Giải SBT Toán 12 Đề toán tổng hợp Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu VnDoc com VnDoc Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí Giải SBT Toán 12 Đề toán tổng hợp Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt[.]
Giải SBT Toán 12: Đề toán tổng hợp - Chương Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Bài 2.24 trang 65 sách tập (SBT) – Hình học 12 Cho tứ diện ABCD có AD⊥(ABC) BD⊥B Khi quay tất cạnh tứ diện quanh cạnh AB có hình nón tạo thành? Hãy kể tên hình nón Hướng dẫn làm Tứ diện ABCD có ˆBAD=900 nên ˆABD=α góc nhọn Khi quay cạnh tứ diện xung quanh cạnh AB cạnh BD tạo thành hình nón trịn xoay đỉnh B có trục AB, cạnh AD vng góc với AB tạo thành đáy hình nón Mặt khác theo giả thiết ta có BD⊥BCnên AB⊥B Ta có ˆBAC=β góc nhọn Do quay cạnh tứ diện xung quanh cạnh AB cạnh AC tạo thành hình nón trịn xoay đỉnh A có trục AB, cịn cạnh BC tạo thành đáy hình nón Như quay tất cạnh tứ diện xung quanh trục AB cạnh BD AC tạo thành hai hình nón Bài 2.25 trang 65 sách tập (SBT) – Hình học 12 Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a có đường cao h a) Một hình trụ có đường trịn đáy tiếp xúc với cạnh tam giác đáy gọi hình trụ nội tiếp lăng trụ Hãy tính diện tích xung quanh hình trụ nội tiếp b) Gọi I trung điểm cạnh BC Đường thẳng A’I cắt hình trụ nội tiếp nói theo đoạn thẳng Tính độ dài đoạn thẳng Hướng dẫn làm bài: VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí a) Hình trụ nội tiếp lăng trụ tam giác có đường trịn đáy tiếp xúc trung điểm cạnh tam giác đáy Gọi I trung điểm cạnh BC, r bán kính đáy hình trụ nội tiếp lăng trụ, ta có: AI=a√3/2 Do đó, r=a√3/6 Ta có diện tích xung quanh hình trụ nội tiếp lăng trụ là: Sxq=2πrl=2π.a√3/6.h=√3πah/3 b) Ta có mặt phẳng (AA’I) mặt phẳng qua trục hình trụ Mặt phẳng cắt hình trụ theo thiết diện hình chữ nhật IKK’I’ Đoạn A’I cắt KK’ M nên cắt hình trụ theo đoạn IM Ta có: KM/AA′=IK/IA=2/3⇒KM=2/3h Xét tam giác vng IKM ta có: IM2=IK2+KM2=3a2/9+4h2/9=3a2+4h2/9 Vậy IM=√3a2+4h2/3 Bài 2.26 trang 65 sách tập (SBT) – Hình học 12 Cho hình chóp S.ABC biết có mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh bên hình chóp đồng thời tiếp xúc với ba cạnh đáy trung điểm cạnh đáy Chứng minh hình chóp hình chóp Hướng dẫn làm bài: VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, CA A’ , B’, C’ điểm tiếp xúc cạnh bên SA, SB, SC với mặt cầu Ta có AA’ AM hai tiếp tuyến nên AM = AA’ Vì M trung điểm AB nên AM = MB Mặt khác BM = BB’, ta suy AA’ = BB’ Vì SA’ = SB’ nên SA’ + A’A = SB’ + B’B hay SA = SB Tương tự, ta chứng minh SB = SC Do SA = SB = SC Mặt khác AB = 2BM = 2BN = BC = 2CN=2CP = CA Vậy AB = BC = CA ABC tam giác nên hình chóp Ta có đường cao kẻ từ S có chân H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 2.27 trang 65 sách tập (SBT) – Hình học 12 Trong mặt phẳng (α), cho tam giác ABC vuông A có cạnh AC = a có cạnh huyền BC = 2a Cũng mặt phẳng (α) cho nửa đường trịn đường kính AB cắt cạnh BC M a) Chứng minh quay mặt phẳng (α) xung quanh trục AB có mặt nón trịn xoay mặt cầu tạo thành Hãy xác định mặt trịn xoay b) Chứng minh giao tuyến hai mặt trịn xoay đường trịn Hãy xác định bán kính đường trịn c) So sánh diện tích tồn phần hình nón diện tích mặt cầu nói Hướng dẫn làm VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí a) Tam giác vng ABC có BC = 2a AC = a nên ta suy ˆABC=300 Khi quay xung quanh trục AB cạnh BC tạo nên mặt nón trịn xoay có góc đỉnh 600 có đường trịn đáy có bán kính AC = a Khi xoay xung quanh trục AB nửa đường trịn đường kính AB tạo nên mặt cầu có tâm trung điểm I để đoạn AB bán kính