Thuvienhoclieu com chuyen de 8 uoc va boi cua so tu nhien

thuvienhoclieu.com CHUYÊN ĐỀ 8: ƯỚC VÀ BỘI CỦA SỐ TỰ NHIÊN ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT – BỘI CHUNG NHỎ NHẤT PHẦN I.TĨM TẮT LÍ THUYẾT Ước bội:  Nếu có số tự nhiên a chia hết cho b ta nói a bội b, cịn b ước a  Tập hợp ước a là: Ư , tập hợp bội b kí hiệu: B Ví dụ: Ư B Ước chung ước chung lớn  Số tự nhiên n gọi ước chung hai số a b n vừa ước a vừa ước b  Số lớn ước chung a b gọi ước chung lớn a b  Ta kí hiệu: tập hợp ước chung a b là: ƯC , tập hợp ước chung lớn a b kí hiệu: ƯC LN Ví dụ:ƯC , ƯCLN Chú ý: ước chung hai số ước ước chung lớn chúng  Hai số nguyên tố hai số có ước chung lớn  Phân số tối giản phân số có tử mẫu hai số nguyên tố  Cách tìm ƯCLN: Bước 1: Phân tích số thừa số nguyên tố Bước 2: Chọn thừa số chung Bước 3: Lập tích thừa số chọn thừa số lấy với số mũ nhỏ Tích ƯCLN phải tìm Bội chung bội chung nhỏ  Số tự nhiên n gọi bội chung hai số a b n vừa bội a vừa bội b  Số nhỏ khác bội chung a b gọi bội chung nhỏ a b  Ta kí hiệu: tập hợp bội chung a b là: BC , tập hợp bội chung nhỏ a b kí hiệu: BCNN Ví dụ:BC , BCNN Chú ý: Bội chung nhiều số bội bội chung nhỏ chúng Nếu số cho đôi nguyên tố BCNN chúng tích số   Cách tìm BCNN: Bước 1: Phân tích số thừa số nguyên tố Bước 2: Chọn thừa số chung riêng Bước 3: Lập tích thừa số chọn thừa số lấy với số mũ lớn Tích BCNN phải tìm Nhận xét: BCNN BCNN BCNN PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI A ƯỚC VÀ BỘI, ƯỚC CHUNG - BỘI CHUNG CỦA SỐ TỰ NHIÊN thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Dạng Nhận biết số ước (bội) số cho trước I.Phương pháp giải + Để xét có ước số cho trước hay không, ta chia số cho ước số + Để xét bội số có bội số khác hay không, ta chia Nếu chia hết cho số Nếu chia hết II.Bài tốn Bài Cho số sau , tìm số a) Là Ư b) Là Ư Lời giải a) Vì số cho b) Vì số cho chia hết chia hết cho Ư nên Ư Bài Cho số sau , số thuộc tập hợp sau: a) Là B b) Là B Lời giải a) Vì số cho chia hết cho b) Vì số chia hết cho B nên B Dạng Tìm tất ước (bội) số I.Phương pháp giải + Để tìm tất ước số Bước 1: Chia cho số Bước 2: Liệt kê số mà + Để tìm bội số Bước 1: Nhân ta làm sau: chia hết Đó tất ước ta làm sau: cho số Bước 2: Liệt kê số thu Đó tất bội Lưu ý: Nếu toán tìm ước (bội) số thỏa mãn điều kiện cho trước ta làm sau: Bước 1: Liệt kê ước (bội) số Bước 2: Chọn số thỏa mãn điều kiện đề II.Bài toán Bài thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com a) Tìm tập hợp ước b) Tìm tập hợp bội Lời giải a) Ư Ư Ư Ư b) Bài Tìm số tự nhiên a) Ư c) cho b) d) và Lời giải a) Ta có Ư b) Vì Vì Ư nên nên Mặt khác c) Vì nên Mặt khác d) Vì nên Ư Bài Tìm tập hợp số tự nhiên vừa ước nên vừa bội