Bài tập lớn giải tích trong kinh doanh phép lấy đạo hàm các khái niệm cơ bản

Trường Đại Học Bách Khoa Tp Hồ Chí Minh Khoa Quản Lý Cơng Nghiệp BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH TRONG KINH DOANH Giảng viên Nguyễn Thị Cẩm Vân Nhóm 01 Họ tên Tống Thị Khánh Linh Nguyễn Ngọc Lan Huỳnh Quốc Anh Vương Gia Bảo Vòng Trự Dẩu Trần Ngọc Bảo Hân Thái Chí Hiếu Lại Minh Khoa Trần Đăng Khoa Nguyễn Hồng Phúc Ngày 14 tháng năm 2021 MSSV 2013643 2013593 2012586 2012678 2012791 2013113 2013162 2013494 2013516 2014174 Mục lục Hàm số, Đồ thị Giới hạn 1.1 Hàm số Phép lấy đạo hàm: Các khái niệm 2.1 Đạo hàm 2.2 Vi phân 2.3 Quy tắc xác định đạo hàm tích thương số, đạo hàm cấp cao 2.4 Phép lấy vi phân tìm đạo hàm tốc độ tương đối 2.5 Bài tập ôn tập 4 10 10 11 14 15 16 Các Ứng dụng bổ sung Đạo hàm 3.1 Hàm tăng, Hàm giảm, Cực trị tương đối 3.2 Tối ưu hoá Ứng dụng bổ sung 17 17 30 Hàm mũ Hàm logarit 4.1 Hàm số mũ, liên tục kết hợp 4.2 Hàm Logarit 32 32 34 Phép lấy tích phân 5.1 Định nghĩa phép lấy tích phân phương trình vi phân 5.2 Ứng dụng mở rộng Phép lấy tích phân Kinh doanh Kinh tế 5.3 Ôn tập tập 37 37 49 52 Các chủ đề bổ sung tích phân 6.1 Tích phần phần, Bảng tích phân 55 55 Phép toán nhiều biến 7.1 Hàm số nhiều biến 7.2 Đạo hàm riêng 7.3 Tối ưu hàm hai biến 7.4 Tối ưu hố có điều kiện: Phương pháp Lagrangge 7.5 Bài tập ôn tập 60 60 64 66 67 69 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Quản Lý Cơng Nghiệp Tốn học tài 8.1 Lãi suất đơn chiết khấu 8.2 Lãi kép 8.3 Niên kim, giá trị tương lai quỹ chìm 8.4 Giá trị 8.5 Tóm tắt Ơn tập Tài liệu tham khảo Báo cáo mơn Giải tích Kinh doanh – Học kỳ 202, năm học 2020-2021 72 72 74 75 77 83 84 Trang 2/84 Lời mở đầu Kinh doanh lĩnh vực mà ngày nhiều người lựa chọn, cơng việc khơng đơn giản địi hỏi phải có lĩnh, kiên trì, dám mạo hiểm Bên cạnh thành công, người làm kinh doanh hay gọi doanh nhân trải qua bao lần thất bại, nguyên nhân chủ yếu họ mắc sai lầm khơng đáng có đưa định kinh doanh Theo số liệu nghiên cứu Hiệp hội tự doanh Quốc gia có khoảng 24% số doanh nghiệp vừa nhỏ bị thất bại vòng 2-3 năm đầu nửa số họ (chiếm khoảng 52%) buộc phải tuyên bố đóng cửa, giải thể cơng ty vịng năm đầu kinh doanh Đây số không nhỏ, cho thấy tác hại nặng từ việc đưa định sai lầm Dựa vào số liệu thực tế từ kiến thức học hiểu biết thân, viết này, tác giả muốn đề cập đến số sai lầm thường gặp kinh doanh làm ảnh hưởng nghiêm trọng đến kết kinh doanh doanh nghiệp biện pháp để giúp doanh nghiệp tránh khỏi chúng Mặc dù cố gắng hết khả trình độ kiến thức kinh nghiệm cịn hạn chế, nên khơng tránh khỏi có sai sót Tác giả mong nhận xét, đánh giá, đóng góp ý kiến thầy/cơ để tập hoàn thành CHƯƠNG Hàm số, Đồ thị Giới hạn 1.1 Hàm số Định nghĩa Hàm số quy tắc gán đối tượng tập hợp A với xác đối tượng tập hợp B Tập hợp A gọi miền xác định hàm số tập hợp đối tượng gán tập hợp B gọi miền giá trị Định nghĩa Miền xác định hàm số Ngoại trừ giả định khác, giả định miền hàm số f tất số thực x mà f (x) xác định số thực Chúng ta gọi miền xác định tự nhiên hàm số f Ví dụ 1.1.2: Tìm miền xác định hàm số Tìm tập xác định hàm số: a f (x) = b g (t ) = x −3 p − 2t t +4 Lời giải a Vì chia cho số khác f (x) xác định x − 6= Tập hợp tất số x x 6= b Vì mẫu số t + > với giá trị t nên ta không cần xét Điều kiện lại để g (t ) xác định bậc xác định: − 2t ≥ hay t ≤ Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Quản Lý Cơng Nghiệp Ví dụ 1.1.3: Đánh giá Hàm số Một cơng ty truyền hình vệ tinh thực nghiên cứu nhằm tìm số lượng khách hàng mà trung tâm chăm sóc khách hàng phục vụ là: N (w) = 30(w − 1)1/2 , w số lượng nhân viên trung tâm Tìm N (5), N (17), N (1) N (0) giải thích kết bạn Lời giải p Đầu tiên, viết lại hàm dạng N (w) = 30 w − p p p Với N (5) = 30 − = 30 = 30 p p