Đề khảo sát đội HSG môn Toán 9 năm 2019-2020 Trường THCS Lê Trung Kiên

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nh[r]

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | TRƯỜNG THCS LÊ TRUNG KIÊN

KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2019 – 2020

MƠN THI: TỐN

Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Câu ( 3,0 điểm )

a) Giải phương trình sau: 2x25x 3  2x25x 7 5 b) Giải phương trình: 2 2

3(x 2x 1) 2(x 3x 1) 5x 0

c) Cho

f (x) x 6x 12. Giải phương trình: f(f(f(f(x)))) = 65539

2) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x2 + 4x + = y4

Câu ( 2,0 điểm ).

a) Cho A = a + b + c + m + n + p, B = ab + bc + ca – mn – np – pm C = abc + mnp Biết a, b, c, m, n, p số nguyên dương B, C chia hết cho A Chứng minh A hợp số

b) Cho x, y số hữu tỉ thỏa mãn đẳng thức:

2

2 xy

x y

x y

  

   



  Chứng minh:

1 xy là số hữu tỉ

c) Cho hai số a b thỏa mãn a > 0, b > Xét tập hợp T số có dạng: T = { ax + by }, x y số thỏa mãn x,y > x + y = Chứng minh số:

2ab

a b ab thuộc tập hợp T

Câu ( 1,0 điểm ) Cho x, y, z số thực thuộc đoạn [ ;4 ] Tìm giá trị lớn biểu thức sau:

P xy(x y)  yz(y z)  zx(z x)

Câu ( 3,0 điểm ) Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) M, N nằm cạnh BC cho M nằm N B Lấy điểm P, Q AM, AN cho BP, CQ vng góc với BC Gọi K, J lần lượt tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ, AMN L hình chiếu K AJ E là trực tâm tam giác AMN, S hình chiếu E MN và F trung điểm MN

Tính AE theo MJ MN.

a) Gọi R hình chiếu Q trên đoạn thẳng BP D giao điểm hai đường thẳng

b) Chứng minh rằng: RD.PM.AL + NC.AL.PD = JL.BC PD

Câu 5: ( 1,0 điểm ) Cho a1, a2, …., an ( n 3) số thực Chứng minh rằng: Khi ai, aj, ak độ dài ba cạnh tam giác, i, j, k số tự nhiên thỏa mãn điều kiện < i < j < k  n Biết n số thực số thỏa mãn: (a1 a2 a )n 3n (a + a + + a )12 22 n2

3 

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2019 – 2020

MƠN THI: TỐN

HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN

A LƯU Ý CHUNG

- Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa

- Điểm toàn tính đến 0.25 khơng làm trịn

- Với hình học học sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần

B ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

Câu Ý Lời giải Điểm

a Giải phương trình: ĐKXĐ:

Đặt , phương trình trở thành:

0.5

- Khi đó, ta có: = a

( thỏa mãn ĐKXĐ ) 0.5

Kết luận: Vậy phương trình có tập nghiệm S =

b Cho Giải phương trình: f(f(f(f(x)))) = 65539

Theo đề bài, ta có: f(x) = 0.25

-

Khi đó: (x – 3)16

+ = 65539 16 16

(x 3) 65536

    x

x          x x       Kết luận: Vậy phương trình có tập nghiệm S = {5; 1}

0.2 0.2 0.5

c Giải phương trình: 2 2

3(x 2x 1) 2(x 3x 1) 5x 0

Do x = khơng nghiệm phương trình, chia hai vế phương trình ban đầu cho x2ta

2

1

3 x 2 x

x x

   

      

   

    Đặt y =

1 x

x

 phương trình trở thành:

2 2 y

3(y 2) 2(y 3) y y                -

Suy :

1

x x

x .

