Chuyên đề tỉ lệ thức

CHUYÊN ĐỀ: TỈ LỆ THỨC DẠNG 1: TÌM X Bài 1: Tìm x biết: x3 x 1   a, x  b, x  HD:   x  3   x    x  46  x  23 a,   x  1  x  1  7.9    1   1  x  b,   44  x    x  12   x  256  x  32 c, Bài 2: Tìm x biết: x y x x4   x4 a, 20 b, x  y ( tìm y ) HD:   x    100  102  x   �10 a, x  x  y  x  y  x  10 y   10 y b, 44  x x  12  c, x 1 x   c, x  x  3 5 �x  � �x  � x   x  x   x   �  1� �  1�    x2 x3 x2 x3 �x  � �x  � c, 1   x  3   x    x  1  x  Bài 3: Tìm x, y, z biết: 15 20 40 40 20 28     a, x  y  12 z  24 x.y=1200 b, x  30 y  15 z  21 x.y.z = 22400 HD: x  y  12 z  24 x y z         15 20 40 15 20 40 a, Từ gt �x  15k x y z     k  � 15 20 40 �y  20k , Mà x y  1200  k  �2  �x  40k �  �y  20k x  30 y  15 z  21 x y z       k �z  28k � 40 20 28 40 20 28 b, Từ gt �x  40 � x y.z  22400  �y  20 �z  28 � Mà: Bài 4: Tìm x, y, z biết: x 1 y  z  x 1 y  z      x - 2y +3z =14 x  y  z  50 a, b, HD : x  y  z   x  1   y     z    x  y  z        5 494 a, x  y  z   x  1   y     z  3  x  y  z       1   12 b, Bài 5: Tìm x, y, z biết: x 1 y  z      z  3x  y  50 a, b, x  y z  x y  z x  y  z  10 HD : x  y  z  5  z     x  1   y  3  z  x  y   34    = 30   16 a, Từ : 3x  y z  x y  3z     b, Từ : 3x  y z  x y  z =>   3x  y   3 2z  4x    y  3z    12 x  y    z  12 x    y  z  16 3x  y � x y z x yz �  � z  x      10 234 � y  3z � 27 0   Bài 6: Tìm ba số x, y, z biết : 2x  2y  z  x  y  z  17 Bài 7: Tìm số x,y,z biết chúng thỏa mãn đồng thời điều kiện sau : 3x  y  z  169 3x  25 y  169 z  144   144 25 169 HD : x  25 y  169 z  144  x  y  z    25  169  144  169      25 169 338 338 Từ : 144 144 47  x  25   72  x  , Tương tự cho y z Bài 8: Tìm x, y, z biết: x y z   2 2 2 a, x  y  z  585 b, x:y:z=3:4:5 x  y  3z  100 HD: x2 y z x2  y  z     9 25 49 25  49  a, x y z x y z 2 x  y  3z 100        4 16 25 18  32  75 25 b, Bài 9: Tìm x, y, z biết: a b c   2 2 2 a, a  b  2c  108 b, x : y : z  : : z  3x  y  594 HD: a b c a b c a  b  2c 108        4 16   32 27 a, x y z x y z z  x  y 594        9 16 25 125  27  32 66 b, Bài 10: Tìm số x, y, z biết: x3 y z x3 y3 z3     2 2 2 a, 64 216 x  y  z  14 b, 27 64 x  y  z  650 HD : 3 x y z x2 y z �x � �y � �z � x  y  z 14      � � � �  � �    16 36  16  36 56 a, Từ GT ta có : �2 � �4 � �6 � b,  x y z x y z x  y  z 650         25 4 16 26 26 x3  y x3  y  6 Bài 11: Tìm x, y biết: x y  64 HD : x  y    x3  y   x  y    x3  y  y 3 x3  GT     64 12  16 Ta có : � x3 x6 �x  64k  y    y  �  k  �1 64 �y  k 3x y 3z   2 Bài 12: Tìm x, y, z biết: 64 216 x  y  z  HD : x y z x2 y2 z2 2x2  y  z        64 4096 46656 8320  46656 38336 ( Vơ lý) Từ GT ta có : 64 216 Vậy không tồn x, y, z thỏa mãn : Bài 13: Tìm x, y, z biết: 2x y 4z 18   x y z x+y+z=49  x  y  z  120 a, b, 11 HD: x y z x y z x yz        1 3.6 4.4 5.3 18 16 15 49 a, x y z x y z  x  y  z 120         5 11.3 2.2 33 24 24 b, Bài 14: Tìm x, y, z biết: 18 x y z x  y  z  95 x  y  z  x  z  196 a, b, 11 HD : x  y  z  95 � x  y  z  95  � x  y  z  95 � a, Từ : x y z x yz �95 x  y  z      15 10 15  10  19 Nên 18 x y z  x  z 196 x y z     b, Từ : 11 => 33 33  28 x y z    x yz y  z  x  z  x  y  Bài 15: Tìm x,y,z biết: HD : x y z y  z 1 x  z  x  y       y  z  x  z  x  y  x y z Từ :  y  z  1   x  z     x  y  3  x  y  z    2 x yz x yz x yz  y  z   x  x  y  z  3x    x  x  z   y  x  y  z  y    y  => => x  y   z  x  y  z  3z    z  Bài 16: Tìm x, y, z biết : HD : y  x 1 x  z  z  y     x y z x y z Từ giả thiết => Cộng tử với tử ta : Khi : Và 1 2 x  y  z GT  x yz x  z   y  x  y  z  y   2 1  x  y  z  x yz  y  13 3  x  6 … y  z 1 x  z  x  y     x y z x yz z  y   z  z  y   Bài 17: Tìm x, y, z biết: HD : Từ GT => Tử + Tử + Tử = GT  2x  y  2z 1 2  x  y  z  x yz x yz y  z   x  x  y  z  3x    3x   x  2 Khi : Tượng tự để tìm y, z y  z 2 x  z 3 x  y 5    x y z x y z Bài 18: Tìm x, y, z biết: HD : Từ GT=> Tử + Tử + Tử => Khi : GT  2 x  y  z x yz y  z   x  x  y  z  3x   2 1  x  y  z  x yz  x  Làm tương tự cho y z x y z    x yz Bài 19: Tìm x, y, z biết: y  z  z  x  x  y  HD : x yz GT    x yz 2 x  y  z Ta có : 1 x  y  z   x  y  z  3x    x  2 Tương tự cho y z Khi : x  y  2 x  y 1   6x Bài 20: Tìm x, y biết: HD : 3y   x  1   y   x  y   y  GT    x    12 6x Từ 2x 1 y  2x  y    7x Bài 21: Tìm x, y biết: HD :  x  1   y   x  y  GT    x  59 7x Từ , Thay vào tìm y 1 y 1 y 1 y   24 6x Bài 22: Tìm x, biết: 18 HD :   y   1  y    y     y     y  1    x  GT   12 42  x 36  24 18  24  x Ta có : , Thay vào tìm y 5x 1 y  5x  y    4x Bài 23: Tìm x biết HD: 5x  y  5x  y  x  y     4x => x ;y Nếu 5x-7y-7 # x  , Thay vào ta y=3 Nếu 5x-7y-7=0=> 5x-1=0=> 1 3y 1 5y 1 y   5x 4x Bài 24: Tìm x, y biết: 12 HD :   3y  1  5y  1 5y  1  y GT   12  x 5x  4x Ta có : 2 y 2 y    12  x  x  x  12  x  12  x x Thay vào tìm y 7x  3y  12 y  2z x   y z  y  y Bài 25: Tìm x,y,z biết : 3x  y x  y 2  xz2  yz2   2  x �0 47  17 x z  Bài 26: Tìm x, y, z biết : a b c   Bài 27: Cho b c a a  b  c �0, a  2012 Tính b, c