TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĐC ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2014 Môn TOÁN; Khối AKhối A1Khối B ĐỀ THI THỬ LẦN 2 Thời gian làm bài 180 phút, không kể phát đề I PHẦN CHU[.]
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2014 Mơn: TỐN; Khối AKhối A1Khối B Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể phát đề TRƯỜNG THPT CHUN NĐC ĐỀ THI THỬ LẦN 2 www.LuyenThiThuKhoa.vn www.NhomToan.com I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x - 2mx 2 + 2 (1) 1) Khosỏtsbinthiờnvvthcahms(1)khim=1. 2) Tỡmttcgiỏtrthccamthcahms(1)cú3cctrtothnhmttamgiỏccúngtrũn ngoitipiquaim D ổỗ ư÷ è 5 ø Câu 2: (1,0 điểm) Giải phương trình lượng giác : cos x + 3cos 2 x + cos 2 x + cos x = 2 ì4 + 9.3x2 - y = + x2 -2 y 7 2 y - x 2 + 2 ï Câu 3: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình : í ïỵ x + = x + y - x + 4 ( ) p 2 Câu 4: (1,0 điểm) Tính tích phân : I = ị sin x + cos x dx + sin 2x p 4 Câu 5: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng, SA ^ (ABCD), SA = a Diện tích tam 2 giác SBC bằng a 2 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Gọi I, J lần lượt là trung điểm các cạnh SB và 2 SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và CJ. Câu 6: (1,0 điểm) Cho các số thực khơng âm a, b, c thỏa a + b + c = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : ( P = a - ab + b )( b - bc + c )( c - ca + a 2 ) II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B). A. Theo chương trình Chuẩn. Câu 7a: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y + = 0 ; d 2 : x - y - = 0 . Lập uuur uuur r phương trình đường thẳng qua điểm M (1; - 1) cắt d1 , d 2 tương ứng tại A và B sao cho 2MA + MB = 0 x - y - z - 3 Câu 8a: (1,0 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng cắt nhau d1 : ; = = 2 1 x - y - z - 2 , gọi I là giao điểm của chúng. Tìm tọa độ các điểm A, B lần lượt thuộc d1 ; d 2 sao cho = = 2 41 tam giác IAB cân tại I và có diện tích bằng 42 d 2 : Câu 9a: (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn z + 2 - i = 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z z + 1 - i B. Theo chương trình Nâng cao. Câu 7b. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường cao AH : x = 3 3 , và lần lượt là x - y = 0 và x + y - = 0 . Bán kính hai phương trình đường phân giác trong góc đường trịn nội tiếp tam giác bằng 3. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết đỉnh A có tung độ dương. Câu 8b. (1,0 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(0;1;1) ; B(2;1;1) ; C(4;1;1) và mặt phẳng uuur uuur uuuur ( P ) : x + y + z - = 0 Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA + 2 MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất. n Cõu9b.