chuyen de ti le thuc va tinh chat cua day ti so bang nhau

Phiếu học tập tuần toán 7 THCS TOANMATH com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 3 CHUYÊN ĐỀ TỈ LỆ THỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỶ SỐ BẰNG NHAU A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa, tính chất cảu tỉ lệ thức a) Định nghĩa Tỉ l.

3 CHUYÊN ĐỀ: TỈ LỆ THỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỶ SỐ BẰNG NHAU A/ TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa, tính chất cảu tỉ lệ thức a) Định nghĩa: Tỉ lệ thức l| đẳng thức hai tỉ số Tỷ lệ thức a c  b d a c  viết: a : b = c : d b d Trong đó: - a, b, c, d l| c{c số hạng tỷ lệ thức; - a v| d l| c{c số hạng ngo|i hay ngoại tỉ; - b v| d l| c{c số hạng hay trung tỉ; b) Tính chất Nếu - Tính chất (tính chất bản) a c  ad = bc b d Tính chất (tính chất ho{n vị) Nếu ad = bc v| a, b, c, d kh{c ta có c{c tỉ lệ thức: a c a b d c d b  ;  ;  ;  b d c d b a c a 2) Tính chất dãy tỉ số nhau: + Từ tỉ lệ thức a c a c ac ac b  d   ta suy    b d b d bd bd + Mở rộng: từ dãy tỉ số ta suy a c e   b d f a c e ace ace      b d f bd  f bd  f (giả thiết c{c tỉ số có nghĩa) 3.Chú ý: + Khi có dãy tỉ số a b c   ta nói c{c số a, b, c tỉ lệ với c{c số 2; 3; ta viết a:b:c = 2:3:5 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC + Vì tỉ lệ thức l| đẳng thức nên có tính chất đẳng thức, từ tỉ lệ thức a c  suy b d ka k c a c a  c  a c ra:       ; k  k  k   ;  (k1 , k2  0) b d k1b k2d b d  b d a c e từ   suy b d f c e a  c   e  a c e a            ;    d f b d   f  b d f b 3 B/ CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP PHẦN 1: TÌM SỐ HẠNG CHƯA BIẾT 1.Tìm số hạng chưa biết a) Phương pháp: {p dụng tính chất tỉ lệ thức Nếu a c b.c a.d a.d   a.d  b.c  a  ;b  ;c  b d d c b Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích trung tỉ chia cho ngoại tỉ biết, muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ biết b) Ví dụ minh họa: Thí dụ Tìm x biết: a) 0,52 : x   9,36 :16,38 b) x 3  5 x c) x2 x4  x 1 x  Hướng dẫn giải a) Ta có: -0,52 : x = -9,36 : 16,38  x  9,36   0,52.16,38  x  0,52.16,38  0,91 9,36 b) Cách 1: Ta có: x 3  5 x   x  3    x   x  21  25  x  12 x  46  x3 THCS.TOANMATH.com Cách 2: Từ x 3 x 3 5 x    5 x 7 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : x 3 5 x x 35 x     57 12 TÀI LIỆU TỐN HỌC Do đó: x 3 5    x  3   x    x  6 c) Cách 1: Ta có: Cách 2: Từ x2 x4  x 1 x    x   x     x  1 x   x2 x4 2 x x4    x 1 x  1 x x  Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có :  x x    x    x  4      x x  1  x    x    x  x  x  14  x  x  x   x  14  x   x  x  4  14  x  10 Do đó: 2 x     x   1  x    x   3x 1 x  x5  x  3x    x  2.Tìm nhiều số hạng chưa biết x y z   a b c (1) x + y + z = d (2) Dạng : Tìm c{c số x, y, z thoả mãn : (trong a, b, c, a + b + c ≠ v| a, b, c, d l| c{c số cho trước) Cách giải: - Cách 1: Đặt x y z    k  x  ka, y  k b, z  kc a b c Thay x = ka, y = kb, z = kc vào (2) ta có: k.a + k.b + k.c = d  k  a  b  c   d  k  Từ tìm x  d abc a.d bd cd ;y ;z  abc abc abc - Cách 2: {p dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x yz d ad bd cd     x ;y ;z  a b c a bc a b c a b c a b c a b c c)Ví dụ minh họa: THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TỐN HỌC Thí dụ Tìm x , y biết rằng: x y 2x – y =  a) b) x y xy = 10  Hướng dẫn giải a) Từ tỉ số x y 2x  y 2x  y       3 5  1 Do đó: x = (-3).2 = -6 y = 5.