọng tâm tam giác BCD Trong tam giác vng BIG, ta có: IG IG = IG = = sin IBG 2 BG BI + IG (6 IG )2 + IG G H = M = Suy cos ( BD, AH ) = sin IBG C Gọi n = ( a; b ) với a2 + b2 > vectơ pháp tuyến đường thẳng AH Ta có cos ( BD, AH ) = 37 ⇔ 37 37 a = 2 = ⇔ 35a − 74ab + 35b = ⇔ 37 a2 + b2 a = a−b 7b 5b 0,25 7b , chọn a = 7; b = , ta AH : ( x − ) + ( y + 1) = ⇔ x + y − = 5b Với a = , chọn a = 5; b = , ta AH : ( x − ) + ( y + 1) = ⇔ 5x + y − = Gọi T tâm mặt cầu (S) T ∈ Oxy ⇔ T ( a; b;0 ) 0,25 Với a = 8a 0,25 Vì (S) qua hai điểm A ( 0;0;2 ) , B (1; −1;0 ) nên TA = TB ⇔ a + b + = ( a − 1) + ( b + 1) 0,25 0,25 (*) 0,25 ⇔ a − b +1 = ⇔ a = b −1 (S) tiếp xúc với ( P) : x − y + z − = ⇔ d ( T,( P) ) = TA ⇔ 2a − 2b − = a2 + b2 + b = −1 Thay a = b − vào (*), ta được: (* ) ⇔ (b − 1)2 + b2 + = ⇔ b2 − b − = ⇔ b = • b = −1 a = −2 nên T ( −2; −1;0 ) R = nên ( S ) : ( x + 2)2 + ( y + 1)2 + z = • b = a = nên T (1;2;0 ) R = nên ( S ) : ( x − 1)2 + ( y − 2)2 + z = 9a 7b 0,25 0,25 Số cách lấy từ hộp viết là: 11 × 15 = 165 (cách) 0,25 Số cách lấy từ hộp viết có màu đỏ là: × = 35 (cách) 0,25 0,25 Số cách lấy từ hộp viết có màu xanh là: × = 48 (cách) 35 + 48 83 Xác suất hai viết lấy có màu là: P = = 165 165 Do ABCD hình thang cân nên tứ giác nội tiếp Mặt khác, AB = BC = CD nên AC phân giác góc BAD 0,25 0,25 AC có vectơ phương uAC = (3;1) Gọi H (3t + 3, t ) hình chiếu E AC Ta có EH = (3t + 1; t − 1) 12 EH ⊥ uAC ⇔ 3(3t + 1) + t − = ⇔ t = − ⇒ H ; − 5 14 Gọi M điểm đối xứng với E qua AC M thuộc CD Ta có M ; − 5 24 18 Đường thẳng AD qua điểm F(−2; −5) có vectơ phương FM = ; , có vectơ pháp 5 0,25 0,25 tuyến nCD = (3; −4) nên có phương trình: AD : x − y − 14 = A giao điểm AD AC nên suy A ( 6;1) Ta có AE = (−4;0) ⇒ AE = Vì AB = E thuộc cạnh AB nên AB = AE = (−5;0) Vậy B (1;1) 8b Gọi A (1 + 2t;2 + t; −t ) điểm ∆ H (1 + 2t;0;0 ) hình chiếu A Ox Vì A B đối xứng qua trục Ox nên H trung điểm AB, B (1 + 2t; −2 − t; t ) 0,25 B ∈ ( S ) ⇔ (2t − 2)2 + (−t − 4)2 + (t + 1)2 = 25 ⇔ 6t + 2t − = ⇔ t = −1 t = 0,25 Với t = −1 ta có A ( −1;1;1) B ( −1; −1; −1) 0,25 Với t = 9b 0,25 7 2 7 2 ta có A ; ; − B ; − ; 3 3 3 3 Đặt z = x + yi ( x; y ∈ ) Ta có: 0,25 z.z = ⇔ x + y = 2 (1) z − − z = ( x − 1) + y − ( x + yi ) = ( x − 1) + y − x − yi 0,25 2 z − − z số ảo ⇔ ( x − 1) + y − x = (2) x + y = x = y2 = − x ⇔ ⇔ : ệ (1), (2), ta có h T 2 −3x + = y = ±1 ( x − 1) + y − x = Vậy có số phức thỏa u cầu tốn z = + i; z = − i HẾT 0,25 0,25 0,25 ...ĐÁP ÁN THỬ ĐẠI HỌC LẦN TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC Mơn: TỐN; khối D – Năm học: 2013 - 2014 Tổ Toán Điểm Đáp án Câu 1a... điểm cực trị có vectơ phương AB = ( m; −4 m3 ) có vectơ pháp tuyến n = ( m ;1) Trục Ox có vectơ pháp tuyến j = (0;1) Đường thẳng qua hai điểm cực trị tạo với trục Ox góc ϕ Ta có: n⋅ j... qua AC M thuộc CD Ta có M ; − 5 24 18 Đường thẳng AD qua điểm F(−2; −5) có vectơ phương FM = ; , có vectơ pháp 5 0,25 0,25 tuyến nCD = (3; −4) nên có phương trình: AD