Với N (17) = 30 17 − = 30 16 = 120 p Với N (1) = 30 − = p p Nhưng N (0) khơng xác định 30 − = 30 −1 số âm khơng có bậc hai thực Các kết cho thấy trung tâm chăm sóc khách hàng nhận 60 gọi có nhân viên, nhận 120 gọi có 17 nhân viên, khơng thể nhận gọi với nhân viên Đồng thời, kết cho thấy trung tâm hoạt động với nhân viên Ví dụ 1.1.4: Đánh giá hhàm số khoảng xác định Giả sử ta sử dụng hàm để mô giá cổ phiếu công ty sản xuất giày bốt Ugg Deckers Outdoor theo thời gian Mặc dù đôi bốt xuất thị trường từ năm 1979, đến năm 2003 cổ phiếu hãng bắt đầu tăng lên đáng kể Chính thế, ta có cơng thức để mơ giá cổ phiếu trước năm 2003 công thức khác để mô giá sau năm 2003 Gọi S(t ) hàm mô giá cổ phiếu công ty Deckers Outdoor t năm sau ngày 1/1/2000 Ta có hàm sau: S(t ) =  8, − 1, 7t t < 6t − 36t + 57 t ≥ Tìm giải thích S(2), S(3) S(7, 5) Lời giải Với S(2) Vì t = thỏa mãn điều kiện t < nên ta sử dụng công thức để tính giá trị S(2) Ta có: S (2) = 8, − 1, × = 4, Dựa vào kết có được, ta kết luận giá cổ phiếu công ty Deckers Outdoor khoảng 4,7 đô la vào ngày 1/1/2002 Báo cáo mơn Giải tích Kinh doanh – Học kỳ 202, năm học 2020-2021 Trang 5/84 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Quản Lý Cơng Nghiệp Với S(3) S(7, 5) Vì t = t = 7, thỏa mãn điều kiện t ≥ 3, nên ta sử dụng công thức thứ để tính giá trị S(3) S(7, 5) Ta có: ( S (3) = × 32 − 36 × + 57 = S (7, 5) = × 7, 52 − 36 × 7, + 57 = 124, Dựa vào kết có được, ta kết luận giá cổ phiếu vào khoảng đô la vào ngày 1/1/2003 124,5 đô la vào ngày 1/7/2007 Định nghĩa Hàm số dùng kinh tế Chúng tiếp tục nghiên cứu vài hàm số liên quan đến việc tiếp thị vài loại hàng hoá Hàm cầu D(x) hàng hoá hàm p = D(x) mà mức giá thể x đơn vị hàng hoá bán Hàm cung S(x) hàng hoá hàm p = S(x) mà mức giá thể x đơn vị hàng hoá mà nhà sản xuất sẵn sàng cung cấp Hàm doanh thu R(x) có từ việc bán x đơn vị hàng hoá theo mức giá p(x) thể qua hàm số R(x) = (lượng sản phẩm).(giá sản phẩm) = x.p(x) Hàm chi phí C (x) thể mức giá để sản xuất x đơn vị hàng hoá Hàm lợi nhuận P (x) thể lợi nhuận có từ việc bán x đơn vị hàng hoá, biểu diễn qua hàm số P (x) = Doanh thu − Chi phí = R(x) −C (x) = xp(x) −C (x) Hàm chi phí bình qn AC (x) Tương tự, hàm doanh thu bình quân AR(x) hàm lợi nhuận bình quân AP (x) cho bởi: AR(x) = P (x) R(x) AP (x) = x x Tóm lại, đơn giá cao, lượng cầu ngược lại Đồng nghĩa, đơn giá tăng dẫn đến lượng cung tăng Do đó, hàm cầu thường giảm ("giảm"từ trái sang phải), hàm cung thường tăng ("tăng") theo minh hoạ biên Ví dụ 1.1.5 sử dụng hàm số kinh tế để giải thích cho vấn đề Báo cáo mơn Giải tích Kinh doanh – Học kỳ 202, năm học 2020-2021 Trang 6/84 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Quản Lý Cơng Nghiệp Ví dụ 1.1.5 Nghiên cứu quy trình sản xuất Nghiên cứu thị trường cho thấy người tiêu dùng mua x (nghìn máy) pha cà phê với mức giá: P (x) = −0.27 × x + 51 nghìn la Chi phí sản suất x nghìn đơn vị sản phẩm là: C (x) = 2.23x × 3.5x + 85 nghìn la a Tính chi phí trung bình để sản xuất 4000 máy pha cà phê? b Tính doanh thu R(x) lợi nhuận P (x) sản xuất x nghìn máy c Với giá trị x có lợi nhuận? Lời giải a) Thay x = vào C (x) chia để tính chi phí trung bình: ¡ hàm ¢ AC (4) = 2.23 42 + 3.5 (4) + 85 = 134.68 = 33.67 (nghìn la/nghìn sản phẩm) b) Doanh thu: R (x) = x × P = (−0.27 × x + 51) × x = −0.27 × x + 51 × x (nghìn đô la) Lợi nhuận: T (x) = R (x) −C (x) = −0.27 × x + 51 × x − 2.23 × x + 3.5 × x + 85 = −2.5 × x + 47.5 × x − 85 (đơ la) ¡ ¢ c) Có lợi nhuận T (x) > < x < 17 Tức số sản phẩm sản xuất nằm khoảng 2000 17000 sản phẩm Ví dụ 1.1.6 Đánh giá hàm chi phí Giả sử tổng chi phí để sản xuất m máy chạy cho hàm số: C (m) = m − 30m + 500m + 200 (đơ la) a Tìm chi phí sản xuất 10 máy chạy Chi phí trung bình để sản xuất bao nhiêu? b Tính chi phí