Toạ độ trong không gian

* Nếu ba điểm A,B,C không thẳng hàng thì véc tơ nr [AB, AC]uuur uuur là một VTPT của mpABC... 0 Chú ý: 1Qua các ví dụ trên ta thấy để lập phương trình của một mặt phẳng ta phải xác địn

Vấn đề 1: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1 Tọa độ véc tơ – Tọa độ điểm

* Hình hộp: VABCD.A ' B ' C ' D '  AB, AD AA 'uuur uuur uuur

* Tứ diện: VABCD 1 AB, AC AD

6

 uuur uuur uuur

Điều kiện 3 véctơ đồng phẳng:

* a, b, cr r r đồng phẳnga,b cr r r 0

* A, B, C, D đồng phẳngAB,AC AD 0

uuur uuur uuur

Ví dụ1: Trong không gian cho bốn điểm A(0;2;0), B( 1;0; 3), C(0; 2;0), D(3;2;1)  

1) Chứng minh rằng A,B,C,D không đồng phẳng

2) Tính diện tích tam giác BCD và đường cao BH cảu tam giác BCD

3) Tính thể tích tứ diện ABCD và đường cao của tứ diện hạ từ A

4) Tìm tọa độ E sao cho ABCE là hình bình hành

5) Tính góc giữa hai đường thẳng Ac và BD

6) Tìm điểm M thuộc Oy sao cho tam giác BCM cân tại M

7) Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD và chứng minh A, G, A’ thẳng hàng

với A’ là trọng tâm tam giác BCD

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật

ABCD.A 'B'C'D 'có A trùng với gốc tọa độ, B a;0;0 , D 0;a;0 , A ' 0;0;b với ( ) ( ) ( )

(a> 0, b> 0).Gọi M là trung điểm của CC' Tính thể tích của khối tứ diện BDA 'M

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;2;1) B(5;3;4), (8; 3;2)

1) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông

2) Tìm tọa độ chân đường phân giác trong góc B cảu tam giác ABC

3) TÍnh thể tích tứ diện OABC

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho A(4;0;0), B(x ; y ;0) với x0 0 0, y0

thỏa mãn AB= 8 và ·AOB= 600

1) Tìm C trên Oz sao cho thể tích tứ diện OABC bằng 8

2) Gọi G là trọng tâm ΔABO và M trên cạnh AC sao cho AM=x Tìm x để

OM^ GM

Ví dụ 5:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a ,AD = 2a

đường cao SA = 2a.Trên cạnh CD lấy điểm M sao cho MD = x 0 xa

1)Tìm vị trí của M để diện tích tam giác SBM lớn nhất, nhỏ nhất

2)Tìm vị trí của M để mp(SBM) chia hình chóp thành hai phần VC.SBM 1VS.ABCD

3



Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Đề Các vuông góc Oxy cho tứ diện ABCD

với A(2;3;2), B(6; 1; 2), C( 1; 4;3), D(1;6;-5)- - - - Tính góc giữa hai đường thẳng

AB và CD Tìm tọa độ M trên CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất

1 Véc tơ pháp tuyến:

Định nghĩa: Cho () Véc tơ nr 0r

gọi là véc tơ pháp tuyến (VTPT) của

mp() nếu nr nằm trên đường thẳng

vuông góc với (), kí hiệu nr ( )

Chú ý: *Nếu nr là VTPT của () thì

kn (kr 0) cũng là

VTPT của () Vậy mp() có vô số

VTPT

* Nếu hai véc tơ a, br r (không cùng

phương) nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc nằm trên) () thì nr [ , ]a br r là một

véc tơ pháp tuyến của () Cặp véc tơ a br r, gọi là cặp véc tơ chỉ phương của mp()

* Nếu ba điểm A,B,C không thẳng hàng thì véc tơ nr [AB, AC]uuur uuur là một VTPT của

mp(ABC)

2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng:

* Cho mp() đi qua M(x ; y ;z ) , có VTPT là n0 0 0 r (A;B;C) Khi đó phương trình

tổng quát của mp() có dạng: A(xx )0 B(yy )0 C(zz )0  0

* Nếu mp( ) : Ax ByCzD thì n0 r (A;B;C) là một VTPT của mp()

* Nếu A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) thì phương trình của mp(ABC) có dạng:

1

a  b  c  và được gọi là phương trình theo đoạn chắn của mp()

3 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Lập phương trình của mp(P) trong các trương hợp sau:

1) (P) đi qua A 1;2;1 và song song với mp   Q : xy3z 1 0 

2) (P) đi quaM 0;1;2 , N 0;1;1 , P 2;0;0      

3) (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn MN (M,N ở câu 2)

4) (P) đi qua các hình chiếu của A(1;2;3) lên các trục tọa độ

5) (P) đi qua E 1;2;0 , F 0;2;0 và vuông góc với mp     R : xy   z 1 0

Lời giải:

1) mp (Q) có VTPT nuurQ (1;1;3) Vì (P) //(Q) nên (P) có VTPT nuurP nuurQ (1;1;3)

Vậy pt mp(P) là :1(x 1) 1(y  2)3(z 1)  hay x0  y3z6 0

2) (P) đi qua M,N,P nên (P) có cặp VTCP MNuuuur(0;0; 1), NP uuur(2; 1; 1)  , do đó

VTPT của (P): nr [MN, NP]uuuur uuur   ( 1; 2;0)

4) Tọa độ hình chiếu của A lên các trục tọa độ làA 1;0;0 , A1  20;2;0 , A 30;0;3 

Áp dụng phương trình đoạn chắn ta có phương trình của mp(P) là:

1  2 3      5) Vì mp(P) đi qua E,F và vuông góc với mp(R) nên (P) nhận EF  uuur ( 1;0;0) và

(1;1;1)

R

n uur làm cặp VTCP VTPT (P): nuurP [EF, n ]uur uuurR (0;1; 1)

Vậy phương trình mp(P): y2 0

Chú ý: 1)Qua các ví dụ trên ta thấy để lập phương trình của một mặt phẳng ta phải

xác định một điểm mà mặt phẳng đi qua và VTPT của nó Để xác định VTPT ta cần

chú ý một số tính chất sau đây

* Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTPT

* Nếu mp(P) chứa hoặc song song với AB thì ABuuur là một VTCP của mp()

* Nếu mp(P)(Q) thì VTPT của mặt phẳng này sẽ là VTCP của mặt phẳng kia

* Nếu mp(P)  AB thì ABuuur là một VTPT của mp(P)

* Thông thường để lập phương trình mặt phẳng ta phải đi tìm cặp VTCP, từ đó tìm

1) Tìm hình chiếu vuông góc H của A lên (P)

2) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua mp(P)

Giải:

1) Gọi H(x; y;z) là hình chiếu của A lên mp(P), ta có: 2xy   (1) z 1 0

Mặt khác: AH(P)AHuuur (x1; y2;z3) cùng phương với nuurP (2;1;1)

5) (P) đi qua M2;3;4 và song song với trục Ox;Oz

6) (P) đi qua hai điểm M 1; 2;1 ; N   1;1;3 và // với trục Oy

7) (P) đi qua M 2; 1;1 ; N   2;3; 1  và vuông góc với mp Q : 4xy2z  1 0

8) (P) đi qua các hình chiếu của điểm M4; 1;2  trên các mặt phẳng toạ độ

Bài 2: Cho mp P : 2xy   và hai điểm z 1 0 A 1;1;3 , B 0;2;1    

a) Tìm hình chiếu của A lên mp(P)

b) Tìm M 1; y;z thuộc (P) sao cho MA  MB

Bài 3: Cho mp P : 3x8y7z 1 0  và hai điểmA 0;0; 3 , B 2;0; 1      Tìm M

thuộc (P) sao cho tam giác AMB là tam giác đều

Bài 4: Cho tứ diện ABCD có A 5;1;3 ;B 1;6;2 ;C 5;0;4 ;D 4;0;6        

1) Viết phương trình mặt phẳng (BCD)

2) Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua A và vuông góc với BC 1

3) Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua A,B và //CD 2

4) Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua A và chứa Ox 3

5) Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua B và // mặt phẳng (ACD) 4

6) Tìm toạ độ hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCD)

Vấn đề 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG

1 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng :

Cho hai mp(P): AxByCzD0 và (Q): A’xB’yC’zD’ 0

1) Xét vị trí tương đối giữa (1),( và 2) (1),( 3)

2) Viết phương trình mp(P) đi qua A1;0;1và giao tuyến của (1)và (2)

3) Viết pt mp(Q) đi qua giao tuyến của hai mp (α1) và (α3) và đồng thời vuông góc

với mp (α2)

Giải:

1) Ta có: 1 1 1 ( 1)

2 3 4  và (2) cắt nhau

Tương tự thì hai mặt phẳng (1) và (3) cũng cắt nhau

2) Vì mp(P) đi qua giao tuyến của (1)và (2) nên phương trình của (P) có dạng:

Vậy phương trình mp(Q): x2y z 4 hay 0 (Q) ( 3)

Ví dụ 2: Tìm m,n để hai mặt phẳng sau song song với nhau

 P : 2xmynz  và 5 0   Q : m1 x 6y6z2 0

Giải:

Hai mp (P) và (Q) song song với nhau m 1 6 6 2

n3

2) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của hai mp (P): xy2 và 0

(Q) : 4y z 2 đồng thời song song với mặt phẳng(R): x0 3y z 2 0

3) Xét vị trí tương đối giữa các cặp mặt phẳng sau:

(P) : mx2y(2m 1)z 1 0 ; 3x   (m 1)y 3zm 1 0 

6) Chứng minh rằng ba mp sau cùng đi qua một đường thẳng:

(P) : x3y2z 1 0; (Q) : 3x  y  z 1 0; (R) : 25x5y6z  9 0

Vấn đề 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1 Phương trình tổng quát của đường thẳng:

Cho hai mp  P : AxByCzD0 và Q : A’xB’yC’zD’ Giả sử 0

(P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ( ) Khi đó phương trình của  có dạng

2 Phương trình tham số của đường thẳng:

a) Định nghĩa: Cho đường thẳng  Véc tơ n r 0r gọi là véc tơ chỉ phương của đ/t 

nếu nó nằm trên đường thẳng song song hoặc trùng với 

Chú ý: * Nếu  có pt tổng quát (1) thì ur [ , ']n nr ur là một véc tơ chỉ phương của 

* Đường thẳng AB có ABuuur là VTCP

b) Cho đường thẳng đi qua M(x ; y ;z ) và có VTCP 0 0 0 ur (a;b;c) Khi đó phương

trình đường thẳng  có dạng:

0 0 0

(3) gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng 

Chú ý: Trong (3) nếu mẫu bằng 0 thì ta quy ước tử cũng bằng 0

4 Cách chuyển từ pttq sang ptts và ngược lại:

a) Chuyển từ tham số sang tổng quát

Từ 1 trong 3 phương trình của hệ (2) ta rút t rồi thế vào hai pt còn lại

b) Chuyển từ pttq sang ptts

C 1: Từ (1) suy ra VTCP ur [ , ']n nr ur , để chọn điểm đi qua ta cho một ẩn và giải hệ

3) d đi qua M2;1;0và vuông góc với mp(P):x2y2z 1 0 

4) d đi qua N1;2; 3 và song song với đường thẳng : x y z 3 0

2) Vì d đi qua A và B nên d nhận ABuuur    ( 2; 2; 1) là VTCP

Phương trình tham số của d:

3) Vì d vuông góc với mp(P) nên d nhận VTPT của (P) nuurP (1;2; 2) làm VTCP

Phương trình tham số của d:

Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết:

1) Nó là giao tuyến của hai mặt phẳng: Vì có nhiều cặp mp đi qua đường thẳng nên

khi chọn cặp mp ta cần chú ý các tính chất sau:

*) Nếu đường thẳng d đi qua M và vuông góc với d’ thì đường thẳng d nằm trong mặt

phẳng đi qua M và vuông góc với d’

*) Nếu đường thẳng d đi qua M và cắt đường thẳng d’ thì đường thẳng d nằm trong

mặt phẳng đi qua M và đường thẳng d’

*) Nếu đường thẳng d đi qua M và song song với mặt phẳng (P) thì đường thẳng d

nằm trong mặt phẳng đi qua M và song song vơi mp(P)

*) Nếu đường thẳng d song song với đường thẳng d’ và cắt đường thẳng d” thi

đường thẳng d nằm trong mặt phẳng chứa d” và song song với đường thẳng d’

2) Đi qua một điểm và VTCP

Ví dụ 3: Viết phương trình của đường thẳng  biết

1)  đi qua M 1;0; 1  và vuông góc với hai đường thẳng

Cách 2 : Gọi ( )  là mp đi qua M, song song với (P) ( ) : 3x 3yz 13  0

Gọi ( ) là mp đi qua M, song song với (Q) ( ) : 3x5y2z 13  0

Giải: Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (P) với d1, d2

Thay phương trình d1 vào phương trình (P) ta có : t+ 8t= 0Û t= 0Þ A(1;0;0)

Thay phương trình d2 vào phương trình (P) ta có : 2t+ 6= 0Û t= - 3Þ B(6; 2;1)

-Vì  nằm trong (P) đồng thời  cắt d1, d2 nên  đi qua A,BÞ  nhận

ABuuur= (5; 2;1)- làm VTCP

Vậy phương trình của đường thẳng  là:

x 1 5t

z t

ì = +ïï

ïï = í

-ïï =ïïî

Đường thẳng d đi qua 2 M (2; 1;1)2 - và VTCP uuur2= (2;3; 5)

-Gọi (P) là mp đi qua M và chứa đường thẳng d1 Khi đó (P) có cặp VTCP là

1

MM = (3;2; 1)

-uuuuur

và uuur1= (3; 2; 1)- - Suy ra (P) có VTPT nP = [MM , u ]1 1 = -( 4;0; 12)-

uur uuuuur uurPhương trình (P): x+ 3z- 5= 0

Tương tự gọi (Q) là mp đi qua M và đường thẳng d2, ta có phương trình của

 đi qua M nên MAuuur cùng phương với MBuuur hay

ïï = - +í

ïï = ïïî

(tÎ R)

Nhận xét: * Khi bài toán yêu cầu viết phương trình đường thẳng mà không nói gì

thêm thì ta viết một trong ba loại phương trình tham số, tổng quát, chính tắc

* Cách giải thứ hai là ta xác định đường thẳng bằng cách xác định hai điểm thuộc

đường thẳng Để xác định một điểm thuộc đường thẳng ta chuyển phương trình

đường thẳng về phương trình tham số, việc làm này giúp chúng ta giảm bớt số ẩn

uur

làm VTPT Þ phương trình của (P) : 3x+ y+ z- 2= 0

Gọi (Q) là mp đi qua M và cắt đường thẳng d 2 Þ (Q) có cặp chỉ phương là

Cách 2 : Gọi N là giao điểm của  và d2 Þ N( 1; t; t- + 1)Þ MNuuur = -( 1; t- 1; t)

Vì  vuông góc với d1Þ MN.uuuur uur1= 0Û t= 2Þ MNuuur= -( 1;1;2)

-ïï = +í

ïï = +ïïî

2) Tìm M thuộc  sao cho MA 4

A’ chính là giao điểm của D và (P) A '(14 7; ; 5)

ïï = ïïî

1) Viết pt mp(P) đi qua M và chứa (d1)

2) Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt (d1) và vuông góc với (d2)

3) Viết pt đường thẳng đi qua M cắt (d1) và (d2)

4) Viết pt mp(Q) đi qua (d1) và song song với (d2)

5) Viết pt đường thẳng đi qua M vuông và cắt (d1)

6) Viết pt mp(R) đi qua A(1 ;2 ;3) và vuông với (d2)

Bài 2 Viết pt đường thẳng đi qua A 1 ;1 ; 2( - )song song với mp (P) :

xy   và vuông góc với đường thẳng z 1 0 x 1 y 1 z 2

Bài 3 Trong không gian cho A 0;0;1 , B   1; 2;0 và C 2;1; 1  

1) Viết pt tổng quát của mpABC 

2) Viết pt đường thẳng đi qua trọng tâm ∆ABC và vuông góc với mp(ABC)

Bài 4:Cho A a;0;0 , B 0;a;0 ,C a;a;0 , D 0;0;d a, d( ) ( ) ( ) ( )( > 0).Gọi A B1, 1 là hình chiếu

vuông góc của gốc tọa độ O xuống DA,DB Viết pt (OA B CM : 1 1)

Bài 6 Cho hai đường thẳng 1 2

1) Viết pt mp(P) chứa (d1) song song với (d2)

2) Cho M(2;1;4) Tìm H thuộc (d2) sao cho MH nhỏ nhất (ĐH Khối A-2002)

Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

Vấn đề 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG

* Nếu [u, u ']MM 'r ur uuuuur 0 d và d’ chéo nhau

2 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho mp( ) : Ax ByCzD có VTPT n0 r (A;B;C) và đường thẳng

   có VTCP ur (a;b;c) và đi qua M (x ; y ;z ) 0 0 0 0

* (∆) cắt (α) và nr ur không cùng phương AaBbCc Khi đó tọa độ giao 0

điểm là nghiệm của hệ : 0 0 0

Đường thẳng d2 có VTCP uuur2 (1; 1; 1)  và đi qua M ( 1;0; 2)2  

M M ( 6; 1;1) [u , u ].M M 0 d và d

uuuuuur     uur uur uuuuuur   đồng phẳng

Mà uuur1 và uuur2 không cùng phương nên d1 và d2 cắt nhau

thay vào phương trình

thứ tư ta thấy thỏa mãn  hệ có nghiệm duy nhất

Vậy hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại A(1 ;-2 ;-4)

2) Đường thẳng d1 có VTCP uuur1 (1;1; 1) và đi qua M (1;2;3) 1

Đường thẳng d2 có VTCP uuur2 (2;2; 2) và đi qua M (1; 1;2)2 

Ta thấy uuur1 và uuur2 cùng phương và điểm M1 không thuộc d2

Cách 2 : Đường thẳng d có VTCP 1 uuur1(2;4;m 1) và đi qua M (7;1;3) 1

Đường thẳng d có VTCP 2 uuur2 (4; 3;2) và đi qua M (4;0; 2)2 

Vậy d cắt ( ) tại A(0;0; 2)

Cách 2 : Ta có : uuurd (4;3;1), nuur (3;4; 1) u nuur uurd  350 Vậy d và ( ) cắt nhau

Ta thấy hệ này vô nghiệm d //( )

Cách 2 : Ta có : uuurd  ( 3;4; 1), n uur (0;1;4)u nuur uurd  0

Mặt khác điểm M(0; 28 13; ) d

3 3

  mà M  ( ) d //( ) 3) Ta có uuurd (8;2;3), nuur (1;2; 4) u nuur uurd  0 và điểm M(13;1;4) đồng thời d

M  ( ) d  ( )



Chú ý : Để chứng minh đường thẳng ( )   ta có thể lấy hai điểm thuộc ( )( )  và

chứng minh 2 điểm đó cũng thuộc mp( )

3(2m 1)x (1 m)y m 1 0

Lập phương trình đường vuông góc chung

Cách 1 : Gọi (P) là mp đi qua d và nhận ur [u ;u ]=( 11;5;7)uur uuurd d '  làm VTCP

Phương trình đường vuông góc chung của d và d’ là: 16x 25y 43x 45 0

nằm trong ( ) Viết phương trình mp( )

chứa đường thẳng (d) và song song với ( ) Chứng minh ( ) ( )

Bài 2 Cho hai đường thẳng d :1 2x y 1 0 , d :2 3x y z 3 0

b) Viết phương trình mp(P) đi qua hai đường thẳng (d1) và (d2)

Bài 3 Cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mp(P): 3x-8y+7z-1=0

a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB và mp(P)

b) Tìm tọa độ điểm C nằm trên mp(P) sao cho tam giác ABC đều

Bài 4 Chứng minh rằng hai đường thẳng d :1 x x 1 z

Bài 6 Cho A(2 ;3 ;5) và mp(P) : 2x3yz 17  0

a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với (P)

b) Chứng minh rằng đường thẳng (d) cắt trục Oz tại M Tìm tọa độ điểm M

c) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua (P)

Bài 7 Cho đường thẳng (d ) :k x 3 y 1 z 1

a) Cmr (dk) luôn nằm trong một mp cố định Viết phương trình mp cố định đó

b) Tìm k để (dk) song song với hai mp: 6xy3z 13 0 và x y2z  3 0

Bài 8 Cho hai đ/t d :x 1 y 2 z 1, d ' : x y z 2 0

a) Cmr (d) //(d’) Viết pt mp đi qua (d) và (d’)

b) mp(Oxz) cắt (d) và (d’) tại A và B Tính diện tích tam giác OAB

Bài 9.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 đường thẳng:

Chứng minh rằng d1 ,d2 chéo nhau và viết phương trình đường thẳng d cắt d1,cắt d2 và

song song với d3

Bài 10.Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho hai đường thẳng ( và1) (2):