(-3) = -15 b) Đặt x y   k  x  2k , y  5k Khi đó: xy = (2k).(5k) = 10k2 = 10  x  1 Với k = ta có: x = 2, y = Với k = -1 ta có x = -2, y = -5 Thí dụ Tìm x , y, z biết rằng: a) x y z   x +y + z = 27 b) x y z x + y - z =   Hướng dẫn giải a) Cách Đặt x y z    k  x  2k , y  3k , z  4k Từ x + y + z = 27 ta suy 2k  3k  4k  27  9k  27  k  Khi x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12 Vậy x = 6; y = 9; z = 12 - Cách Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x  y  z 27       x  2.3  6; y  3.3  9; z  4.3  12 23 b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x  y  z       x  2.1  2; y  3.1  3; z   4    4  23 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC Dạng : Cho x, y, z thoả mãn : x y z   a b c (1) x + y + z = d (2) Bằng c{ch biến đổi c{c điều kiện (1) v| (2) ta c{c b|i to{n phức tạp C{c c{ch điến đổi thường gặp: + Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) sau: * k1 x  k2 y  k3 z  e * k1 x  k2 y  k3 z  f * x.y.z = g + Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) sau: x - a  y y z ;  a2 a3 a4 - a2 x  a1 y; a4 y  a3 z - b1 x  b2 y  b3 z - b1 x  b3 z b2 y  b1 x b3 z  b2 y   a b c - x  b1 y2  b2 z3  b3   a1 a2 a3 +Thay đổi hai điều kiện Thí dụ Tìm x , y, z biết rằng: a) x y z   2x + 3y – 5z = -21 b) 6x = 4y = 3z 2x + 3y – 5z = 14 Hướng dẫn giải a) Cách 1: Đặt x y z   = k suy ra: x = 2k, y = 3k, z = 4k Do đó: 2x + 3y – 5z = 2.(2k) + 3.(3k) – 5.(4k) = -21  4k  9k  20k  21  7k  21  k  Vì thế: x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 14 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC Cách 2: Từ x y z x y 5z   suy   4 20 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x  y  z 21       x  6; y  9; z  12 20   20 7 b) Từ 6x = 4y = 3z  x y 3z x y z      12 12 12 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x  y  z 14      2  x  4; y  6; z  8 20   20 7 Thí dụ Tìm x , y, z biết rằng: a) a b c   a2  b2  2c2  108 b) x : y : z = : : x  y  3z  100 2 Hướng dẫn giải a) Ta có: a b c a b2 c      4 16 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b2 c a  b  2c 108     4 16   32 27 Do đó: a2   a  16  a  4 b2   b  36  b  6 c2   c  64  c  8 16 Vậy a = 4, b = 6, c = a = -4, b = -6, c = -8 x y z x2 y z   b) Ta có: x : y : z = 3: 4: nên    16 25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z 2 x  y  3z 100     4 16 25 18  32  75 25 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TỐN HỌC Do đó: x2   x  36  x  6 y2   y  64  y  8 16 z2   z  100  z  10 25 Vậy x = 6, x = 8, z = 10 x = -6, y = -8, z = -10 Thí dụ Tìm x , y, z biết rằng: a) a b c   x.y.z = 648 b) 40 20 28 x.y.z = 22400   x  30 y  15 z  21 Hướng dẫn giải a) Cách 1: Đặt x y z   = k suy ra: suy ra: x = 2k, y = 3k, z = 4k Do đó: xyz= (2k).