sản xuất máy chạy thứ 10 Lời giải Báo cáo môn Giải tích Kinh doanh – Học kỳ 202, năm học 2020-2021 Trang 7/84 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Quản Lý Cơng Nghiệp a) Chi phí để sản xuất 10 máy chạy : C (10) = 103 − 30 × 102 + 500 × 10 + 200 = 3200 (U SD) Chi phí trung bình để sản xuất máy chạy : CT B = 3200 = 320 (U SD) 10 b) Chi phí để sản xuất máy chạy bộ: C (9) = 93 − 30 × 92 + 500 × + 200 = 2999 (U SD) Chi phí để sản xuất máy chạy thứ 10: C 10 = C (10) −C (9) = 3200 − 2999 = 201 (U SD) Định nghĩa Hàm hợp Cho hàm số f (u) g (x), hàm hợp f (g (x)) hàm x hình thành cách thay u = g (x) cho u hàm số f (u) Ví dụ 1.1.7 Tìm hàm hợp Tìm hàm hợp f (g (x)), với f (u) = u + 3u + g (x) = x + Lời giải Thế u = x + vào f (u) ta được: f (g (x)) = (x = 1)2 + 3(x + 1) + f (g (x)) = x + 5x + Ví dụ 1.1.8 Biểu diễn chi phí dạng hàm hợp Neal nhận thấy chi phí để sản xuất r ghế tựa C (x) đô la C (r ) = r − 50r + r +1 Giả sử số lượng sản phẩm thỏa r = + 0.3w , với w tiền lương nhân công a Biểu diễn chi phí theo w b Neal phải trả tiền cho sản phẩm tiền lương nhân công 20 đô la/giờ? Báo cáo mơn Giải tích Kinh doanh – Học kỳ 202, năm học 2020-2021 Trang 8/84 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Quản Lý Cơng Nghiệp Lời giải a) Hàm biểu diễn chi phí theo w: C (r (w)) = C ([4 + 0.3w]) = [4 + 0.3w]3 − 50[4 + 0.3w] + [(4 + 0.3w)] + b) Chi phí Neal phải trả tiền lương công nhân 20 USD C (r (20)) = [4 + 0.3(20)]3 − 50[4 + 0.3(20)] + = 500.091 [4 + 0.3(20)] + Ví dụ 1.1.9 Tìm hàm số từ hàm hợp cho trước Cho Hàm: f (x) = + 4(x − 2)3 x −2 Tìm hàm g (u) h(x) cho f (x) = g (h(x)) Lời giải Cho u = x − 2, Ta có:  g (u) = + 4u u h(x) = x − Báo cáo mơn Giải tích Kinh doanh – Học kỳ 202, năm học 2020-2021 Trang 9/84 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Quản Lý Công Nghiệp → Giá trị điểm tới hạn f (−1, 2) = −5 Gọi A(−4, 0), B (1, 0) C (0, 4) Ta có: f (−4, 0) = 20, f (1, 0) = 15 f (0, 4) = 12 Phương trình đường thẳng có dạng: y = ax + b Đường thẳng BC qua điểm B (1, 0) C (0, 4) nên ta có hệ phương trình: ½ a +b = → b=4 ½ a = −4 b=4 (BC): y = −4x + 4, tương tự cho (AB ) (AC ) (AB ): y = (AC ): y = x + f (x, 0) = x + 2x + 12 f (x, 0) = 2x + = → x = −1, y = f (−1, 0) = 11 f (x, −4x + 4) = x + 2x + (4 − 4x)2 − 4(4 − 4x) + 12 = x + 2x + 16 − 32x + 16x − 16 + 16x + 12 = 17x − 14x + 12 f (x, −4x + 4) = 34x − −14 = 40 ,y = 17 17 155 40 )= f( , 17 17 17 →x= f (x, x + 4) = x + 2x + (x + 4)2 − −4(x + 4) + 12 = x + 2x + x + 8x + 16 − 4x − 16 + 12 = 2x + 6x + 12 f (x, −x + 4) = 4x + = 0x = − , y = 2 15 f (− , ) = 2 Vậy giá trị điểm tới hạn f (−1, 0) = −5 Giá trị lớn f (−4, 0) = 20 Giá trị nhỏ f (−1, 0) = −5 Báo cáo mơn Giải tích Kinh doanh – Học kỳ 202, năm học 2020-2021 Trang 70/84 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Quản Lý Cơng Nghiệp Bài tập 37 PHÂN TÍCH BIÊN Sử dụng x lao động lao động có tay nghề y lao động phổ thơng, nhà sản xuất sản xuất Q(x, y) đơn vị 60x 1/3 y 2/3 ngày Hiện nhà sản xuất sử dụng 10 lao động có tay nghề 40 lao động phổ thơng lập kế hoạch thuê thêm công nhân lành nghề Sử dụng phép tính để ước tính thay đổi tương ứng mà nhà sản xuất nên thực lực lượng lao động phổ thông động để tổng sản lượng khơng đổi Lời giải Tính đạo hàm riêng Q theo x : Qx = ¢ ∂ ¡ 60 × x 1/3 × y 2/3 = 60 × × x −2/3 × y 2/3 = 20 × x −2/3 × y 2/3 ∂x Đánh giá đạo hàm riêng x = 10 y = 40: Q x = (10, 40) = 20 × (10)−2/3 × (40)2/3 = 50.3968 Tính đạo hàm riêng Q theo y : Qy =  à 60 ì x 1/3 × y 2/3 ∂y = 60 × × x 1/3 × y −1/3 = 40 × x 1/3 × y −1/3 Đánh giá đạo hàm riêng x = 10 y = 40 : Q y (10, 40) = 40 × (10)1/3 × (40)−1/3 = 25.1984 Sử dụng cơng thức tính gia tăng gần cho biến để đánh giá thay đổi lao động phổ thông ∆y Giả sử ∆x = nhà xưởng thuê thêm lao động lành