Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 182 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
182
Dung lượng
3,74 MB
Nội dung
Tailieumontoan.com Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 BÀI TẬP TỔNG HỢP THEO CHỦ ĐỀ TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ TOÁN VÀO 10 HÀ NỘI (Liệu hệ tài liệu word mơn tốn SĐT (zalo) : 039.373.2038) Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng năm 2023 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ TOÁN THI VÀO LỚP 10 CHỦ ĐỀ 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN x x 3x + B = với x ≥ 0; x ≠ + − x +2 x −2 x−4 x +6 a) Tính giá trị biểu thức A x = ; b) Chứng minh: B = ; x +2 A c) Tìm số nguyên tố x lớn thỏa mãn < B x x +1 x +2 Cho hai biểu thức A = B với x ≥ 0, x ≠ 25 = + : x − 25 x −5 x − x + a) Tính giá trị biểu thức A x = 36 b) Chứng minh B = x −5 c) Đặt C= A − 2 B Tìm x để C = x Bài 1: Cho biểu thức: A = Bài 2: Bài 3: Cho hai biểu thức: A = ( x ) x −1 B = 1 với x > 0; x ≠ + x− x x a) Tính giá trị biểu thức A x = b) Rút gọn B c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức P = A : B có giá trị số nguyên nhỏ Bài 4: Cho biểu thức: A = x−4 B = x +1 x +1 x +2 + + x − 1− x ( x −4 )( x −1 x −2 ) a) Tính giá trị A x = 16 ; b) Rút gọn biểu thức B ; c) Tìm x để biểu thức M = A.B nhận giá trị nguyên Bài 5: Bài 6: Bài 7: x x 3x + x +3 B = với x ≥ 0; x ≠ + − x +3 x −3 x −9 x −3 a) Tính giá trị biểu thức A x = 16 ; b) Chứng minh B = ; x +3 c) Tìm giá trị x nguyên lớn thỏa mãn A ⋅ B ≤ −1 x −1 9− x Cho hai biểu thức: A = B với x ≥ x ≠ = + x +1 x −1 x +2 a) Tính giá trị A x = 16 ; b) Chứng minh B = ; x −1 c) Cho P = A.B Tìm tất giá trị nguyên x để P > x + x +1 x −1 x − Cho hai biểu thức A = B với điều kiện x > 0; x ≠ = − x −2 x−2 x x −2 Cho hai biểu thức A = Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Tính giá trị biểu thức A x = 25 ; b) Rút gọn biểu thức B ; c) Cho P = A.B So sánh P với x +1 x −1 x − Bài 8: Cho A = B với x > 0; x ≠ = − x x −3 x −3 x a) Tính giá trị biểu thức A x = 36 ; b) Rút gọn biểu thức B ; B c) Cho P = Tìm tất giá trị m để có giá trị x thỏa mãn: P + m = A x −1 với x ≥ Bài 9: Cho hai biểu thức A = B = + − x +3 x +3 x +1 x +1 x +3 ( )( ) a) Tính giá trị biểu thức A x = 25 ; b) Rút gọn biểu thức B biểu thức Q = A.B ; c) Tìm giá trị lớn Q Bài 10: Bài 11: ( ) x −1 15 − x x +2 B với a, b = + : x − 25 x +2 + − x x 5 a) Tính giá trị biểu thức A x = b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm tất giá trị nguyên x để B ≥ A Cho hai biểu thức A = x Cho hai biểu thức H = N = x −5 x +5 a) Tính giá trị biểu thức H x = b) Rút gọn biểu thức K = N : H c) Tìm số x để K = K − với x > 0; x ≠ 25 25 − x x −1 x +1 x +1 − B , x > 0, x ≠ và= : x −1 x x x− x 1) Tính giá trị biểu thức A x = 49 2) Rút gọn biểu thức B 3) Tìm giá trị x thỏa mãn A + B = Bài 12: Cho hai biểu thức A = Bài 13: Cho hai biểu thức: A = x > 0; x ≠ x+ x +4 3x − x +2 x −1 − + B = với x−2 x x 2− x x −2 1) Tính giá trị biểu thức A x = 2) Chứng minh = B x +1 ⋅ x −2 3) Tìm giá trị x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ B Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x+3 x +2 x+ x 1 B − += x −1 ( x + 2)( x − 1) x +1 x −1 Bài 14: Cho biểu thức: = A (với x > 0; x ≠ ) a) Rút gọn tính giá trị biểu thức A x= − b) Rút gọn biểu thức B c) Đặt M = B : A , tìm x để x +1 − ≥1 M x 1 x −2 + + Q = với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ x−4 x −2 x +2 x −3 Bài 15: Cho hai biểu thức P = 1) Tính giá trị biểu thức Q x = 64 2) Chứng minh P = x x −2 3) Với x ∈ Z , tìm GTLN biểu thức= K Q ( P − 1) Bài 17: Cho biểu thức A = x −1 x − − với x ≥ 0; x ≠ 