Chuyen de ti le thuc toan 7 1

Chuyên đề tỉ lệ thức Toán 7 VnDoc Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 3 Tỉ lệ thức l| đẳng thức của hai tỉ số Tỷ lệ thức còn được viết a b = c d Trong đó a, b, c, d l| c{c số hạng của tỷ lệ thức; a[.]

TỈ LỆ THỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỶ SỐ BẰNG NHAU A/ TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa, tính chất tỉ lệ thức a) Định nghĩa: Tỉ lệ thức l| đẳng thức hai tỉ số Tỷ lệ thức a c  b d a c  viết: a : b = c : d b d Trong đó: - a, b, c, d l| c{c số hạng tỷ lệ thức; - a v| d l| c{c số hạng ngo|i hay ngoại tỉ; - b v| d l| c{c số hạng hay trung tỉ; b) Tính chất Nếu - Tính chất (tính chất bản) a c  ad = bc b d Tính chất (tính chất ho{n vị) Nếu ad = bc v| a, b, c, d kh{c ta có c{c tỉ lệ thức: a c a b d c d b  ;  ;  ;  b d c d b a c a 2) Tính chất dãy tỉ số nhau: + Từ tỉ lệ thức a c a c ac ac b  d   ta suy    b d b d bd bd + Mở rộng: từ dãy tỉ số ta suy a c e   b d f a c e ace ace      b d f bd  f bd  f (giả thiết c{c tỉ số có nghĩa) 3.Chú ý: + Khi có dãy tỉ số a b c   ta nói c{c số a, b, c tỉ lệ với c{c số 2; 3; ta viết a:b:c = 2:3:5 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC + Vì tỉ lệ thức l| đẳng thức nên có tính chất đẳng thức, từ tỉ lệ thức a c  suy b d ka k c a c a  c  a c ra:       ; k  k  k   ;  (k1 , k2  0) b d k1b k2d b d  b d a c e từ   suy b d f c e a  c   e  a c e a            ;    d f b d   f  b d f b 3 B/ CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP PHẦN 1: TÌM SỐ HẠNG CHƯA BIẾT 1.Tìm số hạng chưa biết a) Phương pháp: {p dụng tính chất tỉ lệ thức Nếu a c b.c a.d a.d   a.d  b.c  a  ;b  ;c  b d d c b Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích trung tỉ chia cho ngoại tỉ biết, muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ biết b) Ví dụ minh họa: Thí dụ Tìm x biết: a) 0,52 : x   9,36 :16,38 b) x 3  5 x c) x2 x4  x 1 x  Hướng dẫn giải a) Ta có: -0,52 : x = -9,36 : 16,38  x  9,36   0,52.16,38  x  0,52.16,38  0,91 9,36 b) Cách 1: Ta có: x 3  5 x   x  3    x   x  21  25  x  12 x  46  x3 Cách 2: Từ x 3 x 3 5 x    5 x 7 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : x 3 5 x x 35 x     57 12 Do đó: x 3 5    x  3   x    x  6 c) Cách 1: Ta có: Cách 2: Từ x2 x4  x 1 x    x   x     x  1 x   x2 x4 2 x x4    x 1 x  1 x x  Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có :  x x    x    x  4      x x  1  x    x    x  x  x  14  x  x  x   x  14  x   x  x  4  14  x  10 Do đó: 2 x     x   1  x    x   3x 1 x  x5  x  3x    x  2.Tìm nhiều số hạng chưa biết x y z   a b c (1) x + y + z = d (2) Dạng : Tìm c{c số x, y, z thoả mãn : (trong a, b, c, a + b + c ≠ v| a, b, c, d l| c{c số cho trước) Cách giải: - Cách 