nghề ∆Q = tổng sản lượng không đổi ∆Q = ∂Q (10, 40) ∂Q (10, 40) × ∆x + × ∆y ∂x ∂y → = 50.3968 + 25.1984 × ∆y → ∆y = −2 Báo cáo mơn Giải tích Kinh doanh – Học kỳ 202, năm học 2020-2021 Trang 71/84 CHƯƠNG Toán học tài Tốn học tài Đề cương chương Lãi đơn chiết khấu Lãi kép Niên kim, giá trị tương lai quỹ chìm Niên kim, giá trị khấu hao tài sản cố định vơ hình Hầu hết người phải vay tiền để chi trả cho khoản lớn mua xe hơi, thiết bị nhà cửa Ngay người có số dư thẻ tín dụng, chịu ảnh hưởng tương tự, vay tiền Số tiền phải trả cho khoản vay phải xác định xác, cịn thêm thời gian làm vài cơng việc khác để tìm “thỏa thuận tốt nhất” Xem tập 54 trang 262 tập 57 trang 242 Chúng ta cần phải lên kế hoạch cho kỳ nghỉ hưu cuối cùng, thường liên quan đến tài khoản tiết kiệm khoản đầu tư cho cổ phiếu, trái phiếu niên kim để tài trợ cho tài khoản 401K tài khoản nghỉ hưu cá nhân (IRAs) Xem tập 40 41 trang 250 Lưu ý: Chúng cố gắng cập nhật ứng dụng thực tế để trình bày chương Tuy nhiên, lãi suất ln thay đổi thường xuyên nên khả tỷ lệ viết chương giống với tỷ lệ thời điểm bạn đọc Nhưng may mắn thay, tốn học tài với mức lãi suất Chính lí này, nên sử dụng nhiều tỷ lệ ví dụ tập Một vài số bạn chưa thấy thực tế chúng xảy vài thập kỷ qua 8.1 Lãi suất đơn chiết khấu Lãi suất khoản phí phải trả để sử dụng tiền người khác Lãi suất cho khoản vay từ năm trở xuống thường tính lãi suất đơn, trả số tiền vay đầu tư không dựa lãi suất khứ Số tiền vay hay gửi gọi số tiền gốc Lãi suất cho dạng phần trăm năm, biểu thị số thập phân Ví dụ: 6% = 0.06 115% = 1.15 Thời gian tích lũy tiền lãi tính năm Lãi suất đơn tích số tiền gốc, lãi suất thời gian 72 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Quản Lý Cơng Nghiệp Định nghĩa Lãi đơn Lãi đơn I P đô la với lãi suất r năm cho t năm là: I = Pr t Thông thường vấn đề tài làm trịn đến xu gần Bài kiểm tra 1: Tìm lãi đơn cho khoản nợ a 2000 la với lãi suất 8.5% vịng 10 tháng b 3500 đô la với lãi suất 10.5% vịng năm Ví dụ Để hồn thành hộ cô ấy, Maggie Chan mượn 4000 la với lãi suất 3% từ gia đình cô tháng Số tiền lãi mà cô phải trả bao nhiêu? Lời giải Sử dụng công thức I = P r t với P 4000 đô la, r 0.03 t = I = P r t = 4000 × 0.03 × = 12 = 90 Vì số tiền lãi mà Maggie Chan phải trả 90 đô la Lãi suất đơn thường sử dụng cho khoản vay có thời hạn từ năm trở xuống Có ngoại lệ đặc biệt trường hợp trái phiếu doanh nghiệp công cụ tài tương tự Một trái phiếu điển hình trả lãi đơn giản hai lần năm, khoảng thời gian cụ thể, thời gian cuối trái phiếu đáo hạn Khi đáo hạn, công ty trả lại khoản đầu tư ban đầu cho bạn Bài kiểm tra 2: Đối với trái phiếu chuyển đổi Hãy tìm số tiền lãi phải trả nửa năm lần tổng số tiền lãi phải trả suốt đời trái phiếu a 7.500 đô la Time Warner Cable, Inc Trái phiếu 30 năm với mức lãi suất 7,3% /năm b 15.000 đô la Clear Channel Communications trái phiếu 10 năm với mức lãi suất 9,0% /năm Ví dụ Tài Vào ngày tháng năm 2013, Ngân hàng Mỹ phát hành trái phiếu kỳ hạn 10 năm, với lãi suất đơn 3,3% năm, lãi suất trả hai lần năm John Altiere mua trái phiếu trị giá 10.000 đô la (Dữ liệu từ: www.finra.com) a Số tiền lãi mà anh nhận tháng? b Số tiền lãi anh kiếm vòng 10 năm trái phiếu? Báo cáo mơn Giải tích Kinh doanh – Học kỳ 202, năm học 2020-2021 Trang 73/84 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Quản Lý Cơng Nghiệp Lời giải a) Lãi suất mà anh nhận tháng? Sử dụng công thức lãi I = P r t với P = 10000, r = 033, t = I = P r t = 10000 × 033 × = 165 (đơ la) b) Lãi anh kiếm vòng 10 năm trái phiếu? Sử dụng công thức tương tự với t = 10 I = P r t = 10000 × 033 × 10 = 3300 (đô la) Hoặc lấy câu trả lời phần (a) toán tháng cho 10 năm với tổng cộng 20 lần Vì thế, John nhận được: 165 × 20 = 3300 (đô la) Bài tập 39 Một tài khoản đầu tư vào quỹ thị