ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN HỌC LỊCH SỬ HÌNH THÀNH TÍCH PHÂN HỌC PHẦN HOẠT ĐỘNG TRẢI NGHIỆM SÁNG TẠO Phạm Bá Ngọc Hưng Giáo viên hướng dẫn Nguyễn Thị Thu Hằng Nguyễn Đăng Minh Phúc Ng[.]
ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN HỌC - LỊCH SỬ HÌNH THÀNH TÍCH PHÂN HỌC PHẦN : HOẠT ĐỘNG TRẢI NGHIỆM SÁNG TẠO Phạm Bá Ngọc Hưng Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Thị Thu Hằng Nguyễn Đăng Minh Phúc Ngơ Thị Anh Thư Đồn Hạnh Ngun Lớp: Toán 2T Huế, tháng 03 năm 2022 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN TRƯỚC NEWTON VÀ LEIBNIZ 1.1 Diện tích, số khái niệm giới hạn thời cổ đại 1.1.1 Hình học Babilon Hình học Ai cập 1.1.2 Hình học Hy Lạp thời cổ đại 1.1.3 Đoạn thẳng vơ ước Phương pháp hình học giải toán đại số 1.1.4 Eudoxus Phương pháp vét cạn 1.2 Những đóng góp Archimedes hình thành khái niệm tích phân 1.2.1 Đo hình trịn 1.2.2 Cầu phương parabola 1.2.3 Archimedes calculus 1.3 Tính khơng chia nhỏ kĩ thuật vơ bé 1.3.1 Kĩ thuật vô bé Johannes Kepler 1.3.2 Tính khơng chia nhỏ Bonavetura Cavalieri 1.3.3 Cầu phương số học (Arithmetical Quadratures) 1.4 Tiếp tuyến 1.4.1 Phương pháp giải phương trình Fermat 1.4.2 Quan hệ tiếp tuyến cầu phương CHƯƠNG HỒN CHỈNH KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN SAU NEWTON VÀ LEIBNIZ 2.1 Phát triển tích phân Isaac Newton 2.1.1 Khái niệm vi phân đạo hàm Newton 2.1.2 Nguyên lí phép tính tích phân 2.1.3 Quy tắc xích phép lấy tích phân phép 2.2 Phát triển tích phân Gottfriend Wilhelm Leibniz 2.2.1 Khởi đầu: Tổng Sai phân 2.2.2 Tam giác đặc trưng 2.2.3 Sự phát minh calculus giải tích 2.2.4 Các kết Newton Leibniz 2.3 Thời đại Euler 2.3.1 Khái niệm hàm số 2.3.2 Tính vi phân hàm Euler 2.4 Hồn thiện tích phân Cauchy Riemann 2.4.1 Đóng góp Cauchy hồn thiện khái niệm tích phân 2.4.2 Đóng góp Riemann hồn thiện khái niệm tích phân KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN TRƯỚC NEWTON VÀ LEIBNIZ\ Tốn học thực hình thành, phát triển có ứng dụng thực tế khoảng kỷ V trước Công nguyên, vào thời đại văn minh cổ đại: Nền văn minh Ai Cập, Babylone, văn minh Hy Lạp,… Ngay thành tựu toán học thời kì có mầm mống phép tốn vi phân tích phân (calculus) Chương chúng tơi trình bày ý tưởng sơ khai hình thành khái niệm tích phân đóng góp Archimedes 1.1 Diện tích, số khái niệm giới hạn thời cổ đại 1.1.1 Hình học Babilon Hình học Ai cập Hình học Ai Cập: Những thành tựu hình học toán học Ai Cập Hy Lạp sở cho phát triển nhiều ngành tốn học đại, có calculus (phép tính vi phân tích phân) Những bảng đất sét người Hy Lạp cổ đại sau giải mã, cho biết nhiều thông tin hiểu biết hình học người xưa Thí dụ, giấy cói toán học Rhind Papyrus chứa số toán lời giải, có khoảng 20 tốn tính diện tích cánh đồng thể tích kho thóc Mỗi tốn phát biểu ngơn ngữ số cụ thể, chữ lời giải chúng không rõ công thức tổng qt phương pháp chung Diện tích hình chữ nhật tích đáy nhân chiều cao coi biết Diện tích hình bình hành tính cách đưa hình chữ nhật nhờ cắt dán tam giác (Hình 1.1) Diện tích tam giác tính cách nhân nửa cạnh đáy với chiều cao (Hình 1.2) , nửa diện tích hình bình hành (hình bình hành hai tam giác ghép lại) (Hình 1.3) Bài tốn tính diện tích hình thang cân có đáy 4, chiều cao 20 tính nửa tổng hai đáy “giống hình chữ nhật” nhân với chiều cao, kết đáp số 100 (Hình 1.4) Bài toán toán tương tự cho phép giả thiết cách tính diện tích người Ai Cập dựa phương pháp cắt (elementary dissection Hình 1.1 Hình 1.2 Hình 1.3 Hình 1.4 method), hay kĩ thuật cắt hình (đa giác) thành tam giác dán tam giác lại để hình chữ nhật Người Ai Cập biết gần số π Một bảng đất sét mô tả cách tính diện tích hình trịn bình phương đường kính sau: Chia cạnh hình vng ngoại tiếp đường trịn đường kính d làm ba phần cắt bốn tam giác bốn góc (Hình 1.5) Khi diện tích bát giác (xấp xỉ diện tích hình trịn) Hình 1.5 là: ( ) 63 A= d = d = d 81 Vì diện tích hình tròn π r 2, ta suy π ≈3.16 Toán học Babilon: Người Babilon biết đặt giải toán đại số số phương trình hệ phương trình bậc hai Ví dụ, họ giải tốn sau đây: “Tìm chiều dài cạnh hình vng cho biết diện tích trừ chiều dài cạnh 870” Ngày ta dễ dàng đặt phương trình x 2−x=870 , tìm thấy đáp số 30 Neugebauer phát sưu tập Louvre tài liệu từ thời vua Nabuchodonosor (vua Babilon 605 – 562 trước CN), có ghi hai chuỗi số: 9 1+2+2 +2 +…+2 =2 + −1 [ ( ) ( )] 1+22 +32 +…+102 = 1 +10 55=385 3 Một câu hỏi chưa có câu trả lời là: Khi tìm công thức trên, người Babilon biết công thức tính tổng số hạng cấp số nhân tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp chưa? n ∑ s i= i=0 s n+ ; s−1 n ∑ j=1 j 2= n ( n+1 ) (2 n+1 ) ; n ∑ j 2= j=1 [ ] 2n + ¿¿ 3 ... CHƯƠNG HỒN CHỈNH KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN SAU NEWTON VÀ LEIBNIZ 2.1 Phát triển tích phân Isaac Newton 2.1.1 Khái niệm vi phân đạo hàm Newton 2.1.2 Nguyên lí phép tính tích phân 2.1.3 Quy... thiện khái niệm tích phân 2.4.2 Đóng góp Riemann hồn thiện khái niệm tích phân KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO LỜI NĨI ĐẦU CHƯƠNG KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN TRƯỚC NEWTON VÀ LEIBNIZ\ ... MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN TRƯỚC NEWTON VÀ LEIBNIZ 1.1 Diện tích, số khái niệm giới hạn thời cổ đại 1.1.1 Hình học Babilon Hình