4− x x +2 x −2 = B x+3 1) Tính giá trị biểu thức A x = 16 2) Rút gọn biểu thức P = A.B 3) Tìm x để ( x + 18 ) P ≥ x + Bài 18: Cho hai biểu thức: A = x −2 B = x −3 x + x −2 x − 10 , với + 4− x x +2 x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ a) Tính giá trị biểu thức A x = 16 b) Rút gọn biểu thức B c) Cho P = B : A Tìm giá trị x số thực để P nhận giá trị nguyên Bài 20: Cho biểu thức A = x+2 x− x +3 B = với x ≥ 0, x ≠ − x + x +1 x −1 x x −1 10 + 10 10 − 10 1) Tính giá trị B x = 1 + − 1 + 10 10 − 2) Rút gọn biểu thức A A 3) Tìm x để ≤1 1− B Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com CHỦ ĐỀ 2: GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Giải tốn sau cách lập phương trình Một sân bóng đá theo chuẩn FIFA sân hình chữ nhật, chiều dài chiều rộng 37 m có diện tích 7140 m Tính chiều dài chiều rộng sân bóng đá Bài 2: Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 28 m , đường chéo mảnh đất dài 10 m Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất Bài 3: Hai người làm chung cơng việc sau 15 xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm hai người làm cơng việc Tính thời gian để người làm xong tồn cơng việc Bài 4: Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình : 1) Một đội xe dự định dùng số xe loại để chở 180 hàng để ủng hộ đồng bào tỉnh khó khăn để chống dịch Covid Lúc khởi hành đội bổ sung thêm xe loại Nhờ vậy, so với ban đầu, xe chở Hỏi lúc đầu đội có xe? Biết khối lượng hàng xe chở Bài 5: Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình: Tháng thứ hai đội sản suất 1100 sản phẩm Sang tháng thứ hai, đội I làm vượt mức 15% đội II làm vượt mức 20% so với tháng thứ nhất, hai đội làm 1295 sản phẩm Hỏi tháng thứ đội làm sản phẩm? Bài 6: Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình: Hai tổ sản xuất nhà máy theo kế hoạch phải làm 1800 kit test COVID-19 Nhưng tổ I làm vượt mức 25% kế hoạch tổ II làm vượt mức 30% kế hoạch, hai tổ làm 2300 kit test COVID-19 Hỏi theo kế hoạch tổ phải làm bộ kit test COVID-19? Bài 6: Giải tốn cách lâp phương trình hoặ hệ phurong trình: Khoảng cách hai bến sơng A B 80 km Một canô xuôi đòng từ bến A đến bến B , rối quay lại bến A Tồng thời gian canô chạy sơng Tính vận tốc riêng canơ, biết rẳng vận tốc cuia dịng nưởc 2 km / h giả sử vận tốc riêng canơ khơng đổi Bài 7: Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình: Một phân xưởng sản xuất thiết bị y tế theo kế hoạch phải sản xuất 1100 nhiệt kế điện tử phục vụ cơng tác đo thân nhiệt để phịng chống dịch bệnh thời gian quy định Nhưng tình hình dịch bệnh diễn biến phức tạp, để đáp ứng nhu cầu nhiệt kế điện tử thị trường, ngày phân xưởng sản xuất vượt mức nhiệt kế nên phân Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com xưởng hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày Hỏi theo kế hoạch, ngày phân xưởng sản xuất nhiệt kế điện tử? Bài 8: Nếu giảm chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật 3m tăng chiều dài thêm 8m diện tích mảnh vườn giảm 54m Nếu tăng chiều rộng mảnh vườn thêm 2m giảm chiều dài 4m diện tích mảnh vườn tăng thêm 32m Hãy tính kích thước mảnh vườn Bài 9: Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Nếu hai vịi nước chảy vào bể cạn đầy bể 20 phút Nếu mở vòi thứ 10 phút vòi thứ hai 12 phút bể nước Hỏi mở 15 riêng vịi thời gian để vịi chảy đầy bể bao nhiêu? Bài 10: Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất 720 chi tiết máy Sang tháng thứ hai, tổ I vượt mức 15% , tổ II vượt mức 12% , cuối tháng hai tổ sản xuất vượt mức 99 chi tiết máy Hỏi tháng đầu, tổ công nhân sản xuất chi tiết máy? Bài 11: Giải toán cách lập hệ phương trình Hai tổ sản