r=AB/2 b) Khi quay xung quanh trục AB, giao điểm M nửa đường trịn đường kính AB cạnh CD tọ nên giao tuyến mặt nón mặt cầu Vẽ MH⊥AB Ta có: MH/MB=CA/CB=a/2a=1/2 Mặt khác ta có CA2 = CM CB nên ta có CM=a2/2a=a/2 Do BM=CB−CM=2a−a/2=3/2.a MH=3/4.a c) Gọi S1 diện tích tồn phần hình nón S2 diện tích mặt cầu Ta có: S1=πrl+πr2=2πa2+πa2=3πa2 S2=4πr2=4π(IA)2=4π(a√3/2)2=3πa2 Vậy S1 = S2 Bài 2.28 trang 65 sách tập (SBT) – Hình học 12 Cho hai đường thẳng Δ Δ′ chéo nhận AA’ làm đoạn vng góc chung, A thuộc Δ A’ thuộc Δ′ Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với Δ′ d hình chiếu vng góc Δ mặt phẳng (P) Đặt AA’ = a, góc nhọn Δ d α Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) cắt Δ Δ′ M M’ Gọi M1 hình chiếu vng góc M lên mặt phẳng (P) a) Chứng minh điểm A, A’, M, M’, M1 nằm mặt cầu (S) xác định tâm O (S) Tính bán kính (S) theo a, α khoảng cách x hai mặt phẳng (P) (Q) VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí b) Khi x thay đổi, tâm O mặt cầu (S) di động đường nào? Chứng minh (Q) thay đổi mặt cầu (S) luôn qua đường tròn cố định Hướng dẫn làm bài: a) Vì mặt phẳng (P) qua A vng góc với Δ′ nên AA’ thuộc (P) Vì M thuộc Δ mà d hình chiếu vng góc Δ (P) nên M1 thuộc d Vì MA⊥AA′=>M1A⊥AA′ Mặt khác M1A⊥M′A′ nên ta suy M1A⊥(AA′M′) Do M1A⊥M′A điểm A thuộc mặt cầu đường kính M’M1 Ta có M′A′⊥(P) nên M′A′⊥A′M1, ta suy điểm A’ thuộc mặt cầu đường kính M’M1 Ta có (Q) // (P) nên ta suy MM1⊥(Q)mà MM’ thuộc (Q), M1M⊥MM′ Như điểm A, A’ , M, M’, M1 thuộc mặt cầu (S) có đường kính M’M1 Tâm O mặt cầu (S) trung điểm đoạn M’M1 Ta có M′M12=M′A′2+A′M12=M′A′2+A′A2+AM12=x2+a2+x2cot2α MM1 = x cotα=AM1/M1M=AM1/x Bán kính r mặt cầu (S) M′M1/2 nên r=1/2√a2+x2(1+cot2α) b) Hình tứ giác A’M’MM1 hình chữ nhật nên tâm O trung điểm A’M Do x thay đổi mặt phẳng (Q) thay đổi điểm O luôn thuộc đường thẳng d’ qua trung điểm I đoạn AA’ song song với đường thẳng Δ Vì mặt cầu tâm O ln ln qua hai điểm cố định A, A’nên có tâm O di động đường thẳng d’ Do mặt cầu tâm O ln ln chứa đường trịn tâm I cố định có đường kính AA’ cố định nằm mặt phẳng cố định vng góc với đường thẳng d’ VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Bài 2.29 trang 66 sách tập (SBT) – Hình học 12 Cho tam giác vng cân ABC có cạnh huyền AB = 2a Trên đường thẳng d qua A vng góc với mặt phẳng (ABC), lấy điểm S khác A, ta tứ diện SABC a) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC trường hợp mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 300 Hướng dẫn làm a) Gọi I trung điểm cạnh AB Vì tam giác ABC vng cân C nên ta có IA = IB = IC Vậy I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC phải nằm đường thẳng d’ vuông góc với mặt phẳng (ABC) I Ta suy d’ // d Do d’ cắt SB trung điểm O đoạn SB Ta có OB = OS = OA = OC O tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện SABC b) Trường hợp mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 300 góc hai mặt phẳng góc ˆSCA Thực SA⊥(ABC) mà AC⊥CB nên ta có SC⊥CB Do ˆSCA=300 Vì AB = 2a nên ta có AC=a√2 ta suy SA=AC.tan300=a√2.√3/3=a√6/3 Gọi r bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ˆSCA=300 Ta có r=SB/2=OA=OB=OC=O, SB2 = SA2 + AB2 Vậy SB2=6a2/9+4a2=42a2/9 Do đó, SB=a√42/3 Ta suy r=SB/2=a√42/6 Bài 2.30 trang 66 sách tập (SBT) – Hình học 12 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Cho đường trịn tâm O bán kính r’ Xét hình chóp S.ABCD có SA vng góc với mặt phẳng đáy, S A cố định, SA = h cho trước có đáy ABCD tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn cho, đường chéo AC BD vng góc với Hướng dẫn làm bài: a) Trong mặt phẳng chứa đường tròn tâm O