trường tiền tệ tăng từ 67,081.20 đô la đến 67,359.39 đô la tháng Lãi suất bao nhiêu, xác đến phần mười? Lời giải Áp dụng cơng thức tính lãi suất đơn I = P r t ta có: ↔ 67, 359.39 − 67, 081.20 = 67, 081.20 × r × → r = 10% 12 Vậy lãi suất tài khoản đầu tư 10%/ năm 8.2 Lãi kép Bài tập 7,8,9,10,11,12 Tính tổng số tiền lãi suất nhận trường hợp sau: Sau năm với số tiền gửi 1.000 đô la với lãi suất 4%/năm A = P × (1 + i )n = 1000 × (1 + 0.04)6 = 1265.32 (đô la) Sau 10 năm với số tiền ban đầu 1000 đô la với lãi suất 6%/năm A = P × (1 + i )n = 1000 × (1 + 0.06)10 = 1790.85 (đô la) Sau 12 năm với số tiền ban đầu 470 đô la với lãi suất 8%/năm A = P × (1 + i )n = 470 × (1 + 0.08)12 = 1183.54 (đơ la) Sau 11 năm với số tiền ban đầu 15000 đô la với lãi suất 4,6%/năm A = P × (1 + i )n = 15000 × (1 + 0.046)11 = 24600.27 (đơ la) Báo cáo mơn Giải tích Kinh doanh – Học kỳ 202, năm học 2020-2021 Trang 74/84 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Quản Lý Công Nghiệp Sau năm với số tiền ban đầu 6500 đô la với lãi suất 4,5%/năm A = P × (1 + i )n = 6500 × (1 + 0.045)8 = 9243.45 (đơ la) Sau năm với số tiền ban đầu 9100 đô la lãi suất 6,1%/năm A = P × (1 + i )n = 9100 × (1 + 0.061)4 = 14631.84 (đô la) Bài tập 55 Trong Quỹ tăng giá vốn, đầu tư vào quỹ tương hỗ T.Rowe Price 10000 đô la sau năm nhận lại 11115 la Tính lãi suất hàng năm Lời giải Theo đề bài, ta có: P = 10000, A = 11115, n = năm A = P × (1 + i )n ⇐⇒ 11115 = 10000 × (1 + i )3 → i = 0.0359 = 3.59% Vậy lãi suất hàng năm 3.59% Bài tập 56 Trong quỹ VGT, với số tiền đầu tư ban đầu 10000 đô la, sau 10 năm từ 2003 – 2013 nhận số tiền 16904.75 la Tìm lãi suất hàng năm Lời giải Theo đề bài, ta có: P = 10000, A = 16904.75, n = 10 năm A = P × (1 + i )n ⇐⇒ 16904.75 = 10000 × (1 + i )10 → i = 0.0539 = 5.39% Vậy lãi suất hàng năm 5.39% 8.3 Niên kim, giá trị tương lai quỹ chìm Bài tập 3.4.5.6.7.8 Tìm giá trị tương lai niên kim thông thường với mức lương lãi suất cho (Xem Ví dụ 1, 2, (a) 4) R = 12000 đô la, lãi gộp 6,2% hàng năm năm Lời giải Ta có: Với mức lương R = 12, 000 đô la, i = 0.062 n = Giá trị tương lai niên kim: ¸ · ¸ (1 + i )n − (1 + 0, 062)8 − S =R× = 12, 000 × = 119, 625.61 đô la i 0, 062 · Báo cáo mơn Giải tích Kinh doanh – Học kỳ 202, năm học 2020-2021 Trang 75/84 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Quản Lý Cơng Nghiệp R = 20.000 đô la, lãi gộp 4, 5% hàng năm 12 năm Lời giải Ta có: Mức lương với R = 20, 000 đô la, i = 0.045 n = 12 Giá trị tương lai niên kim: ¸ · ¸ (1 + i )n − (1 + 0, 045)12 − = 20, 000 × = 309, 280.64 la S =R× i 0, 045 · R = 865 đô la, lãi gộp 6% nửa năm 10 năm Lời giải Ta có: Mức lương với R = 865 đô la, i = 0.06/2 n = 10 Giá trị tương lai niên kim: ¸ · ¸ (1 + i )n − (1 + 0, 06/2)10 − S =R× = 865 × = 23, 242.87 đô la i 0, 062 · R = 7300 đô la, lãi gộp 9% nửa năm năm Lời giải Ta có: Mức lương với R = 7300 đô la, i = 0.09 n = Giá trị tương lai niên kim: ¸ (1 + i )n − (1 + 0, 09)6 − S =R× ] = 7300 × [ = 112, 887.43 đô la i 0, 09 · R = 1200 đô la, lãi gộp 8$ hàng quý 10 năm Lời giải Ta có: Mức lương với R = 1200 đô la, i = 0.08 n = 10 Giá trị tương lai niên kim: ¸ · ¸ (1 + i )n − (1 + 0, 08)10 − S =R× = 1200 × = 72, 482.31 la i 0, 08 · R = 20.000 đô la, lãi gộp 6% hàng quý 12 năm Lời giải Ta có: Mức lương với R = 20, 000 la, i = 0.06 n = 12 Giá trị tương lai niên kim: ¸ · ¸ (1 + i )n − (1 + 0, 06)12 − S =R× = 20000 × = 1391, 304.39 la i 0, 06 · Bài tập 43 Một người mẹ mở tài khoản đầu tư cho trai vào ngày anh sinh ra, đầu tư $1000 Mỗi năm vào sinh nhật anh ấy, cô gửi thêm $1000, thực khoản tiền gửi cuối vào ngày sinh nhật thứ 18 anh sinh nhật Nếu tài khoản trả tỷ lệ hoàn vốn 5,6% cộng lại hàng năm, số tiền tài khoản vào ngày sinh nhật lần thứ 18 trai bao nhiêu? Lời giải Báo cáo mơn Giải