XÁC XUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN

XÁC XUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN

B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O TR NG Đ I H C LU T TP.HCM C NG HOẨ Xẩ H I CH NGHƾA VI T NAM Đ c l p ậ Tự ậH nh phúc TẨI LI U GI NG D Y L P CH T L NG CAO Trình đ đƠo t o: Đ IH C Ch ng trình đƠo t o: …………………… PH N 1: Đ C NG CHI TI T H C PH N Tên h c ph n: XÁC SU T VÀ TH NG Kể TOÁN Mƣ h c ph n: Áp d ng từ khóa: S đ n v tín ch : Phân bố th i l ng h c tập: - Lý thuy t: 30 gi TC - Bài tập: 15 gi TC Mơ t tóm tắt h c ph n - Cung cấp khái niệm phép toán v bi n cố ngẫu nhiên, phép toán bi n cố, xác suất bi n cố, đ i l ng ngẫu nhiên tính chất đặc tr ng, quy luật phân phối xác suất, cung cấp khái niệm phép toán thống kê nh ph ơng pháp lấy mẫu, ớc l ng, kiểm đ nh gi thi t - H ớng dẫn ph ơng pháp, công thức tính tốn xác suất bi n cố ngẫu nhiên, đ i l ng ngẫu nhiên, ph ơng pháp ớc l ng tham số, kiểm đ nh gi thi t thơng qua ví d tốn điển hình - Trình bày đ c m t số ứng d ng, mối quan hệ nh gi i pháp toán h c thống kê đ i lĩnh vực quan tr ng khác nh kinh t , khoa h c kỹ thuật đ i sống M c tiêu h c ph n * Kiến thức: - Trang b m t cách có hệ thống ki n thức b n nhất, ph ơng pháp tính tốn v xác suất thống kê toán h c - Liên hệ đ c ứng d ng thống kê toán h c đ i kinh t , khoa h c kỹ thuật nh đ i sống xư h i - Rèn luyện t toán h c, kh suy luận, phán đoán nh kỹ tính tốn, đánh giá gi i quy t vấn đ có liên quan đ n xác suất thống kê lĩnh vực kinh t , kỹ thuật * Kỹ năng: Sau hoàn tất h c phần ng i h c có kh năng: - Gi i quy t đ c d ng tốn có liên quan đ n v xác suất thống kê toán h c ph m vi ki n thức đư đ c trang b - Thi t lập tính tốn đ c m t số mối quan hệ kinh t - kỹ thuật, quy luật cung - cầu s phép toán v xác suất thống kê tốn h c - Có thể ứng d ng xác suất thống kê toán h c vào thực t cu c sống xư h i * Thái độ: Trong suốt trình h c tập h c phần, ng i h c cần có: - Thái đ h c tập tích cực, tinh thần tự h c cao, kh tự đào t o hoàn thiện ki n thức có hiệu qu - Đ nh h ớng ứng d ng ki n thức vào thực t cu c sống Ph ng pháp gi ng d y H c phần đ c gi ng nhi u ph ơng pháp, gồm ph ơng pháp chủ đ o: - Ph ơng pháp diễn gi ng - Ph ơng pháp th o luận (nhóm) - Ph ơng pháp luyện tập (làm tập) Ph ng pháp đánh giá - Đánh giá q trình (1): 30% , gồm: + Làm tập: 5% + Thảo luận: 5% + Kiểm tra kỳ: 20% , (Hình thức thi tự luận,th i gian thi 60 phút) 70% , (Hình thức thi tự luận,th i gian thi 90 phút) - Đánh giá cuối h c phần (2): Điểm đánh giá h c phần: 100% , thang điểm 10, tổng m c (1) (2) nêu N i dung (Các đ m c chi ti t) h c ph n PH N Lụ THUY T XÁC SU T CH 1.1 M T S NG 1: CÁC KHÁI NI M C CỌNG TH C V GI I TệCH T B N C A XÁC XU T H P 1.1.1 Quy tắc nhơn Gi sử m t cơng việc cần ph i chia thành k giai đo n để thực Có n1 cách thực giai đo n m t, n2 cách thực giai đo n hai, , nk cách thực giai đo n k Vậy có n cách để thực tồn b cơng việc, với: n = n1.n2 nk Ví dụ 1.1: Để từ A đến C phải qua B Có đ ng từ A đến B đu ng từ B đến