HD : a b c abc      a  b  c  2012 Từ : b c a b  c  a a b c   Bài 28: Cho b c a a  b  c �0, a  2017 Tính b, c HD: a b c abc      a  b  c  2017 Ta có: b c a a  b  c a b 10   , a  b �10 Bài 29: Tìm a, b biết: b 10 a HD: a b 10 a  b  10      a  b  10 Ta có: b 10 a a  b  10 x y z   2018 2019 Bài 30: Tìm ba số thức x, y, z khác biết : y z x x  y  a b c ; ; Bài 31: Cho số hữu tỉ nhau: b  c c  a a  b a  b  c �0 , Tính giá trị tỉ số HD : a b c abc     b  c c  a a  b 2 a  b  c a b c x   b  c c  a a  b , tỉ số có nghĩa Bài 32: Tìm x biết : HD : a b c x    1  a b  a Nếu a+b+c=0 b+c= -a, a+c= -b, a+b= -c a b c a b c x     b  c c  a a  b 2 a  b  c Nếu a+b+c �0 x x 2  16 y y Bài 33: Tìm x, biết: , HD : x x 1     16   y   x  16.8 y y y Ta có : y �x  y  z  94 � 3x  y  z Bài 34: Tìm x, y, z biết: � � a  b  c  260 � a  3b  0,3(b  c ) Bài 35: Tìm a, b, c biết: � HD: a b  c a  b  c 260 60 a b     200  a  60, b   20  c a  3b   1,3 1,3 3 , 0, Từ Bài 36: Tìm a, b, c biết: (a+b) : ( – c): (b+c) : (10 +c)=2:5:3:4 HD : a  b  c b  c 10  c GT     t Từ a  b  2t �  �  b  8, a  4   c    10  c   c  2  t  b  c  3t � mà a b c b c a       abc  Bài 37: Tìm số a, b, c �Z biết : b c a a b c HD : �a b c � �b c a � �a c � �b a � �c b � GT  �   � �   �  �  � �  � �  � �b c a � �a b c � �b b � �c c � �a a � Ta có : �a  b  c � �a  b  c � �a  b  c � 1  � a  b  c      � � � � � � a �� b �� c � , Vì a b c 1 1 1 �1 �1 �1    �3  a  b  c  b c a b c Do a,b,c nguyên nên a x y x y xy   13 200 Bài 38: Tìm x, y biết: HD: x  y x  y  x  y   x  y x x xy GT       13 16 8 200 x0 � xy  200 x   x  y  200    � �y  25 => TH1: x   y  TH2: y  25  x  40 3a  2b 2c  5a 5b  3c   Bài 39: Tìm ba số a,b,c biết: a+b+c=-50 HD :  3a  2b   2c  5a  6c  10b 5b  3c 5b  3c GT      0 25 34 17 Ta có : 3a  2b � a b c abc � 2c  5a      5 � 10 � 5b  3c => � z  10 y 10 x  3z y  x   10 Bài 40: Tìm x,y,z biết : 2x+3y-z=40 HD: z  10 y 10 x  3z  z  10 y   10 x  3z  GT     16 Ta có: z  10 y � 40 x  30 y 30 y  40 x �     � 10 x  z 13 100 � 3y  4x � x y z x  y  z 40     5 => 10  12  10 12 x  15 y 20 z  12 x 15 y  20 z   11 Bài 41: Tìm x, y, z biết: x+ y+ z=48 HD:  12 x  15 y    20 z  12 x    15 y  20 z  GT  0   11 Ta có: x y x y 12 x  15 y   12 x  15 y     15 12 => x z x y z x  y  z 48       5   12 làm tương tự ta được: 5z  6y 6x  4z 4y  5x   Bài 42: Tìm x, y, z biết: 3x  2y  5z  96 x  3y 3y  9z 5z  15x   114 115 Bài 43: Tìm x, y,z biết: 19 x+y+2z= -31 3b 1 125a  3b   1 125a 