(3k).(4k) = 648  24k  648  k  648  27  k  24 Vì thế: x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 14 Cách 2: Từ x y z   x y z xyz 648  x         27 24   24 x3   27  x3  216  x  Từ tìm y = 9; z = 12 b, Từ giả thiết suy : x  30 y  15 z  21 x y z x y z            40 20 28 40 20 28 40 20 28  x  40k x y z     k   y  20k Đặt : 40 20 28  z  28k  Mà: x y.z  22400   40k   20k   28k   22400  22400k  22400  k  THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10  x  40k  40  Do đó:  y  20k  20  x  40, y  20, z  28  z  28k  28  Thí dụ Tìm x , y, z biết rằng: a) x y z x +y + z = 27  ;x  b) 3x = 2y; 4x = 2z x + y + z = 27 Hướng dẫn giải a) Do x y x y z x z    ; x    Suy 2 x y z   Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x  y  z 27       x  2.3  6; y  3.3  9; z  4.3  12 23 b) Từ 3x  y  x y x z  ; x  z   Suy x y z   Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x  y  z 27       x  2.3  6; y  3.3  9; z  4.3  12 23 Thí dụ Tìm x , y, z biết rằng: a) b) 3x  25 y  169 z  144   3x  y  z  169 144 25 169 x  3z y  x 3z  y   2x + 3y - 5z = 14 Hướng dẫn giải a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 3x  25 y  169 z  144  3x  y  z    25  169  144  169      144 25 169 338 338 Do đó: THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TỐN HỌC 11 3x  25 47   3x  25  72  x  47  x  144 y  169 25 363   y  169  y 25 2 z  144 169 119   z  144  z 169 2 b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có x  3z y  3z 3z  x x  3z  y  3z  3z  x    0 57 9  x  3z; y  3z;3z  x Từ 6x = 4y = 3z  x y 3z x y z      12 12 12 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x  y  z 14      2  x  4; y  6; z  8 20   20 7 Nhận xét: Các dạng toán vận dụng tỷ lệ thức tính chất dãy tỷ số phong phú đa dạng, trình bày số dạng thơng thường giao, nhiều bì tốn cần vận dụng kiến thức cách linh hoạt để giải tốt toán Sau đâu số tốn hay khó: PHẦN 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC Bài toán: Cho tỷ lệ thức x m a c  Cần chứng minh tỷ lệ thức  , ta thường làm y n b d phương pháp sau: Phương pháp Chứng tỏ : ad = bc Phương pháp 2: Đặt k l| gi{ trị chung c{c tỷ số x m a c ; Tính c{c tỷ số , theo k y n b d Phương pháp 3: Dùng biến đổi đại số v| tính chất dãy tỷ số để từ tỷ lệ thức cho biến đổi dần th|nh tỷ lệ thức phải chứng minh Phương pháp Chứng tỏ : ad = bc THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TỐN HỌC 12 Thí dụ Cho a, b, c, d kh{c từ tỷ lệ thức: a c a b c d   suy tỷ lệ thức: b d a c Hướng dẫn giải Xét tích:  a  b  c  ac  bc Từ 1 ; a  c  d   ac  ad  2 a c   ad  bc(3) b d Từ (1), (2), (3) suy (a - b)c = a(c - d) suy a b c d  a c Thí dụ Cho a, b, c thỏa mãn a2 = bc: ab ca  a) Chứng minh:  a  b, a  c  a b c a a2  c2 c  b  0 b) Chứng minh: b  a2 b Hướng dẫn giải a) Ta có:  a  b  c  a   ac  bc   a2  ab  ;  c  a  a  b   ac  a   ab  bc  