C Hỏi có đ ng (cách đi) để từ A đến C? Gi i Từ sơ đồ, có n=3.2=6 đ ng (cách đi) khác để từ A đ n C A) B C 1.1.2 Ch nh h p Đ nh nghƿa 1.1: Chỉnh h p chập k n phần tử (k < n) m t nhóm (b ) có thứ tự gồm k phần tử khác ch n từ n phần tử cho tr ớc Số chỉnh h p chập k n phần tử ký hiệu Ank ,với: Ank  n!  n(n  1) (n  k  1) (n  k )! Ví dụ 1.2: Một lớp học có 15 học viên Hỏi có cách chọn lớp tr quỹ? ng thủ Gi i M i cách ch n m t lớp tr chập 15 phần tử Vậy số cách ch n là: A152  ng m t thủ quỹ từ 15 h c viên lớp h c m t chỉnh h p 15!  15.14  210 (15  2)! Ví dụ 1.3: Từ chữ số 0,1,2,3,4,5 thành lập đ ợc số khác có chữ số? Gi i Các số bắt đầu chữ số (0123, 0234, ) không ph i số có chữ số Chữ số ph i ch n chữ số 1,2,3,4,5 Do có cách ch n chữ số Ba chữ số k ti p ch n tùy ý chữ số cịn l i Có A53 cách ch n Vậy số cách ch n là: A53  5.(5.4.3)  300 cách 1.1.3 Ch nh h p l p Đ nh nghƿa 1.2: Chỉnh h p lặp chập k n phần tử m t nhóm (b ) có thứ tự gồm k phần tử ch n từ n phần tử cho tr ớc, m i phần tử xuất từ đ n k lần nhóm Số chỉnh h p lặp chặp k n phần tử ký hiệu Bnk , với: Bnk  n k Ví dụ 1.4: Cần xếp sách vào ngăn để sách Hỏi có cách xếp? Gi i M i cách x p sách vào ngăn để sách m t chỉnh h p lặp chập phần tử (m i lần x p sách vào ngăn xem nh lần ch n ngăn ngăn Do có sách nên việc ch n ngăn đ c ti n hành lần) Vậy số cách x p là: B35  35  243 1.1.4 Hoán v Đ nh nghƿa 1.3: Hoán v n phần tử m t nhóm (b ) có thứ tự có xuất c n phần tử đư cho Số hoán v n phần tử đ c ký hiệu Pn , với: Pn  n! Ví dụ 1.5: Một bàn học có chỗ ngồi Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho ng bàn? i học vào Gi i M i cách x p cho ng i h c vào mơt bàn m t hốn v phần tử Vậy số cách x p là: P4 = 4! =1.2.3.4= 24 1.1.5 T h p Đ nh nghƿa 1.4: Tổ h p chập k n phần tử (k < n) m t nhóm (b ) khơng phân biệt thứ tự, gồm k phần tử khác ch n từ n phần tử cho tr ớc Số tổ h p chập k n phần tử ký hiệu C nk , với: Cnk  n! k!(n  k )! i) Quy ớc 0!= ii) Cnk  Cnnk iii) Cnk  Cnk1  Cnk11 Ví dụ 1.6: Mỗi đề thi gồm câu hỏi đ ợc lấy 25 câu hỏi ôn tập cho tr ớc Hỏi thành lập đ ợc đề thi khác nhau? Gi i Số đ thi thành lập đ C25  c m t tổ h p chập 25 phần tử: 25! 25! 22.23.24.25    12.650 4!(25  4)! 4!.21! 1.2.3.4 Ví dụ 1.7: Một mạng LAN có 16 cổng kết nối đến máy tính Giả sử th i điểm cổng có máy kết nối khơng có máy kết nối nh ng hoạt động khơng thể hoạt động Hỏi có cấu hình (cách chọn) 10 cổng có kết nối, cổng khơng kết nối nh ng hoạt động cổng khơng hoạt động? Gi i Để xác đ nh số cách ch n (cấu hình), có b ớc: 10 B ớc 1: Ch n 10 cổng có k t nối, có C16  16!  8008 cách 10!.6! B ớc 2: Ch n cổng không k t nối nh ng ho t đ ng cổng cịn l i, có C64  6!  