Lời giải Gọi số tự nhiên cần tìm Ta có Ư Vì nên Dạng Tìm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện chia hết I.Phương pháp giải Áp dụng tính chất chia hết tổng (hiệu) định nghĩa ước số tự nhiên II.Bài tốn Bài Tìm số tự nhiên cho: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com a) b) c) d) Lời giải a) Ư Vậy b) Ư Vậy c) Ta có Áp dụng tính chất chia hết tổng (hiệu) ta có Ư Vậy d) Ta có Áp dụng tính chất chia hết tổng (hiệu) ta có Ư Vậy Dạng Viết tập hợp ước chung (bội chung) hai hay nhiều số I.Phương pháp giải Bước Viết tập hợp ước (bội) số cho Bước Tìm giao tập hợp II.Bài tốn Bài Viết tập hợp sau: a) ƯC b) ƯC c) BC d) BC Lời giải a) ƯC b) ƯC thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Ta có Ư Ta có Ư Ư Ư ƯC ƯC c) BC d) BC Ta có B Ta có B B BC B BC Dạng 5: Bài tốn có lời văn I.Phương pháp giải Bước 1: Phân tích đề bài, chuyển tốn tìm ước (bội), ước chung, (bội chung) số cho trước Bước 2: Áp dụng cách tìm ước (bội), ước chung, (bội chung) số cho trước II.Bài tốn Bài 1.Có viên bi Bạn Minh muốn chia số viên bi vào hộp Tìm số hộp số viên bi hộp? Biết khơng có hộp chứa hay viên bi Lời giải Số hộp số viên bi hộp phải ước số Ta có Ư Vì khơng có hộp chứa hay viên bi, nên số viên bi hộp tương ứng với số hộp Bài Năm Bình tuổi Tuổi mẹ Bình bội số tuổi Bình Tìm tuổi mẹ Bình biết tuổi mẹ lớn nhỏ Lời giải Gọi số tuổi mẹ Bình Tuổi mẹ Bình bội số tuổi Bình nên Mà nên thỏa mãn đk Vậy mẹ Bình tuổi Bài Học sinh lớp 6A nhận phần thưởng nhà trường em nhận phần thưởng Cô hiệu trưởng chia hết bút chì màu Hỏi số học sinh lớp 6A bao nhiêu? Lời giải thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Ta thấy số phần thưởng phải ƯC Có ƯC nên số học sinh lớp 6A Vì số học sinh lớp 6A khơng thể Bài Tính số học sinh trường biết lần xếp hàng vừa đủ hàng số học sinh trường khoàng từ đến , hàng , hàng , hàng Lời giải Gọi số học sinh trường Vì lần xếp hàng , hàng , hàng , hàng Tức vừa đủ hàng nên Mà Vậy số học sinh trường chia hết học sinh B ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT Dạng Tìm ước chung lớn số cho trước I.Phương pháp giải Cách Để tìm ƯCLN số cho trước ta thực quy tắc bước phía Chú ý ƯCLN dư ƯCLN ƯCLN Cách Sử dụng thuật toán Ơclit Bước Lấy số lớn chia số nhỏ Giả sử + Nếu ta thực bước + Nếu ƯCLN Bước Lấy số chia, chia cho số dư, + Nếu ta thực bước + Nếu ƯCLN Bước Quá trình tiếp tục phép chia hết II.Bài tốn Bài Tìm ƯCLN số a) ƯCLN b) ƯCLN c) ƯCLN d) ƯCLN thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Lời giải a) ƯCLN Phân tích số thừa số nguyên tố b) ƯCLN Phân tích số thừa số nguyên tố Từ ƯCLN Từ ƯCLN c) ƯCLN Phân tích số thừa số nguyên tố d) ƯCLN Phân tích số thừa số nguyên tố Từ ƯCLN Từ ƯCLN Bài