Do đó:  a  b  c  a    c  a  a  b   ac  bc   a  ab   ac  a   ab  bc   bc  a  Mặt khác theo giả thiết: a2 = bc suy ra:  a  b  c  a    c  a  a  b      ab ca  (dpcm) a b c a        b) Ta có: b a  c  c b2  a  b a  bc  c bc  a  a  bc  b  c   Ta có: b  a  c   c  b2  a   a2  c2 c  b  0 b2  a b Phương pháp Đặt k l| gi{ trị chung c{c tỷ số Thí dụ Cho a c   c   CMR : b d  a  b  ab a,     c  d  cd  d , c  0, c  d  THCS.TOANMATH.com x m a c ; Tính c{c tỷ số , theo k y n b d 3  a b a b   3 cd  c d b,  TÀI LIỆU TOÁN HỌC 35 0,5  x  0,5  y  0,5  z  1,5  x 2,5  y 2,5  z    tức   2 x y z x y z 5 Vậy x  ; y  ; z  6 Câu x Ta có: y y ; z x y z k x = 8k, y = 6k, z = 5k xyz = 30 8k.6k.5k = 30 x = 4, y = 3, z = 240k3 = 30 k= Câu a) Từ a c a  c a  a.b a ( a  b) a  suy c  a.b , 2  =  c b b c b  a.b b( a  b) b a2  c2 a b2  c b b) Theo câu a) ta có: 2   2  b c b a c a từ b2  c b b2  c b   1  1 2 2 a c a a c a b2  a b  a b2  c  a  c b  a  hay Vậy 2  a2  c2 a a c a Câu a, Ta có: a c a b 4a 3b 4a  3b       b d c d 4c 3d 4c  3d 4a  3b 4c  3d   a c b, Ta có: a c a b ab     b d c d c d 2 (a  b)2 a b    c d (c  d)2 a b 3a 2b 3a  2b2      c d 3c 2d 3c  2d Câu a) Ta có: THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 36 Từ 2 2 x2 y z2 2x2 2y 3z 2x  2y  3z 100 x y z ta có:        4   25 25 16 25 18 32 75  x    y   x  36  x  10   y  64    x  6  z  100  y  8    z  10 ( Vì x, y, z dấu) b) Ta có: Ta có a b c d abcd      2b 2c 2d 2a 2b  2c  2d  2a (do a,b,c,d > => a + b + c + d > 0) suy a = b = c = d Thay v|o tính P = Câu 2012a  b  c  d a  2012b  c  d a  b  2012c  d a  b  c  2012d    a b c d  2012a  b  c  d  2011  a  2012b  c  d  2011  a  b  2012c  d  2011  a  b  c  2012d  2011 a  b c d a bcd a bcd a bcd a bcd (*)    a b c d + Nếu a + b + c + d kh{c Từ (*) suy a = b = c = d Vậy M = + +1 +1 = + Nếu a + b + c + d =  a + b = - ( c + d) ; a + c = - ( b + d) ; a + d = - ( b +c) Vậy M = - - – – = - Câu 10 Từ 3x  y z  x y  3z 15 x  10 y z  15 x 10 y  z      25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 15 x  10 y z  15 x 10 y  z 15 x  10 y  z  15 x  10 y  z    0 25 38 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 37 x y 2  15 x  10 y  3x  y    x z  6 z  15 x   2 z  x    10 y  z  5 y  3z 2   z y 5   x y z x  y  z 50     5   10  x  10, y  15, z  25 Câu 11 + Gọi số viên bi An, Bình, Cường l| a, b, c Vì tổng số viên bi ba bạn l| 74 nên a  b  c  74 + Vì số viên bi An v| Bình tỉ lệ với v| nên a b a b    10 12 + Vì số viên bi Bình v| Cường tỉ lệ với v| nên + Từ ta có b c b c    12 15 a b c a bc 74     2 10 12 15 10  12  15 37 + Suy a  20; b  24; c  30 Câu 12 Vì a b a b b c b c a b c nên    ;      10 15 15 12 10 15 12 Áp dụng tính chất dãy tỷ số nhau, ta có: a b c a b c 49      7 10 15 12 10  15  12 Suy ra: a =10.(-7)=-70; b = 15.(-7) =-105; c = 12.