tích Kinh doanh – Học kỳ 202, năm học 2020-2021 Trang 76/84 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Quản Lý Cơng Nghiệp Ta có : M = 1000 đô la, n = 18, i = 0.056 Vậy số tiền tài khoản vào ngày sinh nhật lần thứ 18 trai: ¸ · ¸ (1 + i )n − (1 + 0.056)18 − T =M× = 1000 × i 0.056 · Bài tập 44 Một người bà mở tài khoản đầu tư cho đứa cháu gái lớn vào ngày chào đời, đầu tư 500 đô la Mỗi năm vào sinh nhật cô ấy, bà gửi thêm 500 đô la nữa, khoản tiền gửi cuối thực vào ngày sinh nhật thứ 25 cô Nếu tài khoản trả tỷ lệ hoàn vốn 6,2% cộng lại hàng năm, số tiền tài khoản vào cuối vào ngày sinh nhật thứ 25 cháu gái? Lời giải Ta có : M = 500 la, n = 25, i = 0.062 Vậy số tiền tài khoản vào ngày sinh nhật lần thứ 25 cháu gái: ¸ · ¸ (1 + i )n − (1 + 0.062)25 − T =R× = 500 × i 0.062 · 8.4 Giá trị Trong Phần 5.2, thấy giá trị A đô la với lãi suất i kỳ cho n kỳ hạn số tiền gửi ngày hôm (với lãi suất) để tạo A đô la n kỳ Tương tự, giá trị niên kim (trái phiếu đồng niên) số tiền gửi vào ngày hôm (với lãi suất kép với niên kim) để cung cấp tất khoản toán cho thời hạn niên kim Không quan trọng liệu khoản tốn đầu tư để tích lũy hay trả để phân tán quỹ; số tiền cần trả hai trường hợp.Đầu tiên, bắt đầu với niên kim bình thường Ví dụ Người giàu có bạn mở khoản niên kim cho bạn, bạn nhận 1500 la cuối năm vịng sáu năm Nếu lãi suất 8%, cộng dồn hàng năm, tìm giá trị niên kim Lời giải Xét riêng khoản toán bạn nhận Sau tìm giá trị khoản toán - số tiền cần thiết để thực toán tương lai Tổng giá trị giá trị niên kim, cung cấp tất khoản tốn Để tìm khoản tốn 1500 đô la (đến hạn năm), cần phải tìm giá trị 1500 la với mức lãi suất 8% Theo công thức giá trị cho lãi kép trang 240 (với A = 1500, i = 0, 08 n = 1), giá trị là: Báo cáo môn Giải tích Kinh doanh – Học kỳ 202, năm học 2020-2021 Trang 77/84 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Quản Lý Công Nghiệp 1500 1500 = = 1500(1.08−1 )≈ 1388.89 đô la + 0.08 1.08 Số tiền tăng lên 1500 đô la năm Đối với khoản tốn 1500 la thứ hai (đến hạn sau hai năm), cần tìm giá trị 1500 đô la với lãi suất 8%,cộng gộp hai năm Công thức giá trị lãi suất kép (với A = 1500, i = 0, 08 n = 2) cho thấy giá trị là: 1500 (1 + 0.08) = 1500× (1.008)−2 ≈ 1286.01 la Cần tiền cho lần toán thứ hai khoản tiền tăng lên hai năm thay năm Một phép tính tương tự cho thấy khoản toán thứ ba (đến hạn ba năm) có giá trị $ 1500 × (1008)−3 Tiếp tục theo cách để xác định giá trị khoản tốn cịn lại, tóm tắt Hình 5.13 Cột bên trái Hình 5.13 cho thấy giá trị là: 1500 × 1.08−1 + 1500 × 1.08−2 + +1500 × 1.08−3 + 1500 × 1.08−4 + 1500 × 1.08−5 + 1500 ì 1.086 Ă Â = 1500 1.081 + 1.082 + 1.08−3 + 1.08−4 + 1.08−5 + 1.08−6 Bây giờ, áp dụng công thức ô trang 252 cho biểu thức ngoặc đơn (với x = 1, 08 n = 6) Nó cho thấy tổng (giá trị niên kim) là: ¸ · ¸ 1−1.08−6 − 1.08−6 1500 = 1500 = 6934.32đô la 1.08 − 0.08 · Số tiền cung cấp cho tất sáu khoản toán quay trở lại số dư vào cuối năm thứ (giá trị tăng giảm vài xu làm trịn bước) Ví dụ mơ hình để xác định cơng thức cho giá trị tương lai giá trị thông thường niên kim Giả sử khoản tốn R la thực vào cuối kỳ cho n kỳ hạn, với lãi suất i kỳ.Vậy giá trị niên kim tìm cách sử dụng quy trình Ví dụ 1, với thay sau: Báo cáo môn Giải tích Kinh doanh – Học kỳ 202, năm học 2020-2021 Trang 78/84 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Quản Lý Công Nghiệp 1500 0.08 1.08 ↓ ↓ ↓ ↓ R i 1+i n Giá trị tương lai Ví dụ tổng phương trình (1) , trở thành P = R[(1 + i)−1 + (1 + i)−2 + (1 + i)−3 + + (1 + i)−n ] Áp dụng công thức ô trang 252 cho biểu thức ngoặc (với x = + i ) Sau được: ¸ · ¸ − (1 + i )−n − (1 + i )−n =R P =R (1 + i ) − i · [0.5cm] Số lượng dấu ngoặc phần bên phải phương trình trước đơi ghi an|i (đọc “a - góc - n i”) Vậy nên tóm gọn lại Định