Chương 16 Kỹ Thuật Mô Phỏng Hiệu Quả Giáo Trình Mô Phỏng Hệ Thống Viễn Thông Và Ứng Dụng Matlab.pdf

Chương 16 Kỹ thuật mô phỏng hiệu quả 407 Chương 16 KỸ THUẬT MÔ PHỎNG HIỆU QUẢ 16 1 Mở đầu Kỹ thuật mô phỏng Monte Carlo cơ bản đã được nghiên cứu và ứng dụng vào một số hệ thống truyền thông đơn giản[.]

Chương 16: Kỹ thuật mô hiệu 407 Chương 16 KỸ THUẬT MÔ PHỎNG HIỆU QUẢ 16.1 Mở đầu Kỹ thuật mô Monte Carlo nghiên cứu ứng dụng vào số hệ thống truyền thông đơn giản chương chương 10, cho thấy phương pháp Monte Carlo có khả ứng dụng cho tất hệ thống tính phức tạp kiến trúc hệ thống, để đạt ước tính hiệu tin cậy thời gian mơ lâu, trở nên không thực tế Kỹ thuật bán phân tích SA chương 10 cho ta thực thi mô nhanh phải biết hàm mật độ xác suất pdf Chương trình bày ngắn gọn kỹ thuật mô nhằm khắc phục nhược điểm gian mô phương pháp Monte Carlo Ta xét ba phương pháp: (i) Phương pháp 1, ngoại suy đuôi phương pháp làm cho đường cong phù hợp với kết mô MC; (ii) Phương pháp thứ 2, phương pháp dựa vào việc ước tính pdf số đo định thông qua ứng dụng phương pháp moment; (iii) Phương pháp thứ 3, đánh địa chỉ, lấy mẫu quan trọng, bao gồm việc làm chệch tạp âm kênh theo cách ép lỗi định Lấy mẫu quan trọng kỹ thuật làm giảm phương sai để tạo ước tính BER có phương sai nhỏ ước tính mơ MC với thời gian mô tương đương Ứng dụng kỹ thuật giảm phương sai bao gồm việc dung hòa thời gian chạy máy tính phân tích Một số kỹ thuật nghiên cứu khám phá cho kỹ thuật mô hiệu lĩnh vực nghiên cứu hấp dẫn Trong 03 kỹ thuật trình bày chương này, kỹ thuật lấy mẫu quan trọng nhận quan tâm hầu hết ứng dụng, xét chi tiết Để ứng dụng hiệu phương pháp (đặc biệt lấy mẫu quan trọng) cần phải có kỹ phân tích Chương xét tóm tắt chủ đề 16.2 Ngoại suy đuôi Phương pháp ứng dụng cách thực số mô MC sử dụng giá trị Eb/N0 để kết mơ xác với thời gian mơ hợp lý Sau kết ngoại suy tới giá trị Eb/N0 mà không thực tế mô MC Tất nhiên, phải cẩn thận để tránh ngoại suy rơi vào vùng Eb/N0 mà ngoại suy bị sai Ví dụ hệ thống minh họa hình 16.1 Khi A < Eb/N0 < B, tính tốn giá trị xác xuất lỗi khả tin với thời gian mô hợp lý mô MC, tạo điểm 1, 2, 3, Với hệ thống quan tâm, ngoại suy hợp lệ BT gây lỗi) fV (v) pdf số định Việc để ước tính BER ước tính pdf sau ước lượng tích phân xác định (16.6) tích phân số Một cách trực giác tạo hoành đồ (tổ chức đồ liệu) biểu diễn giá trị V Để hữu hiệu, hồnh đồ phải có đủ số bin V>T phép thực tích phân (16.6) với độ xác cần thiết Hơn nữa, ta thấy Chương 16: Kỹ thuật mô hiệu 410 chương 8, hoành đồ ước tính chệch kích thước liệu N hữu hạn May thay, tồn lựa chọn cho phương pháp hoành đồ Hai kỹ thuật phổ biến để ước tính pdf từ tập liệu x[n] chuỗi Gram-Charlier chuỗi Parzen 16.3.1 Phương pháp chuỗi Gram-Charlier Chuỗi Gram-Charlier gần với pdf dạng:  e 2 v fˆY  y   y2 N  Ck H k ( y ) (16.7) k 1 Trong H k (.) biểu diễn đa thức Chebyshev-Hermite Ck hệ số chuỗi Trong trình (16.7), để đơn giản ta coi X biến ngẫu phương sai đơn vị trung bình khơng Các đa thức Chebyshev-Hermite định nghĩa quan hệ hồi quy: H k  y   yH k 1  y    k  1 H k 2  y  , k2 (16.8) Trong H0(y) = H1(y) = y Khi cho trước đa thức Chebyshev-Hermite, hệ số tính từ:  Ck   H k ( y) fY ( y) dy k !  (16.9) Lưu ý rằng, fY(y) chưa biết, (16.9) ước lượng theo mô men Y Nếu Y biến ngẫu phương sai đơn vị trung bình khơng, ta áp dụng chuyển đổi: Y  y Z (16.10) y Trong  y  y biểu diễn giá trị trung bình độ lệch chuẩn Y Theo biến đổi Z trở thành biến ngẫu phương sai đơn vị trung bình khơng cho (16.7) áp dụng trực tiếp với Y thay Z Các chuỗi Gram-Charlier tạo phép gần tốt cho pdf đích lân cận giá trị trung bình xác pdf Đáng tiếc, ước tính BER, BER lại pdf Chuỗi Gam-Charlier có số khó khăn khác Một cách xấp xỉ hóa Gram-Charlier khơng thuộc loại khơng chệch tiệm cận không hội tụ tới pdf thêm nhiều số hạng Ngoài ra, với số hữu hạn số hạng, N, phép gần định nghĩa (16.7) khơng phải pdf chí âm giá trị đặc biệt y Tuy tồn khiếm khuyết song chuỗi Gram-Charlier ước tính pdf hữu hiệu cho nhiều ứng dụng Bộ ước tính cho mơ men biến ngẫu nhiên tạo chuỗi số liệu x[n] cho bởi: 1 N  E  X k   lim   x k  n N  N  n 1  (16.11) Tất nhiên thực tế, kích thước số liệu N phải hữu hạn Đáng tiếc, N hữu hạn ước tính khơng có thuộc tính tối ưu Tuy nhiên, ước tính kiên định hiệu thỏa đáng mong đợi N đủ lớn Chương 16: Kỹ thuật mô hiệu 411 16.3.2 Phương pháp chuỗi Parzen: Những khiếm khuyết chuỗi Gram-Charlier khắc phục phần qua việc sử dụng ước tính pdf Parzen Bộ ước tính Parzen có dạng: fˆV (v)  N  v  vk  g   N h( N ) k 1  h( N )  (16.12) Các lựa chọn g(x) h(N) có phần tuỳ ý lựa chọn hợp lý nhiều ứng dụng là:  g ( x)  e 2 x2 N h( N )  (16.13) (16.14) Trong (16.12), N kích thước tập số liệu, hàm g(.) hàm trọng số, h(N) hệ số làm nhẵn (san bằng) Mặc dù ước tính Parzen bị chệch N hữu hạn, thấy h( N )  N   Nh( N )   N   , ước tính Parzen khơng chệch cách tiệm cận Rõ ràng, hàm làm nhẵn định nghĩa (16.14) thỏa mãn yêu cầu Cũng thấy ước tính Parzen kiên định Cả hai kỹ thuật Gram-Charlier Parzen ứng dụng thành cơng cho số tốn Gần đây, chúng dùng để ước tính BER hệ thống thông tin số hoạt động nhiều kịch kênh như: kênh AWGN, kênh AWGN có nhiễu đồng kênh kênh AWGN cộng với đa đường 16.4 Lấy mẫu quan trọng Ta thấy chương 10, mô MC thực phép thử ngẫu nhiên số lượng lớn lần N, đếm số kết cục NA, biểu thị số kiện quan tâm A Ta ước tính xác xuất kiện A phương trình: NA N  N Pr( A)  lim (16.15) Giả sử NA số lỗi truyền dẫn N ký hiệu, hệ thống truyền thông hiệu cao tạo giá trị NA nhỏ nhiều N Đề cập ngắn gọn khoảng tin cậy chương cho thấy để tạo ước tính khả tin, ta cần có NA phải 10 tốt 100 Trong nhiều tình yêu cầu NA lớn dẫn đến thời gian mơ lâu đặc biệt BER thấp (SNR cao) Nếu BER nhỏ, lỗi giải điều chế mô (xác xuất thấp, khả xảy thấp) kiện quan trọng Mục đích lấy mẫu quan trọng là: (i) thay đổi mô theo cách điều khiển được; (ii) tăng số lượng kiện quan trọng xác định xác xuất lỗi giải điều chế Điều cần phải thay đổi (16.15) Lấy mẫu quan trọng