1: Đặt x y z    k  x  ka, y  k b, z  kc a b c Thay x = ka, y = kb, z = kc vào (2) ta có: k.a + k.b + k.c = d  k  a  b  c   d  k  Từ tìm x  a.d bd cd ;y ;z  abc abc abc - Cách 2: {p dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x yz d ad bd cd     x ;y ;z  a b c a bc a b c a b c a b c a b c c)Ví dụ minh họa: d abc Thí dụ Tìm x , y biết rằng: x y 2x – y =  a) b) x y xy = 10  Hướng dẫn giải a) Từ tỉ số x y 2x  y 2x  y       3 5  1 Do đó: x = (-3).2 = -6 y = 5.(-3) = -15 b) Đặt x y   k  x  2k , y  5k Khi đó: xy = (2k).(5k) = 10k2 = 10  x  1 Với k = ta có: x = 2, y = Với k = -1 ta có x = -2, y = -5 Thí dụ Tìm x , y, z biết rằng: a) x y z   x +y + z = 27 b) x y z x + y - z =   Hướng dẫn giải a) Cách Đặt x y z    k  x  2k , y  3k , z  4k Từ x + y + z = 27 ta suy 2k  3k  4k  27  9k  27  k  Khi x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12 Vậy x = 6; y = 9; z = 12 - Cách Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x  y  z 27       x  2.3  6; y  3.3  9; z  4.3  12 23 b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x  y  z       x  2.1  2; y  3.1  3; z   4    4  23 Dạng : Cho x, y, z thoả mãn : x y z   a b c (1) x + y + z = d (2) Bằng c{ch biến đổi c{c điều kiện (1) v| (2) ta c{c b|i to{n phức tạp C{c c{ch điến đổi thường gặp: + Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) sau: * k1 x  k2 y  k3 z  e * k1 x  k2 y  k3 z  f * x.y.z = g + Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) sau: x y y z  ;  - a a2 a3 a4 - a2 x  a1 y; a4 y  a3 z - b1 x  b2 y  b3 z - b1 x  b3 z b2 y  b1 x b3 z  b2 y   a b c - x  b1 y2  b2 z3  b3   a1 a2 a3 +Thay đổi hai điều kiện Thí dụ Tìm x , y, z biết rằng: a) x y z   2x + 3y – 5z = -21 b) 6x = 4y = 3z 2x + 3y – 5z = 14 Hướng dẫn giải a) Cách 1: Đặt x y z   = k suy ra: x = 2k, y = 3k, z = 4k Do đó: 2x + 3y – 5z = 2.(2k) + 3.(3k) – 5.(4k) = -21  4k  9k  20k  21  7k  21  k  Vì thế: x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 14 Cách 2: Từ x y z x y 5z   suy   4 20 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x  y  z 21       x  6; y  9; z  12 20   20 7 b) Từ 6x = 4y = 3z  x y 3z x y z      12 12 12 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x  y  z 14      2  x  4; y  6; z  8 20   20 7 Thí dụ Tìm x , y, z biết rằng: a) a b c   a2  b2  2c2 108 b) x : y : z = : : x  y  3z  100 Hướng dẫn giải a b c a b2 c   a) Ta có:    4 16 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b2 c a  b  2c 108     4 16   32 27 Do đó: a2   a  16  a  4 b2   b  36  b  6 c2   c  64  c  8 16 Vậy a = 4, b = 6, c = a = -4, b = -6, c = -8 x y z x2 y z   b) Ta có: x : y : z = 3: 4: nên    16 25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z 2 x  y  3z 100     4 16 25 18  32  75 25 2 Do đó: x2   x  36  x  6 y2   y  64  y  8 16 z2   z  100  z  10 25 Vậy x = 6, x = 8, z = 10 x = -6, y = -8, z = -10 Thí dụ Tìm x , y, z biết rằng: a) a b c   x.y.z = 648 b) 40 20 28 x.y.z = 22400   x  30 y  15 z  21 Hướng dẫn giải a) Cách 1: Đặt x y z   = k suy ra: suy ra: x = 2k, y = 3k, z = 4k Do đó: xyz= (2k).(3k).(4k) = 648  24k  648  k  648  27  k  24 Vì thế: x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 14 Cách 2: Từ x y z   x y z xyz 648  x         27 24   24 x3   27  x3  216  x  Từ tìm y = 9; z = 12 b, Từ giả thiết suy : x  30 y  15 z  21 x y z x y z            40 20 28 40 20 28 40 20 28  x  40k x y z     k   y  20k Đặt : 40 20 28  z  28k  Mà: x y.z  22400   40k   20k   28k   22400  22400k  22400  k   x  40k  40  Do đó:  y  20k  20  x  40, y  20, z  28  z  28k  28  Nhận xét: Các dạng toán vận dụng tỷ lệ thức tính chất dãy tỷ số phong phú đa dạng, trình bày số dạng thơng thường giao, nhiều bì tốn cần vận dụng kiến thức cách linh hoạt để giải tốt toán Sau đâu số toán hay khó: PHẦN 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC Bài toán: Cho tỷ lệ thức x m a c  Cần chứng minh tỷ lệ thức  , ta thường làm y n b d phương pháp sau: Phương pháp Chứng tỏ : ad = bc Phương pháp 2: Đặt k l| gi{ trị chung c{c tỷ số x m a c ; Tính c{c tỷ số , theo k y n b d Phương pháp 3: Dùng biến đổi đại số v| tính chất dãy tỷ số để từ tỷ lệ thức cho biến đổi dần th|nh tỷ lệ thức phải chứng minh Phương pháp Chứng tỏ : ad = bc a c a b c d  suy tỷ lệ thức:  Thí dụ Cho a, b, c, d kh{c từ tỷ lệ thức: b d a c Hướng dẫn giải Xét tích:  a  b  c  ac  bc Từ 1 ; a  c  d   ac  ad  2 a c   ad  bc(3) b d Từ (1), (2), (3) suy (a - b)c = a(c - d) suy a b c d  a c Phương pháp Đặt k l| gi{ trị chung c{c tỷ số Thí dụ Cho x m a c ; Tính c{c tỷ số , theo k y n b d 2a  5b 2c  5d a c  , Chứng minh rằng:  3a  4b 3c  4d b d Hướng dẫn giải Đặt a c   k  a  bk , c  dk b d Ta có: 2a  5b 2bk  5b b  2k  5 2k     3a  4b 3bk  4b b  3k   3k  2c  5d 2dk  5d d  2k  5 2k     3c  4d 3dk  4d d  3k   3k  Từ (1) (2) ta có 2a  5b 2c  5d  3a  4b 3c  4d  2 1 14 Phương pháp Dùng biến đổi đại số v| tính chất dãy tỷ số để từ tỷ lệ thức cho biến đổi dần th|nh tỷ lệ thức phải chứng minh Thí dụ Cho tỉ lệ thức a c  b d a, b, c, d  Chứng minh: với ac a  c  bd b  d Phân tích ngược tìm hướng giải: a  c ac a c ac ac a c a  c               b2  d bd b2 d bd b d  b   d  bd 2 (giả thiết toán) Hướng dẫn giải 2 a c a c a  c  ac a c   Từ:          b d b d b d  bd b d (1) a2 c2 a2  c2 Mà theo tính chất dãy tỷ số nhau:   b d b  d2 ac a  c  Từ (1) (2)  (đpcm) bd b  d Thí dụ Cho tỉ lệ thức  a  b c  d  Chứng minh:  a c  b d a, b, c, d  với cd ab cd Phân tích ngược tìm hướng giải:  a  b c  d  ab  a  b  a b a b a b a c          cd c d cd c d b d cd  Hướng dẫn giải a b  ac  ab  a  c  a c a b a b           Từ: c d bd  cd  b  d 2 b d c d cd  a  b c  d  Hay  ab cd (đpcm) (2) PHẦN 3: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Thí dụ Cho c{c số a, b, c thỏa mãn: Tính A  a  bc a c  b b c a   c b a  a  b  b  c  c  a  abc Hướng dẫn giải Sử dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a  b  c a  c  b b  c  a a  b  c   a  c  b   b  c  a     1 c b a abc a  b  c  c a  b  2c    a  c  b  b  a  c  2b  b  c  a  a  b  c  2a   A  a  b  b  c  c  a   2c.2a.2b  abc Thí dụ Cho abc 2x  3y  4z y z x y   Tính M = 3x  4y  5z Hướng dẫn giải Ta có: y y z y y x y x z x z    ;       15 20 20 24 15 20 24 3y 1 2x  3y  4z 4z    1  2x 30 60 96 30  60  96 4y 3x  4y  5z 5z    1  3x 45 80 120 45  80  120 2x  3y  4z 3x  4y  5z 2x 3x :  : 30  60  96 45  80  120 30 45 2x  3y  4z 2x  3y  4z 186 245  1 M   186 3x  4y  5z 3x  4y  5z 245  Thí dụ Cho 5x  3y x y  Tính gi{ trị biểu thức: C  10x  3y Hướng dẫn giải Đặt x y  x  3k  =k  Khi đó:  y  5k C= 5x  3y 5(3k)2  3(5k)2 45k  75k 120k   = =8 10x  3y 10(3k)  3(5k) 90k  75k 15k PHẦN 4: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Thí dụ a) Nếu b > 0, d > từ b) Nếu b > 0, d > từ a c a ac c    suy được: b d b bd d a c a ab  cd c  suy được:   b d b b2  d2 d Hướng dẫn giải a c    a) Ta có: b d   ad  bc  1 b  0; d    Thêm vào hai vế (1) với ab ta có: ad + ab < bc +ab  a  b  d  b c  a   a ac  b bd 2 Thêm vào hai vế (1) với dc ta có: ad + dc < bc + dc  d a  c   c  b  d  Từ (1) v| (2) suy từ ac c  bd d  3 a c a ac c     b d b bd d b) Ta có : a c   a.b c.d ab cd     b d  b b d.d b d b  0; d    Theo câu a) ta có: a ab  cd c    dpcm  b b2  d2 d PHẦN 5: BÀI TOÁN VỀ TỶ LỆ THỨC VÀ CHIA TỶ LỆ Phương pháp giải Bước 1:Dùng c{c chữ c{i để biểu diễn c{c đại lượng chưa biết Bước 2:Th|nh lập dãy tỉ số v| c{c điều kiện Bước 3:Tìm c{c số hạng chưa biết Bước 4:Kết luận Thí dụ Ba đội cơng nh}n I, II, III phải vận chuyển tổng cộng 1530 kg h|ng từ kho theo thứ tự đến ba địa điểm c{ch kho 1500m, 2000m, 3000m Hãy ph}n chia số h|ng cho đội cho khối lượng h|ng tỉ lệ nghịch với khoảng c{ch cần chuyển Phân tích đề bài: Vì ph}n chia số h|ng cho đội cho khối lượng h|ng tỉ lệ nghịch với khoảng c{ch cần chuyển nên ta có: 1500a  2000b  3000c Tổng số h|ng cần chuyển đến ba kho l| 1530 nên ta có: a  b  c  1530 Hướng dẫn giải Gọi số lượng h|ng chuyển tới ba kho l| a, b, c  a, b, c   Theo ta có: 1500a  2000b  3000c a  b  c  1530 Từ: 1500a  2000b  3000c  a b c   Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c a  b  c 1530      170 43  a  4.170  680 ; b  3.170  510 ; c  2.170  340 Vậy số h|ng cần chuyển tới ba kho A, B, C l|: 680 tạ, 510 tạ, 340 tạ Thí dụ Chu vi hình chữ nhật 28 dm Tính độ d|i cạnh, biết chúng tỉ lệ với 3; Phân tích đề bài: Trong hình chữ nhật có hai kích thước l| chiều d|i v| chiều rộng (cịn gọi l| hai cạnh hình chữ nhật) chiều rộng ngắn chiều d|i Hai cạnh chúng tỉ lệ với 3; cạnh ngắn tỉ lệ với cạnh d|i tỉ lệ với Nếu gọi hai cạnh hình chữ nhật l| a v| b lệ với v| nên ta có: 0  a  b Vì hai cạnh hình chữ nhật ti a b  Chu vi hình chữ nhật l|  a  b  nên ta có:  a  b   28  a  b  14 Như ta đưa b|i to{n dạng b|i {p dụng tính chất dãy tỉ số Hướng dẫn giải Gọi hai cạnh hình chữ nhật l| a v| b Theo ta có: 0  a  b a b   a  b   28 Từ  a  b   28  a  b  24 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có:  a  3.2  ; a b a  b 14    2 3  b  4.2  Vậy độ d|i hai cạnh hình chữ nhật l| 6cm v| 8cm Thí dụ Có 16 tờ giấy bạc loại 2000 đồng, 5000 đồng v| 10000 đồng, trị gi{ loại tiền Hỏi loại có tờ Phân tích đề bài: Gọi số tờ tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng v| 10000 đồng l| a, b, c Vì gi{ trị loại tiền nên ta có: 2000a  5000b  10000c Có 16 tờ giấy bạc c{c loại nên: a  b  c  16 Hướng dẫn giải Gọi số tờ tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng v| 10000 đồng l| a, b, c Theo ta có: 2000a  5000b  10000c Từ: 2000a  5000b  10000c  a  b  c  16 a b c   Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c a  b  c 16     2 5  1  a  5.2  10 ; b  2.2  c  1.2  Vậy số tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng, 10000 đồng l| 10 tờ, tờ v| tờ PHẦN 6: MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG GIẢI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC VÀ DÃY TỶ SỐ BẰNG NHAU Sai lầm thường gặp 1: Áp dụng: x y xy x y z xyz   hay    a b ab a b c abc Thí dụ Tìm số x,y biết x y  x.y =10 Sai lầm thường gặp: Ta có: x y x y 10     suy x = 2,y = 5 2.5 10 Lời giải đúng: x y x.x x y x 10 Từ       x   x  2 từ suy y  5 5 x = 2,y = x =-2, y = -5 Sai lầm thường gặp 2: Sai lầm bỏ qua điều kiện khác Thí dụ Cho tỉ số l| a b c   bc ca ab Tìm gi{ trị tỷ số Sai lầm thường gặp: Ta có a b c   bc ca ab Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có a b c abc abc      b  c c  a a  b b  c   c  a    a  b   a  b  c  Lời giải đúng: Ta có a b c   bc ca ab + Nếu a + b + c ≠ Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có a b c a bc abc     = b  c c  a a  b b  c    c  a    a  b   a  b  c  + Nếu a + b + c = b + c = -a; c + a = -b; a + b = -c nên tỉ số a b c ; ; -1 bc ca ab 26 Sai lầm thường gặp 3: Sai lầm xét lũy thừa bậc chẵn Thí dụ Tìm x biết x  60  15 x  Sai lầm thường gặp: x  60 2   x  1   15  60    x  1  900 nên x – = 30 x = 31  15 x  Lời giải đúng:   x  1   15  60    x  1  900 nên x – = 30 2 x – = - 31, x = 31 x = 29 C/ BÀI TẬP LUYỆN TẬP TỔNG HỢP Câu Cho a a a1 a2    n 1  n Và a1  a2   an  0;a1   a2 a3 an a1 Tính a2 ;a3 ; an  ? Câu Cho 11 1     (a; b; c  0; b  c) c 2a b a ac  b c b Chứng minh: Câu Cho số dương a;b;c; d Biết Và b  ac 2bd ;c  bd Chứng minh số lập thành tỉ lệ thức Câu Tìm c{c số x; y; z biết rằng: y  z 1 x  z  y  x     x y z x yz Câu Tìm số x, y, z biết rằng: 3x = 4y, 5y = 6z xyz = 30 Câu Cho a) a c  chứng minh rằng: c b a2  c2 a  b2  c b b) b2  a b  a  a2  c2 a 28 Câu Cho tỉ lệ thức a c  Chứng minh ta có c{c tỉ lệ thức sau ( giả thiết c{c tỉ lệ b d thức có nghĩa) (a  b) 3a  2b b,  (c  d ) 3c  2d 4a  3b 4c  3d a,  a c Câu a) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn: a b c d (a, b, c, d > 0)    2b 2c 2d 2a b) Cho Tính A = x y z x2  y  3z  100   2011a  2010b 2011b  2010c 2011c  2010d 2011d  2010a    cd ad ab bc Câu Cho dãy tỷ số nhau: 2012a  b  c  d a  2012b  c  d a  b  2012c  d a  b  c  2012d    a b c d Tính M  ab bc cd d a    cd d a ab bc Câu 10 Tìm x , y, z biết : 3x  y z  x y  3z x + y + z = 50   Câu 11 Ba bạn An, Bình v| Cường có tổng số viên bi l| 74 Biết số viên bi An v| Bình tỉ lệ với v| 6; số viên bi Bình v| Cường tỉ lệ với v| Tính số viên bi bạn Câu 12 Tìm c{c số a, b, c thỏa mãn a b b c  ;  a - b +c = -49 Câu 13 Cho a, b, c số thực khác Tìm số thực x, y, z khác thoả mãn: xy yz x2  y2  z2 zx    ay  bx bz  cy cx  az a  b  c Câu 14 a Tìm x; y; z biết b Cho x  ; 5x = 7z x – 2y + z = 32 y x  y z  5t x z Chứng minh:   3x  y 3z  7t y t Câu 15 1) Biết bz  cy cx  az ay  bx (với a, b, c  )   a b c Chứng minh rằng: x y z   a b c 2) Số M chia th|nh ba phần tỉ lệ nghịch với 3; 5; Biết tổng c{c lập phương ba phần l| 10728 Hãy tìm số M 34 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a a a  a   an 1  an a1 a2    n1  n  1 a2 a3 an a1 a2  a3   an  a1  a1   a2   a2 Tương tự a3   an  Câu Ta có: 11 1     c 2a b  1   c a b 1 1 1        c a b c a c c b   0 ca bc  0  1 a c c b       Mà c  c a b  a c c b   0 a b a ac (đpcm)   b c b Câu Ta có: c  2bd  2bd  c(b  d ) bd ac d  c(b  d )  (a  c)d  c(b  d )   ad  cd  cb  cd  ad  cb Vậy số dương a; b; c; d lập tỉ lệ thức Câu Theo tính chất dãy tỉ số ta có : y  z 1 x  z  y  x     x y z x yz = y  z   x  z   y  x  2( x  y  z )  2 x yz x yz ( Vì x + y + z  0) Do x+y+z = 0,5 Thay kết n|y v|o đề ta có: 0,5  x  0,5  y  0,5  z  1,5  x 2,5  y 2,5  z    tức   2 x y z x y z 5 Vậy x  ; y  ; z  6 Câu x Ta có: y y ; z x y z k x = 8k, y = 6k, z = 5k xyz = 30 8k.6k.5k = 30 x = 4, y = 3, z = 240k3 = 30 k= Câu a) Từ a c a  c a  a.b a ( a  b) a  suy c  a.b , 2  =  c b b c b  a.b b( a  b) b a2  c2 a b2  c b b) Theo câu a) ta có: 2   2  b c b a c a từ b2  c b b2  c b   1  1 2 2 a c a a c a b2  c  a  c b  a b2  a b  a  hay Vậy 2  a2  c2 a a c a Câu a, Ta có: a c a b 4a 3b 4a  3b       b d c d 4c 3d 4c  3d 4a  3b 4c  3d   a c b, Ta có: a c a b ab     b d c d c d 2 (a  b)2 a b    c d (c  d)2 a b 3a 2b 3a  2b2      c d 3c 2d 3c  2d Câu a) Ta có: 36 Từ 2 2 x2 y z2 2x2 2y 3z 2x  2y  3z 100 x y z ta có:        4   16 25 18 32 75 25 25  x    y   x  36  x  10   y  64    x  6  z  100  y  8    z  10 ( Vì x, y, z dấu) b) Ta có: Ta có a b c d abcd      2b 2c 2d 2a 2b  2c  2d  2a (do a,b,c,d > => a + b + c + d > 0) suy a = b = c = d Thay v|o tính P = Câu 2012a  b  c  d a  2012b  c  d a  b  2012c  d a  b  c  2012d    a b c d  2012a  b  c  d  2011  a  2012b  c  d  2011  a  b  2012c  d  2011  a  b  c  2012d  2011 a  b c d a bcd a bcd a bcd a bcd (*)    a b c d + Nếu a + b + c + d kh{c Từ (*) suy a = b = c = d Vậy M = + +1 +1 = + Nếu a + b + c + d =  a + b = - ( c + d) ; a + c = - ( b + d) ; a + d = - ( b +c) Vậy M = - - – – = - Câu 10 Từ 3x  y z  x y  3z 15 x  10 y z  15 x 10 y  z      25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 15 x  10 y z  15 x 10 y  z 15 x  10 y  z  15 x  10 y  z    0 25 38 x y 2  15 x  10 y  3x  y    x z  6 z  15 x   2 z  x    10 y  z  5 y  3z 2   z y 5   x y z x  y  z 50     5   10  x  10, y  15, z  25 Câu 11 + Gọi số viên bi An, Bình, Cường l| a, b, c Vì tổng số viên bi ba bạn l| 74 nên a  b  c  74 + Vì số viên bi An v| Bình tỉ lệ với v| nên a b a b    10 12 + Vì số viên bi Bình v| Cường tỉ lệ với v| nên + Từ ta có b c b c    12 15 a b c a bc 74     2 10 12 15 10  12  15 37 + Suy a  20; b  24; c  30 Câu 12 Vì a b a b b c b c a b c nên    ;      10 15 15 12 10 15 12 Áp dụng tính chất dãy tỷ số nhau, ta có: a b c a b c 49      7 10 15 12 10  15  12 Suy ra: a =10.(-7)=-70; b = 15.(-7) =-105; c = 12.(-7) =-84 Câu 13 Do x, y, z khác nên xy yz zx zxy xyz yzx      ay  bx bz  cy cx  az ayz  bxz bzx  cyx cxy  azy Suy ayz  bxz  bzx  cyx  cxy  azy  az  cx, bx  ay Do x z x y x y z  ,      t  x  at , y  bt , z  ct , t ≠ a c a b a b c xy x2  y2  z2 at.bt a 2t  b 2t  c 2t    Ta có ay  bx a  b  c abt  bat a2  b2  c2 Suy t  t  t  (do t ≠ 0) 2 Vậy x  a b c ,y ,z  2 ...    10 15 15 12 10 15 12 Áp dụng tính chất dãy tỷ số nhau, ta có: a b c a b c 49      ? ?7 10 15 12 10  15  12 Suy ra: a =10 .( -7) = -70 ; b = 15 .( -7) = -10 5; c = 12 .( -7) =-84 Câu 13 Do... 3z  ? ?10 0   2 011 a  2 010 b 2 011 b  2 010 c 2 011 c  2 010 d 2 011 d  2 010 a    cd ad ab bc Câu Cho dãy tỷ số nhau: 2 012 a  b  c  d a  2 012 b  c  d a  b  2 012 c  d a  b  c  2 012 d  ... 2 012 a  b  c  d a  2 012 b  c  d a  b  2 012 c  d a  b  c  2 012 d    a b c d  2 012 a  b  c  d  2 011  a  2 012 b  c  d  2 011  a  b  2 012 c  d  2 011  a  b  c  2 012 d  2 011