TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC, LẦN V NĂM HỌC 20132014 Môn Toán Khối AA 1 Thời gian làm bài 180 phút (Không kể thời gian giao đề) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1[.]
TRƯỜNG THPT CHUN VĨNH PHÚC KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC, LẦN V NĂM HỌC 20132014 Đề chính thức (Đề thi gồm 01 trang) Mơn: Tốn Khối AA 1 . Thời gian làm bài: 180 phút (Khơng kể thời gian giao đề) www.LuyenThiThuKhoa.vn www.NhomToan.com I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x - x - mx + 2 có đồ thị ( C m ) . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0 2. Tìm số thực m để đồ thị hàm số ( C m ) có hai điểm cực trị và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân. + 4cos2x - 8cos4 x = sin2 x sin2 x - cos2 x ì x -1 =0 ï x - x - y - y - y - + ln y +1 Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: í ï y é log ( x - ) + log y ù = x + 1 û ỵ ë Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình : e8 Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân : I = ò e ln x - x - ln 2 x dx Câu 5 (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A1 B1C 1 có đáy ABC là tam giác vng tại A , AB = 2, BC = 4 .Hình chiếu vng góc của điểm A 1 trên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm của AC Góc giữa hai mặt phẳng ( BCC1B 1 ) ( ABC ) bằng 60 0 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA 1 và BC . Câu 6 (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực khơng âm thoả mãn a + b + c = 5 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = a 4b + b 4c + c 4 a II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn. Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có phương trình AB : x + y - = 0 , phương trình AC : x + y + = 0 và điểm M (1;3 ) nằm trên đường thẳng BC thoả mãn 3MB = 2 MC Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC Câu 8.a (1,0 đ iểm) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho hình thoi ABCD với A ( - 1;2;1 ) , B ( 2;3;2 ) . Tìm toạ độ các đỉnh C , D biết tâm I của hình thoi thuộc đường thẳng d : 2 2 x + y z - 2 = = 1 -1 - 1 Câu 9.a (1,0 điểm). Cho số phức z thoả mãn + z = z - i + ( iz - 1 ) Tính mơ đun của z + 4 z + 1 B. Theo chương trình Nâng cao. Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 22 , đường thẳng AB có phương trình x + y + = 0 , đường thẳng BD có phương trình x - y - = 0 . Tìm toạ độ các đỉnh A, B , C , D . Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho tam giá ABC , A ( 0;0;3 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( - 2;0;0 ) . Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm là H ( H là trực tâm tam giác ABC ) và tiếp xúc với trục Ox 3 5 Câu 9.b (1,0 điểm).Cho các số phức z1 = cos a + i sina , z2 = cos b + i sinb thoả mãn z1 + z2 = + i Tính tan (a + b ) HẾT Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên( lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) đã gửi tới www.laisac.page.tl KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC, LẦN V NĂM HỌC 20132014 TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC Mơn: Tốn Khối AA 1 . Đáp án chính thức (gồm 06 trang) Thời gian làm bài: 180 phút (Khơng kể thời gian giao đề) I/ Đáp án Câu Đáp án Điểm Câu 1 Cho hàm số y = x - x - mx + 2 có đồ thị ( C m ) . (2 điểm) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0 Khi m = 0 hàm số có dạng y = x - x + 2 có tập xác định là ¡ 0.25 Ta có: y ' = x - x = 3x ( x - ) y ' = Û x ( x - ) = 0 Û x = ; x = 2 y  >0khix ị hmsngbintrờncỏckhong ( -Ơ 0) v ( 2+Ơ) y Â Û m > - 3 Trang 1/6 1 m m ( x - 1) y - ổỗ + 1ửữ x + 2- ị ngthng ( D) iquahaiimcc 3 è ø 0.25 m ỉm trị của đồ thị có phương trình ( D ) : y = -2 ỗ + 1ữ x + 2 3 è ø Ta có y = ïü ì ỉ 6 - m ư ü ïì ỉ m - ữ ý , ( D )ầ Oy = Bỗ ý ữ ữứ ỵ ợ ố ùợ ố ( m + 3) ứ ùỵ ( D ) ầ Ox = A ỗỗ Tamgiỏc OAB cân Û OA = OB Û 0.25 m-6 - m 3 = Û m = 6; m = - ; m = ( m + 3) 2 2 0.25 3 đối chiếu điều kiện và tồn tại tam giác OAB Þ m = - 2 Giải phương trình : Câu 2 (1 điểm) + 4cos2x - 8cos4 x = sin2 x - cos2 x sin2 x p p ì x ¹ + l ìsin x - cos x ¹ 0 ïï 2 l Ỵ Z * Đ/K í Ûí ( ) ( ) ợsin xạ ùx l p ïỵ 2 + cos 4 x ư 2 ỉ Ta có 8cos4 x = (1 + cos x ) = ỗ1 + 2cos x + ữ = + cos x + cos 4 x 2 è ø Với Đ/K (* ) phương trình đã cho cos x 1 = Û ( sin x - cos x )( sin x + cos x ) = sin x - cos 2 x sin x - cos x sin 2 x p é ésin x - cos x = 0 ( loai ) x = + k p p ổ ờ cos ỗ 2x - ÷ = Û 4 ( k Ỵ Z ) 4 ø 2 ê x = kp (loai) è ësin x + cos x = 1 ë Û- Vây phương trình có một họ nghiệm duy nhất : x = Câu 3 (1 điểm) p 4 + kp ( k Ỵ Z ) ì x -1 =0 ï x - x - y - y - y - + ln y +1 Giải hệ phương trình: í ï y é log ( x - 3) + log y ù = x + û ỵ ë 0.25 0.25 0,25 0.25 (1) ( 2 ) ì x - 1 ï y + 1 > 0 ïï ì x > 3 Đ/K í x - > 0 Û í Từ phương trình (1 ) biến đổi ta được y > 0 ỵ ï y > 0 ï ïỵ 0.25 ( x - 1)3 + ( x - 1)2 + ln ( x - 1) = ( y + 1)3 + ( y + 1)2 + ln ( x + 1) ( 3 ) Xét hàm số f ( t ) = t + 3t +lnt trờnkhong ( +Ơ ) f  ( t ) = 3t 2 + 6t + > "t > 0 Þ hàm số f ( t ) đồng biến trên khoảng ( 0; +¥ ) t Phương trình ( ) Û f ( x - 1) = f ( y + 1) Û x - = y + Û y = x - 2 ( 4 ) Thế ( 4 ) vào ( 2 ) ta được ( x - ) éë log ( x - 3) + log 3 ( x - ) ùû = x + 1 Trang 2/6 0.25 0.25 x +1 x + 1 Û log ( x - ) + log 3 ( x - ) = ( 5 ) x-2 x - 2 x + 1 Xét hàm số g ( x ) = log ( x - ) + log 3 ( x - 2 ) trên khoảng ( +Ơ ) x -2 1 gÂ( x) = + + > "x > 3 Þ hàm số g ( x ) đồng biến 0.25 ( x - 3) ln ( x - ) ln 3 ( x - 2 ) 2 Û log ( x - ) + log ( x - ) = ( 4 ) y = 3 ( 3; +¥ ) Phương trình ( ) Û g ( x ) = g ( ) x = ắắđ Vyhphngtrỡnhcúnghimduynht ( x y ) = ( 5;3 ) khoảng e8 Tính tích phân : I = ò e e8 I= ò e3 ln x - x - ln2 x Đặt t = Câu 4 (1 điểm) dx = ò e3 x - ln x dx ln x - e8 ln x - ln x dx = ln2 x dx ò x - ln2 x e3 ỉ x ç ÷ -1 ln2 x è ln x ø x ln x - 1 Þ dt = 2 dx , đổi cận ln x ln x e8 I= e8 ln x - 1 e 8 8 æ x t 0.25 e 3 e 3 3 e 8 e 8 8 1 ị t 2 - dt = ũỗố t - - t + 1 ÷ø dt e3 0.25 e 3 3 e 8 8 ( ( )( )( ) ) 3 t - 1 e - e + 3 Û I = ln = ln t + e 3 2 e8 + e3 - 3 3 Câu 5 (1 điểm) 0.25 0.25 Cho lăng trụ ABC.A1 B1C 1 có đáy ABC làtam giác vng tại A , AB = 2, BC = 4 .Hình chiếu vng góc của điểm A 1 trên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm của AC Góc giữa hai mặt phẳng ( BCC1 B 1 ) ( ABC ) bằng 60 0 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA 1 và BC . Từ gt ta có AC = BC - AB 2 = 2 3 Gọi H là trung điểm của AC Þ A1 H ^ ( ABC ) . Vẽ hình bình hành ABCE , Vẽ HI ^ AE tại I Do ( A1 AE ) / / ( BCC1B 1 ) ( BCCB ) , ( ABC ) ) = (· ( A1 AE ) , ( ABC ) ) , ta có AE ^ HI , AE ^ A1 H (· · suy ra AE ^ ( A1 HI ) Þ ( ( A1 AE ) , ( ABC ) ) = · A1 HI = 60 0 0.25 nên Ta có S DABC = 1 1 · (so le trong) AB AC = 2 3 , do AB = BC Þ · ACB = 30 0 = EAC 2 2 1 3 AH = AC = , A1 H = HI tan 60 0 = Vậy thể tích khối lăng trụ là 2 3 V ABCA1B1C1 = A1 H S DABC = × = 3 3 (đvtt) 2 Þ HI = Trang 3/6 0.25 Do BC / / ( A1 AE ) , d ( BC , AA1 ) = d ( BC , ( A1 AE ) ) = d ( C , ( A1EA) ) = 2d ( H , ( A1 EA ) ) Vẽ HK ^ A1I , AE ^ ( A1HI ) Þ HK ^ ( A1 AE ) Þ HK = d ( H , ( A1 AE ) ) = 3 A1 H = 4 3 (đvđd) 2 Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn a + b + c = 5 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = a b + b c + c 4 a Trong 3số a, b, c có 1 số nằm giữa 2 số chẳng hạn là b nên ta có Câu 6 (1 điểm) 0.25 Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AA 1 và BC bằng 0.25 c ( b - a ) ( b3 - c3 ) £ 0 (1 ) 0.25 (1) Û b 4c + c4 a £ c 4b + + ab3c Û S = a 4b + b 4c + c4 a £ b ( a + c4 + b 2 ac ) ( ) 0.25 4 £ b a + c 4 + ( a + c ) ac £ b ( a + c ) 5 1 é 4 b + ( a + c ) + ( a + c ) + ( a + c ) + ( a + c ) ù 4 = 4b ( a + c ) £ ê ú = 256 ( 2 ) (bđtAMGM 0.25 4ë 5 û dấu bằng xẩy ra ở ( 2 ) Û a = 4; b = 1; c = 0 0.25 Vậy GTLN của F ( a; b; c ) = 256 đạt được khi a = 4, b = 1, c = 0 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có phương trình AB : x + y - = 0 , phương trình