thuộc lớp phương pháp luận mô xem kỹ thuật giảm phương sai Mục đích kỹ thuật giảm phương sai triển Chương 16: Kỹ thuật mô hiệu 412 khai ước tính khơng chệch mà biểu lộ phương sai giảm và/hoặc thời gian mô giảm so với mô Monte Carlo Trước đề cập việc lấy mẫu quan trọng, lưu ý việc mô tả chi tiết lấy mẫu quan trọng phạm vi tài liệu Theo đó, thay xét ước tính diện tích hình học cách sử dụng khái niệm lấy mẫu quan trọng Trong chương vấn đề mô Monte Carlo đề cập cách triển khai ước tính cho diện tích có dạng hai chiều (lưu ý vấn đề dẫn đến ước tính cho giá trị  ) Trong chương ta lại xét ước tính cho diện tích có dạng hai chiều (trong trường hợp elip) nhằm làm sáng tỏ kỹ thuật mơ lấy mẫu quan trọng Cuối chương trình bày mô hệ thống thông tin đơn giản 16.4.1 Diện tích elip Giả sử ta muốn dùng mơ Monte Carlo để ước tính diện tích elip mặt phẳng (x, y) Cụ thể, ta khảo sát tốn tìm diện tích elip có trục theo hướng x có độ dài 2 trục phụ có độ dài Xem lại ước tính Monte Carlo Elip bao gồm tất điểm (x, y) cho: x2  y  (16.16) Diện tích elip Ae là: 2 y2 Ae    dxdy    4, 443 (16.17) y 1 x   y Bằng cách viết lại tích phân, ta đưa tốn vào dạng phù hợp với tích phân Monte Carlo để giải thích lấy mẫu quan trọng Muốn vậy, Trước hết, biểu diễn giới hạn tích phân hàm bị tích cách định nghĩa hàm báo he(x, y), cho: 1, x  y  he ( x, y )   2 0, x  y  elip ngoµi elip (16.18) Dẫn đến:  Ae     h ( x, y) dxdy (16.19) e   Tiếp theo, xác định vùng biên giới chứa elip có vùng dễ tính tốn Diện tích vùng biên giới ký hiệu Abiên Nhân hàm bị tích với phần tử đơn vị có dạng Abiên/Abiên cho ta:  Ae     h ( x, y ) A e   biªn dxdy Abiªn (16.20) Chương 16: Kỹ thuật mơ hiệu 413 Sau đó, xác định cặp biến ngẫu nhiên (X, Y) phân bố Abiên Hàm pdf cặp biến ngẫu nhiên là: 1 / Abiªn , he ( x, y )  f XY ( x, y )    tïy ý , he ( x, y )  (16.21) Cuối là, kết hợp (16.20) (16.21):  Ae  Abiªn    h ( x, y ) f e XY ( x, y ) dxdy (16.22)   Như chương 9, ước tính diện tích elip N  Aˆe  Abiªn  e   N  (16.23) Trong N biểu thị số điểm tạo vùng biên giới Ne biểu thị số điểm rơi vào elip Lựa chọn hộp bao cho mô MC Có thể thấy ước tính định nghĩa (16.23) kiên định không chệch tạo vùng biên giới đóng bao hồn tồn elip, minh hoạ ví dụ sau Ví dụ 16.1: Tạo N = 500 điểm hộp bao hình vng đặt trung tâm gốc tọa độ Sử dụng (16.23) để ước tính diện tích elip với ba kích thước hình biên khác nhau; Abiên = 4, 8, 100 Nửa hình 16.3 cho thấy điểm mẫu tạo mô với Abiên = 100 (10 đơn vị chiều), nửa hình cho thấy ước tính liên tục diện tích với giá trị tính theo lý thuyết Thấy rõ từ hình 16.3, cần có nhiều 500 mẫu mô để tạo ước tính diện tích elip xác Y -5 -5 -4 -3 -2 -1 300 350 400 450 500 X ¦íc tÝnh diÖn tÝch 0 50 100 150 200 250 Các mẫu đ-ợc xử lý Chương 16: Kỹ thuật mơ hiệu 414 Hình 16.3: Q trình ước tính diện tích với N = 100 Tiếp theo, ta khảo sát ảnh hưởng việc thay đổi diện tích hình bao biên giới Đặt Abiên = cải thiện đột ngột thuộc tính hội tụ ước tính Kết là, vùng ước tính nằm