15 cách 4!.2! B ớc 3: Ch n cổng ho t đ ng, có C22  cách 10 C64 C22  8008 *15 *1  120.120 cách Theo quy tắc nhân, có C16 1.1.6 Nh th c Newton Giá tr hệ số nh thức Newton (tức khai triển đẳng thức đáng nhớ) đ c xác đ nh từ tam giác Pascal nh sau: a+b = a1 + b1 (a + b)2 = a2 + 2a1b1 + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b1 + 3a1b2 + b3 ……………… (a + b)n = C n0 an + Cn1 an-1b1 + Cn2 an-2b2 + … + C n0 an(n-1)bn-1 + Cnn bn Tam giác Pascal: 1 1 3 …………… C n0 C n1 Cn2 … Cnn1 Cnn Công thức tổng quát nh thức Newton: (a  b)n  Cn0 a n b0  Cn1a n 1.b1  Cn2a n  b   Cnn  ( n 1) a n  ( n 1) b n 1  Cnn a bn   Cni a n i bi n i 0 (a, b số thực; n số tự nhiên) 1.2 CÁC KHÁI NI M C B N C A XÁC SU T 1.2.1 Phép thử ậ Bi n c ậ Không gian m u: Phép thử: Khi quan sát m t t ng, làm m t thí nghiệm, ti n hành m t cơng việc mà có quan tâm đ n k t qu , tức đư thực m t phép thử ngẫu nhiên, g i tắt phép thử (test), ký hiệu T Vậy phép thử m t tập h p hành đ ng, thao tác có kh o sát k t qu Biến cố: M i k t qu x y khơng x y m t phép thử, g i m t bi n cố ngẫu nhiên hay kiện ngẫu nhiên, g i tắt bi n cố hay kiện, ký hiệu b i ký tự A, B, C,…,X, Y, Z,….,Γ,Δ,Λ,Ψ,Φ,Σ,… Không gian mẫu: Tập h p tất c k t qu x y m t phép thử đ không gian bi n cố ngẫu nhiên phép thử hay không gian mẫu, ký hiệu  c g i Vậy m i tập A không gian mẫu (A   ) m t bi n cố (hay kiện), khơng gian mẫu cịn đ c g i không gian bi n cố (khơng gian kiện) Ví dụ 1.8: Tung đồng xu thực phép thử Kết mặt sấp xuất hay mặt ngửa xuất biến cố xảy Bắn viên đạn vào mục tiêu thực phép thử Sự kiện “viên đạn không trúng mục tiêu” biến cố 1.2.2 Các lo i bi n c : Biến cố sơ cấp: M i phần tử    đ c g i m t bi n cố sơ cấp V mặt toán h c, bi n cố sơ cấp m t tập h p có m t phần tử Biến cố chắn: Là bi n cố luôn x y thực phép thử, ký hiệu  Bi n cố chắn m t tập h p bi n cố sơ cấp m t phép thử Biến cố không thể: Là bi n cố x y thực phép thử, ký hiệu  Vậy bi n cố không thể, v b n chất, m t tập r ng nên cịn g i biến cố rỗng Ví dụ 1.9: Thực phép thử tung viên xúc xắc (xí ngầu), đó: Khơng gian mẫu phép thử là:  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}: biến cố sơ cấp A = {1, 3, 5}: biến cố mặt lẻ B = {2, 4, 6}: biến cố mặt chẵn C = {1,2}: biến cố (mặt mặt 2) D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}: biến cố chắn, tức D =  E = {7}: biến cố xảy ra, tức E =  Nếu mặt (1) xuất hiện, tức biến cố {1}, A, C, D xảy Nếu mặt (2) xuất hiện, tức biến cố {2}, B, C, D xảy * Chú ý: M i bi n cố sơ cấp đ u bi n cố ngẫu nhiên, ng không bi n cố sơ cấp 1.2.3 Bi n c đ ng kh ậ S tr c l i bi n cố ngẫu nhiên nói chung ng h p đ ng kh năng: Hiện t ng hai hay nhi u bi n cố m t phép thử có kh x y nh nhau, đ c g i t ng đồng kh bi n cố, bi n cố đ c g i bi n cố đồng kh Trong m t phép thử mà m i bi n cố sơ cấp đ u đồng kh số phần tử không gian mẫu đ c g i số tr ng h p đồng kh phép thử Ví dụ 1.10: Trong phép thử tung đồng xu (cân đối đồng chất), số tr ng hợp đồng khả Còn phép thử gieo viên xúc xắc (cân đối đồng chất), số tr ng hợp đồng khả 1.2.4 Các phép toán v bi n c : V mặt toán h c, m i bi n cố m t tập h p, có phép tốn v bi n cố nh tập h p Cho bi n cố ngẫu nhiên A, B   a) T ng (h p hay ph n h p) hai bi n cố A B m t bi n cố, ký hiệu A+B, đ nh b i: A+B (hay A  B) A+B x y A x y B x y b) Tích (giao hay ph n giao) hai bi n cố A B m t bi n cố, ký hiệu A.B, đ nh b i: A.B (hay