6a  13 Bài 44: Tìm cặp số a, b thỏa mãn: a  HD: 13 a ��2, a � ĐKXĐ: 3b 1 125a  3b 1 125a 1 125a    2 6a  13 a 4 a  6a  � � a2  6a   0,�a � � � 125� Suy ra: a  2(l), a  4 , Với a  4  b  2004 Bài 45: Tìm x,y,z biết : xy  z ; yz  x ; xz  16 y HD: x z x 16 z 16 GT       z  9.16  144  z  �2 y y z z Ta có: z  12  �x  4k x 12    �  4k 3k  12  k  � y �y  3k TH1: TH2: z  12 làm tương tự a100  100 a1  a2     a ; a ; a100 , biết: 100 a  a  a   a100  10100 99 Bài 46: Tìm số: HD: Áp dụng dãy tỉ số ta có:  a1  a2   a100       100    a1  a2   a100    10100   100  99   100  99   5050 a1  a2  a3  a 9     a , a , a , , a , biết : , Bài 47: Tìm a1  a2  a3   a9  90 Bài 48: Tìm số tự nhiên M nhỏ có chữ số thỏa mãn điều kiện: M  a  b  c  d  e  f biết: a, b, a 14 c 11 e 13  ;  ;  * c, d, e, f thuộc N b 22 d 13 f 17 HD: a c 11 e 13 a b ab M  ;  ;     Từ gt=> b 11 d 13 f 17 => 11  11 18 c d cd M e f e f M       24 24 13 17 13  17 30 M �BC (18; 24;30) , M Tương tự ta có: 11 13 số tự nhiên nhỏ có chữ số nên M=1080 x4  Bài 49: Tìm x,y biết:  y x+y=22 HD : Ta có : GT  x  28  28  y  x y x y   2 11 x y 2 x  y  38 Bài 50: Tìm x, y biết: HD: x y x2 y x2  y Gt       72 25 19 36 Ta có: 2 Khi đó: x  200  x  � 200 y  162  y  � 162 Bài 51: Tìm số hữu tỉ a,b biết : a-b=a :b a-b=3(a+b) HD: a a  b   a  b   2a  4b  a  2b   2 b Ta có: a  a  b  a  b  2  a  b  Mà b thay vào a  b   a  b   2   2b    6b   b = Bài 52: Hãy tìm tất số có hai chữ số biết tổng, hiệu, tích chữ số số ba số nguyên dương tỉ lệ với 35: 210: 12 HD: ab  a �0, a, b � 0;1; 2; ;9  Gọi số cần tìm là: , Giả sử : a>b  a  b   a  b  a.b a  b a  b ab    210 12 35.6 6.35 12 Theo ta có : 35  6a  6b  a  b  5a  7b , Vơ lý a, b dấu Bài 53: Tìm hai số hữu tỉ a,b biết hiệu a b thương a b lần tổng a b, HD: a a a  b    a  b   a  b   a  b    3 b b Theo ta có: � 9 a  b  3 a � � � �  � 3  � 3 ab  � � b � � 2x  y 3y  2z  , x  z  2y 15 Bài 54: Tìm x,y,z biết: HD : Từ x+y=2z ta có : x-2y+z=0 hay 2x-4y+2z=0 hay 2x-y-3y+2z=0 hay 2x-y=3y-2z 2x  y 3y  2z  x y 15 Mà nên 2x-y=3y-2z=0 Từ 2x-y=0=> y yz0 yz0 y z hay hay Từ 3y-2z=0 x+z=2y=> x+z+y-2z=0 hay � � x z �x  z , y  z, z �R � � Vậy giá trị x,y,z cần tìm � => 1 Bài 55: Tìm phân số có tổng chúng 70 , tử chúng tỉ lệ với 3:4:5 mẫu số tương ứng chúng tỉ lệ với 5:1:2 HD : a b c a b c a b c x y z ; ;   1 ,     x y z x y z 70 Gọi phân số cần tìm ta có: a b c abc 1 a x b y c z y x y z  :  :  :  x   z   70  5 71 5   5 10 a b c  ;  ;  => x 35 y