nghĩa Giá trị P niên kim thông thường Giá trị P niên kim thơng thường cho bởi: ¸ − (1 + i )−n P =R P = R×an|i i · Trong đó: R khoản toán vào cuối kỳ, i lãi xuất kỳ, n số kỳ Chú ý: Đừng nhầm lẫn công thức cho giá trị niên kim với công thức cho giá trị tương lai niên kim Lưu ý khác biệt: Tử số phân số công thức giá trị − (1 + i )−n , cơng thức gía trị tương lai (1 + i )n − Ví dụ Jim Riles bị tai nạn tơ Anh ta kiện người có lỗi nhận thỏa thuận đền bù sau, cơng ty bảo hiểm trả cho 600 đô la cuối tháng bảy năm Vậy với mức lãi suất 4,7%, cộng dồn hàng tháng, số tiền công ty bảo hiểm cần đầu tư để đảm bảo tất khoản tốn thực bao nhiêu? Lời giải Báo cáo mơn Giải tích Kinh doanh – Học kỳ 202, năm học 2020-2021 Trang 79/84 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Quản Lý Cơng Nghiệp Các khoản tốn tạo thành niên kim thông thường Số tiền cần đầu tư để trả cho tất khoản toán giá trị niên kim Áp dụng công thức giá trị với: R = 600, n = × 12 = 84, i = 0,047/12 (lãi suất tháng) Bảo hiểm công ty nên đầu tư: ¸ · ¸ − (1 + i )−n − (1 + 0.047/12)−84 P =R = 600 = 42,877.44 la i 0.047/12 · Ví dụ Để tăng thêm lương hưu năm đầu nghỉ hưu, Ralph Taylor dự định sử dụng 124.500 đô la tiền tiết kiệm khoản tiền hàng năm thơng thường tạo khoản tốn hàng tháng cho 20 năm Nếu lãi suất 5,2% tốn được? Lời giải Giá trị niên kim P = 124, 500 đô la, lãi suất hàng tháng i = 0, 052/12 n = 12.20 = 240 (số tháng 20 năm) Giải công thức giá trị gửi trước cho khoản tốn hàng tháng R : ¸ · − (1 + i )−n P =R i · ¸ − (1 + 0.052/12)−240 124, 500 = R 0.052/12 R = 835.46 la Ví dụ Surinder Singh Maria Gonzalez sinh viên tốt nghiệp Trường đại học Kenyon Cả hai đồng ý đóng góp vào quỹ tài trợ trường đại học Sinah nói anh cho 500 la vào cuối năm năm Gonzalez muốn đóng góp lần vào ngày hơm Cơ nên tặng để với giá trị quà Sinah, giả sử quỹ tài trợ thu lãi 7,5%, cộng gộp hàng năm? Lời giải Món quà Sinah khoản tiền hàng năm thông thường với khoản tốn hàng năm 500 la năm Giá trị tương lai với lãi suất kép 7,5% hàng năm là: ¸ · ¸ (1 + i)n − (1 +0.075)9 − S=R = 500 = 6114.92 đô la i 0.075 · Chúng ta nói để Gonzalez có khoản đóng góp này, hơm nên đóng góp số tiền giá trị niên kim này, cụ thể là: ¸ · ¸ − (1 + i )−n − (1 + 0.075)−9 P =R = 500 = 3189.44 đô la i 0.075 · Báo cáo mơn Giải tích Kinh doanh – Học kỳ 202, năm học 2020-2021 Trang 80/84 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Quản Lý Cơng Nghiệp Để xác định yêu cầu này, giả sử giá trị P = 3189, 44 đô la gửi hôm mức 7,5% lãi kép hàng năm năm Theo công thức lãi kép trang 233, P phát sinh thành: 3189.44(1 + 0.075)9 = 6114.92 đô la Vì vậy, vào cuối năm, Gonzalez Sinah có tiền tặng giống hệt Ví dụ minh họa mô tả thay sau giá trị "Niên kim tích lũy" Lưu ý: Giá trị niên kim để tích lũy tiền khoản tiền gửi phải thực hôm để tạo giá trị tương lai niên kim (giả sử mức lãi suất khoảng thời gian) Trái phiếu công ty, giới thiệu Phần 5.1, thường mua bán thị trường tài Trong hầu hết trường hợp, lãi suất trái phiếu bán khác với lãi suất trả trái phiếu (được gọi lãi suất coupon) Trong trường hợp vậy, giá trái phiếu mệnh giá nó, mà thay vào dựa lãi suất hành Ví dụ cho thấy điều thực Ví dụ Một trái phiếu 10.000 đô la kỳ hạn 15 năm với lãi suất coupon 5% phát hành nhiều năm trước bán Nếu lãi suất trái phiếu tương tự 7%, người mua nên sẵn sàng trả cho trái phiếu này? Lời giải Theo công thức lãi suất đơn giản (trang 226), tiền lãi trả trái phiếu nửa năm là: I = P r t = 10,000 × 0.05 × = 250 la Hãy nghĩ trái phiếu khoản đầu tư gồm hai phần: Đầu tiên khoản tiền theo niên kim trả 250 đô la cho sáu tháng 10 năm tiếp theo; thứ hai mệnh giá 10.000 đô la trái phiếu, toán trái phiếu đáo hạn, 10 năm kể từ Người mua nên sẵn lịng tốn giá trị phần đầu tư, giả sử lãi suất 7%, cộng lại