(-7) =-84 Câu 13 Do x, y, z khác nên xy yz zx zxy xyz yzx      ay  bx bz  cy cx  az ayz  bxz bzx  cyx cxy  azy Suy ayz  bxz  bzx  cyx  cxy  azy  az  cx, bx  ay Do x z x y x y z  ,      t  x  at , y  bt , z  ct , t ≠ a c a b a b c xy x2  y2  z2 at.bt a 2t  b 2t  c 2t    Ta có ay  bx a  b  c abt  bat a2  b2  c2 Suy t  t  t  (do t ≠ 0) 2 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 38 Vậy x  a b c ,y ,z  2 Câu 14 x y x y x z x z x  (1); 5x = 7z     (2)     21 14 21 15 y a) Ta có Từ (1) v| (2) ta có: x y z x  2y  z 32    4 = 21 14 15 21  28 15 Tìm được: x = 84; y = 56; z = 60 b) Đặt: x  y z  5t x 7k  = k  7x + 5y = k(3x – 7y)  (3k – 7) x= (7k + 5)y   (1)  3x  y 3z  7t y 3k  Tương tự: 7z + 5t = k( 3z – 7t)  (3k – 7)z = (7k + 5)t  z 7k   (2) t 3k  Từ (1) v| (2) suy điều phải chứng minh Câu 15 1) Với a, b, c  , ta có bz  cy cx  az ay  bx bza  cya bcx  baz acy  bcx =     a b c a2 b2 c2 = bza  cya + bcx  baz  acy  bcx  0 2 a b c a  b2  c2 Suy bz  cy y z =0 , bz  cy   (1) a b c cx  az x z = 0, cx  az   (2) b a c Từ (1) v| (2) suy x y c   a b z 2) Gọi ba phần chia số M l| x, y, z , ta x + y + z = M 1 Theo đề b|i ta có x : y : z  : : x3  y3  z  10728 (1) Hay x y z    k x3  y3  z  10728 10 Suy x3  103.k ; y3  63.k ; z  53.k Thay v|o (1), suy 20; y = 12; z =10 1341k   k  Vậy M = 42 Câu 16 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 39 Ta có: a c a c a     b d bd b a Mà:   b 2013 c   d  2013   a b  Từ (1) (2)    cd  2013 c   d  2013  a c    bd  2013 (1) a 2013 c 2013 a 2013  c 2013   b 2013 d 2013 b 2013  d 2013 2013  a 2013  b2013 c 2013  d 2013 (2) (đpcm) Câu 17 Ta có: x y z t x y  z t      y  z  t z  t  x t  x  y x  y  z 3 x  y  z  t   3x  y  z  t ; 3y  z  t  x ; 3z  t  x  y ; 3t  x  y  z  x  y  z t ; y  z  t  x ; z t  x  y ; t  x  y  z  A x y y  z z t t  x     1111   Z z t t  x x y y  z Vậy biểu thức A có giá trị nguyên (đpcm) Câu 18 Số A chia thành ba phần số tỉ lệ theo : : Biết tổng c{c bình phương ba số 24309 Tìm số A Gọi ba phần chia là: a, b, c Theo ta có: a : b : c  Ta có: a : b : c  a2  b2  c2  24309 : : a b c : :  24 : 45  10    24 45 10 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c a2 b2 c2 a  b2  c 24309        9 24 45 10 576 2025 100 576  2025  100 2701  a2  576.9  5184  a  72 Câu 19 Gọi diện tích ba hình chữ nhật l| S1 , S2 , S3 , chiều d|i, chiều rộng tương ứng l| d1 , r1; d2 , r2 ; d3 , r3 theo đề b|i ta có S1 S2  ;  d1  d2 ; r1  r2  27; r2  r3 , d3  24 S S3 Vì hình thứ v| hình thứ hai chiều d|i THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 40 S1 r1 r r r  r 27    1   3 S2 r2 9 Suy chiều rộng r1  12cm, r2  15cm Vì hình thứ hai v| hình thứ ba chiều rộng 7d S2 d 7.24    d2    21cm S3 d 8 Vậy diện tích hình thứ hai S2  d2 r2  21.15  315 cm2 Diện tích hình thứ S1  Diện tích hình thứ ba S3  4 S2  315  252 cm2 5 8 S2  315  360 cm2 7 Câu 20 Vì b  ac nên 2b = a + c 11  b d     hay 2bd = bc + cd c  b d  2bd Mặt kh{c : hay ad + cd = bc + cd ad = bc hay bốn số lập th|nh tỉ lệ thức Câu 21 Ta có : x   29  x  32  x   x  3 Thay v|o tỷ lệ thức ta :  16 y  25 z  49 y  25 z  49     2 16 25 16 25  y  7, z  Vậy x – 2y + 3z = – 2.