SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN THỨ II NĂM HỌC 2013 – 2014 (Đề có 01 trang) Môn Toán 12 Khối D Thời gian 180 phút (Không kể giao đề) A PHẦN CHUNG CHO TẤT C[.]
KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN THỨ II NĂM HỌC 2013 – 2014 Mơn : Tốn 12 Khối D Thời gian: 180 phút (Khơng kể giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Trường THPT Chun Vĩnh Phúc (Đề có 01 trang) www.LuyenThiThuKhoa.vn www.NhomToan.com A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) - x + 1 2x + 1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) sao cho tiếp tuyến đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox. Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: ( sin 2x + s inx ) + cos2x - cos x = Câu I (2,0 điểm). Cho hàm số y = x 2) Giải phương trình: e = + ln ( + x ) . 2 + x Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân : I = ị dx 2x 0 + Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D, AB = AD= 2a, CD = a , góc giữa hai mặt phẳng (SBC) là (ABCD) bằng 60 0 Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vng góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Câu V (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số dương thoả mãn ab + bc + ca = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 4 biểu thức: M = + abc ( a + b )(b + c)(c + a ) B. PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2) 1.Theo chương trình Chuẩn Câu VIA (2,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x - 1) + ( y + 1) 2 = 4 Gọi ( C ' ) là đường trịn có tâm thuộc đường thẳng ( d ) : 3x - y = 0 và tiếp xúc với trục Oy đồng thời tiếp xúc ngồi với đường trịn (C). Viết phương trình đường trịn ( C ' ) . 2) Trong khơng gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ( D ) đi qua A ( 3; -2; - 4 ) , song song ì x = + 3t với mặt phẳng (P) : 3x - y - 3z - = 0 và cắt đường thẳng (d) : ïí y = -4 - 2t ï z = + 2t ỵ x -1 2 e + tan( x - 1) - 1 CâuVIIA (1,0điểm).Tính giới hạn lim x - 1 2.Theo chương trình nâng cao. Câu VI B (2,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x - 1)2 + ( y + 2)2 = 12 . Viết phương trình đường trịn (C’) có tâm M (5;1) biết (C’) cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB = 2 3 . 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 2; 2), B(0; 1; 2) và C(2; 2;1). Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua A, song song với BC và cắt các trục Oy, Oz theo thứ tự tại M, N x ®1 3 khác với gốc tọa độ O sao cho OM = 3ON. CâuVII B (1,0 điểm) Một chiếc hộp đựng 6 cái bút màu xanh, 6 cái bút màu đen, 5 cái bút màu tím và 3 cái bút màu đỏ được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên ra 4 cái bút. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 bút cùng màu. HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Trường THPT Chun Vĩnh Phúc (Đáp án có 05 trang) ĐÁP ÁN KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN THỨ II NĂM HỌC 2013 – 2014 Mơn : Tốn 12 Khối D Thời gian: 180 phút (Khơng kể giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM THI (Văn bản này gồm 05 trang) I) Hướng dẫn chung: 1) Nếu thí sinh làm bài khơng theo cách nêu trong đáp án nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như thang điểm quy định. 2) Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo khơng làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong các giáo viên chấm thi. 3) Điểm tồn bài tính đến 0,25 điểm. Sau khi cộng điểm tồn bài, giữ ngun kết quả. II) Đáp án và thang điểm: Câu Đáp án Điểm - x + 1 Cho hàm số y = 1,0 đ 2x + 1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. ì -1 ü Tập xác định: D = R / í ý ợ ỵ Sbinthiờn: y' = -3 ( 2x +1 )2 Hàm số ln nghịch biến trên từng khoảng xác định CâuI.1 Đồ thị hàm số khơng có cực trị -1 -1 -1 lim y = ; lim y = Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = xđ-Ơ xđ+Ơ 2 -1 lim y = -Ơ ; lim y = +¥ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1 xđxđ- Bngbinthiờn: x 1,0 0,25 + 2 y’ y 0,25 - 1 || - 1 +µ – +µ 0.25 || –µ - 1 Đồ thị hàm số có tâm đối xứng I ổỗ -1 -1ửữ ố 2 ứ thhmscttrctungti A( 01),cttrchonhti B (1;0) 0.25 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) sao cho tiếp tuyến đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox 1,0 - x + 1 -3 ( x - x 0 ) + 0 (2 x0 + 1) x0 + 1 CâuI.2 1,0 đ Giao điểm của tiệm cận của đồ thị hàm số với trục Ox là N ( - 1 ; 0) 2 -1 x + 1 1 Tiếp tuyến đi qua N ( ; 0) Û ( - x 0 ) + 0 = 0 2 (2 x0 + 1) 2 x0 + 1 Phương trình tiếp tuyến tại M ( x0 ; y 0 ) có dạng y = 0.25 0.25 0,25 Giải phương trình được x0 = 5 2 Phương trình tiếp tuyến tại M ( ; - 1 ) là y = - x - 1 4 2,0 đ 24 Phương trình đã cho tương đương với : sin x cos x + cos x - sin x + s inx - cos x = ( cos x + sin 2 x ) é s inx - cos x = 0 s inx - cos x = 0 Û ê êë s inx - cos x = p é x = + k p ê é æ pử ờ sin ỗ x - 6ữ = 0 p è ø Ûê Û ê x = + k p ( k Ỵ Z ) ê ỉ p ờ sin ỗ x- ÷ = 6ø ë è ê x = p + k 2 p ê ë KL: Vậy phương trình có ba họ nghiệm: ( 2 sin x - cos x 0.25 ( sin 2x + s inx ) + cos2x - cos x = 2 1) Giải phương trình: CâuII 12 ) -( ) 0.25 0.25 0.5 2)Giải phương trình: e x = + ln ( + x ) . 1,0 Đ/K x > - 1 x Phương trình đã cho tương đương e - ln ( + x ) - = 0 0.25 x Xét hàm số f ( x ) = e - ln ( + x ) - 1, x Ỵ D = ( -1 +Ơ) ,x ẻ D x +1 1 f " ( x ) = e x + , f " ( x ) > 0 "x Ỵ D 2 ( x + 1) f ' ( x ) = e x - 0.25 Suy ra f ' ( x ) là hàm đồng biến trên D Nhận thấy f ' ( ) = 0 nên phương trình f ' ( x ) = 0 có đúng một nghiệm x = 0 Ta có bảng biến thiên X –1 y’ Y 0 0.25 +à 0+ +à -Ơ 0.25 Tbngbinthiờntacú phngtrỡnhcúmtnghimduynht x = 0 2 + x Tính tích phân : I = ị dx 2x 0 + CâuIII I = ò 1,0đ 2+ x + 2x dx = 1,0đ 2 + 2x dx 2x 0 ò 1+ Đặt t = 2x Þ t 2 = 2x Þ dx = td x = Þ t = 0 Đổi cận: x = Þ t = 2 0.25 0.25 ÞI= 2 ( + t )tdt 1 = (1+t )dt ò ò + t 1+t 0 0.25 2 t 2 1 = ( + t - ln | t + 1|) = ( - ln ) 2 0 KL Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D, AB = AD= 2a, CD = a , góc giữa hai mặt phẳng (SBC) là (ABCD) bằng 60 0 Gọi I là trung điểm của CâuIV cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vng góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 1,0đ 0.25 1,0đ 0.25 Nhận xét : SI ^ ABCD Gọi H là hình chiếu của I lên BC. Chỉ ra ÐSHI = 60 0 3a 5 Tính được S ABCD = 3a 2 ; IH = 3a 15 3a 3 15 Suy ra SI = ;V S ABCD = (đvtt) 5 0.25 0.25 0.25 Cho a, b, c là các số dương thoả mãn ab + bc + ca = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 4 CÂU V thức: 1,0đ M = + abc ( a + b )(b + c)(c + a ) Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: 1 1 0.25 M = + + ³ 3 3 2 2 abc abc (a + b)(b + c)(c + a ) a b c ( a + b )(b + c)(c + a ) 2(ab + bc + ca ) Có abc( a + b)(b + c)(c + a ) = 3 ( ac + bc)(ba + ca )(cb + ab) £ = 2 (1) 0.25 3 ab + bc + ca 2 2 (2) a b c = 3 ab.bc.ca £ = 1 0.25 3 3 Từ (1) và (2) suy ra M ³ 2 Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1 0.25 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng khi a = b = c = 1 2 Câu VI A.1 1) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x - 1) + ( y + 1) 2 = 4 Gọi ( C ' ) là đường trịn có tâm thuộc đường thẳng ( d ) : 3x - y = 0 và tiếp xúc với trục Oy đồng thời tiếp xúc 1,0đ ngồi với đường trịn (C). Viết phương trình đường trịn ( C ' ) . Đường trịn ( C ) có tâm I (1; - 1 ) , bán kính R=2 1,0 đ Đường trịn ( C ' ) có tâm I ' ( a;3 a ) , bán kính R’ 0.25 Do đường trịn ( C ' ) tiếp xúc Oy nên R’=|a| Do đường trịn ( C ' ) tiếp xúc ngồi với đường trịn (C) nên II ' = R '+ 2 Û ( a - 1) + (3a + 1) = (| a | + 2) 2 (1) 2 -4 - 34 hoặc a = 3 9 Giải phương trình (1) được a = Vậy : Phương trình đường trịn cần tìm là : ( x 0.25 0.25 2 2 ) + ( y - 2) 2 = 9 0,25 2 æ + 34 ỉ + 34 50 + 34 hoc ỗ x + +ỗ y + ữ ữữ = ỗ ữứ ỗố 81 ố ø 2) Trong khơng gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ( D ) đi qua A ( 3; -2; - 4 ) , song song với mặt phẳng (P) : 3x - y - 3z - = 0 và cắt đường 1,0đ ì x = + 3t thẳng (d) : ïí y = -4 - 2t ï z = + 2t ỵ Câu VI A.2 1,0 đ uuuur Giả sử ( D ) cắt (d) tại M ( + 3t; -4 - 2t;1 + 2t ) Þ AM = ( 3t - 1; -2t - 2;2t + ) r Mặt phẳng (P) có vtpt n = ( 3; -2; -3 ) r uuuur ( D ) //(P) n.AM = Û ( 3t - 1) - ( -2t - ) - ( 2t + ) = Û t = 2 uuuur Khi đó AM = ( 5; -6;9 ) uuuur Đường thẳng ( D ) đi qua A ( 3; -2; - 4 ) có vtcp AM = ( 5; -6;9 ) ì x = + 5t Suy ra phương trình ( D ) là: ïí y = -2 - 6t ï z = -4 + 9t ợ x-1 Cõu x đ1 1,0 3 x -1 e + tan( x - 1) - x ®1 2 3 0,25 ỉ e - x + x + tan( x - 1) ( x + 1)( x + x + 1) ö = lim ỗỗ + ữữ x - x +1 x + 1 è x -1 ø x -1 VII A 0.25 2 æ e -1 tan( x - 1) = limỗ + ữ ( x - 1)( x + 1) è ( x - 1)( x + 1) ( x - 1)( x + 1) ø x -1 lim 0.25 0,25 e + tan( x - 1) - 1 Tính giới hạn lim ( x - 1)( x + 1) x ®1 0.25 x ®1 2 3 2 3 2 0,5 9 + 3 = 2 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x - 1) + ( y + 2) 