xuất nhà máy theo kế hoạch phải làm 1800 kit test COVID-19 Nhưng tổ I làm vượt mức 25% kế hoạch tổ II làm vượt mức 30% kế hoạch, hai tổ làm 2300 kit test COVID-19 Hỏi theo kế hoạch tổ phải làm kit test COVID-19? Bài 12: Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Hai vịi nước chảy vào bể sau đầy bể Nếu mở vịi chảy khóa lại, mở vịi chảy tiếp lượng nước bể chiếm 60% bể Hỏi vịi chảy riêng đầy bể? Bài 13: Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình Lúc sáng, ca nơ xi dịng từ bến A đến bến B ngược dịng từ B trở A, ca nơ đến A lúc 13 15 phút chiều ngày Biết vận tốc dòng nước 3km/h khoảng cách hai bến A, B 45km Tính vận tốc ca nô nước yên lặng Bài 14: (Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình) Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 15 hàng Khi khởi hành xe phải điều làm cơng việc khác, nên xe cịn lại phải chở nhiều 0,5 hàng so với dự định Hỏi thực tế có xe tham gia vận chuyển (biết khối lượng hàng xe chở nhau) Bài 15:Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Một phịng họp có 300 ghế ngồi, xếp thành số hàng có số ghế Buổi họp hơm có 378 người đến dự nên ban tổ chức kê thêm hàng ghế hàng ghế phải xếp thêm ghế đủ chỗ ngồi Hỏi lúc đầu phòng họp có hàng ghế biết số hàng ghế lúc đầu không vượt 20 hàng? Bài 16:Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình: Xí nghiệp may mặc Nam Khánh nhận hợp đồng cơng ty Gia Huy may 1000 áo khốc thời gian định Tuy nhiên, sau đó, cơng ty Gia Huy có thương lượng lại muốn nhận đủ 1000 áo trước ngày so với dự kiến ban đầu Xí nghiệp Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Nam Khánh tính tốn thấy ngày cần may tăng thêm 10 áo đáp ứng yêu cầu Hỏi theo kế hoạch ban đầu, xí nghiệp Nam Khánh cần hoàn thiện hợp đồng ngày? Bài 17: Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình” Nếu hai vịi nước chảy vào bể cạn sau 48 phút bể đầy Nếu mở cho vịi chảy vịi thứ đầy bể chậm vòi thứ hai Hỏi vịi chảy sau đầy bể? Bài 18: Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình” Một đội xe vận tải nhận chở 180 hàng, chia cho xe Lúc khởi hành, có xe bị hỏng nên xe phải chở thêm so với dự định Hỏi ban đầu có xe Bài 19: Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình: Tháng thứ hai đội sản xuất làm 700 sản phẩm Sang tháng thứ hai, đội I làm vượt mức 10% đội II làm vượt mức 25% so với tháng thứ nhất, hai đội làm 830 sản phẩm Hỏi tháng thứ đội làm sản phẩm? Bài 20:Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: Một người xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B với vận tốc không đổi, hai địa điểm cách 30 km Khi từ B A, người chọn đường khác dễ dài đường cũ km Vì lúc về, người với vận tốc lớn vận tốc lúc km/h nên thời gian thời gian 20 phút Tính vận tốc lúc người Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ HỆ THỨC VI-ÉT Bài 1: Giải phương trình: a) x − 5x + = b) x + 4x − = c) −x − 15x + 34 = Bài 2: Giải phương trình: d) x − 6x + = a) x + 4x − 45 = 0 b) x − 7x + 10 = d) x − 6x + = x − y = b) 70 x + 4y = 10 2x − 4y = c) −5 x + 6y = Bài 3: Giải hệ phương trình: 2x − y = a) 2 x + y = Bài 4: Tìm m để phương trình x − 2(m − 1)x + m − 3m + = có hai nghiệm phân biệt x 1, x thỏa mãn x 12 + x 22 − 3x 1x = Bài 5: Cho phương trình x − 2x + m − = (m tham số) Tìm m đẻ phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x thỏa mãn hệ thức x 14 − x 23 = x 24 − x 13 ( ) ( ) Bài 6: Cho phương trình x − m − x − m − = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x cho A = x 12 + x 22 đạt giá trị nhỏ Bài 7: Cho phương trình x − 2(m + 1)x + 4m − m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x cho A = x − x đạt giá trị nhỏ nhát (1) , m tham số Bài 8: Cho phương trình x − (2m + 5)x + 2m + = a) Giải phương trình với m = −1 b) Tìm giá trị m để (1) có hai nghiệm dương phân biệt x 1, x cho= P x − x đạt giá nhỏ (1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài 9: Cho phương trình x + mx − = x 1, x thỏa mãn x + x = (1) với m tham số Bài 10: Cho phương trình x − 10mx + 9m = a) Giải phương trình (1) với m = b) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt x 1, x thỏa mãn x − 9x = (1) , m tham số Bài 11: Cho phương trình x − (2m − 1)x + m − = a) Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm phân biệt ( b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x thỏa mãn x − x Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 ) = x − 3x TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài 12: Cho phương trình x − 3x − m + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1, x thỏa mãn x + x = ( ) Bài 13: Cho phương trình x − 2m + x + m − = (1) (m tham số) Tìm giá trị m ( )( ) để phương trình có hai nghiệm x 1, x thỏa mãn x 12 − 2mx + m x + = ( ) Bài 14: Cho phương trình x − m + x + m − = (1) (m tham số) Tìm giá trị m để phương ( )( ) trình có hai nghiệm x 1, x thỏa mãn x 12 − mx + m x 22 − mx + m = (1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân Bài 15: Cho phương trình x − 2x + m − = biệt x 1, x thỏa mãn x1 x + 2x + 2 + x2 = x + 2x + (1) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân Bài 16: Cho phương trình x − mx − = biệt x 1, x giá trị= biểu thức H 2x 12 + 5x − 16 3x ( − 2x 22 + 5x − 16 3x không phụ thuộc vào m ) Bài 17: Cho phương trình x − m + x + 4m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1, x thỏa mãn x = −3x (*) ( ) Bài 18: Cho phương trình x − 2m + x − 2m − = Tìm m để phương trình có hai nghiệm (1) phân biệt x 1, x thỏa mãn x + x = (1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân Bài 19: Cho phương trình x − 2mx + m − = biệt x 1, x thỏa mãn x1 + x = ( ) Bài 20: Cho phương trình x − 2m + x + 2m + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x cho= M x + x đạt giá trị nhỏ Bài 21: Cho phương trình x − (m + 5)x + 3m + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1, x độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền ( ) Bài 22: Cho phương trình x + m + x − m − = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x thỏa mãn x < ≤ x Bài 23: Cho phương trình x + 2mx + 4m − = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x < 2, x < Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài 24: Cho phương trình x − 4x − = có hai nghiệm phân biệt x 1, x Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức T = x 12 x2 + x 22 x1 Bài 25: Cho phương trình x − 12x + = có hai nghiệm dương phân biệt x 1, x Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức T = Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 x 12 + x 22 x1 + x TÀI LIỆU TOÁN HỌC 130 Website:tailieumontoan.com ⇔ x − x + + y − y + + x − xy + y ≥ ⇔ ( x + y ) ≥ ( x + y + xy ) − = 24 ⇒ x + y ≥ Dấu xảy x= y= Vậy MinP = x= y= Bài 22 x y 3z 3x y z + + + + + + + + 4 x 2y z x y 3z x + y + 3z + ≥5 Ta có : += 4 3x ≥3 Ta có : + x y Ta có : + ≥3 2y P= z + ≥2 z ⇒ P ≥ 13 Vậy giá trị nhỏ P = 13 dấu xảy x = ; y = ; z = Ta có : Bài 23 1 1 1 Cho số thực dương x ; y ta có: ( x + y ) + ≥ ⇔ + ≥ x y x+ y x y Thật x + y ≥ xy ; 1 1 1 1 1 + ≥ ⇒ ( x + y) + ≥ ⇔ ( x + y) + ≥ x y xy x y x y 1 + A= xy + = xy + + + + 2 x +y xy xy x + y xy xy Ta có x + y ≥ xy ⇒ ≥ xy ⇔ xy ≤ Ta có xy + ≥2 xy 1 + ≥ ≥4 2 xy ( x + y )2 x +y 5 ≥ ≥5 4xy ( x + y )2 ⇒ A ≥ 11 Vậy giá trị nhỏ A = 11 dấu xẩy x= y= Bài 24 Do y > ⇒ y − > Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương ta có: Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 131 Website:tailieumontoan.com ( x + 1) ( x + 1) + ( y − 1) ≥ y −1 Tương tự ta có: ( y + 1) y −1 z −1 ( y − 1)= ( x + 1) + ( z − 1) ≥ ( y + 1) ; ( z + 1) x −1 + ( x − 1) ≥ ( z + 1) Khi P + ( x + y + z − 3) ≥ ( x + y + z + 3) ⇔ P ≥ 45 − ( x + y + z ) Do x + y + z = nên P ≥ 45 − 3.6 = 27 ⇒ Pmin = 27 Dấu " = " xảy ⇔ x= y= z= Bài 25 ( x + 1)( y + 1) ≤ Ta có x +y 2 ( x + y) ≥ x+ y+2 ⇒ 16 ( x + 1)( y + 1) ≥ 32 x+ y+2 2 Khi P ≥ ( x + y ) + 64 x+ y+2 Lại có ( x + y ) + ≥ ( x + y ) ⇒ ( x + y ) + 12 ≥ ( x + y + ) 2 ⇒ P + 12 ≥ ( x + y + ) + 64 64 ≥ ( x + y + 2) = 32 x+ y+2 x+ y+2 ⇒ P ≥ 20 ⇒ P ≥ 10 ⇒ Pmin = 10 Dấu " = " xảy ⇔ x = y = Bài 26 + Điều kiện: −2 ≤ x ≤ + Đặt t = + x + − x ≥ t = ( 2+ x + 2− x ) = + − x2 ( *) t2 − ⇒ 4− x = 2 t2 − ⇒ P =−(t − 1) + ⇒ P =t − Xét biểu thức t = 2+ x + 2− x ≥ t2 = + − x2 Với x thỏa mãn điều kiện xác định − x2 ≥ ⇔ + − x2 ≥ ⇔ t2 ≥ t ≥ ⇔ t ≤ −2 Mà t ≥ nên chọn t ≥ Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 132 Website:tailieumontoan.com ±2 (tm) t= ⇒ − x2 = 0⇔ x= 2 + x ≥ Với x thỏa mãn điều kiện xác định 2 − x ≥ Áp dụng BĐT Cô – si ta có: (2 + x)(2 − x) ≤ + x + − x = ⇒ + − x2 ≤ ⇔ t2 ≤ ⇔t≤2 Dấu “=” xảy ⇔ = x = − x ⇔ x = (thỏa mãn) +Vì t ≥ nên ( t − 1) ≥ (2 − 1) ⇔ − ( t − 1) ≤ −1 ⇔ − ( t − 1) + ≤ −1 + ⇔ 2P ≤ ⇔P≤2 ±2 t = 2⇔ x= Suy Pmax = + Vì t ≤ 2 nên ( ) ⇒ ( t − 1) ≤ 2 − 2 ( ) ⇒ − ( t − 1) ≥ − 2 − 2 ( ) ⇒ − ( t − 1) + ≥ − 2 − + = −4 2 ⇒ 2P ≥ − ⇒ P ≥ 2 −2 ⇒ Pmin= 2 − ⇔= t 2 ⇔= x Vậy Pmax = x = ±2 Pmin = 2 − x = Bài 27.Với số thực dương x , y A > , giá trị biểu thức A xác định A= x + + y + 2= x + + y + điều kiện: x ≥ −1; y ≥ − Chứng minh công thức: ( ax + by ) ≤ ( a + b )( x + y ) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: = A2 (1 x + + y + ) ≤ (( ) ( x +1 + y+2 ) ) (1 + ) 2 ≤ ( x + + y + 2).(1 + 1) ≤ ( x + y + 3).2 ≤ (15 + 3).2 = 36 Suy A ≤ ( A > ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 133 Website:tailieumontoan.com x +1 = Dấu xảy y + ⇔ x +1 = y + ⇔ x − y = Mà x + y = 15 x + y = 15 x = (15 + 1) : x = Nên ta có hệ phương trình (Thỏa mãn điều kiện) ⇔ ⇔ x − y = y = (15 − 1) : y = Vậy giá trị lớn biểu thức A x = 8; y = Bài 28 Ta có: ( x− y ) ≥ với x ≥ 0, y ≥ (*) với Suy x + y ≥ x x ≥ 0, y ≥ Dấu xảy x = y Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có : a a + ac ≥ 2a ⇔ ≥ 2a − ac c c c c + bc ≥ 2c ⇔ ≥ 2c − bc b b a c Suy P = + + 3b ≥ 2a − ac + 2c − bc + 3b c b P = ( a + c ) − ac − bc + b ( a + b + c ) = a + b + c P ≥ ( − b ) + b2 + a ( b − c ) P ≥ ( b − 1) + a ( b − c ) + ≥ a ( b − c ) ≥ Vì a ≥ b ≥ c > ( b − 1) ≥ Vậy giá trị nhỏ P a= b= c= 3 Bài 29.Ta có A =x + xy + y = x + x.2 y + y + x 16 4 2 7 3 A = x + y + x ≥ 16 4 16 x = 3 x = −2 y Dấu xảy ⇔ (thỏa mãn) y = − x = Vậy giá trị nhỏ biểu thức A = −3 x 1;= y khi= 16 Bài 30.Ta có: ( x + y ) ( x − xy + y ) ≥ với x, y số thực dương Khi đó: ( x + y ) ( x − xy + y ) − xy ( x + y ) ≥ ( x + y ) ( x − xy + y ) ≥ xy ( x + y ) Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 134 Website:tailieumontoan.com Hay x3 + y ≥ xy ( x + y ) ⇔ ( x3 + y ) ≥ xy ( x + y ) ( ) Khi đó: x + y ≥ x3 + y + x + y ⇔ x3 + y ≥ x + y Ta có: x + y ≥ xy với x, y số thực dương Nên: ( x + y ) ≥ x + xy + y ⇔ ( x + y ) ≥ ( x + y ) ⇔ 2 Xét: K = x + y + ( x + y) ≥ x + y2 3 + ≥ x2 + y + + 2 2 x +y x +y x + y2 ( x + y) Khi đó: K ≥ x + y + (x ≥2 x + y2 2 + y2 = x +y ) Vậy K Min = x= y= Bài 31 Ta có P a b 2a b2 a b a b với ab 1 a b Áp dụng Bất đẳng thức Cosi, ta có: a b ab (1) a b 2ab (2) 1 2 1 a b a b Dấu “ = ” xảy Dấu “=” bất đẳng thức Cosi (1) (2) đồng thời xảy a b a b a.b Vậy Pmin = a b Do đó: P Bài 32 a + ab + b + b + bc + c + c + ca + a ≥ 3 ⇔ 2a + 2ab + 2b + 2b + 2bc + 2c + 2c + 2ca + 2a ≥ ⇔ a + b2 + ( a + b ) + b2 + c2 + ( b + c ) + a + c2 + ( a + c ) ≥ 2 Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ki: x.a + y.b ≤ Chứng minh: x.a + y.b ≤ (x 2 (x + y )( a + b ) + y )( a + b ) ⇔ ( x.a + y.b ) ≤ x 2a + y b + x b + y 2a ⇔ x b + y 2a − 2x.a.y.b ≥ ⇔ ( xb − ya ) ≥ (luôn đúng) Dấu “=” xảy ⇔ a b = x y Áp dụng cho toán: Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 135 Website:tailieumontoan.com a+b≤ (1 + ) ( a b+c≤ (1 + ) ( b a+c≤ (1 + ) ( a 1 2 2 + b )= 2(a + b +c = ) 2(b + c +c = ) 2(a + c 2 2 2 2 )⇔a )⇔b )⇔a 2 +b +c +c 2 (a + b) ≥ 2 ( b + c) ≥ 2 (a + c) ≥ (1) (2) (3) Do đó: a + b2 + ( a + b ) + b2 + c2 + ( b + c ) + a + c2 + ( a + c ) ≥ 3 2 ) ( a + b ) + ( b + c ) + ( a + c= 2 2 (2a + 2b + 2c) = (đpcm) Dấu “=” xảy ⇔ dấu “=” (1), (2), (3) đồng thời xảy thỏa mãn a+ b+ c= ⇔ a= b= c= Bài 33 Theo bất đẳng thức Cô si cho hai số dương x, y ta có: ≥ x + y ≥ xy ⇒ xy ≥2⇒ ≥4 xy Ta có: 1 1 x+y 1 2 2 2 M= x + y + x y = xy + x y =xy + x y = x y + ≥ 16 + = 17 Vậy giá trị nhỏ M 17 x = y = Bài 34 Theo a > 0, b > nên a + b > Bài cho: 1 ≥ a − 2b ; ≥ b − 2a a b ⇒ 1 + ≥ a − 2b + b − 2a ≥ a − 2b + b − 2a =−a − b a b ⇔ 1 a+ b ( a + b) + ≥ a + b ( a + b > 0) ⇔ ≥ a + b ⇔ ab ≤ (a + b) a b ab Mặt khác: a + b ≥ ab ⇔ 2(a + b) ≥ ( a + b) ⇔ ab ≤ 2(a + b) 2 = ≤ = (a + b) a + b a + b ab ⇔ ab ab ≤1 ⇔ ab ≤1 Dấu ”=” xảy a = b = Bài 34 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 136 Website:tailieumontoan.com Nhận xét: Điểm rơi a= b= c= Áp dụng BĐT cosi, ta có: a a a = ≤ + a +1 a +1 a +1 (1) b b b = ≤ + b +1 b +1 b +1 (2) c c c = ≤ + c +1 c +1 c +1 (3) Do đó= P a b c a b c + + ≤ + + + a +1 b +1 c +1 a +1 b +1 c +1 1, ta có: Với a + b + c = a b c a b c + += + + a +1 b +1 c +1 a + b + a + c b + a + b + c c + a + b + c a 1 a a 1 1 ≤ + ≤ + (4) ⇒ a +b+c+a 4a +b c+a a +b+c+a 4a +b c+a b 1 b b 1 1 ≤ + ≤ + (5) ⇒ a +b+b+c 4a +b b+c a +b+b+c 4a +b b+c c 1 c c 1 1 ≤ + ≤ + (6) ⇒ c+a +b+c 4c+a b+c c+a +b+c 4c+a b+c 1 a a b b c c 3 + + + + + + =+ = 4a +b c+a a +b b+c c+a b+c 4 Dấu “=” xảy ⇔ dấu “=” (1), (2), (3), (4), (5), (6) đồng thời xảy thỏa mãn giả thiết ⇔ a =b =c = 3 Vậy P đạt giá trị lớn , a= b= c= ⇒P≤ Bài 36 ( x − 1) ≥ (2) x2 + ≥ 2x ⇔ ∀x, y ∈ ta có : y +1 ≥ 2y ( y − 1) ≥ (3) ⇒ VT(1) ≥ (2 x + y + 2)(2 x + y + 2) (do x ≥ 0; y ≥ ) ⇔ VT(1) ≥ 4( x + y + 1) (4) Đặt x + y + = a; y + x + = b ⇒ a + b = 4( x + y + 1) Ta có : (a − b) ≥ ∀a, b ∈ (5) Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 137 Website:tailieumontoan.com ⇔ a + b − 2ab ≥ ⇔ (a + b) ≥ 4ab ⇔ ⇔ ( a + b) ≥ ab 16( x + y + 1) ≥ (3 x + y + 2)(3 y + x + 2) ⇔ 4( x + y + 1) ≥ (3 x + y + 2)(3 y + x + 2) = VP(1) (6) Từ (4) (6) ⇒ VT(1) ≥ VP(1) VP(1) ⇔ Dấu " = " đồng thời xảy (2),(3) (5) = Vậy VT (1) x = ⇔ y = ⇔ x = y =1 3 x + y + = y + x + Vậy x= y= tốn thỏa mãn Bài 37 (x Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ki: x.a + y.b ≤ (x Chứng minh: x.a + y.b ≤ + y )( a + b ) + y )( a + b ) ⇔ ( x.a + y.b ) ≤ x 2a + y b + x b + y 2a 2 ⇔ x b + y 2a − 2x.a.y.b ≥ ⇔ ( xb − ya ) ≥ (luôn đúng) Dấu “=” xảy ⇔ a b = x y Áp dụng cho toán: a + b ≤ (1 + ) ( a Bất đẳng thức Cosi: ab ≤ a + b 2 + b= ) ( a + b2 ) (1) (2) Mà a + b =a + b , nên: a + b ≤ ( a + b ) ⇒ a + b ≤ ⇒ a.b ≤ 2 P =a + b + 2020 2020 2 = a + b ( ) − 2a 2b2 + 2 (a + b) (a + b) voi a + b =a + b 2020 501 2020 2 + − 2a b ( a + b ) 505 505 ( a + b ) = (a + b) + Ta có: (a + b) + 2020 ≥2 ( a + b ) 505 a +b≤2⇒ (a + b) 2020 = (BĐT cosi) (3) ( a + b ) 505 501 2020 ≥ 501 505 ( a + b ) a.b ≤ ⇒ −2a b ≥ −2 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 138 Website:tailieumontoan.com ⇒ P ≥ 507 ⇒ Pmin = 507 ⇔ Dấu “=” xảy ⇔ Dấu “=” (1), (2), (3) xảy thỏa mãn giả thiết a = b ⇔ ⇔ a = b =1 a + b =a + b Bài 38 P = 2x2 + y + 28 + x y 28 1 = ( x − x + ) + ( y − y + 1) + + x + + y + ( x + y ) − x y 1 2 28 = ( x − ) + ( y − 1) + + x + y + + ( x + y ) − y x Ta có ( x − ) ≥ 0; ( y − 1) ≥ 0; ( x + y ) ≥ Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương ta có 28 + x ≥ 28.7 = 28; + y ≥ x y Cộng bất đẳng thức chiều ta P ≥ 28 + + − = 24 x − = 28 = x x x = Đẳng thức xảy y − = ⇔ y =1 1 =y y x + y = Bài 39 P= x y z x y z + + = + + + y − x + z − y + x − z 2y + z 2z + x 2x + y = ⇒P Ta có : x2 y2 z2 + + 2yx + zx 2zy + xy 2xz + yz x2 y2 z2 (x + y + z) + + ≥ 2yx + zx 2zy + xy 2xz + yz 3(xy + yz + xz) (1) (2) Ta lại có: (x − y) + (x − z) + (z − y) ≥ ∀x, y,z ∈ 2 ⇔ 2x + 2y + 2z − 2xy − 2yz − 2xz ≥ ⇔ x + y + z − xy − yz − xz ≥ ⇔ x + y + z + 2xy + 2yz + 2xz ≥ 3xy + 3yz + 3xz ⇔ (x + y + z) ≥ 3(xy + yz + xz) Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 139 Website:tailieumontoan.com (x + y + z) ≥ 1(do x, y,z > 0) 3(xy + yz + xz) Từ (1), (2), (3) ⇒ P ≥ Dấu '' = '' xảy ⇔ x = y = z =1 Vậy giá trị nhỏ P đạt x= y= z= ⇒ (3) Bài 40 a a 1 Ta có: a, b, c ∈ ;1 nên a ≤ 1; b ≤ 1; c ≤ ⇒ b + c + ≥ b + c + a ⇒ ≤ b + c +1 b + c + a 2 b b c c Tương tự ta có: ≤ ; ≤ c + a +1 c + a + b a + b +1 a + b + c Suy ra: P ≤ Dấu “=” xảy a= b= c= 1 a a 1 ≥ Vì a, b, c ∈ ;1 ⇒ a; b; c ≥ ⇒ b + c ≥ ⇒ b + c + ≤ ( b + c ) ⇒ b + c + (b + c ) 2 Tương tự b b c c ≥ ; ≥ c + a +1 (c + a) a + b +1 (a + b) 1 a b c 3 Do đó: P ≥ + + ≥ = 2b+c c+a a+b 2 a b c Chứng minh được: + + ≥ b+c c+a a+b Dấu “=” xảy a= b= c= xy ≤ (1) x + y + xy Bài 41 Ta có x + y ≥ 2xy = > x + y + xy ≥ 3xy = > 2 2 Tương tự ta chứng minh : yz ≤ (2) y + z + yz xz ≤ (3) x + z + xz Cộng vế- vế (1),(2),(3) ta có: xy yz xz + + ≤1 2 x + y + xy y + z + yz x + z + xz Dấu '' = '' xảy ⇔ x = y = z =1 Vậy xy yz xz + + ≤ (đpcm) x + y + xy y + z + yz x + z + xz ( Bài 42 P = a + b + 4ab =+ a b 4 2 ) − 2a b + 4ab = −2a b + 4ab + 16 (vì a + b = 4) Áp dụng B Đ T cosi, ta có: a + b =4 ≥ 2ab 2 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 140 Website:tailieumontoan.com ⇒ 4ab ≥ 2a b 16 ⇒P= −2a b + 4ab + 16 ≥ −2a b + 2a b + 16 = Dấu “=” xảy ⇔ Dấu “=” B Đ T cosi xảy thỏa mãn giả thiết a = ± a = b ⇔ ⇔ b = ± a + b = 16 ⇔ ( a ; b ) ∈ Vậy Pmin = {( )( )( )( 2; , − 2;− , 2;− , − 2; )} Bài 43 ( x + y) x + 2xy + y ( x + y ) x + y S= + = + +2 x + y2 xy x + y2 xy 2 Áp dụng B Đ T cosi ta có: x + y ≥ ( x + y) xy ⇔ xy ≤ ( x + y2 ) ( x + y) ( x + y) Do đó: S ≥ x + y2 + ( x + y) 2 +2 ≥ BDT Cosi 2 x + y2 ( x + y2 ) ( x + y) +2= Dấu “=” xảy ⇔ Dấu “=” B Đ T cosi xảy ⇔ x = y Vậy Smin = ⇔ x = y 1 + += 1+ a 1+ b 1+ c 1 = 1− +1− 1+ a 1+ b 1+ c Bài 44 Ta có: b c = + ≥2 1+ a 1+ b 1+ c ≥2 1+ a Tương tự a , b, c > bc (1 + b )(1 + c ) (Theo BĐT Cô Si) bc (1 + b )(1 + c ) ≥2 1+ b ac ≥2 ; (1 + a )(1 + c ) + c ab (1 + a )(1 + b ) Nhân vế với vế ta ≥8 (1 + a )(1 + b )(1 + c ) a 2b c 2 = 2 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) Dấu “ = ” xảy ⇔ a = b = c Vậy Qmax = 8abc ⇔ abc ≤ (1 + a )(1 + b )(1 + c ) 3 1 =2 ⇔ =1 + a ⇔ a = ⇒ a =b =c = 1+ a 2 1 a= b= c= Bài 45.Cách 1: Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 141 Website:tailieumontoan.com P2 = ( a + b ) + + ( 4a + 1)( 4b + 1) = 10 + 16ab + ( a + b ) + ≥ 10 + ( a + b ) + = 16 ⇒P≥4 Dấu đẳng thức xảy ( a, b ) hoán vị ( 0; ) Cách 4a= + x, 4b= + y thì: Đặt ≤ x, y ≤ ( ≤ a, b ≤ ) x − y2 − + =2 ⇔ x + y =10 4 ( x − 1)( x − 3) ≤ ( y − 1)( y − 3) ≤ Do 4x ≥ x + ⇒ ⇒ ( x + y ) ≥ x + y + = 16 ⇒ x + y ≥ 4y ≥ y + Dấu đẳng thức xảy = x 1,= y = y 1,= x hay ( a, b ) hoán vị số ( 0; ) Cách 3: Chứng minh