AC : x + y + = 0 và điểm M (1;3 ) nằm trên đường thẳng BC thoả mãn 3MB = 2 MC Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC Toạ độ A là nghiệm hpt { A}= AB ầ AC ị ỡ2 x + y - = ì x = 2 Þí Þ A ( 2; -3 ) í ỵ3 x + y + = ỵ y = -3 uuur uuuur B ( b; -2 b + 1) Ỵ AB , C ( 4c - 2; -3c ) Þ MB = ( b - 1; -2b - ) ; MC = ( 4c - 3; -3c - 3 ) 0.25 Do M , B, C thẳng hàng và 3MB = 2 MC nên có hai trường hợp Câu 7a. (1 điểm) Câu 8a. (1 điểm) 3 ì ïïb = 5 uuur uuuur ìï3 ( b - 1) = ( 4c - 3 ) ỉ ỉ 9 ư +TH1 3MB = 2MC Û í Ûí ị B ỗ - ữ , Cỗ - ữ è 5 ø è 5 ø 0.25 ỵï3 ( -2b - ) = ( -3c - 3 ) ïc = ùợ 5ử ổ Khiútotrngtõm G ỗ1- ữ 3 ø è +TH2 uuur uuuur ïì3 ( b - 1) = -2 ( 4c - 3 ) ìb = -5 3MB = -2MC Û í Ûí Þ B ( -5;11) , C (10; -9 ) 0.25 ỵc = 3 ïỵ3 ( -2b - ) = -2 ( -3c - 3 ) ỉ 1 ư Khi đó toạ độ trọng tâm G ç ; - ÷ è 3 ø 5 ư ỉ ỉ 1ử Vytotrngtõm G ỗ1- ữ hoc G ỗ - ÷ 0.25 3 ø è è 3 ø Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho hình thoi ABCD với A ( - 1;2;1 ) , B ( 2;3;2 ) .Tìm toạ độ các đỉnh C , D biết tâm I của hình thoi thuộc đường thẳng d : Trang 4/6 x + y z - 2 = = -1 -1 1 uur uur Gọi I ( -1 - t; -t;2 + t ) Ỵ d Ta có IA = ( t ; t + 2; -t - 1) , IB = ( t + ; t + ; - t ) 0.25 uur uur Do ABCD là hình thoi nên IA.IB = Û 3t 2 + 9t + = Û t = -1 , t = -2 0.25 Do C đối xứng với A qua I và D đối xứng với B qua I nên · t = -1 Þ I ( 0;1;1) Þ C (1;0;1) , D ( -2; -1 ;0 ) · t = -2 Þ I (1;2;0 ) Þ C ( 3;2 ; - 1) , D ( 0;1 ; - 2 ) 2 2 Cho số phức z thoả mãn + z = z - i + ( iz - 1 ) Tính mơ đun của z + 0.25 0.25 4 z + 1 2 2 Đặt z = a + bi, ( a , b Ỵ ¡ ) . Từ gt suy ra + a - bi = a - ( b + 1) i + ( -b - 1 + ) ìï1 + a = ( b + 1 ) 2 Û + a - bi = ( b + 1) - a ( b + 1 ) i Û í ïỵ b = a ( b + 1 ) 2 Câu 9a. (1 điểm) éb = -2 Þ a = 1 b 2 Û 1+ = ( b + 1) , ( b ¹ -1) Û ( b + )( 2b + 1) = 0 Û ê êb = - Þ a = - 1 ( b + 1 ) ë 2 1 z = - 2 i hoặc z = - - i 2 4 · z = - 2i Þ z + = - 2i + = - 2i + + i = - i = 5 z +1 - 2 i 0.25 0.25 0.25 1 1 7 2 0.25 · z = - - i Þ z + = - - i+ = 1 + i = 2 z +1 2 - i 2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 22 , đường thẳng AB có phương trình x + y + = 0 , đường thẳng BD có phương trình x - y - = 0 . Tìm toạ độ các đỉnh A, B , C , D . . Điểm B là giao giữa AB và BD Þ B (1; - 1 ) r r SX ABCD = AB AD = 22 (1) . Đường thẳng AB có vtpt n1 = ( 3;4 ) , AC có vtpt n2 = ( 2; -1 ) r r n1 n 2 r r 11 AD · cos ABD = cos ( n1 ; n2 ) = r r = Þ tan · ABD = = (2) n1 n2 5 2 AB Câu 7b. (1 điểm) 0.25 từ (1),(2) Þ AD = 11 , AB =2 (3) D ẻ BB ị D ( a; 2a - ) , AD = d ( D; ( AB ) ) = 11a - 11 5 (4) . Từ (3) & (4) suy ra 0.25 11a - 11 = 55 Û a = , a = - 4 · ỉ ỉ 7 ö AD ^ AB Þ AD : x - y + = ị A ỗ - ữ , I ỗ 4ữ ố 5 ứ è 2 ø 0.25 ỉ 38 39 ư trung điểm của BD C ixng A qua I ị C ỗ ữ è 5 ø a = Þ D ( 6;9 ) . Do ỉ 13 11 ỉ 28 49 ư ; - ữ & C ỗ - - ữ 5ứ ø è è · a = -4 Þ D( -4 -11) tngttrờntatớnhc A ỗ Cõu8b. (1im) 0.25 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho tam giá ABC , A ( 0;0;3 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( - 2;0;0 ) . Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm là H ( H là trực tâm tam giác ABC ), tiếp xúc với trục Ox Ta có OA ^ OB, OB ^ OC , OC ^ OA OA ^ ( OBC ) Þ OA ^ BC mặt khác AH ^ BC Þ BC ^ ( OAH ) Þ BC ^ OH Tương tự CA ^ OH từ đó OH ^ ( ABC ) Trang 5/6 0.25 x y z + + = Û ( ABC ) : x - y - z + = 0 - 2 3 ì x = 3 t ìïQua O ( 0; 0; 0 ) ï đường thẳng í Û ( OH ) í y = -6 t r r ïỵvtcp u = vtpt n ( ABC ) = ( 3; -6; -2 ) ï z = -2 t ỵ Mặt phẳng ( ABC ) : 0.25 2 ì ït = - 13 ï ì x = 3 t ï x = - 6 ï y = -6 t ï ï æ 12 13 To H lnghimhpt ớ Hỗ - ; ; ÷ è 13 13 13 ø ï z = -2t ï y = 12 ïỵ3 x - y - z + = 0 ï 13 ï 4 ïz = ỵ 13 Hình chiếu của H trên trục Ox là 0.25 2 160 ỉ ỉ 12 ỉ H1 ỗ - 0ữ ị HH1 = ỗ ữ + ỗ ữ = 13 ố 13 ø è 13 ø è 13 ø 0.25 160 æ 12 Mtcucntỡmcútõm H ỗ - ÷ , bán kính R = có phương trình 13 è 13 13 13 ø 2 2 6ư ỉ 12 ỉ 160 ổ ỗx+ ữ +ỗx- ữ +ỗx- ữ = 13 ø è 13 ø è 13 ø 169 è Cho các số phức z1 = cos a + i sina , z2 = cos b + i sinb 3 5 thoả mãn z1 + z2 = + i Tính tan (a + b ) z1 = z = z1 + z2 = 1 0.25 2 1 = z1 + z Câu 9b. (1 điểm) 2 ỉ 1 ( z + z ) = ( z1 + z )( z1 + z ) = ( z1 + z2 )( z1 + z2 ) = ( z1 + z 2 ) ç + ÷ = 2 z1 z 2 è z1 z2 ø 0.25 2 ỉ 3 z1 z2 = ( z1 + z2 ) Û cos (a + b ) + i.sin (a + b )= ỗ + i ÷ è 5 ø 7 ì cos (a + b ) = ï 24 ï 25 Û cos (a + b ) + i. sin (a + b ) = + iÞí 25 25 ïsin (a + b ) = 24 ïỵ 25 sin (a + b ) 24 tan (a + b ) = = cos (a + b ) 2 Hết Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên( lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) đã gửi tới www.laisac.page.tl Trang 6/6 0.25 0.25 ...KỲ? ?THI? ?THỬ ĐẠI HỌC, LẦN V NĂM HỌC 20132014 TRƯỜNG THPT CHUN VĨNH PHÚC Mơn: Tốn Khối AA 1 . Đáp? ?án? ?chính thức (gồm 06 trang) Thời gian làm bài: 180 phút (Khơng kể thời gian giao? ?đề) I/? ?Đáp? ?án? ?... Thời gian làm bài: 180 phút (Khơng kể thời gian giao? ?đề) I/? ?Đáp? ?án? ? Câu Đáp? ?án? ? Điểm Câu 1 Cho hàm số y = x - x - mx + 2 có? ?đồ thị ( C m ) . (2 điểm) 1. Khảo sát sự biến? ?thi? ?n và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0 Khi m = 0 hàm số? ?có? ?dạng y... để đồ thị hàm số ( C m ) có? ?hai điểm cực trị và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân. y ¢ = x 2 - 6 x - m Hàm số có? ? hai cực trị Û y ¢ = 0 có? ? hai nghiệm