Sử dụng thuật tốn Ơclit để tìm b) ƯCLN a) ƯCLN Lời giải a) Ta thực theo bước: Lấy chia cho Lấy chia cho Lấy chia cho ta ta ta Vậy ta ƯCLN b) Ta thực theo bước: Lấy chia cho Lấy chia cho Lấy chia cho ta ta ta Vậy ta ƯCLN Dạng Tìm ước chung hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước I.Phương pháp giải Bước Tìm ƯCLN hai hay nhiều số cho trước Bước Tìm ước ƯCLN Bước Chọn số ước thỏa mãn điều kiện cho Lưu ý: khơng có điều kiện tốn ước chung hai hay nhiều số ƯCLN số Cách tìm ước chung thơng qua ƯCLN Bước Tìm ƯCLN hai hay nhiều số cho trước thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bước Tìm ước ƯCLN II.Bài tốn Bài Tìm ước chung thơng qua tìm ƯCLN Lời giải Phân tích số thừa số nguyên tố Từ ƯCLN Mà Ư Vậy ƯC Bài Tìm số tự nhiên thõa mãn Lời giải Số tự nhiên x thõa mãn nên ƯCLN Phân tích số thừa số nguyên tố ƯCLN Từ Mà Ư 30  1; 2;3;5;6;10;15;30 nên Vì Tìm số tự nhiên Bài biết ƯCLN Lời giải Ta có ƯCLN nên ƯCLN Ta có Giả sử TH1: TH2: Bài Tìm số tự nhiên để biểu thức có giá trị số tự nhiên thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Lời giải Để A số tự nhiên Ta có Ư phải ước Do đó: + Với + Với + Với + Với Bài Tìm số tự nhiên b) a) Lời giải a) Ta có bảng sau: Vậy b) Ta có bảng sau: Vậy Dạng Bài tốn có lời văn đưa tìm ƯCLN I.Phương pháp giải Bước 1: Phân tích đề bài; suy luận để đưa việc tìm ƯCLN hai hay nhiều số; Bước 2: Áp dụng quy tắc bước để tìm ƯCLN II.Bài tốn thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bài Cô giáo chủ nhiệm muốn chia vở, bút bi gói bánh thành số phần thưởng để trao dịp sơ kết học kì Hỏi chia nhiều phần thưởng? Khi phần thưởng có vở, bút bi gói bánh Lời giải Gọi số phần thưởng để cô giáo chủ nhiệm trao dịp sơ kết học kì Để số phần thưởng nhiều Tức ƯCLN phải số lớn cho Ta có Từ ƯCLN Vậy chia nhiều phần thưởng Trong có gói bánh vở, bút bi, Bài Một hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng chia thành hình vng có diện tích Tính độ dài cạnh hình vng lớn cách chia ? (số đo cạnh số tự nhiên với đơn vị ) Lời giải Để chia hình chữ nhật thành hình vng có diện tích độ dài cạnh hình vng phải ước chung Do độ dài cạnh hình vuông lớn ƯCLN Vậy độ dài cạnh hình vng lớn Dạng Chứng minh hai hay nhiều số số nguyên tố I.Phương pháp giải Bước 1: Gọi ƯCLN số Bước 2: Dựa vào cách tìm ƯCLN tính chất chia hết tổng (hiệu) để chứng minh II.Bài toán Bài Chứng minh hai số nguyên tố Lời giải Phân tích số thừa số nguyên tố .Từ ƯCLN Vậy hai số nguyên tố Bài Chứng minh với số tự nhiên , số sau số nguyên tố thuvienhoclieu.com Trang 10 a) thuvienhoclieu.com b) và c) d) Lời giải a) Gọi Từ ƯCLN ƯCLN Vậy b) Gọi Từ Gọi Từ d) Gọi Từ ƯCLN ƯCLN Vậy c) số nguyên tố với số nguyên tố với ƯCLN ƯCLN