1 1 5

x x

x 2                     

Kết luận: Vậy tập nghiệm phương trình là: S = 1;

2            

Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x2 + 4x + = y4

Nhân vế phương trình ban đầu, ta phương trình tương đương với phương trình cho: 4x2

+ 16x + = 4y4 2

(2x 2y )(2x 2y ) 12

      -

Xét cặp giá trị x y , ta x = –4, y = thỏa mãn điều kiện đề

Kêt luận: Vậy x = – 4, y =

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

Ta có:

2

2 xy

x y

x y          

2 xy

(x y) 2(xy 1)

x y             

2 xy xy

(x y) 2(x y)

x y x y

               xy

x y

x y            xy x y x y     

1 xy (x y) xy x y

       

-

Vì x, y số hữu tỉ nên |x + y| số hữu tỉ, suy xy số hữu tỉ

Kết luận: Vậy xy số hữu tỉ

0.25

0.25

Cho hai số a b thỏa mãn a > 0, b > Xét tập hợp T số có dạng: T = { ax + by }, x y số thỏa mãn x,y > x + y = Chứng minh số:

2ab

a b abđều thuộc tập hợp T

a

Xét đa thức f(x) = (x + a)(x + b)(x + c) – (x – m)(x – n)(x – p) Khai triển rút gọn, ta được:

Ax Bx C.

-

Vì B C chia hết cho A nên f(x) A x Z.Do đa thức f(m) A hay (m+a)(m+b)(m+c) A

-

Nếu A số nguyên tố số phải có số chia hết cho A, vơ lí số nguyên dương nhỏ A Do đó, A phải hợp số

Kết luận: Vậy A hợp số

0.5 0.5 0.2 0.2 b

Cho x, y số hữu tỉ thỏa mãn:

2

2 xy

x y

x y

  

   



  Chứng minh rằng:

c

Ta tìm x, y > thỏa mãn x + y = cho:

2ab ab b

= ax + by = ax (1 x) b (a b) x

a b a b



    

 

b a

x ,y

a b a b

  

  thỏa

mãn: ( x; y ) (0;1),x y 1.  Vậy 2ab T a b 

-

Chứng minh tương tự: abax by ax (1 x) b   (a b) x ab b

ab b b a

x ,y

a b a b a b



   

   thoả mãn ( x; y ) (0;1),x y 1.  Vậy abT

-

Kết luận: Vậy số 2ab

a b abđều thuộc tập hợp T

0.25

0.25

Cho x, y, z số thực thuộc đoạn [ ;4 ] Tìm giá trị lớn biểu thức sau:

P xy(x y)  yz(y z)  zx(z x)

0.25 Đặta x,b y,c z.Khi đó, ta có:

2 2 2

0 a,b,c 2; A  ab(a b ) bc(b c ) ca(c a ) Do số a, b, c có vai trị hốn vị vịng quanh biểu thức A nên khơng tính tổng qt, ta giả sử a b,a c 

Ta có: A = 2 2 2

Aab(a b ) bc(b c ) ca(c a )= 2 3 ab(a b ) b c c b c a   –

3 2 2 2

a c ab(a b ) c(b a)(b    ba a c )ab(a b )( c(b a) 0; b2ba

2 2

a    c a c 0) 2 2b(a b ) 2b(4 b )

    (vì 0  b a 2)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

Đặt B =

2b(4 b ) 0.Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho số khơng âm, ta có:

2 2 10

2 2 2 2

3 2b b b B 4b (4 b ) 2.2b (4 b )(4 b )

3                  -

Do đó: A B 32

 

Đẳng thức xảy khi:

2 2

2

2

2

a c(b a)(b ab a c )

b(a b )(2 a)

b

3 b(4 a )

c 2b b

                            

Kết luận: Vậy giá trị lớn A 32

9 đạt (x; y; z) = 4; ;

3

 

 

  hoán vị

0.5 0.2

Tính AE theo MJ MN.

0.2 0.2 0.2 0.2 Kẻ đường kính AH đường trịn ( J )

Dễ thấy tứ giác MECH hình bình hành, F trung điểm MN nên F trung điểm EH.