(1,0im) Tỡmshngkhụngchaxtrongkhaitrincanhthc ổỗ 13 + x2 ửữ bitrng: ốx ø 20 n C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + + C2 n +1 = - 1 . HẾT Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm Cảm ơn thầy Huỳnh Chí Hào chủ nhân của http://www.boxmath.vn/ gửi tới www.laisac.page.tl ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II KHỐI AA1B NĂM 2014 Câu Nội dung Câu Cho hàm số y = x - 2mx 2 + 2 (1) 1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. Khi m = 1 ta có y = x - x 2 + 2 y = +Ơ lim y = +Ơ à TX:D=R xlim đ+Ơ xđ-Ơ im (2im) 0.25 ộ x = ị y= 2 ë x = ±1 Þ y = 1 0.25 · y ' = x3 - x = x( x 2 - 1) = 0 Û ê · Bảng biến thiên: -1 Ơ x +Ơ y  0 + +¥ +¥ y 0 1 0 1 0.25 + 1 Hàm số ĐB trên các khoảng (-1; 0),(1; +¥ ) , NB trên các khoảng (-¥; - 1),(0;1) Hàm số đạt cực đại : yCĐ = 2 tại xCĐ = 0. Hàm số đạt cực tiểu yCT = 1 tại xCT = ± 1 · Đồ thị 0.25 2) Tìm tất cả giá trị thực của m để đồ thị của hàm số (1) có 3 cực trị tạo thành 0.25 ỉ3 9ư è ø một tam giác có đường trịn ngoại tiếp đi qua điểm D ỗ ữ 5 0.25 y ' = x - 4mx = x( x 2 - m) . Điều kiện có 3 cực trị là m > 0 Khi đó 3 cực trị là A ( 0; ) ; B ( ) ( ) m ; - m + ;C - m ; - m 2 + 2 Tam giác ABC cân tại A Tâm I của đường trịn (ABC) nằm trên trục tung Þ I (0; y) 0.25 Ta có IA = IB ị I ổỗ 2- m2 - ư÷ 2 m è 0.25 ø ỉ3 9ư 1 1 2 ỉ ngtrũn(ABC)qua D ỗ ữ ID = IA ổỗ ửữ + ổỗ - m ữ = ç m + ÷ 2m ø è 2 m ø è 5 ø è5ø è5 2 1 - 1 m + - = Û m = 1 hoặc m = (do m > 0) 2 m 2 Giải phương trình lượng giác : cos x + 3cos 2 x + cos 2 x + cos x = 2 Phương trình đã cho tương đương với : cos x + cos x + cos x + = 0 Û Câu 2 (1 điểm) 0.25 0.25+0.25 ét = -1 Đặt t = cox 2x ta có phương trình : 2t + 3t - = 0 Û ê Û êt = ë Phương trình đã cho có nghiệm : x = 2 p 2 + kp ; x = ± Câu ì + 9.3x - y = + x Giải hệ phương trình : ïí 3 ( 2 -2 y ) .7 p écos x = -1 ê 1 ê cos 2 x = ë 2 0.25 + kp 6 y - x 2 + 2 (1) (1 điểm) ïỵ 4 x + = x + y - x + (2) Đk : x - y + ³ 0 Đặt t = x 2 - 2 y ( ) (1) Û + 3t + = + 9 t 7 2 - t Û + 3t + + 3 2 t = Û f (t + 2) = f (2t ) 7t + 7 2 t x 0.25 x + x 3 Trong đó f ( x) = x = 4ổỗ ửữ + ổỗ ửữ lhmsgimtrờnR ố ø è 7 ø Do đó ta có : t + = 2t Û t = Û x 2 - y = 2 Từ đó (1) Û y = x 2 - 2 thay vào phương trình (2) ta có : 0.25 x + = x + x - x + Û x -1 = x - + ( x - 1) 2 + 1 Đặt u = x - 1 khi đó (2) Û 4u = u + u 2 + 1 ( )( ) Mặt khác ta có u + u + -u + u 2 + = 1 và 4-u = -u + u 2 + 1 Nên ta có phương trình : 4u - 4- u - 2u = 0 (3) Xét hàm số : g (u ) = 4u - 4- u - 2u ; "u Ỵ ¡ ta có : 0.25 g '(u ) = (4u + 4- u ) ln - > "u ẻ Ă Nờnhsg(u)luụnngbintrờnR,ngoiratacú:g(0)=0nờnpt(3)cúnghim duynhtu=0.Khiútacú : x = 1ị y = - 1 0.25 2 Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm : ( x; y) = ổỗ1- 1ửữ ố 2ứ (1im) Cõu Tớnhtớchphõn: I = sin x + cos x dx 4 ò p p I = p ò p sin x + cos x + sin 2x dx = p ò p + sin 2x sin x + cos x dx 0.25 - (1 - sin 2x) Đặt t = sinx – cosx Þ dt = (cosx + sinx)dx . Đổi cận : x = p Þ t = 1 ; x = p Þ t = 0 Þ I = ị dt - t 2 0.25 , Đặt t = 2sinu ; u Ỵ éê 0; p ùú Þ dt = cosu du ë 2 û 0.25 Đổi cận : t = 0 Þ u = 0 , t = 1 Þ u = p Þ I = p ò cos udu p cos u =ò du = u 