TRƯỜNG THCS KỲ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 01 trang) có đáp án chi tieetrs theo cấu trúc đề thi hsg tingr ĐỀ THI MÔN Toán Thời gian 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI Câu 1 (4 0 điểm).
TRƯỜNG THCS HẢI HÀ ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 01 trang) KỲ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022-2023 ĐỀ THI MƠN: Tốn Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI Câu 1: (4.0 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện x, y để giá trị A xác định b) Rút gọn A c) Nếu x; y số thực làm cho A xác định thoả mãn: 3x + y2 + 2x – 2y = 1, tìm tất giá trị nguyên dương A? Câu 2: (4.0 điểm) Giải phương trình sau: + = + a) x +5 x + x + 10 x +24 x + x −18 b) b/ Cho a + b + c = 2014 Tính: S = Câu 3: (4.0 điểm) Tìm số dư phép chia biểu thức cho đa thức 2 Giải phương trình: x – y2 + 2x – 4y – 10 = với x,y nguyên dương Câu 4: (6.0 điểm) Cho hình bình hành ABCD Gọi E, F theo thứ tự trung điểm cạnh AD, BC Đường chéo AC cắt đường chéo BD O đoạn BE, DF P, Q 1) Chứng minh rằng: P trọng tâm tam giác ABD 2) Chứng minh rằng: AP = PQ = QC 3) Lấy M thuộc đoạn DC Gọi I, K theo thứ tự điểm đối xứng M qua tâm E, F Chứng minh I, K thuộc đường thẳng AB 4) Chứng minh: AI + AK không đổi M thuộc đường thẳng AB Câu 5: (2.0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 b) Cho hai số a,b thỏa mãn điều điều kiện a + b = Chứng minh a3 + b3+ ab Hết (Cán coi thi khơng giải thích thêm) Họ tên thí sinh: ;, Số báo danh: Nội Dung Câu Điể m Cho biểu thức a) Tìm điều kiện x, y để giá trị A xác định 4.0 đ b) Rút gọn A c) Nếu x; y số thực làm cho A xác định thoả mãn: 3x + y2 + 2x – 2y = 1, tìm tất giá trị nguyên dương A? a) Điều kiện: x y; y 0.5 b) A = 2x (x+y) 1,75 c) Cần giá trị lớn A, từ tìm tất giá trị nguyên dương A Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) =1 0.5 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + = A + (x – y + 1)2 = A = – (x – y + 1)2 (do (x – y + 1) (với x ; y) A Câu 0,5 + A = + A = 0.25 Từ đó, cần cặp giá trị 0.25 0.25 x y, chẳng hạn: + Vậy A có giá trị nguyên dương là: A = 1; A = Câu Giải phương trình sau: + = + a) x +5 x + x + 10 x +24 x + x −18 b) b/ Cho a + b + c = 2014 4.0 đ Tính: S = a) ĐKXĐ: x ≠ -1; -4; -6; 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 x = x = (thỏa mãn điền kiện) Vậy tập nghiệm phương trình: S = b/ Ta có: a + b + c = 2014 a = 2014- (b + c); b = 2014-(a + c); c = 2014 - (a + b) Do đó: 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 = Vậy S = - 0.5 Tìm số dư phép chia biểu thức cho đa thức 2 Giải phương trình: x – y + 2x – 4y – 10 = với x,y nguyên dương c) Đặt Câu Câu , biểu thức P(x) viết lại: Do chia cho t ta có số dư 2000 2 d, x – y + 2x – 4y – 10 = với x,y nguyên dương x2 - y2 + 2x - 4y - 10 = (x2+2x+1) - (y2+4y+4) – = (x+1)2 - (y+2)2 = (x – y - 1)(x + y + 3) = Vì x, y nguyên dương Nên x + y + > x – y – > x + y + = x – y – = x = 3; y = Phương trình có nghiệm dương (x , y) = (3 ; 1) Cho hình bình hành ABCD Gọi E, F theo thứ tự trung điểm cạnh AD, BC Đường chéo AC cắt đường chéo BD O 4.0 đ 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 đoạn BE, DF P, Q 1) Chứng minh rằng: P trọng tâm tam giác ABD 2) Chứng minh rằng: AP = PQ = QC 3) Lấy M thuộc đoạn DC Gọi I, K theo thứ tự điểm đối xứng M qua tâm E, F Chứng minh I, K thuộc đường thẳng AB 4) Chứng minh: AI + AK không đổi M thuộc đường thẳng AB Vì ABCD hình bình hành nên hai đường chéo AC, BD cắt O trung điểm đường Ta có: AO, BE trung tuyến ABD Mà: AO cắt BE P nên P trọng tâm ABD Theo câu 1) P là trọng tâm ABD 0.5 0.5 0.5 0.5 Tương tự, ta có: 0.5 Do đó: PQ = AC – AP – CQ = Vậy AP = PQ = QC Vì I đối xứng với M qua E nên EI = EM Ta có: AE = ED, EI = EM AMDI hình bình hành AI // MD (1) Chứng minh tương tự, ta có: BK // MC (2) Từ (1), (2) (3) suy I, A, B, K thẳng hàng hay I, K thuộc đường thẳng AB KMI có E, F trung điểm MI, MK EF đường trung bình KMI 0.5 KI = 2.EF Suy AI + AK = IK = 2.EF (4) BF // AE AF = AE Tứ giác ABFE hình bình hành EF = AB (5) Từ (4) (5) suy ra: AI + AK = 2.AB không đổi M di động cạnh CD 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 13x + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2.0 đ 2015 b) Cho hai số a,b thỏa mãn điều điều kiện a + b = Chứng minh a3 + b3+ ab a) A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 = y2 + 4xy - 2y + 13x2 - 16x + 2015 = y2 + 2y(2x - 1) + (2x -1)2 + 9x2 - 12 x + 2015 = (y + 2x - 1) + (3x 2)2 + 2010 Chứng tỏ A 2010, dấu " =" xảy (x = Vậy A = 2010 (x = b) Ta có a3+ b3 + ab a2+b2b = 1- a) ;y= 2a2+2 - 4a + 2a2 - ) 0.5 ) (1) a3+b3+ab - (vì a + b =1) ;y= 0.5 2a2+2b2-1 (a+b)(a2+ b2-ab) + ab2a2+2(1-a)2-1 (vì 0.5 4(a2- a + ) đpcm 1 4 a 2 (2) 0.5 Lưu ý chấm bài: - Điểm toàn làm tròn đến 0,25 điểm - Trên sơ lược bước giải, lời giải thí sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu thí sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng ... trị nguyên dương là: A = 1; A = Câu Giải phương trình sau: + = + a) x +5 x + x + 10 x +24 x + x − 18 b) b/ Cho a + b + c = 2014 4.0 đ Tính: S = a) ĐKXĐ: x ≠ -1; -4; -6; 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5