(-7) + 3.1 = 19 Câu 22 Từ giả thiết   x  y  12 z  24 x y z         15 20 40 15 20 40  x  15k x y z    k   , Mà x y  1200  k  2 15 20 40  y  20k Câu 23 a, Từ : b, Từ : x  y  z  5  z  5   x  1   y  3  z  3x  y   34   =  30   16 3x  y z  x y  3z     => 3x  y z  x y  3z   3x  y  16 THCS.TOANMATH.com  3 2z  4x    y  3z   12 x  y    z  12 x   8 y  z  27 0 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 41 3x  y x y z x yz   2 z  x      10   4 4 y  3z  Câu 24 3 x y z x y z x2 y z a, Từ GT ta có :               16 36  2  4 6  x  y  z 14    16  36 56 b,  x y z x y z x  y  3z 650         25 4 16 26 26 Câu 25 x Ta có : GT   y    x3  y  64   x3  y    x3  y  12   y 3x3  16  x3 x6  x  64k  y    y    k  1 64  y  k Câu 26  x  y  z  95 a, Từ : x  y  z  95    x  y  z  95 Nên x  y  z  b, Từ : x y z x yz 95     15 10 15  10  19 18 x y z  x  z 196 x  y  z =>     11 33 33  28 Câu 27 Ta có : GT  1  y   11  y  36  24  1  y   1  y   1  y  18  24  x  1   x  , 12 42  x Thay v|o tìm y Câu 28 5x  y  5x  y  5x  y     => 4x Nếu 5x-7y-7 ≠ x  , Thay v|o ta y = Nếu 5x-7y-7=0=> 5x-1=0=> x  ; y  Câu 29 GT  x  y x  y  x  y   x  y x x xy      13 16 8 200 x  => xy  200 x   x 8 y  200      y  25 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 42 TH1: x   y  TH2: y  25  x  40 Câu 30 Ta có : GT   3a  2b   2c  5a  6c  10b 5b  3c 5b  3c     0 25 34 17 3a  2b a b c a bc   5 => 2c  5a     10 5b  3c  Câu 31 ĐKXĐ: a  2, a  13 3b  125a  3b  125a  125a    6a  13 a 4 a  6a    Suy ra: a2  6a   0,  a  125   a  2(l), a  4 , Với a  4  b  2004 Câu 32 Ta có: GT  x z x 16 z 16      z  9.16  144  z  2 y z z y TH1: z  12   x  4k x 12      4k.3k  12  k   y  y  3k TH2: z  12 l|m tương tự Câu 33 Áp dụng dãy tỉ số ta có:  a1  a2   a100   1    100    a1  a2   a100    10100   100  99   100  99   5050 Câu 34 Từ gt => a b ab M a c 11 e 13   ;  ;  =>   11  11 18 b 11 d 13 f 17 Tương tự ta có: c d cd M e f e f M       M  BC (18;24;30) , 11 13 24 24 13 17 13  17 30 M số tự nhiên nhỏ có chữ số nên M=1080 Câu 35 a b c a b c a b c x y z Gọi phân số cần tìm ; ; ta có:    ,     x y z x y z 70 5 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 43 a b c abc 1 a x b y c z y x y z  :  :  :  x   z   70  5 71 5   5 10 => a b c  ;  ;  l| ba ph}n số cần tìm x 35 y z 14 Câu 36 Trừ 2011 vào vế tỉ số tỉ lệ thức ta được: a bcd a bcd a bcd a bcd    a b c d TH1: a  b  c  d   a  b  c  d  M  Th2: a  b  c  d   a  b    c  d   M  4 Câu 37 Từ GT ta nghịch đảo => bc ac ab   a b c Cộng vào tỉ số ta : abc abc a bc   a b c TH1 : a  b  c   a  b  c  A  TH2 : a  b  c   b  c  a, a  c  b, a  b  c  A  3 Câu 39 Từ GT ta có: Cộng (n+1) vào tỉ số dãy tỉ số ta được:  x y  z t x y  z t x y  z t x y  z t    x y z t  2012 2012 2012 2012 2012     x  y  z  t   503 x y z t Thay v|o ta tính P  x  2x  3x  x  x  503 Câu 40  x  z   y  x   y  z  y.