2 2 cos u - sin u p 0.25 p = Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng, SA ^ (ABCD), SA = a. Diện 2 5 tích tam giác SBC bằng a 2 2 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Gọi x là độ dài cạnh hình vng ABCD. Tam giác SBC vng tại B có (1điểm) S SBC = 0.25 1 a 2 2 SB.BC = x. a + x 2 = Û x = a 2 2 1 Vậy : VS ABCD = S ABCD . SA = a 3 (đvtt) 3 0.25 Gọi I, J lần lượt là trung điểm các cạnh SB và SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và CJ. DnghtrcAxyznhhỡnhvtacú:A(000)C(aa0)I ổỗ a 0aửữ J ổỗ a aửữ è2 uur uuur uuur é AI , CJ ù AC ë û d ( AI , CJ ) = uur uuur é AI , CJ ù ë û uur uuur ë û d ( AI , CJ ) = 2 ø è z 0.25 S 3 a a 2 ;; - ÷ 4 ø è 3 a 2 = 2 a 11a 2 11 4 Với ộ AI , CJ ự = ổỗ a 2ứ uuur J ; AC = ( a; a; 0) a I D y A 0.25 B C x Câu Cho các số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu 6 thức : ( P = a - ab + b )( b - bc + c )( c - ca + a 2 (1 điểm) ) Khơng mất tính tổng qt, ta giả sử : £ a £ b £ c £ 3 ì a (a - b ) £ 0 ìa - ab + b £ b 2 Ûí 2 2 ỵ a (a - c ) £ 0 ỵ a - ac + c £ c Suy ra í 0.25 Do đó P £ b c ( b - bc + c ) = b c ( (b + c) - 3 bc ) 2 2 2 2 a + b + c = 3 ta có b + c £ a + b + c = 3 £ a £ b £ c £ 3 ỵ Do đó : bc £ b + c £ Û 0 £ bc £ 9 4 Từ ìí 0.25 0.25 Từ đó : P £ b c ( - 3bc ) = 9b c - 3b c = 9t - 3 t với t = bc ; 0 £ t £ 9 4 2 2 3 3 0.25 Lập BBT hs : f (t ) = 9t - 3 t 3 với £ t £ 9 ta được f (t ) £ 12 Þ P £ 12 Vậy : Max P = 12 đạt được tại ( a; b; c ) = (0;1; 2) và các hoán vị của chúng Câu Cho hai đường thẳng d1 : x + y + = 0 ; d 2 : x - y - = 0 . Lập phương trình đường uuur r 7a thẳng qua điểm M (1; - 1) cắt d , d tương ứng tại A và B sao cho 2uuur MA + MB = (1im) A ẻ d1 ị A(t1 -1 -t1) B ẻ d ị B(t2 ; -1 + 2t2 ) uuur uuur r ì 2(t1 - 1) + (t 2 - 1) = 0 MA + MB = Û í Û t1 = t 2 = 1 ỵ2(-1 - t1 + 1) + (-1 + t 2 + 1) = 0 Phương trình đường thẳng qua AB cần tìm là : x = 1. x - y - z - 2 Câu Cho d : x - = y - = z - 3 ; , gọi I là giao điểm của chúng. d 2 : = = 1 8a 2 1 2 Tìm tọa độ các điểm A, B lần lượt Ỵ d1 ; d 2 sao cho D IAB cân tại I và có diện tích bằng 41 42 Giao điểm I(1; 1; 2) ur uur d 1 có VTCP u1 = (2; 2;1) ; d 2 có VTCP u2 = (6;3; 2) 0.25 0.25+0.25 0.25 (1 điểm) 0.25 Gọi ur uur u1 u 2 j là góc giữa d1 ; d 2 , ta có : cos j = ur uur = 20 Þ sin j = 41 21 u1 u2 21 S IAB = 0.25 41 IA.IB.sin j = Þ IA = IB = 1 42 A ẻ d1 ị A(3 + 2t + 2t ;3 + t ) ; 4 IA = Û (2 + t) + (2 + t) + (1 + t) 2 = 1 Û t = - Ú t = - 3 2 Vi t = - tac A ổỗ 7ửữ ,vi t = - tac A ổỗ ; ; 5 ư÷ 3 3 è 3 3 ø è 3 3ứ Tngt,tatỡm c B ổỗ 13 10 16ửữ v B ổỗ 12ửữ ố 7 7 ø è 7 7 ø 0.25 0.25 Vậy tìm được 4 cặp điểm A, B như sau : ỉ 5 7 ư ỉ 13 10 16 ư A ỗ ữ v B ỗ ÷ è 3 3 ø è 7 7 ø ổ 1 5ử 13 10 16 A ỗ ữ v B ổỗ ửữ 3 3 è ø è 7 7 ø 5 12 A ổỗ ửữ v B ổỗ ửữ ố 3 3ứ ố 7 ứ A ổỗ 5ửữ v B ổỗ 12ửữ ố 3 3 ø è 7 7 ø (1 điểm) Câu z + 2 - i Cho số phức z thỏa mãn = 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của 9a z + 1 - i z Giả sử z = x + yi Từ gt 0.25 z + 2 - i = 2 Û x + + ( y - 1)i = x + - ( y + 1) i z + 1 - i Û ( x + 2)2 + ( y - 1) = ( ( x + 1) + ( y + 1)2 ) Û x + ( y + 3)2 = 10 Tập hợp biểu diễn của z là đường trịn tâm I(0;3) bán kính R = 10 Gọi M là điểm biểu diễn của z. Ta có : IM - IO £ OM £ IM + IO Û 10 - £ OM £ 10 + 3 0.25 0.25 0.25 z min Û OM min = 10 - 3 ; z max Û OM max = 10 + 3 (1 điểm) Câu Tam giác ABC, đường cao AH: x = 3 3 , phương trình đường phân giác trong góc 7b và lần lượt là x - y = 0 và x + y - = 0 . Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác bằng 3. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết đỉnh A có tung độ dương. 0.25 · Chứng minh tam giác ABC đều · Do đường cao AH : x = 3 3 nên đt BC song song hoặc trùng với trục hoành 0.25 Ox. Tâm đường trịn nội tiếp I (3 3;3) , bán kính bằng 3 Þ pt BC : y = 0 hoặc y = 6 0.25 · Nếu pt BC : y = 6 thì tung độ của A bằng 3 (loại) Þ pt BC : y = 0. Tọa độ các 0.25 điểm B(0; 0); C(6 3; 0) · Đường thẳng AB có hệ số góc k = 3 , đường thẳng AC có hệ số góc k ' = - 3 . Phương trình lần lượt là y = 3 x và y = - x + 18 (1 điểm) Câu Cho ba điểm A(0;1;1) ; B(2;1;1) ; C(4;1;1) và mặt phẳng ( P ) : x + y + z - = 0 uuur uuur uuuu r 8b Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA + 2 MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm AB, BC, IJ, ta có I(1;0;1) ; J(3;0;1) ; K(2;0;1) uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur Khi đó T = MA + MB + MC = ( MA + MB ) + ( MB + MC ) = MI + MJ = 4 MK 0.25 Như vậy : T đạt GTNN khi M là hình chiếu của K trên (P) 0.25 0.25 0.25 ì x = 2 + t Ta có pt đt qua K và vng góc (P) là d : ïí y = t Giao của d và (P) là M(3;1;2) ï z = 1 + t ỵ Cõu Tỡmshngkhụngchaxtrongkhaitrincanhthc ổ + x2 ửn bitrng: ỗ ÷ èx ø 9b (1 điểm) C21n +1 + C22n +1 + C23n +1 + + C2n n +1 = 220 - 1 Theo tính chất của C n k ta có : C21n +1 = C22nn+1 ; C22n +1 = C22nn+-11 ; C2nn +1 = C2n n ++1 1 Do đó : (C21n+1 + C22n +1 + + C2nn +1 ) + (C2nn++11 + C2nn++21 + + C22n n +1 ) = 2(220 - 1) (1) Mặt khác ta có C20n +1 = C 22n n ++1 1 = 1 nên (1) Û C20n +1 + C21 n +1 + C22n +1 + + C22nn+1 + C22n n ++1 1 = 2 21 Û 2 n +1 = 21 Û n = 10 0.25 0.25 10 10 10 k k-30 Khaitrin ổỗ + x ö÷ = å C10k ( x -3 )10- k ( x ) k = å C10 x ø èx k =0 k = 0 Cho 5k - 30 = Û k = 6 . Vậy số hạng không chứa x là số hạng thứ 7 và 6 = 210 T7 = C10 0.25 0.25 ...ĐÁP? ?ÁN? ?ĐỀ? ?THI? ?THỬ ĐẠI HỌC LẦN II KHỐI AA1B NĂM 2014 Câu Nội dung Câu Cho hàm số y = x - 2mx 2 + 2 (1) 1 1) Khảo sát sự biến? ?thi? ?n và vẽ đồ thị của hàm số... Nên hs g(u) ln đồng biến trên R, ngồi ra ta? ?có? ?: g(0) = 0 nên pt (3)? ?có? ?nghiệm duy nhất u = 0. Khi đó ta? ?có : x = 1 Þ y = - 1 0.25 2 Vậy hệ phương trình đã cho? ?có? ?một nghiệm : ( x; y) = ổỗ1- 1ửữ... ) Mặt khác ta? ?có u + u + -u + u 2 + = 1 và 4-u = -u + u 2 + 1 Nên ta? ?có? ?phương trình : 4u - 4- u - 2u = 0 (3) Xét hàm số : g (u ) = 4u - 4- u - 2u ; "u Ỵ ¡ ta? ?có? ?: 0.25 g ''(u