Suy : JF đường trung bình tam giác AEH AE2JF Mặt khác, F trung điểm MN nên MF 1MN

2

 JF vuông góc với MN tại F

Áp dụng định lí Pythagores vào tam giác JFM vng F, ta có: 2 JF MJ MF

2 2

MJ MN MJ MN

2

 

    

 

2

AE 2JF MJ MN

    Vậy AE = MJ2 1MN2

4

2

a Gọi R hình chiếu Q trên đoạn thẳng BP D giao điểm hai đường t thẳng QR AP, kẻ đường kính AT đường trịn (K). Chứng minh rằng: AL CQ ++ QR KL = AL BP và MS.MB.PD2 = MA.MP.RD2

KALMAJ PAK MNH PQT (90 ANM) (90  AQP)AQP ANM

Vì MN // RQ ( vng góc với BP ) nên ANM AQR( đồng vị ) Suy ra: KAL AQP AQR PQR

  

Khi đó: AKL QPR(g.g) AL QR KL PR

  AK QP AL QR(1)

Từ AL QR

KL  PR AL.PR = QR KL AL(BP BR) QR.KLAL BP AL 

0.2

BR QR KL AL BR QR KL AL BP

Dễ thấy tứ giác BCQR hình chữ nhật nên BR = CQ Suy ra: AL CQ QR KL AL BP



-

MSA

 MBP(g.g) MS MA

MB MP

  (*); PRD PBM(g.g) RD PD

BM PM

 

RD.PM BM.PD

BM ; MP

PD RD

  

-

Khi đó, (*) tương đương với: MS MA MS.PD MA.RD

RD.PM BM.PD RD.PM BM.PD

PD RD

   

MS.MB.PD2 = MA.MP.RD2

Vậy AL CQ QR KL AL BPvà MS.MB.PD2 = MA.MP.RD2

0.2

0.2

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | PTQMHN( bù với MAN) PTKKTQMHANHA

180 PKT 180 TKQ 180 MJH 180 HJN

2 2

       

    360 PKQ 360  MJN

PKQ MJN

 

Mà: JM KP( 1)

JN KQ  nên JMN KPQ(c.g.c)

JM MN

KP PQ

  (2)

-Lại có: AJ AK( 1) AJ JM JM  KP   AK KP (3) Từ (1), (2) (3) ta có:

AJ AJ AK JM QP MN QP MN

AL  AK AL KP QR PQ QR QR , mà QR = BC ( BCQR hình chữ nhật ) nên: AJ

AL

MN BC 

-

Suy ra: AL JL BC BM NC JL BM NC

AL BC AL BC BC

         BM NC JL

BC BC AL

  

Mà BM RD.PM PD

 (chứng minh ) nên RD.PM NC JL PD.BC BCAL RD.PM NC.PD JL

PD.BC AL 

   RD.PM.AL + NC.AL.PD = JL.BC PD

Vậy RD.PM.AL + NC.AL.PD = JL.BC PD

5

0.2

0.2

Giả sử có số khơng độ dài ba cạnh tam giác, chẳng hạn a1, a2, a3

và a1 + a2 < a3 ( )

-

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho hai dãy, dãy có n – số thực : + Dãy 1: 2

1 n

a a a ,a ,a , ,a + Dãy 2:

3và n – số Ta có:

2

2 2 2

1 n n

8

(a a a ) a a a n (a a a )

3

   

           

   

   

 

2

3n 1  

0.2

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11





2 2 2 2

1 3 n

8

a a a (a a a ) a a a

3

 

         

 

2 2

1 3

8

a a a (a a a )

      2 2

1 3

3(a a a ) 8(a a a )

     

2

1 2 3

5(a a a ) 6(a a a a a a )

      ( 2)

-

Giả sử: a3 a1 a2x ( x > ), thay vào ( ) ta được:

2 2

1 2 2

5 a a (a a x) 6 a a (aa )(a a x) Khai triển rút gọn, ta được: 2

1 2

4(a a ) 8a a 5x 4x(aa )0 hay

2

1 2

4(aa ) 5x 4x(aa )< Bất đẳng thức không xảy biểu thức vế trái dương Vậy giả thiết (1 ) sai

Kết luận: Vậy ai, aj, ak độ dài ba cạnh tam giác, i, j, k số tự nhiên thỏa mãn điều kiện < i < j < k  n

0.2

0.2

HẾT

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng

xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường

Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia