Chuyen de ti le thuc va tinh chat cua day ti so bang nhau chon loc

1 CHUYÊN ĐỀ: TỈ LỆ THỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỶ SỐ BẰNG NHAU Mục Lục Trang Lời nói đầu Tóm tắt lý thuyết chung Chủ đề Tìm số hạng chưa biết Dạng Tìm số hạng chưa biết Dạng Tìm nhiều số hạng chưa biết Chủ đề Chứng minh đẳng thức 11 Dạng Chứng tỏ rằng: ad = bc 11 Dạng Đặt k l| gi{ trị chung c{c tỷ số Tính c{c tỷ số a c ; b d 12 x m , theo k y n Dạng Dùng biến đổi đại số tính chất dãy tỉ số để biến đổi 14 từ vế thành vế Chủ đề Tính giá trị biểu thức 16 Chủ đề Tính giá trị biểu thức 18 Chủ đề Các toán tỷ lệ thức chia tỷ lệ 20 Chủ đề Sai lầm thường gặp giải toán tỷ lệ thức 23 Bài tập luyện tập tổng hợp 27 Hướng dẫn giải tập 34 CHUYÊN ĐỀ: TỈ LỆ THỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỶ SỐ BẰNG NHAU A/ TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa, tính chất cảu tỉ lệ thức a) Định nghĩa: Tỉ lệ thức l| đẳng thức hai tỉ số Tỷ lệ thức a c  b d a c  viết: a : b = c : d b d Trong đó: - a, b, c, d l| c{c số hạng tỷ lệ thức; - a v| d l| c{c số hạng ngo|i hay ngoại tỉ; - b v| d l| c{c số hạng hay trung tỉ; b) Tính chất Nếu - Tính chất (tính chất bản) a c  ad = bc b d Tính chất (tính chất ho{n vị) Nếu ad = bc v| a, b, c, d kh{c ta có c{c tỉ lệ thức: a c a b d c d b  ;  ;  ;  b d c d b a c a 2) Tính chất dãy tỉ số nhau: + Từ tỉ lệ thức a c a c ac ac b  d   ta suy    b d b d bd bd + Mở rộng: từ dãy tỉ số ta suy a c e   b d f a c e ace ace      b d f bd  f bd  f (giả thiết c{c tỉ số có nghĩa) 3.Chú ý: + Khi có dãy tỉ số 2:3:5 a b c   ta nói c{c số a, b, c tỉ lệ với c{c số 2; 3; ta viết a:b:c = + Vì tỉ lệ thức l| đẳng thức nên có tính chất đẳng thức, từ tỉ lệ thức a c  suy b d ka k c a c a  c  a c ra:       ; k  k  k   ;  (k1 , k2  0) b d k1b k2d b d  b d a c e từ   suy b d f c e a  c   e  a c e a            ;    d f b d   f  b d f b 3 B/ CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP PHẦN 1: TÌM SỐ HẠNG CHƯA BIẾT 1.Tìm số hạng chưa biết a) Phương pháp: {p dụng tính chất tỉ lệ thức Nếu a c b.c a.d a.d   a.d  b.c  a  ;b  ;c  b d d c b Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích trung tỉ chia cho ngoại tỉ biết, muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ biết b) Ví dụ minh họa: Thí dụ Tìm x biết: a) 0,52 : x   9,36 :16,38 b) x 3  5 x c) x2 x4  x 1 x  Hướng dẫn giải a) Ta có: -0,52 : x = -9,36 : 16,38  x  9,36   0,52.16,38  x  0,52.16,38  0,91 9,36 b) Cách 1: Ta có: x 3  5 x   x  3    x   x  21  25  x  12 x  46  x3 Cách 2: Từ x 3 x 3 5 x    5 x 7 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : x 3 5 x x 35 x     57 12 Do đó: x 3 5    x  3   x    x  6 c) Cách 1: Ta có: Cách 2: Từ x2 x4  x 1 x    x   x     x  1 x   x2 x4 2 x x4    x 1 x  1 x x  Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có :  x x    x    x  4      x x  1  x    x    x  x  x  14  x  x  x   x  14  x   x  x  4  14  x  10 Do đó: 2 x     x   1  x    x   3x 1 x  x5  x  3x    x  2.Tìm nhiều số hạng chưa biết x y z   a b c (1) x + y + z = d (2) Dạng : Tìm c{c số x, y, z thoả mãn : (trong a, b, c, a + b + c ≠ v| a, b, c, d l| c{c số cho trước) Cách giải: - Cách 1: Đặt x y z    k  x  ka, y  k b, z  kc a b c Thay x = ka, y = kb, z = kc vào (2) ta có: k.a + k.b + k.c = d  k  a  b  c   d  k  Từ tìm x  a.d bd cd ;y ;z  abc abc abc - Cách 2: {p dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x yz d ad bd cd     x ;y ;z  a b c a bc a b c a b c a b c a b c c)Ví dụ minh họa: d abc Thí dụ Tìm x , y biết rằng: x y 2x – y =  a) b) x y xy = 10  Hướng dẫn giải a) Từ tỉ số x y 2x  y 2x  y       3 5  1 Do đó: x = (-3).2 = -6 y = 5.(-3) = -15 b) Đặt x y   k  x  2k , y  5k Khi đó: xy = (2k).(5k) = 10k2 = 10  x  1 Với k = ta có: x = 2, y = Với k = -1 ta có x = -2, y = -5 Thí dụ Tìm x , y, z biết rằng: a) x y z   x +y + z = 27 b) x y z x + y - z =   Hướng dẫn giải a) Cách Đặt x y z    k  x  2k , y  3k , z  4k Từ x + y + z = 27 ta suy 2k  3k  4k  27  9k  27  k  Khi x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12 Vậy x = 6; y = 9; z = 12 - Cách Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x  y  z 27       x  2.3  6; y  3.3  9; z  4.3  12 23 b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x  y  z       x  2.1  2; y  3.1  3; z   4    4  23 Dạng : Cho x, y, z thoả mãn : x y z   a b c (1) x + y + z = d (2) Bằng c{ch biến đổi c{c điều kiện (1) v| (2) ta c{c b|i to{n phức tạp C{c c{ch điến đổi thường gặp: + Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) sau: * k1 x  k2 y  k3 z  e * k1 x  k2 y  k3 z  f * x.y.z = g + Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) sau: x - a  y y z ;  a2 a3 a4 - a2 x  a1 y; a4 y  a3 z - b1 x  b2 y  b3 z - b1 x  b3 z b2 y  b1 x b3 z  b2 y   a b c - x  b1 y2  b2 z3  b3   a1 a2 a3 +Thay đổi hai điều kiện Thí dụ Tìm x , y, z biết rằng: a) x y z   2x + 3y – 5z = -21 b) 6x = 4y = 3z 2x + 3y – 5z = 14 Hướng dẫn giải a) Cách 1: Đặt x y z   = k suy ra: x = 2k, y = 3k, z = 4k Do đó: 2x + 3y – 5z = 2.(2k) + 3.(3k) – 5.(4k) = -21  4k  9k  20k  21  7k  21  k  Vì thế: x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 14 Cách 2: Từ x y z x y 5z   suy   4 20 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x  y  z 21       x  6; y  9; z  12 20   20 7 b) Từ 6x = 4y = 3z  x y 3z x y z      12 12 12 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x  y  z 14      2  x  4; y  6; z  8 20   20 7 Thí dụ Tìm x , y, z biết rằng: a) a b c   a2  b2  2c2  108 b) x : y : z = : : x  y  3z  100 Hướng dẫn giải a) Ta có: a b c a b2 c      4 16 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b2 c a  b  2c 108     4 16   32 27 Do đó: a2   a  16  a  4 b2   b  36  b  6 c2   c  64  c  8 16 Vậy a = 4, b = 6, c = a = -4, b = -6, c = -8 x y z x2 y z   b) Ta có: x : y : z = 3: 4: nên    16 25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z 2 x  y  3z 100     4 16 25 18  32  75 25 2 Do đó: x2   x  36  x  6 y2   y  64  y  8 16 z2   z  100  z  10 25 Vậy x = 6, x = 8, z = 10 x = -6, y = -8, z = -10 Thí dụ Tìm x , y, z biết rằng: a) a b c   x.y.z = 648 b) 40 20 28 x.y.z = 22400   x  30 y  15 z  21 Hướng dẫn giải a) Cách 1: Đặt x y z   = k suy ra: suy ra: x = 2k, y = 3k, z = 4k Do đó: xyz= (2k).(3k).(4k) = 648  24k  648  k  648  27  k  24 Vì thế: x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 14 Cách 2: Từ x y z   x y z xyz 648  x         27 24   24 x3   27  x3  216  x  Từ tìm y = 9; z = 12 b, Từ giả thiết suy : x  30 y  15 z  21 x y z x y z            40 20 28 40 20 28 40 20 28  x  40k x y z     k   y  20k Đặt : 40 20 28  z  28k  Mà: x y.z  22400   40k   20k   28k   22400  22400k  22400  k  10  x  40k  40  Do đó:  y  20k  20  x  40, y  20, z  28  z  28k  28  Thí dụ Tìm x , y, z biết rằng: a) x y z x +y + z = 27  ;x  b) 3x = 2y; 4x = 2z x + y + z = 27 Hướng dẫn giải a) Do x y x y z x z    ; x    Suy 2 x y z   Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x  y  z 27       x  2.3  6; y  3.3  9; z  4.3  12 23 b) Từ 3x  y  x y x z  ; x  z   Suy x y z   Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x  y  z 27       x  2.3  6; y  3.3  9; z  4.3  12 23 Thí dụ Tìm x , y, z biết rằng: a) b) 3x  25 y  169 z  144   3x  y  z  169 144 25 169 x  3z y  x 3z  y   2x + 3y - 5z = 14 Hướng dẫn giải a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 3x  25 y  169 z  144  3x  y  z    25  169  144  169      144 25 169 338 338 Do đó: 35 0,5  x  0,5  y  0,5  z  1,5  x 2,5  y 2,5  z    tức   2 x y z x y z 5 Vậy x  ; y  ; z  6 Câu x Ta có: y y ; z x y z k x = 8k, y = 6k, z = 5k xyz = 30 8k.6k.5k = 30 x = 4, y = 3, z = 240k3 = 30 k= Câu a) Từ a c a  c a  a.b a ( a  b) a  suy c  a.b , 2  =  c b b c b  a.b b( a  b) b a2  c2 a b2  c b b) Theo câu a) ta có: 2   2  b c b a c a từ b2  c b b2  c b   1  1 2 2 a c a a c a b2  c  a  c b  a b2  a b  a  hay Vậy 2  a2  c2 a a c a Câu a, Ta có: a c a b 4a 3b 4a  3b       b d c d 4c 3d 4c  3d 4a  3b 4c  3d   a c b, Ta có: a c a b ab     b d c d c d 2 (a  b)2 a b    c d (c  d)2 a b 3a 2b 3a  2b2      c d 3c 2d 3c  2d Câu a) Ta có: 36 Từ 2 2 x2 y z2 2x2 2y 3z 2x  2y  3z 100 x y z ta có:        4   16 25 18 32 75 25 25  x    y   x  36  x  10   y  64    x  6  z  100  y  8    z  10 ( Vì x, y, z dấu) b) Ta có: Ta có a b c d abcd      2b 2c 2d 2a 2b  2c  2d  2a (do a,b,c,d > => a + b + c + d > 0) suy a = b = c = d Thay v|o tính P = Câu 2012a  b  c  d a  2012b  c  d a  b  2012c  d a  b  c  2012d    a b c d  2012a  b  c  d  2011  a  2012b  c  d  2011  a  b  2012c  d  2011  a  b  c  2012d  2011 a  b c d a bcd a bcd a bcd a bcd (*)    a b c d + Nếu a + b + c + d kh{c Từ (*) suy a = b = c = d Vậy M = + +1 +1 = + Nếu a + b + c + d =  a + b = - ( c + d) ; a + c = - ( b + d) ; a + d = - ( b +c) Vậy M = - - – – = - Câu 10 Từ 3x  y z  x y  3z 15 x  10 y z  15 x 10 y  z      25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 15 x  10 y z  15 x 10 y  z 15 x  10 y  z  15 x  10 y  z    0 25 38 37 x y 2  15 x  10 y  3x  y    x z  6 z  15 x   2 z  x    10 y  z  5 y  3z 2   z y 5   x y z x  y  z 50     5   10  x  10, y  15, z  25 Câu 11 + Gọi số viên bi An, Bình, Cường l| a, b, c Vì tổng số viên bi ba bạn l| 74 nên a  b  c  74 + Vì số viên bi An v| Bình tỉ lệ với v| nên a b a b    10 12 + Vì số viên bi Bình v| Cường tỉ lệ với v| nên + Từ ta có b c b c    12 15 a b c a bc 74     2 10 12 15 10  12  15 37 + Suy a  20; b  24; c  30 Câu 12 Vì a b a b b c b c a b c nên    ;      10 15 15 12 10 15 12 Áp dụng tính chất dãy tỷ số nhau, ta có: a b c a b c 49      7 10 15 12 10  15  12 Suy ra: a =10.(-7)=-70; b = 15.(-7) =-105; c = 12.(-7) =-84 Câu 13 Do x, y, z khác nên xy yz zx zxy xyz yzx      ay  bx bz  cy cx  az ayz  bxz bzx  cyx cxy  azy Suy ayz  bxz  bzx  cyx  cxy  azy  az  cx, bx  ay Do x z x y x y z  ,      t  x  at , y  bt , z  ct , t ≠ a c a b a b c xy x2  y2  z2 at.bt a 2t  b 2t  c 2t    Ta có ay  bx a  b  c abt  bat a2  b2  c2 Suy t  t  t  (do t ≠ 0) 2 38 Vậy x  a b c ,y ,z  2 Câu 14 x y x y x z x z x  (1); 5x = 7z     (2)     21 14 21 15 y a) Ta có Từ (1) v| (2) ta có: x y z x  y  z 32    4 = 21 14 15 21  28  15 Tìm được: x = 84; y = 56; z = 60 b) Đặt: x  y z  5t x 7k  = k  7x + 5y = k(3x – 7y)  (3k – 7) x= (7k + 5)y   (1)  3x  y 3z  7t y 3k  Tương tự: 7z + 5t = k( 3z – 7t)  (3k – 7)z = (7k + 5)t  z 7k   (2) t 3k  Từ (1) v| (2) suy điều phải chứng minh Câu 15 1) Với a, b, c  , ta có bz  cy cx  az ay  bx bza  cya bcx  baz acy  bcx =     a b c a2 b2 c2 = bza  cya + bcx  baz  acy  bcx  0 2 a b c a  b2  c2 Suy bz  cy y z =0 , bz  cy   (1) a b c cx  az x z = 0, cx  az   (2) b a c Từ (1) v| (2) suy x y c   a b z 2) Gọi ba phần chia số M l| x, y, z , ta x + y + z = M 1 Theo đề b|i ta có x : y : z  : : x3  y3  z  10728 (1) Hay x y z    k x3  y3  z  10728 10 Suy x3  103.k ; y3  63.k ; z  53.k Thay v|o (1), suy 20; y = 12; z =10 Câu 16 1341k   k  Vậy M = 42 39 Ta có: a c a c a     b d bd b a Mà:   b 2013 c   d  2013   a b  Từ (1) (2)    cd  2013 c   d  2013  a c    bd  2013 (1) a 2013 c 2013 a 2013  c 2013   b 2013 d 2013 b 2013  d 2013 2013  a 2013  b2013 c 2013  d 2013 (2) (đpcm) Câu 17 Ta có: x y z t x y  z t      y  z  t z  t  x t  x  y x  y  z 3 x  y  z  t   3x  y  z  t ; 3y  z  t  x ; 3z  t  x  y ; 3t  x  y  z  x  y  z t ; y  z  t  x ; z t  x  y ; t  x  y  z  A x y y  z z t t  x     1111   Z z t t  x x y y  z Vậy biểu thức A có giá trị nguyên (đpcm) Câu 18 Số A chia thành ba phần số tỉ lệ theo : : Biết tổng c{c bình phương ba số 24309 Tìm số A Gọi ba phần chia là: a, b, c Theo ta có: a : b : c  Ta có: a : b : c  a2  b2  c2  24309 : : a b c : :  24 : 45  10    24 45 10 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c a2 b2 c2 a  b2  c 24309        9 24 45 10 576 2025 100 576  2025  100 2701  a2  576.9  5184  a  72 Câu 19 Gọi diện tích ba hình chữ nhật l| S1 , S2 , S3 , chiều d|i, chiều rộng tương ứng l| d1 , r1; d2 , r2 ; d3 , r3 theo đề b|i ta có S1 S2  ;  d1  d2 ; r1  r2  27; r2  r3 , d3  24 S S3 Vì hình thứ v| hình thứ hai chiều d|i 40 S1 r1 r r r  r 27    1   3 S2 r2 9 Suy chiều rộng r1  12cm, r2  15cm Vì hình thứ hai v| hình thứ ba chiều rộng 7d S2 d 7.24    d2    21cm S3 d 8 Vậy diện tích hình thứ hai S2  d2 r2  21.15  315 cm2 Diện tích hình thứ S1  Diện tích hình thứ ba S3  4 S2  315  252 cm2 5 8 S2  315  360 cm2 7 Câu 20 Vì b  ac nên 2b = a + c 11  b d     hay 2bd = bc + cd c  b d  2bd Mặt kh{c : hay ad + cd = bc + cd ad = bc hay bốn số lập th|nh tỉ lệ thức Câu 21 Ta có : x   29  x  32  x   x  3 Thay v|o tỷ lệ thức ta :  16 y  25 z  49 y  25 z  49     2 16 25 16 25  y  7, z  Vậy x – 2y + 3z = – 2.(-7) + 3.1 = 19 Câu 22 Từ giả thiết   x  y  12 z  24 x y z         15 20 40 15 20 40  x  15k x y z    k   , Mà x y  1200  k  2 15 20 40  y  20k Câu 23 a, Từ : b, Từ : x  y  z  5  z  5   x  1   y  3  z  3x  y   34   =  30   16 3x  y z  x y  3z     => 3x  y z  x y  3z   3x  y  16  3 2z  4x    y  3z   12 x  y    z  12 x   8 y  z  27 0 41 3x  y x y z x yz   2 z  x      10   4 y  3z  Câu 24 3 x y z x y z x2 y z a, Từ GT ta có :               16 36  2  4 6  x  y  z 14    16  36 56 b,  x y z x y z x  y  3z 650         25 4 16 26 26 Câu 25 x Ta có : GT   y    x3  y  64   x3  y    x3  y  12   y 3x3  16  x3 x6  x  64k  y    y    k  1 64  y  k Câu 26  x  y  z  95 a, Từ : x  y  z  95    x  y  z  95 Nên x  y  z  b, Từ : x y z x yz 95     15 10 15  10  19 18 x y z  x  z 196 x  y  z =>     11 33 33  28 Câu 27 Ta có : GT  1  y   11  y  36  24  1  y   1  y   1  y  18  24  x  1   x  , 12 42  x Thay v|o tìm y Câu 28 5x  y  5x  y  5x  y     => 4x Nếu 5x-7y-7 ≠ x  , Thay v|o ta y = Nếu 5x-7y-7=0=> 5x-1=0=> x  ; y  Câu 29 GT  x  y x  y  x  y   x  y x x xy      13 16 8 200 x  => xy  200 x   x 8 y  200      y  25 42 TH1: x   y  TH2: y  25  x  40 Câu 30 Ta có : GT   3a  2b   2c  5a  6c  10b 5b  3c 5b  3c     0 25 34 17 3a  2b a b c a bc   5 => 2c  5a     10 5b  3c  Câu 31 ĐKXĐ: a  2, a  13 3b  125a  3b  125a  125a    6a  13 a 4 a  6a    Suy ra: a2  6a   0,  a  125   a  2(l), a  4 , Với a  4  b  2004 Câu 32 Ta có: GT  x z x 16 z 16      z  9.16  144  z  2 y y z z TH1: z  12   x  4k x 12      4k.3k  12  k   y  y  3k TH2: z  12 l|m tương tự Câu 33 Áp dụng dãy tỉ số ta có:  a1  a2   a100   1    100    a1  a2   a100    10100   100  99   100  99   5050 Câu 34 Từ gt => a b ab M a c 11 e 13   ;  ;  =>   11  11 18 b 11 d 13 f 17 Tương tự ta có: c d cd M e f e f M       M  BC (18;24;30) , 11 13 24 24 13 17 13  17 30 M số tự nhiên nhỏ có chữ số nên M=1080 Câu 35 a b c a b c a b c x y z Gọi phân số cần tìm ; ; ta có:    ,     x y z x y z 70 5 43 a b c abc 1 a x b y c z y x y z  :  :  :  x   z   70  5 71 5   5 10 => a b c  ;  ;  l| ba ph}n số cần tìm x 35 y z 14 Câu 36 Trừ 2011 vào vế tỉ số tỉ lệ thức ta được: a bcd a bcd a bcd a bcd    a b c d TH1: a  b  c  d   a  b  c  d  M  Th2: a  b  c  d   a  b    c  d   M  4 Câu 37 Từ GT ta nghịch đảo => bc ac ab   a b c Cộng vào tỉ số ta : abc abc a bc   a b c TH1 : a  b  c   a  b  c  A  TH2 : a  b  c   b  c  a, a  c  b, a  b  c  A  3 Câu 39 Từ GT ta có: Cộng (n+1) vào tỉ số dãy tỉ số ta được:  x y  z t x y  z t x y  z t x y  z t    x y z t  2012 2012 2012 2012 2012     x  y  z  t   503 x y z t Thay v|o ta tính P  x  2x  3x  x  x  503 Câu 40  x  z   y  x   y  z  y.( z).x  1 Ta có : B      x y.z  x  y  z  Câu 41 Với a, b, c khác , nghịch đảo giả thiết ta : ab bc ca 1 1 1 1             a  b  c ab bc ca a b b c c a a b c : P  Câu 42 a3  a3  a3 1 3a3 44 Từ GT ta có : y x y x yx yx x       xz z y xzz y y Câu 43 Từ GT ta có : a  b  13 thay v|o B ta : B  3b  39   b  3b  b  13  2b  39  2b  13   2b  26   13 2b  13 2b  39 2b  13 Câu 44 Từ GT ta có : x y z x  y  3z  x  y  3z  x  y  3z  x  y  3z        589 589 Khi : x  y  3z   P x  y  3z Câu 45 Từ 2a  b  2 4a 5b a a 54 625 a  b        M  3 3 b b 256 Câu 46 a  b  2t a  4 8  c  5t a  b  c b  c 10  c       t   Từ GT ta có:  t   b  b  c  3t  c  2 10  c  4t Câu 47 Cộng theo vế GT ta : x  y  z   ax  by  cz  , Thay x, y , z trở lại ta có :  x  y  z   z  cz   z 1  c   Tương tự ta có : Câu 48 2z  c 1 x  y  z 2x 2y , Khi ta có : Q   ,  a 1 x  y  z b 1 x  y  z a   b   c  Ta có : Q    1    1    1  bc   ca   ab  1   Q  a  b  c       2015  bc ca ab  Câu 50 a  b  k a b bc c a     k  b  c  k => Từ GT ta có: GT  1 1 c  a  k   M   k   k    2k   4k  4k  45 Câu 52 x  y  z  Từ GT ta có :  y  z   x  B   x y.z  2 z  x   y  Câu 53 Từ GT ta có : x3  1 ,y   x3  y   C  27 27 Câu 54 a b a  2012b a b  a  2012b  a b  a.c       b c b  2012c b c  b  2012c  c 2 Câu 55  a  a a a Từ GT ta có : 2018    a2 a3 a2019  a2018  2018  a  a  a   a2018     a2  a3  a4   a2019  2018 Câu 56 a b a  2014b a a b Từ: b  ac           b c b  2014c c b c n n 2 Mà a a b a      n  c b c b Câu 57 a c a1994  c1994  k.b    k d   Đặt   k  1994 b d b  d 1994 b1994  d 1994 1994  a  c    kb  kd  1994 1994 b  d  b  d  1994 1994  k 1994 1994  k 1994 Câu 58 Đặt  a  k.b a c , Thay vào biểu thức ta có:   k   b d c  kd  2a2  3ab  5b2 k  3k  2c2  3cd  5d k  3k     3k  3k 2b2  3ab 2d  3cd Câu 59 2 a.c 2010c 2009a a c a c a  c  a.c a c   =>            b.d 2010d 2009b b d b d b d  b.d b d Câu 60 46 GT=> 2a  13b 3a  7b  2a  13b    3a  7b  b a a c       2c  13d 3c  7d  2c  13d    3c  7d  d c b d Câu 61 GT  a.10  b b 10a a a b a b a.b a  b a           b.10  c c 10b b b c b c b.c b2  c c Câu 62 Ta có: x y zx x yzx y  z z  x y  z  z  x x  y    y  z    3 3  5 2 z  x zx yz zx x y zx x y zx  y  z   (2)   x  y    (1) 10 5 10 Từ (1) (2) ta có: x y yz  Câu 63 Vì a  d  b  c   a  d    b  c   2ad  2bc  2 a c  b d Câu 64 Đặt ax  by  k, cx  dy Chọn x  0, y   b k d Chọn x  1, y   a a b  k   c c d Câu 65 Ta có: a b c a c a b b c      k 2009 2011 2013 4 2 2 a  c  4k 2 a  c 4k      a  b  2k    4k  a  b  b  c   4k => VT= VP 4 b  c  2k  Câu 66 xz x y yz  xz  x y Từ gt =>        2 1 1  2   1   x  z  x  y y  z  yz      =>  1  Câu 67 Cộng theo vế c{c GT ta được: a  b  c   ax  by  cz    ax  a   2a  x  1  2a  x 1 a  b  c Chứng minh tương tự ta có: 2b 2c  ,  y 1 a  b  c z 1 a  b  c 47 Khi đó: 2a  b  c 1    2 x 1 y 1 z 1 abc Câu 68 x  yz y  zx z  xy x  yz y  zx z  xy    k  a  ,b  ,c  a b c k k k Đặt: => a x  bc   x yz  y z  Chứng minh tương tự: k2 y z  xy  xz  x yz a  bc   x3  y  z  3xyz  k x b2  ca c  ab  x3  y  z  3xyz  x3  y  z  3xyz => đpcm z y Câu 69 Giả sử: a=1=>b=1=> a  b2  24 Nếu: a, b  , Giả sử: 32 a  b  a 2004  a  1  b2004 1  b2  => a 2004  b2 , Vì a  b   b2  a2   a2  b2   2004 b 1 a  a  b2   24 32 32 Câu 70 Từ GT=> => 11 1 1 1           a ab c b c 1 1 1   , Tương tự:   0,   ab ac bc ab ac bc 1   Cộng theo vế ta được: =>       ab bc ca  Câu 71 Từ bx  ay  x2 y x2  y    a b ab a b x 2000 y 2000 x 2000 y 2000     2000  1000 1000 1000 1000 1000 a b a b  a  b a  b Câu 72 Xét x   a b 2a 2b 2c 1  , z 1  , Tương tự: y   ab a b bc ca Khi VT  8abc  a  b  b  c  c  a  Tương tự:  x   a b 2b 2c 2a  ,1  z  , 1 y  ab a b bc ca 48 Khi đó: VP  8abc  VT  a  b  b  c  c  a  Câu 73  b2  b2 2 Ta có: a  ab   15     a  ac  c    c   3   2c2  ab  ac  2c2  ab  ac  2ac  2c2  2ac  ab  ac  2c  c  a   a  b  c   2c b  c  a ac Câu 74 Từ 8y  x 8  23y  x 8  3y  x  (1) y 1 Và 3x  9y1     x  y  thay v|o (1) ta được: 3y  y    y   x  10 Câu 75 Vì a c   a.d  b.c Xét tích b d Cmtt ta có: a  b  d   ab  ad a ac => a  b  d   b  a  c     b bd b  a  c   ab  bc ac c  bd d Câu 76 Ta có : 1 1     a b a b a b a b ba Tính tương tự ta có : 1 1 ,     bc bc cb ca ca ac Cộng theo vế : 2   1   1             VT a b bc c a a b a c  bc ba  c a c b Câu 77 Từ GT ta có: ab  a ' b '  a ' b  abc  a ' b ' c  a ' bc Và bc  b ' c '  b ' c  a ' bc  a ' b ' c '  a ' b ' c Nên  abc  a ' b ' c '    a ' b ' c ' a ' bc    a ' bc  a ' b ' c   đpcm Câu 78 Vì a, b, c  0, chia giả thiết cho abc  Câu 79 y  z z  x x  y  x  y  z  x  y  z   x  y z  x   y  z      => ĐPCM bc ac ab ab  ac bc  ab ac  bc 49 Đặt a b c    k rút thay vào P a1 b1 c1 Câu 80 Ta có : k  ax  by  c  A B C    k  A  ka, B  kb, C  kc  Q  k a b c ax  by  c Câu 81 Sử dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x2 y2 z2 x2  y2  z2 a  x2  y2  z2           a b c ax by cz ax  by  cz b  ax  by  cz  Mặt kh{c theo tính chất dãy tỉ số ta có: a b c x2 y2 z2 x2  y2  z2       x y z a b c a  b2  c Do đó:  x2  y2  z2  x2  y2  z2 x2  y2  z2 (đpcm)      2 2 2 a b c  ax  by  cz   ax  by  cz  a  b  c Câu 82 Sử dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z xyz     xyz a b c abc x2 y2 z2      x  y  z a b c Mặt kh{c theo tính chất dãy tỉ số ta có: x2 y z2 x2  y2  z2     x2  y2  z2 a b2 c a  b2  c Do đó:  x  y  z  x  y  z  x  y  z   xy  yz  zx   x  y  z  xy  yz  zx  ... 5000 đồng v| 10000 đồng, trị gi{ loại ti? ??n Hỏi loại có tờ Phân tích đề bài: Gọi số tờ ti? ??n loại 2000 đồng, 5000 đồng v| 10000 đồng l| a, b, c Vì gi{ trị loại ti? ??n nên ta có: 2000a  5000b  10000c... kh{c ta có c{c tỉ lệ thức: a c a b d c d b  ;  ;  ;  b d c d b a c a 2) Tính chất dãy tỉ số nhau: + Từ tỉ lệ thức a c a c ac ac b  d   ta suy    b d b d bd bd + Mở rộng: từ dãy...  Từ:          b d b d b d  bd b d (1) a2 c2 a2  c2 Mà theo tính chất dãy tỷ số nhau:   b d b  d2 ac a  c  Từ (1) (2)  (đpcm) bd b  d Thí dụ Cho tỉ lệ thức  a  b c