bán hàng năm Lãi suất kỳ i = 0.07/2, số kỳ hạn sáu tháng thời gian 10 năm n = 20 Vậy ta có: Giá trị niên kim ¸ · ¸ − (1 + 0.07/2)−20 − (1 + i )−n =250 = 3553.10 đô la P =R i 0.07/2 · Giá trị 10.000 đô la 10 năm P = A (1 + i)−n = 10,000(1 + 0.07/2)−20 = 5025.66 đô la Vì vậy, người mua nên sẵn sàng trả tổng hai giá trị này: 3553.10 + 5025.66 = 8578.76 la Lưu ý: Ví dụ kiểm tra lại minh họa mối quan hệ nghịch đảo lãi suất giá trái phiếu: Nếu lãi suất tăng, giá trái phiếu giảm, lãi suất giảm, giá trái phiếu tăng Báo cáo mơn Giải tích Kinh doanh – Học kỳ 202, năm học 2020-2021 Trang 81/84 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Quản Lý Công Nghiệp Bài tập 63 Một công ty bảo hiểm trả 4000 đô la cho máy in cho máy tính Số tiền phân bổ khoản vay cho máy in lần toán hàng năm mức 8% cộng lại hàng năm Chuẩn bị lịch trình trả tiền hiển thị bốn khoản tốn cho khoản vay Lời giải Nếu công ty định trả 4000 la, khơng cần khoản tốn Do đó, 4000 đô la giá trị niêm kim R đô la, với n = kỳ i = 0.08 kỳ Nếu P giá trị niên kim Thay vào ta được: ¸ − (1 + i )−n P =R · i ¸ − (1 + 0.08)−4 4000 = R 0.08 · R ≈1207.68 Vậy: Khoản phải trả kỳ 1276.68 đô la Các công thức quan trọng: Danh sách biến r tỷ lệ lãi suất năm m số kỳ hạn năm i tỷ lệ lãi suất kỳ hạn i= t số năm n số lượng kỳ hạn P giá trị ban đầu giá trị A giá trị tương lại tiền gửi S giá trị tương lai niên kim R khoản toán định kỳ theo niên kim B số dư lại khoản vay Lãi Lãi Lãi đơn Lãi kép I = Pr t I = A −P Giá trị tương lai A = P (1 + r t ) A = P (1 + i )n Giá trị P= A 1+r t P= A (1 + i )n Tỷ lệ hiệu (APY)r e = (1 + Báo cáo mơn Giải tích Kinh doanh – Học kỳ 202, năm học 2020-2021 r m n = tm r m ) −1 m Trang 82/84 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Quản Lý Công Nghiệp Chiết khấu Lãi liên tục Nếu D chiết khấu tín phiếu có mệnh giá P với lãi suất đơn r t năm, D = Prt Nếu P la gửi t năm với lãi suất r năm, cộng dồn liên tục, khoản cộng dồn (giá trị tương lai) A = Pert Giá trị P A đô la với tỷ lệ lãi suất r năm cộng lại liên tục t năm là: P= A ert Niên kim ¸ (1 + i )n − S =R× = R × s n|i i · ¸ − (1 + i )−n S =Rì = R ì a n|i i à (1 + i )n+1 − S =R× −R i · ¸ − (1 + i )−(n−1) − S = R +R × −R i · Niên kim cuối kỳ Giá trị tương lai Giá trị Niên kim đầu kỳ Giá trị tương lai Giá trị 8.5 Tóm tắt Ơn tập Bài tập Tìm lãi đơn cho khoản vay sau: 4920 đô la với lãi suất 6,5%trong 11 tháng 42,368 đô la với lãi suất 9,22% tháng 3478 đô la với lãi suất 7,4% 88 ngày 2390 đô la với lãi suất 8,7% từ 3/5 đến 28/7 Lời giải 1) Lãi đơn cho 4920 đô la với lãi suất 6,5%trong 11 tháng là: I = P r t =4920 × 0, 065 × 11 = 293,15 đô la 12 2) Lãi đơn cho 42,368 đô la với lãi suất 9,22% tháng là: I = P r t = 42, 368 × 0, 0922 × = 1,628 đô la 12 3) Lãi đơn cho 3478 đô la với lãi suất 7,4% 88 ngày là: I = P r t = 3478 × 0, 074 × 88 = 62,05 la 365 4) Lãi đơn cho 2390 đô la với lãi suất 8,7% từ 3/5 đến 28/7 là: I = P r t =2390 × 0, 087 × 56 = 31,901 la 365 Báo cáo mơn Giải tích Kinh doanh – Học kỳ 202, năm học 2020-2021 Trang 83/84 Tài liệu tham khảo [1] Hoffmann, Laurence D - Calculus for business, economics, and the social and life sciences - McGraw - Hill Higher Education _ London McGraw-Hill [distributor] (2013) 84 ... Lời giải Cho u = x − 2, Ta có:  g (u) = + 4u u h(x) = x − Báo cáo mơn Giải tích Kinh doanh – Học kỳ 202, năm học 2020-2021 Trang 9/84 CHƯƠNG Phép lấy đạo hàm: Các khái niệm 2.1 Đạo hàm Bài tập. .. xác định đạo hàm tích thương số, đạo hàm cấp cao 2.4 Phép lấy vi phân tìm đạo hàm tốc độ tương đối 2.5 Bài tập ôn tập 4 10 10 11 14 15 16 Các Ứng... cáo mơn Giải tích Kinh doanh – Học kỳ 202, năm học 2020-2021 Trang 36/84 CHƯƠNG Phép lấy tích phân 5.1 Định nghĩa phép lấy tích phân phương trình vi phân Mục tiêu Nghiên cứu phép lấy tích phân