bổ đề: x + k + y + k ≥ k + x + y + k với x, y, k ≥ (*) Chứng minh (*): Bình phương vế ta có: x + y + 2k + ( x + k )( y + k ) ≥ x + y + 2k 2 + 2k x + y + k Hay ( x + k )( y + k ) ≥ k 2 x + y + k ⇔ xy + ( x + y ) k + k ≥ ( x + y ) k + k ⇔ xy ≥ bất đẳng thức Dấu đẳng thức xảy xy = Áp dụng vào toán: 4a + + 4b + ≥ + + ( a + b ) = + = Dấu đẳng thức xảy a, b hoán vị ( 0; ) Bài 46 ab bc ca + + ≤ ( a + b + c )(*) a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b Ta chứng minh bất đẳng thức phụ: x, y > ⇒ 1 1 11 ≤ + ⇔ ( x + y) + ≥ x+ y 4 x y x y x y + ≥ ⇔ ( x − y ) ≥ (luôn đúng) y x Dấu “=” xảy x = y ⇔ Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 142 Website:tailieumontoan.com Áp dụng ta được: Tương tự ta có: ab ab ab ab = ≤ + a + b + 2c a + c + b + c a + c b + c bc bc bc ca ca ca ≤ + ≤ + ; b + c + 2a b + a c + a c + a + 2b c + b a + b ab ab bc bc ca ca ⇒ VT (*) ≤ + + + + + 4 a+c b+c b+a c+a c+b a+b = ab + bc ab + ac ac + bc + + = ( a + b + c ) ⇒ dpcm 4 a+c b+c a+b (a + b) ab ⇔ ab ≤ Bài 47.Áp dụng B Đ T cosi, ta có: a + b ≥ ⇒ (1) a+b P ≥ ≥ ⇒= ab ( a + b ) abc ( a + b ) c Áp dụng B Đ T cosi, ta có: ( a + b ) + c ≥ ⇒P≥ ( a + b ).c ⇔ ( a + b ) (a + b + c) c ≤ (2) 16 1) 16 (vì theo giả thiết a + b + c = = (a + b + c) Dấu “=” xảy ⇔ Dấu “=” (1) (2) đồng thời xảy thỏa mãn giả thiết a = b a = b = ⇔ a + b= c ⇔ a + b + c = c = 1 Vậy PMin = 16 ⇔ a = b = ; c = Bài 48 * Tìm GTLN: (a b c)2 Ta có P ac bc 2018ab c(a b) 2018ab c(a b) (1) theo B ĐT cosi (2) 4 Dấu “=” xảy Dấu “=” (1), (2) đồng thời xảy thỏa mãn điều kiện cho a a.b b c c a b b a b c a c Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 143 Website:tailieumontoan.com a b0 Vậy Pmax = b c a c 2 * Tìm GTNN: (a b)2 Ta có a b ab (BĐT Cosi) ab (3) P ac bc 2018ab theo B ĐT cosi (3) c(a b) 2018 (a b)2 (a b)2 2018 (4) 4 a b c a b (5) P 2018 (a b)2 2018 1009 4 Dấu “=” xảy Dấu “=” (3), (4), (5) đồng thời xảy thỏa mãn điều kiện cho c c a b a b a b c c 1009 Vậy Pmin = a b Bài 49 Áp dụng BĐT Cơsi ta có : (x + 1) + (y + 4) + (z + 1) ≥ 2x + 4y + 2z ⇔ 3y + ≥ 2x + 4y + 2z (do x + y + z ≤ 3y.) ⇔ ≥ 2x + y + 2z Với a, b số dương ta chứng minh 1 + 2≥ a b (a + b) Dấu “ = ” xảy a = b Áp dung BĐT ta có: P = P≥ 64.4 (2x + y + 2z + 10) ≥ ( x + 1) + y + 1 2 + ( z + 3) ≥ y 1 x +1+ + 2 + ( z + 3) 256 = (6 + 10) Vậy Pmin = khi= x 1;= y 2;= z Bài 49 Áp dụng BĐT Cơsi ta có : (x + 1) + (y + 4) + (z + 1) ≥ 2x + 4y + 2z ⇔ 3y + ≥ 2x + 4y + 2z (do x + y + z ≤ 3y.) ⇔ ≥ 2x + y + 2z Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 144 Website:tailieumontoan.com 1 + 2≥ a b (a + b) Với a, b số dương ta chứng minh Dấu “ = ” xảy a = b Áp dung BĐT ta có: P = P≥ 64.4 (2x + y + 2z + 10) ≥ ( x + 1) + y + 1 2 + ( z + 3) ≥ y 1 x +1+ + 2 + ( z + 3) 256 = (6 + 10) Vậy Pmin = khi= x 1;= y 2;= z Bài 50 Bình phương hai vế ta P − 2Px + x = x + ⇔ 2Px − xp + = (1) x Vì P > nên phương trình (1) có nghiệm ∆ ≥ ⇔ P − 8P ≥ ⇔ P(P − 8) ≥ ⇔ P ≥ ( P > ) Dấu xảy x = Vậy P = ⇔ x = (các em thay P = vào (1) để tìm x ) 2 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC ... Website:tailieumontoan.com Bài 15 (Đề thi thử vào 10 trường THCS Quốc Oai - 2022) Một cốc hình trụ có đường kính đáy 10 cm , chiều cao đường kính đáy Tính thể tích cốc Bài 16 (Đề thi thử vào 10 trường... Website:tailieumontoan.com x −2 x − x +2 x −3 x −2 = = x −2 = x −3 x −2 x −3 Với ≤ x < x ≠ x − < ⇒ K < x −3> Với x > ⇒ K max ⇔ ( x −3 ) 10 ứng với x > x ∈ Z ⇔ x = ( ) 10 + = = + 10 10 − 10 −... gian quy định ngày, ta có 1100 1100 − = phương trình x x+5 ⇔ 1100 ( x + ) 1100 x x ( x + 5) − = x ( x + 5) x ( x + 5) x ( x + 5) ⇒ 1100 ( x + ) − 1100 = x x ( x + 5) ⇔ x + 10 x − 5500 = ⇔ x + x −