2 = 12 . Viết phương trình đường trịn (C’) có tâm M (5;1) biết (C’) cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho = Câu VI B 2,0 đ AB = 2 0,25 1,0 đ Đường tròn (C) có tâm I (1; - 2 ) , bán kính R = 2 Do (C) cắt (C’) tại A, B nên AB ^ IM Gọi E là trung điểm AB. D IAB đều Þ IE = 3 , IM = 5 Nếu E nằm giữa I và M Þ EM = 2,EA = Þ MA = Phương trình đường trịn cần lập là: ( C ' ) : ( x - 5) + ( y - 1) 2 = 7 0,25 0,25 Nếu E nằm giữa I và M Þ EM = 8,EA = Þ MA = 67 Phương trình đường trịn cần lập là: ( C ' ) : ( x - 5) + ( y - 1) 2 = 67 0,25 KL : Có hai đường trịn thỏa mãn ( C ' ) : ( x - 5) + ( y - 1) 2 = 7 0,25 ( C ' ) : ( x - 5) + ( y - 1) 2 = 67 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A ( -2; 2; - 2 ) , B ( 0;1; - 2 ) C ( 2;2; - 1) . Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua A, song song với BC và cắt các tia Oy, Oz theo thứ tự tại M, N khác với gốc tọa độ O sao cho OM = 3ON. uuuur ur Từ giả thiết ta có M ( 0;m;0 ) N ( 00n) trongú mn ạ0 v m = 3n ị MN = m.u r r với u ( 0; -1;3 ) u (0; -1; -3 ) r uuur r r ìïn ^ BC Giả sử ( P ) có vtpt n ¹ 0 . Do ( P ) đi qua M, N và song song với BC nên í r r suy ïỵn ^ u r uuur r ra n // éë BC , u ùû r r uuur r với u ( 0; -1;3 ) Þ éë BC , u ùû = ( -4;6; 2 ) , chọn n = ( 2; -3; -1) Þ (P): 2x - 3y - z + = 0 r r uuur r với u (0; -1; -3 ) Þ é BC , u ù = ( 2; -6; 2 ) , chọn n = (1; -3;1) Þ (P): x -3y + z +10 = 0 ë Câu 7B 1,0 đ û KL : Một chiếc hộp đựng 6 cái bút màu xanh, 6 cái bút màu đen, 5 cái bút màu tím và 3 cái bút màu đỏ được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên ra 4 cái bút. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 bút cùng màu. 4 = 4845 Số cách lấy bốn chiếc bút bất kì từ 20 chiếc bút đã cho là: n ( W ) = C20 1,0 đ 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 Gọi A là biến cố lấy được ít nhất hai bút cùng màu Số cách lấy được 4 bút trong đó khơng có hai cái nào cùng màu là: 0,25 ( ) n A = C61 C61 C51 C3 1 = 540 ( ) Số cách lấy được 4 bút mà có ít nhất hai bút cùng màu là: n ( A) = n ( W ) - n A = 4305 0,25 Xác suất lấy được 4 bút trong đó có ít nhất hai bút cùng màu là: n ( A ) 4305 287 = = P ( A ) = n ( W ) 4845 323 0,25 ... Trường THPT Chun Vĩnh Phúc (Đáp? ?án? ?có? ?05 trang) ĐÁP? ?ÁN? ?KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN THỨ II NĂM HỌC 2013 – 2014 Mơn : Tốn 12 Khối D Thời gian: 180 phút (Khơng kể giao? ?đề) HƯỚNG DẪN CHẤM? ?THI? ? (Văn bản này gồm 05 trang) ... ) = 0 nên phương trình f '' ( x ) = 0 có? ?đúng một nghiệm x = 0 Ta? ?có? ?bảng biến? ?thi? ?n X –1 y’ Y 0.25 +à 0+ +à -Ơ 0.25 Từ bảng biến? ?thi? ?n ta? ?có? ? phương trình? ?có? ?một nghiệm duy nhất x = 0 2 +... hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong các giáo viên chấm? ?thi. 3) Điểm tồn bài tính đến 0,25 điểm. Sau khi cộng điểm tồn bài, giữ ngun kết quả. II)? ?Đáp? ?án? ?và thang điểm: Câu Đáp? ?án? ? Điểm - x + 1 Cho hàm số y