ngoại tiếp tứ giác ABCD ta kẻ đường kính qua O vng góc với dây cung AC I Ta có IA = IC OI // BD Gọi O’ tâm mặt cầu qua đỉnh hình chóp Khi điểm O’ phải nằm trục d đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Ta có d⊥(ABCD) O Gọi M trung điểm cạnh SC Ta có MI // SA nên MI⊥(ABCD) I Từ M kẻ đường thẳng d’//OI cắt d O’ Vì d′⊥(SAC) M nên ta có O’C = O’S O’C bán kính r mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Ta có r=O′C= Vì SA khơng đổi nên ta có VSABCD lớn SABCD lớn Ta có SABCD=1/2AC.BD AC BD hai dây cung vng góc với Vậy AC.BD lớn AC = BD = 2r’, nghĩa tứ giác ABCD hình vng Bài 2.31 trang 66 sách tập (SBT) – Hình học 12 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a a) Tính diện tích xung quanh hình trụ có đường trịn hai đáy ngoại tiếp hình vng ABC.D A’B’C’D’ b) Tính diện tích mặt cầu qua tất đỉnh hình lập phương VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí c) Tính diện tích xung quanh hình nón trịn xoay nhận đường thẳng AC’ làm trục sinh cạnh AB Hướng dẫn làm bài: a) Hình trụ có chiều cao h = a bán kính đáy r=a√2/2 Do ta có: Sxq=2πrh=πa2√2 b) Gọi I tâm hình lập phương Tất đỉnh hình lập phương có khoảng cách đến I a√3/2 nên chúng nằm mặt cầu tâm I bán kính r=a√3/2 Ta có diện tích mặt cầu S=4πr2=3πa2 c) Đường trịn đáy hình nón trịn xoay đỉnh A tạo nên cạnh AB đường tròn ngoại tiếp tam giác A’BD, tam giác có cạnh a√2 có đường cao a√6/2 Do đường trịn đáy hình nón có bán kính r′=a√6/3 Vậy hình nón trịn xoay có đường sinh l = a có diện tích xung quanh Sxq=πr′l=π.a√6/3.a=πa2√6/3 Bài 2.32 trang 66 sách tập (SBT) – Hình học 12 Hình trụ trịn xoay có bán kính đáy r, có chiều cao 2r có trục OO’ a) Chứng minh mặt cầu đường kính OO’ tiếp xúc với hai mặt đáy hình trụ tiếp xúc với tất đường sinh mặt trụ b) Cắt hình trụ mặt phẳng song song với trục OO’ cách trục khoảng r/2 Tính diện tích thiết diện thu c) Thiết diện nói cắt mặt cầu đường kính OO’ theo thiết diện đường trịn Tính bán kính đường trịn VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Hướng dẫn làm bài: a) Vì mặt đáy hình trụ vng góc với trục OO’ O O’ nên chúng tiếp xúc với mặt cầu đường kính OO’ Gọi I trung điểm đoạn OO’ Ta có I tâm mặt cầu Kẻ IM vng góc với đường sinh (M nằm đường sinh) ta có IM = r bán kính mặt trụ đồng thời điểm M thuộc mặt cầu Vậy mặt cầu tiếp xúc với tất đường sinh mặt trụ b) Trên mặt đáy tâm O ta gọi H trung điểm bán kính OP Qua H kẻ dây cung AB⊥OP nằm đáy (O; r) Các đường sinh AD BC với dây cung AB DC (thuộc đáy (O’, r)) xác định cho ta thiết diện cần tìm hình chữ nhật Gọi S diện tích hình chữ nhật này, ta có: SABCD= AB.AD AD = 2r cịn AB = 2AH Vì H trung điểm OP nên ta tính AB=r√3 Vậy SABCD=2r2√3 c) Đường trịn giao tuyến mặt cầu đường kính OO’ mặt phẳng (ABCD) có bán kính AB/2=r√3/2 Đường trịn có tâm tâm hình chữ nhật ABCD tiếp xúc với hai cạnh AD, BC hình chữ nhật Xem thêm tại: https://vndoc.com/giai-bai-tap-lop-12 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí ... CA2 = CM CB nên ta có CM=a2/2a=a /2 Do BM=CB−CM=2a−a /2= 3 /2. a MH=3/4.a c) Gọi S1 diện tích tồn phần hình nón S2 diện tích mặt cầu Ta có: S1=πrl+πr2 =2? ?a2+πa2=3πa2 S2=4πr2=4π(IA )2= 4π(a√3 /2) 2=3πa2... M’M1 Tâm O mặt cầu (S) trung điểm đoạn M’M1 Ta có M′M 12= M′A? ?2+ A′M 12= M′A? ?2+ A′A2+AM 12= x2+a2+x2cot2α MM1 = x cotα=AM1/M1M=AM1/x Bán kính r mặt cầu (S) M′M1 /2 nên r=1 /2? ??a2+x2(1+cot2α) b) Hình tứ giác... đoạn IM Ta có: KM/AA′=IK/IA =2/ 3⇒KM =2/ 3h Xét tam giác vng IKM ta có: IM2=IK2+KM2=3a2/9+4h2/9=3a2+4h2/9 Vậy IM=√3a2+4h2/3 Bài 2. 26 trang 65 sách tập (SBT) – Hình học 12 Cho hình chóp S.ABC biết