( z).x  1 Ta có : B      x y.z  x  y  z  Câu 41 Với a, b, c khác , nghịch đảo giả thiết ta : ab bc ca 1 1 1 1             a  b  c ab bc ca a b b c c a a b c : P  a3  a3  a3 1 3a3 Câu 42 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TỐN HỌC 44 Từ GT ta có : y x y x yx yx x       xz z y xzz y y Câu 43 Từ GT ta có : a  b  13 thay v|o B ta : B  3b  39   b  3b  b  13  2b  39  2b  13   2b  26   13 2b  13 2b  39 2b  13 Câu 44 Từ GT ta có : x y z x  y  3z  x  y  3z  x  y  3z  x  y  3z        589 589 Khi : x  y  3z   P x  y  3z Câu 45 Từ 2a  b  2 4a 5b a a 54 625 a  b        M  3 3 b b 256 Câu 46 a  b  2t a  4 8  c  5t a  b  c b  c 10  c       t   Từ GT ta có:  t   b  b  c  3t  c  2 10  c  4t Câu 47 Cộng theo vế GT ta : x  y  z   ax  by  cz  , Thay x, y , z trở lại ta có :  x  y  z   z  cz   z 1  c   Tương tự ta có : Câu 48 2z  c 1 x  y  z 2x 2y , Khi ta có : Q   ,  a 1 x  y  z b 1 x  y  z a   b   c  Ta có : Q    1    1    1  bc   ca   ab  1   Q  a  b  c       2015  bc ca ab  Câu 50 a  b  k a b bc c a     k  b  c  k => Từ GT ta có: GT  1 1 c  a  k   M   k   k    2k   4k  4k  THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 45 Câu 52 x  y  z  Từ GT ta có :  y  z   x  B   x y.z  2 z  x   y  Câu 53 Từ GT ta có : x3  1 ,y   x3  y   C  27 27 Câu 54 a b a  2012b a b  a  2012b  a b  a.c       b c b  2012c b c  b  2012c  c 2 Câu 55  a  a a a Từ GT ta có : 2018    a2 a3 a2019  a2018  2018  a  a  a   a2018     a2  a3  a4   a2019  2018 Câu 56 a b a  2014b a a b Từ: b  ac           b c b  2014c c b c n n 2 Mà a a b a      n  c b c b Câu 57 a c a1994  c1994  k.b    k d   Đặt   k  1994 b d b  d 1994 b1994  d 1994 1994  a  c    kb  kd  1994 1994 b  d  b  d  1994 1994  k 1994 1994  k 1994 Câu 58 Đặt  a  k.b a c , Thay vào biểu thức ta có:   k   b d c  kd  2a2  3ab  5b2 k  3k  2c2  3cd  5d k  3k     3k  3k 2b2  3ab 2d  3cd Câu 59 2 a.c 2010c 2009a a c a c a  c  a.c a c   =>            b.d 2010d 2009b b d b d b d  b.d b d Câu 60 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 46 GT=> 2a  13b 3a  7b  2a  13b    3a  7b  b a a c       2c  13d 3c  7d  2c  13d    3c  7d  d c b d Câu 61 GT  a.10  b b 10a a a b a b a.b a  b a           b.10  c c 10b b b c b c b.c b2  c c Câu 62 Ta có: x y zx x yzx y  z z  x y  z  z  x x  y    y  z    3 3  5 2 z  x zx yz zx x y zx x y zx  y  z   (2)   x  y    (1) 10 5 10 Từ (1) (2) ta có: x y yz  Câu 63 Vì a  d  b  c   a  d    b  c   2ad  2bc  2 a c  b d Câu 64 Đặt ax  by  k, cx  dy Chọn x  0, y   b k d Chọn x  1, y   a a b  k   c c d Câu 65 Ta có: a b c a c a b b c      k 2009 2011 2013 4 2 2 a  c  4k 2 a  c 4k      a  b  2k    4k  a  b  b  c   4k => VT= VP 4 b  c  2k  Câu 66 xz x y yz  xz  x y Từ gt =>        2 1 1  2   1   x  z  x  y y  z  yz      =>  1  Câu 67 Cộng theo vế c{c GT ta được: a  b  c   ax  by  cz    ax  a   2a  x  1  2a  x 1 a  b  c Chứng minh tương tự ta có: THCS.TOANMATH.com 2b 2c  ,  y 1 a  b  c z 1 a  b  c TÀI LIỆU TỐN HỌC 47 Khi đó: 2a  b  c 1    2 x 1 y 1 z 1 abc Câu 68 x  yz y  zx z  xy x  yz y  zx z  xy    k  a  ,b  ,c  a b c k k k Đặt: => a x  bc   x yz  y z  Chứng minh tương tự: k2 y z  xy  xz  x yz a  bc   x3  y  z  3xyz  k x b2  ca c  ab  x3  y  z  3xyz  x3  y  z  3xyz => đpcm