z 14 ba phân số cần tìm 0,5;1 ;2 , tìm số M biết rẳng tổng bình phương ba số Bài 56: Số M chia làm số tỉ lệ với 4660 HD : 20 27   : :  : :  : 20 : 27 Ta có : 0,5 : 3 : 4 nên ta có : 12 12 12 Giả sử M chia thành số x ;y ;z Theo ta có : x y z x2 y2 z2 x2  y2  z2 4660          22 2 20 27 20 27  20  27 1165 2 2 2 => x  12  x  �12, y  40  y  �40, z  54  z  �54 Vậy M=12+40+54=106 M=-106 HD : x y z x  y  5z x  y  5z x  y  5z      A   x  y  z 13 Từ GT ta có : 10  12  15 10  12  15 2a  5b 4a  b a A   a  3b 8a  2b biết: b Bài 31: Tính giá trị biểu thức sau: HD :  2a  5b  4a  b  4a  3b  A    a  3b   8a  2b  Từ GT 4a  10b 4a  b 3b  10b 3b  b 7b 4b  A        4a  12b 16a  4b 3b  12b 12b  4b 9b 8b 18 a  54 2a  b   a  b  , M  b  44 Bài 32: Cho Tính HD: 2 4a 5b a a 54 625 2a  b  a  b        M  3 3 b b 256 Từ abc A a  b  c , biết a,b, c có quan hệ:  a  b  :   c  :  b  c  :  10  c   : : : Bài 33: Tính HD: �a  b  2t a  4 � �  c  5t � �  �  t   � b8 b  c  t a  b  c b  c 10  c � � c  2    t � � 10  c  t � Từ GT ta có: 3x  y x  , Bài 34: Cho x  y Tính y P x y x  a( x, y �0) x  y biết: y Bài 35: Tính HD : x ay  y a   a  x  ay  P   y ay  y a 1 Vì x  16 y  25 z    16 16 x3   15 Tính A= x+y+z Bài 36: Cho HD : 18 y  25 x   15  x  16  x     y  57  z  23 16 Từ GT=> Thay vào A ta : A   57  23  82 ab b c A  2,  b  c biết: a b Bài 37: Tính HD : Từ GT => b  2a, c  3b Thay vào A ta : A a  2a 3a a 3     b  3b 4b b Q 1   1 a 1 b 1 c Bài 38: Cho x = by +cz, y = ax +cz, z = ax +by x +y +z �0 Tính giá trị : HD : x  y  z   ax  by  cz  Cộng theo vế GT ta : , Thay x, y , z trở lại ta có : 2z  c 1 x  y  z 2x 2y  ,  Tương tự ta có : a  x  y  z b  x  y  z , Khi ta có : Q  1 1 a b c    Q   bc ca ab Bài 39: Cho a+b+c=2015 a  b b  c c  a , Tính HD : �a ��b �� c � Q�  1� �  1� �  1� b  c c  a a  b � �� �� � Ta có : 1 � �1 Q   a  b  c �   �  2015  �b  c c  a a  b �  x  y  z   z  cz   z   c   a b c   Bài 40: Cho số a, b, c thỏa mãn: 2009 2010 2011 Tính giá trị biểu thức: M  4(a  b)(b  c )  (c  a ) HD: a  b  k � a b b c c a � GT     k  � b  c  k 1 1 � c  a  2k � Từ GT ta có: => 2  M    k    k    2k   4k  4k  a b c   Bài 41: Cho ba số a,b,c thỏa mãn: 2014 2015 2016 , Tính giá trị biểu thức: M   a  b  b  c   c  a  HD : a  b  k � a b b c c a � GT     k  � b  c  k 1 1 � c  a  2k � Từ GT ta có:  M    k    k    2k   4k  4k  B   x  y  y  z   z  x Bài 42: Tính giá trị của: , biết: xyz  & x  y  z  HD : �x  y   z � �y  z   x  B   x y.z  2 �z  x   