A  B) A.B x y A B đồng th i x y c) Hi u (hay ph n trừ) bi n cố A bi n cố B m t bi n cố, ký hiệu A–B, đ nh b i: A–B (hay A \ B) A–B x y A x y B không x y d) Ph n bù bi n cố  m t bi n cố, ký hiệu A , đ nh b i: A =  \A={      A} * Chú ý: Phần bù m t bi n cố khơng gian mẫu  hiệu  với bi n cố đó, cịn đ c g i bi n cố đối lập bi n cố đư cho ( A bi n cố đối lập A) Ví dụ 1.11: Hai sinh viên X, Y dự thi Gọi A biến cố sinh viên X thi đạt, B biến cố sinh viên Y thi đạt, C biến cố có hai sinh viên thi đạt D biến cố X Y thi đạt Khi đó: C = A+B D = A.B Ví dụ 1.12: Kiểm tra n sản phẩm lô sản phẩm S Gọi Ai biến cố gặp sản phẩm thứ i phế phẩm, B biến cố số n sản phẩm đ ợc kiểm tra có phế phẩm, C biến cố tất sản phẩm đ ợc kiểm tra phế phẩm, D biến cố tất sản phẩm đ ợc kiểm tra sản phẩm tốt (tức kiểm tra n sản phẩm khơng thấy có phế phẩm nào) Khi đó: B = A1  A2   An C = A1 A2 An D =  \B = B = A1  A2   An  A1 A2 An 1.2.5 Tính ch t c a phép tốn v bi n c : a) Tính lũy đẳng (ph n hồi): A+A=A A.A=A b) Tính giao hốn: A+B=B+A A.B=B.A c) Tính k t h p: A+(B+C)=(A+B)+C A.(BC)=(AB).C d) Tính phân bố: A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B) (A+C) e) Tính đối ngẫu (Quy tắc De Morgan): A  B  A.B A.B  A  B 1.2.6 Quan h bi n c : Biến cố con: Cho hai bi n cố A, B Bi n cố A đ x y ra, ký hiệu: A  B c g i bi n cố B n u A x y B Trong m t phép thử, bi n cố r ng m i bi n cố, m i bi n cố ngẫu nhiên đ u bi n cố chắn   A Trong m t phép thử, bi n cố chắn tổng m i bi n cố sơ cấp x y Ví dụ 1.13: Gieo viên xúc xắc Gọi A biến cố xuất mặt có chấm, B biến cố xuất mặt có số chấm chẵn Khi đó: A B A biến cố sơ cấp biến cố ngẫu nhiên B biến cố ngẫu nhiên (nh ng không biến cố sơ cấp) Biến cố tương đương: Hai bi n cố A, B đ ký hiệu: A  B hay B  A Biến cố xung khắc: Hai bi n cố A B đ bi n cố không x y c g i t ơng đ ơng n u A  B B  A, c g i xung khắc n u bi n cố x y A, B xung khắc  A.B =  Biến cố đối lập: Hai bi n cố A B đ i) A, B xung khắc nhau: ii) Có m t bi n cố x y ra: c g i đối lập n u: A.B =  A+B =  Họ biến cố xung khắc: H bi n cố A1 , A2 , , An đ c g i h bi n cố xung khắc đôi (h xung khắc đơi hay h xung khắc) n u có m t bi n cố h x y bi n cố cịn l i khơng x y A1 , A2 , , An xung khắc  Ai A j =  ,  i, j (i ≠ j) Họ biến cố đầy đủ: H bi n cố A1 , A2 , , An đ n u: c g i h bi n cố đầy đủ (hay h đầy đủ) Ai A j =  ,  i, j (i ≠ j) i) A1 , A2 , , An xung khắc: ii) Có m t bi n cố x y ra: A1  A2   An =  Ví dụ 1.14: Trong phép thử tung viên xúc xắc Gọi Ai biến cố mặt i xuất (i=1,2,…,6) Khi đó: A1, A2 xung khắc A1, A1 đối lập A1 , A2 , A4 họ xung khắc A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 họ đầy đủ * Chú ý: Hai bi n cố đối lập xung khắc, u ng c l i không 1.3 XÁC XU T C A BI N C Xác xuất x y m t bi n cố, g i tắt xác xuất bi n cố, số đo kh x y bi n cố Có nhi u cách đ nh nghĩa Đ nh nghƿa 1.5: Đ nh nghƿa xác xu t theo quan m c n (classical): Cho A   , xác xuất bi n cố A, ký hiệu P(A) đ nh b i: P(A) = m n n: số tr ng h p đồng kh phép thử m: số tr ng h p thuận l i để bi n cố A x y Ví dụ 1.15: Tung đồng xu Xác xuất mặt sấp xuất là: P(S) = Ví dụ 1.16: Chọn ngẫu nhiên viên bi lọ kín chứa viên bi xanh, bi đỏ, bi vàng Tính xác xuất để chọn đ ợc bi đỏ Gi i G i Đ bi n cố ch n đ = Khi đó: P(Đ) = 12 c bi đ Đ nh nghƿa 1.6: Đ nh nghƿa xác xu t theo quan m th ng kê (statistics): Khi thực n lần m t phép thử T thấy bi n cố A xuất m lần, tỷ số f n ( A)  đ c g i tỷ lệ xuất bi n cố A qua n phép thử m n N u thực phép thử T đ n N lần (với N lớn) mà có M lần bi n cố A xuất hiện, tỷ M số f N ( A)  đ c g i tần suất bi n cố A N Tần suất m t bi n cố hầu nh dao đ ng quanh m t tr số xác đ nh, theo quan điểm thống kê h c, tr số xác đ nh xác xuất để bi n cố x y Tức là, n u: n  N (N đủ lớn), f n ( A)  f N ( A)  p thì: P( A)  lim f n ( A)  f N ( A)  p n N = 0,3 Nếu 10 tiếp tục tung 1000 lần thấy số lần mặt sấp xuất vào khoảng từ 249 đến 251 lần, tức fn(S) dao động quanh giá trị 0,25 xác suất mặt sấp xuất là: P(S)=0,25 Ví dụ 1.17: Tung 10 lần đồng xu vênh góc, thấy lần mặt sấp xuất hiện: f(S) = * Chú ý: Đối với phép thử khơng có số tr ng h p đồng kh năng, để xác đ nh xác xuất m t bi n cố, ph i dùng đ n khái niệm tần suất đ nh nghĩa xác xuất theo quan điểm thống kê Đ nh nghƿa 1.7: Đ nh nghƿa xác xu t theo h tiên đ Kolmogorov: Cho K h tập không gian mẫu  , K = {A A   }, (tức K chứa  ) m t ánh x P: K  [0, 1] th a tiên đ sau: (Tđ1): (Tđ2): (Tđ3):  P(A)  1,  A   P(  ) = P(A+B) = P(A) + P(B), n u A.B =  Khi với A thu c  , giá tr P(A) đ c g i xác xuất bi n cố A Đ nh nghƿa 1.8: Đ nh nghƿa xác xu t theo quan m đ đo (measurement): M t phép thử T có vô h n bi n cố sơ cấp đồng kh A bi n cố phép thử N u biểu diễn: - Mi n M tập h p vô h n tất c bi n cố sơ cấp phép thử T - Mi n m tập h p vô h n bi n cố sơ cấp thuận l i cho A x y Thì xác suất để bi n cố A x y là: P(A) = đơ.đo.miên.(m) đơ.đo.miên.( M ) Trong đó, khái niệm đ đo mi n đ dài, diện tích, thể tích, khối l ng mi n Ví dụ 1.18: Hai ng i X Y hẹn gặp quán café khoảng từ 19 gi đến 20 gi tối, ng i đến chỗ hẹn vào th i điểm khoảng th i gian Đến gần gi hẹn hai có việc đột xuất, nên giao hẹn lại ng gian 20 phút Tính xác suất hai ng i gặp i đến tr ớc ch , th i Gi i Kho ng th i gian từ 19 gi đ n 20 gi 60 phút Th i điểm đ n ch hẹn X x (kể từ 19 gi ) Th i điểm đ n ch hẹn Y y (kể từ 19 gi ) 0 x 1 0 y 1 Đi u kiện hai ng i gặp là: x  y  20 Biểu diễn x, y hệ to đ Descartes, đơn v phút  x  y  20  y  x  20 Do: x  y  20     x  y  20  y  x  20 G i A bi n cố ng kiện: x  y  20 i gặp đ c Vậy mi n thuận l i để A x y mi n th a u Mi n biểu diễn x  y  20 hệ tr c t a đ Descartes t ơng ứng với mi n có đánh dấu chấm chấm hình v Suy xác xuất để ng i gặp đ c tỷ số diện tích mi n A (mi n có đánh dấu chấm chấm) diện tích mi n D hình vng có c nh 60 (mi n trắng bao gồm c mi n A) P(A) = Đ nh lỦ 1.1: Cho A, B   Khi đó: 60  40   0,56 60 i)  P(A)  ii) P(  ) = 0, P(  ) = iii) P(A+B) = P(A) +P(B) n u A.B =  iv) P( A ) = 1–P(A) Chứng minh: (Bằng xác xuất cổ điển) G i n số phần tử  G i m số phần tử A G i r số phần tử B 10