ƯCLN ƯCLN C BỘI CHUNG NHỎ NHẤT Dạng Tìm bội chung nhỏ số cho trước thuvienhoclieu.com Trang 11 thuvienhoclieu.com I.Phương pháp giải Bước Phân tích số thừa số nguyên tố Bước Chọn thừa số nguyên tố chung thừa số nguyên tố riêng Bước Với thừa số nguyên tố chung riêng, ta chọn lũy thừa với số mũ lớn Bước Lấy tích lũy thừa chọn, ta nhận BCNN cần tìm II.Bài tốn Bài Tìm: a) BCNN c) BCNN b) BCNN d) BCNN Lời giải a) Ta có: ; BCNN ; ; BCNN b) Ta có: c) Ta có: ; d) Ta có: BCNN Bài Tìm: BCNN a) BCNN c) BCNN b) BCNN d) BCNN , , Lời giải a) Ta có: ; BCNN b) Ta có: c) Ta có: BCNN ; d) Ta có: BCNN ; ; , , BCNN Dạng Tìm bội chung hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước I.Phương pháp giải Bước Tìm BCNN số Bước Tìm bội BCNN Bước Chọn số bội thỏa mãn điều kiện cho II.Bài tốn Bài Tìm bội chung 10 thông qua BCNN Lời giải Ta có BCNN thuvienhoclieu.com Trang 12 thuvienhoclieu.com Vậy BC Bài Tìm bội chung 8; 12 15 thơng qua BCNN Lời giải Ta có BCNN Vậy BC Bài Tìm số tự nhiên x thỏa mãn ; Lời giải Vì ; nên Mà BC nên Bài Tìm số tự nhiên x thỏa mãn ; Lời giải Vì ; Mà nên BC nên Bài Tìm bội chung 7; thơng qua BCNN Lời giải Ta có BCNN Vậy BC Dạng Tim số tự nhiên thỏa mãn điều kiện cho trước I.Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa BCNN Khi tìm hai số biết ƯCLN BCNN tích hai số tích BCNN ƯCLN II.Bài tốn Bài Tìm số tự nhiên a,b biết a) BCNN b) ƯCLN BCNN Lời giải a) BCNN Hay a, b ước tự nhiên 60 Các ước tự nhiên 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Vì nên Ta xét bảng sau thuvienhoclieu.com Trang 13 a b 6 BCNN thuvienhoclieu.com 10 15 10 30 Loại Vậy cặp số tự nhiên cần tìm 20 15 b) ƯCLN Loại Ta có 20 15 60 Loại Nhận Ta có bảng sau: Vậy cặp số tự nhiên 12 a 12 60 15 20 b 60 20 15 cần tìm là: Bài Tìm số tự nhiên a, b biết a) BCNN b) ƯCLN BCNN Lời giải a) BCNN Hay a, b ước tự nhiên 60 Các ước tự nhiên 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Vì nên Ta xét bảng sau a b 5 BCNN 6 10 30 Loại Loại Vậy không tìm cặp số tự nhiên thỏa mãn đề b) ƯCLN Ta có Loại Ta có bảng sau: a 30 10 15 15 25 10 b 150 75 50 30 Vì vai trị a, b nên ta có cặ đảo ngược vị trí Vậy cặp số tự nhiên là: thuvienhoclieu.com Trang 14 cần tìm thuvienhoclieu.com Bài Tìm số tự nhiên a, b biết a) BCNN b) BCNN Lời giải a) Gọi ƯCLN với Ta có: Mà BCNN Suy Ta có bảng sau: Vậy cặp số tự nhiên b) Gọi ƯCLN 20 a 20 60 12 15 b 60 15 12 cần tìm là: Vì mà BCNN Vậy nên Bài Tìm số tự nhiên a, b biết BCNN Lời giải Gọi ƯCLN Nên Ta có BCNN (1) (2) Từ (1) (2) suy hay ƯC Thay k trường hợp ta thấy k = hoăc k = Khi đó: tìm cặp , Dạng 4: Bài tốn có lời văn I.Phương pháp giải Bước Gọi ẩn, đặt đơn vị, điều kiện cho ẩn Bước Dựa vào đề biểu diễn kiện theo ẩn thuvienhoclieu.com Trang 15 Bước Tìm ẩn, so sánh điều kiện thuvienhoclieu.com Bước Trả lời kết luận II.Bài toán Bài Một số sách xếp thành bó 10 cuốn, 12 cuốn, 18 vừa đủ Tìm tổng số sách biết số sách khoảng 200 đến 500 Lời giải Gọi số sách cần tìm x quyển, ( ) Vì xếp thành bó 10 cuốn, 12 cuốn, 18 vừa đủ nên , , suy BCNN BC Suy , mà nên (thỏa mãn điều kiện) Vậy số sách cần tìm 360 Bài Hai bạn A B học chung trường hai lớ khác A 10 ngày lại trực nhật, B 12 ngày lại trực nhật Lần hai bạn trực nhật vào ngày Hỏi sau ngày hai bạn lại trực nhật Lời giải Do 10 ngày A trực nhật lần nên ngày trực A B Do 12 ngày B trực nhật lần nên ngày trực B B Lần hai bạn trực ngày, để đến lần gần trực BCNN Vậy sau 60 ngày hai bạn lại trực nhật Bài Số học sinh khối trường khoảng từ 300 đến 400 Biết xếp hàng 5, 8, 12 thiếu em Tính số học sinh khối trường Lời giải Gọi số học sinh khối trường cần tìm x học sinh, ( Vì xếp thành 5, 8, 12 thiếu em nên 5, 8, 12 trừ BCNN BC , ) , suy x bôi chung thuvienhoclieu.com Trang 16 thuvienhoclieu.com Suy , mà (thỏa mãn điều kiện) nên Vậy số học sinh khối 359 học sinh Bài Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia cho dư 2, chia cho dư chia cho 25 dư 24 Lời giải Gọi x số cần tìm Vì x chia dư 2, chia cho dư 6, chia cho 25 dư 24 Nên Do BCNN chia hết cho 2, 7, 25 Vậy số cần tìm 525 – = 524 Bài Có ba hộp hình vng: Hộp màu đỏ cao 8cm, hộp màu xanh cao 7cm, hộp màu vàng cao 12cm Người ta xếp thành ba chồng nhau, chồng màu Hỏi chiều cao nhỏ chồng hộp Lời giải Gọi chiều cao nhỏ chồng hộp x (cm) Ta có: BCNN Vậy chiều cao nhỏ chồng hộp 168 (cm) Bài Tìm số tự nhiên x Biết số chia hết cho chia cho 2, cho 3, cho 4, cho 5, cho dư Lời giải Ta có: BC Do x chia hết x = 301 Bài Một liênđội thiếu niên xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng thừa người Tính số đội viên liên đội biết số khoảng từ 100 đến 150 Lời giải Gọi số đội viên liên đội x (đội viên) Vì xếp thành hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng thừa nên: BC BCNN BC Mà số đội viên khoảng từ 100 đến 150 thuvienhoclieu.com Trang 17 thuvienhoclieu.com Nên đội viên Bài Một phận máy có hai bánh cửa khớp với nhau, bánh có 18 cưa, bánh xe hai có 12 cưa Người ta đánh dấu “x” vào hai cửa khớp với Hỏi bánh xe phải quay cưa để hai cưa đánh dấu lại khớp với vị trí giống lần trước? Khi bánh xe quay vòng Lời giải Gọi số cưa phải tìm x (răng) Ta có Vì x nhỏ nên x BCNN Vậy bánh xe phải quay 36 cưa để hai cưa đánh dấu lại khớp với vị trí giống lần trước Khi đó:Bánh xe thứ quay 36 : 18 = vòng Bánh xe thứ hai quay 36 : 12 = vòng BÀI TẬP TƯƠNG TỰ TỰ GIẢI A ƯỚC VÀ BỘI, ƯỚC CHUNG - BỘI CHUNG CỦA SỐ TỰ NHIÊN Dạng Tìm tất ước (bội) số Bài Tìm số tự nhiên a) Ư c) cho b) d) Bài Tìm tập hợp số tự nhiên vừa ước vừa bội Dạng Tìm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện chia hết Bài Tìm số tự nhiên cho: a) b) c) d) Dạng Viết tập hợp ước chung (bội chung) hai hay nhiều số Bài Viết tập hợp sau: a) ƯC b) ƯC c) BC d) BC Bài Viết tập hợp sau: a) Ư c) B ,Ư ;B , ƯC BC b) B ,B , BC d) Ư thuvienhoclieu.com ,Ư , ƯC Trang 18 thuvienhoclieu.com Dạng 5: Bài tốn có lời văn Bài Có bánh trung thu Bạn Ngọc muốn chia số bánh vào hộp Tìm số hộp số bánh hộp, biết số bánh hộp phải nhiều Bài Bạn Ngọc mua cốc trà sữa Số cốc trà sữa cửa hàng bội số số cốc bạn Ngọc mua Tìm số cốc trà sữa cửa hàng, biết số cốc trà sữa lớn nhỏ Bài Tổ I lớp 6A nhận phần thưởng cô giáo chủ nhiệm em nhận phần thưởng Cô giáo chủ nhiệm chia hết bút bi Hỏi số học sinh tổ I lớp 6A bao nhiêu? Bài Tính số đồng chí đội văn nghệ bội đội, biết lần xếp hàng hàng vừa đủ hàng số học sinh trường khoàng từ đến Bài 10 Một số sách xếp thành bó sách đó, biết số sách khoảng đến cuốn, cuốn, cuốn, , hàng , hàng cuốn, vừa đủ bó Tính số B ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT Dạng Tìm ước chung lớn số cho trước Bài Tìm ƯCLN số a) ƯCLN b) ƯCLN c) ƯCLN d) ƯCLN Dạng Tìm ước chung hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước Bài Tìm ước chung thơng qua tìm ƯCLN Bài 3: Tìm ƯCLN tìm ƯC số sau: a) c) b) d) Bài Tìm số tự nhiên ; Bài Tìm số tự nhiên biết ƯCLN Bài 6: Tìm số tự nhiên , biết: a) ; thõa mãn và b) c) d) số tự nhiên có hai chữ số thuvienhoclieu.com , Trang 19 e) chia dư thuvienhoclieu.com chia cho dư cịn Bài 7: Tìm số tự nhiên , biết: a) b) c) d) Bài Tìm số tự nhiên để biểu thức saucó giá trị số tự nhiên Dạng Bài tốn có lời văn đưa tìm ƯCLN Bài Bạn Hà có viên bi màu đỏ viên bi màu vàng Hà chia nhiều vào túi cho số bi đỏ bi vàng chia vào túi? Khi túi có viên bi đỏ viên bi vàng? Bài 10 Một hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng chia thành hình vng có diện tích Tính độ dài cạnh hình vng lớn cách chia ? (số đo cạnh số tự nhiên với đơn vị ) Bài 11: Ba khối theo thứ tự có học sinh, học sinh, học sinh xếp thành hàng dọc để điều hành cho số hàng dọc khối Có thể xếp nhiều thành hàng dọc để khối khơng có lẻ hàng? Khi khối có hàng ngang? Bài 12: Mỗi công nhân hai đội giao nhiệm vụ trồng số (nhiều cây) Đội phải trồng cây, đội phải trồng Hỏi đội công nhân phải trồng đội có cơng nhân? Dạng Chứng minh hai hay nhiều số số nguyên tố Bài 13 Chứng minh hai số nguyên tố Bài 14 Chứng minh với số tự nhiên , số sau số nguyên tố a) n  b) c) 2n  d) và Bài 15: Chứng minh số sau nguyên tố nhau: a) b) C BỘI CHUNG NHỎ NHẤT Dạng Tìm bội chung nhỏ số cho trước Bài Tìm a) BCNN f) BCNN b) BCNN g) BCNN thuvienhoclieu.com Trang 20