z y Câu 69 Giả sử: a=1=>b=1=> a  b2  24 Nếu: a, b  , Giả sử: 32 a  b  a 2004  a  1  b2004 1  b2  => a 2004  b2 , Vì a  b   b2  a2   a2  b2   2004 b 1 a  a  b2   24 32 32 Câu 70 Từ GT=> => 11 1 1 1           a ab c b c 1 1 1   , Tương tự:   0,   ab ac bc ab ac bc 1   Cộng theo vế ta được: =>       ab bc ca  Câu 71 Từ bx  ay  x2 y x2  y    a b ab a b x 2000 y 2000 x 2000 y 2000     2000  1000 1000 1000 1000 1000 a b a b  a  b a  b Câu 72 Xét x   a b 2a 2b 2c 1  , z 1  , Tương tự: y   ab a b bc ca Khi VT  8abc  a  b  b  c  c  a  Tương tự:  x   THCS.TOANMATH.com a b 2b 2c 2a  ,1  z  , 1 y  ab a b bc ca TÀI LIỆU TOÁN HỌC 48 Khi đó: VP  8abc  VT  a  b  b  c  c  a  Câu 73  b2  b2 2 Ta có: a  ab   15     a  ac  c    c   3   2c2  ab  ac  2c2  ab  ac  2ac  2c2  2ac  ab  ac  2c  c  a   a  b  c   2c b  c  a ac Câu 74 Từ 8y  x 8  23y  x 8  3y  x  (1) y 1 Và 3x  9y1     x  y  thay v|o (1) ta được: 3y  y    y   x  10 Câu 75 Vì a c   a.d  b.c Xét tích b d Cmtt ta có: a  b  d   ab  ad a ac => a  b  d   b  a  c     b bd b  a  c   ab  bc ac c  bd d Câu 76 Ta có : 1 1     a b a b a b a b ba Tính tương tự ta có : 1 1 ,     bc bc cb ca ca ac Cộng theo vế : 2   1   1             VT a b bc c a a b a c  bc ba  c a c b Câu 77 Từ GT ta có: ab  a ' b '  a ' b  abc  a ' b ' c  a ' bc Và bc  b ' c '  b ' c  a ' bc  a ' b ' c '  a ' b ' c Nên  abc  a ' b ' c '    a ' b ' c ' a ' bc    a ' bc  a ' b ' c   đpcm Câu 78 Vì a, b, c  0, chia giả thiết cho abc  y  z z  x x  y  x  y  z  x  y  z   x  y z  x   y  z      => ĐPCM bc ac ab ab  ac bc  ab ac  bc Câu 79 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 49 Đặt a b c    k rút thay vào P a1 b1 c1 Câu 80 Ta có : k  ax  by  c  A B C    k  A  ka, B  kb, C  kc  Q  k a b c ax  by  c Câu 81 Sử dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x2 y2 z2 x2  y2  z2 a  x2  y2  z2           a b c ax by cz ax  by  cz b  ax  by  cz  Mặt kh{c theo tính chất dãy tỉ số ta có: a b c x2 y2 z2 x2  y2  z2       x y z a b c a  b2  c Do đó:  x2  y2  z2  x2  y2  z2 x2  y2  z2 (đpcm)      2 2 2 a b c  ax  by  cz   ax  by  cz  a  b  c Câu 82 Sử dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z xyz     xyz a b c abc x2 y2 z2      x  y  z a b c Mặt kh{c theo tính chất dãy tỉ số ta có: x2 y z2 x2  y2  z2     x2  y2  z2 a b2 c a  b2  c Do đó:  x  y  z  x  y  z  x  y  z   xy  yz  zx   x  y  z  xy  yz  zx  THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... 5000 đồng v| 10000 đồng, trị gi{ loại ti? ??n Hỏi loại có tờ Phân tích đề bài: Gọi số tờ ti? ??n loại 2000 đồng, 5000 đồng v| 10000 đồng l| a, b, c Vì gi{ trị loại ti? ??n nên ta có: 2000a  5000b  10000c... gọi hai cạnh hình chữ nhật l| a v| b lệ với v| nên ta có: 0  a  b Vì hai cạnh hình chữ nhật ti a b  Chu vi hình chữ nhật l|  a  b  nên ta có:  a  b   28  a  b  14 THCS.TOANMATH.com...  Từ:          b d b d b d  bd b d (1) a2 c2 a2  c2 Mà theo tính chất dãy tỷ số nhau:   b d b  d2 (2) ac a  c  Từ (1) (2)  (đpcm) bd b  d Thí dụ Cho tỉ lệ thức  a  b