vài phần trăm giá trị sau 100 mẫu Dựa vào quan sát ta kết luận rằng, đường bao biên giới nhỏ ước tính hội tụ nhanh Nó xác tới điểm Tuy nhiên, Abiên = 4, ước tính hội tụ nhanh, tới giá khơng xác Bộ ước tính bị chệch hình bao biên giới khơng chứa tồn elip Nếu đường bao biên giới tiếp tục co lại, tốc độ hội tụ tiếp tục cải thiện độ chệch tăng cuối ta đơn giản hóa việc tìm diện tích hình bao khơng phải diện tích elip Các tính chất hội tụ Abiên = 100, 8, minh họa hình 16.4 Ước tính diện tích 100 4 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Số mẫu Hình 16.4: Minh họa tính hội tụ diện tích bao khác Ảnh hưởng kích thước hình bao biên giới dự đốn từ (16.23) Mức độ xác tỉ số Ne/N tăng theo Ne Nói cách khác, ta muốn có nhiều điểm bên elip, dẫn đến ta chọn đường bao nhỏ Tuy nhiên, ước tính MC trở nên bị chệch đường bao rơi hoàn tồn vào elip, dẫn đến kích thước đường bao tối ưu Abiên = 8, hình vng nhỏ bao quanh elip Thách thức chỗ làm tìm ước tính vừa khơng bị chệch vừa hội tụ nhanh Các vùng biên giới tối ưu Trong phần mô trước cho thấy, mô MC hai chiều tạo điểm ngẫu nhiên số vùng mặt phẳng (x, y) Để tạo ước tính hội tụ nhanh, ta muốn có ước tính MC sử dụng vùng nhỏ mà đảm bảo diện tích quan tâm bao hoàn toàn Để đơn giản, ban đầu ta giả sử vùng biên giới hình chữ nhật Tuy nhiên, khơng gặp khó khăn triển khai thuật tốn ước tính theo u cầu Thuật tốn áp dụng cho vùng biên giới vùng cho Chẳng hạn, xét biên giới hình chữ nhật Hình chữ nhật nhỏ chứa elip có diện tích Vì nhỏ diện tích biên giới hình vng nhỏ nhất, nên ước tính dựa vào vùng biên giới hình chữ nhật hội tụ nhanh ước tính dựa vào vùng biên giới hình vng Chương 16: Kỹ thuật mơ hiệu 415 Tại mở rộng tìm hình bao biên giới tốt cho đa giác bậc cao Ta tìm đa giác bao quanh elip có diện tích chí nhỏ Sẽ khó tính tốn vùng đa giác biên giới theo cách giải tích khó tạo điểm phân bố đa giác Vùng biên giới cuối elip Trường hợp Abiên = Ae, điểm ngẫu nhiên tạo rơi vào bên elip Vì vậy, Ne = N Phương trình (16.23) mô hiệu tạo kết xác sau tạo điểm ngẫu nhiên Tất nhiên, trường hợp lấy giới hạn không cần thiết thực mô phỏng, Ae phải xác định theo cách giải tích trước triển khai mã mơ Dĩ nhiên, loại bỏ cần thiết mô Một thách thức việc tạo mô hiệu cao lỗi tính tốn nhỏ gây phần elip rơi vùng biên giới, tạo ước tính bị chệch Nếu khơng biết câu trả lời xác, khơng thể phát chệch cách quan trắc kết mơ Tóm tắt lại sử dụng pdf phân bố mô MC, nên: Xác định diện tích vùng biên giới theo cách giải tích Chứng minh theo cách giải tích vùng biên giới bao quanh hồn tồn diện tích quan tâm Tìm giải thuật để tạo điểm phân bố cách hiệu vùng biên giới Giảm thiểu diện tích vùng biên giới, cho ràng buộc 1, 2, Chạy mô đủ lâu để quan sát số lượng lớn mẫu elip Các quan tâm yêu cầu dễ để hiểu toán đơn giản Chúng xuất lại phần sau nhiều chiến lược mô phức tạp hơn, mức độ phức tạp toán học làm cho khó hình dung đánh giá Các hàm pdf không hàm trọng số Tại ta xét thuật tốn Monte Carlo Các mơ Monte Carlo từ chương ta có hai đếm, đếm kiện đếm mẫu Bộ đếm mẫu tăng lần thử nghiệm ngẫu nhiên thực (ví dụ tạo mẫu kiểm tra xem rơi vào vùng quan tâm) Bộ đếm kiện tăng lần xuất kiện quan tâm xuất mẫu rơi vào vùng cho Các đếm thường tăng cách tăng nội dung nhớ Ta thấy rằng, cách cộng trọng số i vào đếm kiện số Khái niệm làm tăng trọng số làm tăng số nguyên trung tâm để áp dụng phương pháp luận lấy mẫu quan trọng cho ước tính BER Trong phương trình (16.19) ta nhân hàm bị tích với phần tử đơn vị có dạng Abiên/Abiên để có (16.20) Bộ ước tính tổng quát thiết lập cách nhân hàm bị tích (16.19) với hàm trọng số hai chiều chia  ( x, y) /  ( x, y) Giống trước đó, ta thay 1/  ( x, y) pdf Cụ thể là: Chương 16: Kỹ thuật mô hiệu 416  /  ( x, y ), he ( x, y )  f XY ( x, y )   he ( x, y )  tïy ý , Dẫn đến:  Ae     h ( x, y). ( x, y) f e XY ( x, y ) dxdy (16.24)   Đây dạng tổng quát (16.22), f XY ( x, y) pdf khác khơng elip Bộ ước tính diện tích tương ứng với (16.24) là: N Aˆe   he ( xi , yi ). ( xi , yi ) N i 1 (16.25) Trong véc tơ ngẫu nhiên (xi, yi) phân bố đồng dạng độc lập iid có pdf fXY(x, y) Đây tổng quát hoá kết trước, với trường hợp phân bố đều, đảo pdf, nghĩa hàm trọng lượng Abiên không đổi tất điểm bên elip Phương trình (16.25) cho phép ta sử dụng gần pdf mô bao gồm pdf phân bố trường hợp đặc biệt Phương sai độ chệch ước tính hàm pdf chọn cho mô Để tránh độ chệch ước tính, pdf phân bố phải chứa tồn elip Nói cách khác, pdf phân bố phải khác khơng bên elip Ta thấy rằng, ước tính diện tích khơng bị chệch với giả thiết fXY(x, y) > với tất điểm bên elip Vì có nhiều pdf khác khơng tồn mặt phẳng (x, y), nên khơng khó để tạo ước tính khơng chệch Giảm thiểu phương sai tốn khó tốc độ hội tụ mô hàm pdf phức tạp Ví dụ sau làm sáng tỏ tốn Ví dụ 16.2: Trong ví dụ ta xét pdf phân bố Gausơ khảo sát tốc độ hội tụ cho ba giá trị độ lệch chuẩn khác   10,     0, Trường hợp   10 Hình 16.4 cho thấy kết với   10 (Lưu ý hộp bao ban đầu có kích thước  Elip che điểm mẫu) Khi  lớn, pdf bên elip nhỏ gần khơng đổi Vì vậy, trọng số tương đối lớn gán cho mẫu rơi vào elip Cho thấy vài bước nhảy lớn sau khoảng có tốc độ phân rã hyperbolic (1/N) Ước tính diện tích hội tụ đến giá trị chậm, phần lớn cách tương tự pdf phân bố diện tích biên giới lớn Chương 16: Kỹ thuật mô hiệu 417 15 10 Y -5 -10 -15 -10 -5 10 X ¦íc tÝnh diƯn tÝch 15 10 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Các mẫu đ-ợc xử lý Hỡnh 16.5: Hiu nng ước tính với lấy mẫu Gausơ   10 Trường hợp   Khi độ lệch chuẩn đóng gần kích thước elip kết tốc độ hội tụ nhanh nhiều Một số lượng lớn mẫu rơi vào elip, mẫu ấn định trọng số tương đối nhỏ Trường hợp tương ứng với pdf phân bố vùng biên giới lớn elip không dáng kể Kết thể hình 16.6 Y -5 -5 -4 -3 -2 -1 300 350 400 450 500 X ¦íc tÝnh diƯn tÝch 0 50 100 150 200 250 Các mẫu đ-ợc xử lý Hình 16.6: Hiệu ước tính với lấy mẫu Gausơ   Trường hợp   0,15 Ảnh hưởng tính cách kiện cực trị quen thuộc với ta từ nghiên cứu trước Ví dụ đơn giản giả sử: (i) hệ thống truyền tin số có BER 10-6; (ii) thực mơ MC; (iii) thu 99 ký hiệu khơng có lỗi Bộ ước tính BER Pˆ  N / N E e  N  99 giá trị nhỏ Nếu ký hiệu số 100 bị lỗi (sự kiện cực trị) PˆE nhảy từ lên Chương 16: Kỹ thuật mô hiệu 418 10-2 (là lớn) Nếu kéo dài định xác theo lỗi này, PˆE giảm 1/N N>100 Tính cách tiếp tục xảy lỗi Về giống tính cách hình 16.7 khác lỗi hình 16.7 nhân với trọng số lớn i Lưu ý kiện cực trị xuất sớm chạy mô có ảnh hưởng rõ ràng kiện cực trị xuất sau Y -5 -5 -4 -3 -2 -1 300 350 400 450 500 X ¦íc tÝnh diƯn tÝch 15 10 0 50 100 150 200 250 Các mẫu đ-ợc xử lý Hỡnh 16.7: Hiu nng b ước tính với lấy mẫu Gausơ   0,15 Cả ba mô dùng số gốc ngẫu nhiên Cả ba ước tính khơng bị chệch kiên định, cách thức hội tụ khác nhiều Các cách thức tổng hợp bảng 16.1 Bảng 16.1: Cách thức hội tụ Độ chệch chuẩn Quá nhỏ Phù hợp Quá lớn  Số mẫu Elip Cách thức hội tụ Gần tất Từ 10% đến 90% Rất Chậm (biểu kiện cực trị) Nhanh Chậm Trong ví dụ đơn giản này, có nhiều phương pháp để dự đoán cách thức hội tụ Các biểu đồ tán xạ cho biết pdf bao phủ elip nhiều mặt phẳng Bộ thị rõ nét khác hàm trọng số Hàm trọng số lý tưởng nhỏ tồn diện tích elip Nếu tập hợp đủ liệu, ước tính mẫu hàm lỗi cho thấy rõ cách thức Về lý tưởng, ta mong muốn thiết lập khoảng tin cậy cho ước tính Đây việc khó ước tính khơng có phân bố nhị thức Có thể lấy gần Gausơ số lượng đủ lớn ký hiệu xử lý Số lượng mẫu cần thiết cho phép lấy gần xác phụ thuộc vào cách thức hội tụ Khi hội tụ nhanh cần vài trăm mẫu Các ước tính hội tụ chậm tương tự với trường hợp cần vài trăm điểm bên elip Trường hợp cuối cùng, cần quan sát hàng trăm kiện cực trị trước lấy gần Gausơ Chương 16: Kỹ thuật mô hiệu 419 16.4.2 Tính nhạy cảm với pdf Việc tìm diện tích elip tốn tất định Các biến ngẫu nhiên sử dụng mô MC hồn tồn giả định, khơng mơ hình hóa cho thiết bị vật lý tín hiệu Hầu hết hệ thống truyền thông vật lý phải chựu xáo trộn ngẫu nhiên xử lý số liệu ngẫu nhiên Khuynh hướng triển khai mô sử dụng hàm pdf nguồn tạp âm làm hệ thống vật lý Tuy nhiên, ta thấy khơng cần thiết Mơ sử dụng nguồn tạp âm bị chệch, có hàm pdf khác với hàm pdf dùng hệ thống vật lý Ví dụ, giả sử hệ thống vật lý tạo cặp biến ngẫu nhiên Gausơ (x, y) có pdf là: f vËt lý ( x, y )   2 x y  r e  x2 rxy x2     2  x y (1 r )   x2  y  (16.26) Trong  x  y độ lệch chuẩn X Y, r hệ số tương quan Xác xuất mà cặp biến ngẫu nhiên rơi vào elip là: 2 y2 Be     f vËt lý ( x, y) dxdy  y 1 x   y    h ( x, y) f e vËt lý ( x, y) dxdy (16.27)   Biểu thức khó ước lượng Giải pháp MC đơn giản cho toán sử dụng tổng: N N Bˆe   he ( xi , yi )  e N i 1 N (16.28) Trong véc tơ ngẫu nhiên (xi, yi) phân bố đồng độc lập thống kê idd có pdf fvật lý(x, y) Giả sử ta khơng có tạo số ngẫu nhiên để tạo fvật lý(x, y), ta có tạo số ngẫu nhiên để tạo mẫu có phân bố fmơ phỏng(x, y) Ta giải toán kỹ thuật Monte Carlo Trong phần trước, ta nhân hàm bị tích (16.27) với phần tử đơn vị có dạng  ( x, y) /  ( x, y) Khác với triển khai trước đây, hàm trọng số định nghĩa là:  f vËt lý ( x, y ) / f m« pháng ( x, y ), tïy ý ,  ( x, y )   he ( x, y )  he ( x, y )  (16.29) Thay (16.29) vào (16.27) ta được:  Be     h ( x , y )  ( x, y ) f e m« pháng ( x, y ) dxdy (16.30)   Có thể xấp xỉ tổng: N Bˆe   he ( xi , yi )  ( xi , yi ) N i 1 (16.31) Chương 16: Kỹ thuật mô hiệu 420 Các vec tơ ngẫu nhiên (xi, yi) phân bố đồng độc lập thống kê idd có fmơ phỏng(x, y) Cũng giống tốn trước, ta phải quan tâm độ chệch, tính kiên định cách thức hội tụ ước tính Dễ dàng thấy fmô phỏng(x, y)>0 với điểm he ( x, y) f vËt lý ( x, y)  , ước tính không bị chệch Cũng cho thấy điều đảm bảo ước tính kiên định Trong tốn đơn giản hơn, cách thức hội tụ chậm, nhanh, chậm tồn kiện cực trị Cách thức phụ thuộc vào hàm trọng số w( x, y)  f vËt lý ( x, y) / f m« pháng ( x, y) bên elip Các tốc độ hội tụ tổng kết bảng 16.2 Bảng 16.2: Tóm tắt tốc độ hội tụ Các PDF bên Elip Hàm trọng số bên Elip f m« pháng ( x, y)  f vËt lý ( x, y)  ( x, y )  Giống MC đơn giản Tốc độ hội tụ f m« pháng ( x, y)  f vËt lý ( x, y)  ( x, y )  Nhanh MC đơn giản f m« pháng ( x, y)  f vËt lý ( x, y)  ( x, y )  Chậm MC đơn giản 16.4.3 Xem xét đầy đủ Trước ứng dụng toán ước tính diện tích elip vào hệ thống truyền tin, ta cần phải xem xét đầy đủ cuối Kênh tạo tạp âm, tạp âm bị biến đổi máy thu thành phân bố có pdf chưa biết Ta phải tìm xác xuất mẫu tạo pdf rơi vào bên vùng quan tâm Bây làm việc với pdf hai chiều, giả sử kênh tạo tạp âm vật lý (x, y), có pdf fvật lý(x,y) Các biến ngẫu nhiên đưa vào máy thu, áp dụng toán tử g ( x, y)  ( ,  ) Tập biến ngẫu nhiên có hàm pdf f thu ( ,  ) Xác xuất biến ngẫu nhiên ( ,  ) rơi vào số vùng quan tâm, chẳng hạn vùng elip là:  Be     h ( ,  ) f e thu ( ,  ) d d  (16.32)   Tính phức tạp hàm g làm cho việc tính f thu ( ,  ) từ fvật lý (x,y) không thực tế Mơ MC tốn là: N Bˆe   he ( i , i ) N i 1 (16.33) Trong ( i , i ) có pdf f thu ( ,  ) Có thể chạy mơ ta khơng biết cách tính f rec ( ,  ) Nếu ta tạo vectơ ngẫu nhiên (xi, yi) có pdf fvật lý(x, y) sau cho véc tơ mẫu qua hàm g, véc tơ kết ( i , i ) có pdf f thu ( ,  ) Chi tiết hóa biểu thức (16.33) ta có: N Bˆe   he  g ( xi , yi )  N i 1 (16.34) Chương 16: Kỹ thuật mô hiệu 421 Giả sử ta thay fvật lý(x, y) fchệch(x, y) Điều làm f thu ( ,  ) thành f thu-chÖch ( ,  ) Để loại bỏ ảnh hưởng độ chệch từ ước tính MC, ta cần tính hàm trọng số:  ( i , i )  f (x , y ) f thu ( i , i )  vËt lý i i f thu-chÖch ( i , i ) f chÖch ( xi , yi ) (16.35) Trong ( i , i )  g ( xi , yi ) Hàm trọng số sử dụng để biến đổi (16.34) nhằm tạo: N Bˆe    g ( xi , yi )  he  g ( xi , yi )  N i 1 (16.36) Có thể thấy ước tính khơng bị chệch kiên định 16.4.4 Bài tốn truyền thơng Bài tốn hình học tìm diện tích elip ánh xạ thành tốn tìm BER hệ thống truyền thơng Hai tập biến ngẫu nhiên (x, y) ( ,  ) biểu diễn dạng sóng tạp âm kênh số đo định Trong tốn truyền thơng, tạp âm kênh thường có nhiều hai chiều, số đo định có chiều Quan hệ hai cặp biến ngẫu nhiên toán tử g(.), thể cho máy thu Tại đây, elip tốn hình học tương ứng với giá trị số đo định làm cho máy thu mắc lỗi giải điều chế Việc tìm BER hệ thống tương đương với việc tìm xác xuất mẫu tạo cách ngẫu nhiên rơi vào bên elip Ta làm lệch tạp âm kênh để tăng tần xuất kiện lỗi, tính hàm trọng số: i  f vËt lý (ni ) f chƯch (ni ) (16.37) Bộ ước tính BER là: N Pˆe   (ni ) he  g ( xi , yi )  N i 1 (16.38) Trong tốn hình học, ta đảm bảo ước tính khơng chệch cách làm cho vùng biên giới chứa toàn elip Ở cần tạo tất giá trị số đo định Khơng khó để đáp ứng u cầu Tốc độ hội tụ tốn hình học phụ thuộc vào cách chọn phương sai nguồn tạp âm thiết lập điểm mẫu Nếu nhiều mẫu nằm ngồi elip, tốc độ hội tụ chậm Nếu ta tạo gần khơng có mẫu nằm ngồi elip, tính hội tụ lại chậm kiện cực trị Về lý tưởng, ta mong muốn hỗn hợp mẫu bên bên ngồi elip Trong tốn hệ thống truyền thông, ta muốn hỗn hợp giá trị số đo định vùng lỗi vùng khơng có lỗi Tập trung q nhiều mẫu hai vùng làm cho tốc độ hội tụ chậm Hình 16.8 minh hoạ hệ thống với yêu cầu thêm hàm phụ để thực lấy mẫu quan trọng biểu diễn đường kẻ đậm Chương 16: Kỹ thuật mô hiệu 422 Trễ Nguồn liệu dˆi Máy phát Kênh Máy thu So sánh di ei Thêm vào để lấy mẫu quan trọng Hàm làm lệch Hàm trọng lượng wi PˆE Tạp âm, méo, nhiễu, v.v ( ) N Hình 16.8: Mơ hệ thống với việc lấy mẫu quan trọng 16.4.5 Lấy mẫu quan trọng truyền thống cải tiến Tồn nhiều phương pháp để làm lệch tạp âm áp dụng lấy mẫu quan trọng Hai phương pháp phổ biến gọi lấy mẫu quan trọng truyền thống (CIS) lấy mẫu quan trọng cải tiến (IIS) Trong CIS ta tăng phương sai tạp âm kênh, tương đương với hệ thống hoạt động SNR thấp Trong IIS, thay đổi giá trị trung bình tạp âm chứa khơng phải phương sai Ví dụ 16.3: Trong ví dụ ta xét CIS áp dụng cho hệ thống QPSK vi sai, xét chương 10 Mã chương trình Matlab mô CIS cho file NVD16CISQPSK.m Phục lục 16A Hàm gần giống với mô Monte Carlo cho hệ thống QPSK xét chương 10 khác tạp âm kênh bị lệch cách tăng phương sai tạp âm Bộ ước tính BER ví dụ định nghĩa (16.38) Kết điển hình từ mơ cho hình 16.9 Các vịng hình trình bày ước tính CIS BER đường cong nét liền hiệu lý thuyết Thấy rõ SNR cao lệch lý thuyết mô Tuy nhiên, kết dựa vào 1000 ký hiệu giải điều chế Sử dụng mô MC truyền thống không thực tế để đo BER nhỏ 10-3 Tuy nhiên, từ kết mô CIS cho ta số ý tưởng BER tỷ số lỗi đạt tới 10-8 Chương 16: Kỹ thuật mơ hiệu Hình 16.9: Minh họa kết mơ CIS điển hình 423 ... thay đổi (16. 15) Lấy mẫu quan trọng thuộc lớp phương pháp luận mô xem kỹ thuật giảm phương sai Mục đích kỹ thuật giảm phương sai triển Chương 16: Kỹ thuật mô hiệu 412 khai ước tính khơng chệch mà... dụ 16. 3: Trong ví dụ ta xét CIS áp dụng cho hệ thống QPSK vi sai, xét chương 10 Mã chương trình Matlab mơ CIS cho file NVD16CISQPSK.m Phục lục 16A Hàm gần giống với mô Monte Carlo cho hệ thống. .. T      v X (16. 2) T Vế trái (16. 2) BER hệ thống ta dùng ngưỡng T và, ta viết vế trái Pˆe (T ) Lấy logarit biểu thức (16. 2) hai lần ta được: Chương 16: Kỹ thuật mô hiệu 409  T  ln 