y Từ GT ta có : � 13  23  33   103   x  y   x3  y   x  y   x  0,  3 ; y  C 2 2     10 Bài 43: Tính biểu thức: Với HD : 1 x3  , y   x  y   C  27 27 Từ GT ta có : Bài 44: Cho a, b,c khác đơi khác thỏa mãn : Tính A  c (a  b) a  b  c   b  a  c   2013 , DẠNG 3: CHỨNG MINH RẰNG a c  Bài 1: Cho b d Chứng minh rằng: ab cd ac bd   d d a, b b, c HD: a c �a � �c �   �  a � �  1� �b � �d � a, b d a b c d  c c, a a c a b �a � �b � a  c b  d     �  1� �  1�  b d c d c d c d � � � � b, a c b d � b� � d�     �  � � 1 � b d a c a c� � � � c, a c  Bài 2: Cho b d Chứng minh rằng: a ac ab cd   a, b b  d b, a  b c  d HD: a c ac   a, b d b  d a c a b a b ab ab cd        c d cd cd ab cd b, b d a c a b a b ab ca GT       b a ca ca ab ca c, a c  Bài 3: Cho b d Chứng minh rằng: ab ca  c, Với a2=b.c a  b c  a 7a  3ab 7c  3cd a  b2 a   2 2 11c  8d c a, 11a  8b b, với b  ac b  c HD: a c a b a b a.b 7a  3ab 11a  8b         c d c d c.d 7c  3cd 11c  8d a, b d a b a b2 a b a  b2 a      2  b c b c b c c b, b c a c 3a  2c a 3a  2c GT      b d 3b  2d b 3b  2d c, a c  Bài 4: Cho b d , Chứng minh rằng: a c 2a  5b 2c  5d   a, a  b c  d b, 3a  4b 3c  4d a c a  c ac   2 bd Bài 5: Cho b d Chứng minh rằng: b  d HD: a c a c a.c a  c      b d b.d b  d Ta có: b d a c 5a  3b 5c  3d   Bài 6: Cho b d , Chứng minh rằng: 5a  3b 5c  3d a 3a  2c  c, b 3b  2d 2018a  2019b 2018c  2019d  c, 2019c  2020d 2019a  2020b HD: a c 5a  3b 5a  3b 5a  3b 5c  3d      5c  3d 5c  3d 5a  3b 5c  3d Ta có: b d a c a2  c2 a   2 b Bài 7: Cho c b Chứng minh rằng: b  c HD: a c a2 c2 a c a2  c2 a       c b c b c  b2 b Từ: c b a b a  b2 a   2 d Bài 8: Chứng minh : b d Thì b  d HD : a b a b2 a  b2 a b a        b d b d b  d2 b d d Từ GT xa  yb xc  yd a c   zc  td Bài 9: Cho b d , Các số x, y, z, t thỏa mãn : xa  yb �0, zc  td �0 CMR : za  tb HD : a b ax by ax  by az tb az  tb          c d cx dy cx  dy cz td cz  td Từ GT ĐPCM 2 �a  b � a  b a c a.d a  b    � � 2 Bài 10: Cho tỉ lệ thức: b d , Chứng minh rằng: c.d c  d �c  d � c  d HD: a c a b a.b a b a  b        c d c.d c d c  d Từ b d a b ab a2 b2  a  b  a  b2       2 c d cd c d cd c d a (a  2012b)  2 Bài 11: Cho a, b, c �R, a, b, c �0, thỏa mãn: b  a.c Chứng minh rằng: c (b  2012c ) HD: a b a  2012b a b  a  2012b  a b  a.c       b c b  2012c b c  b  2012c  c �a  b  c � a a b c   � � b  c  d � � d b c d Bài 12: Cho: , Chứng minh rằng: HD: a b c a  b  c �a  b  c � a b c a    � �  Ta có: b c d b  c  d �b  c  d � b c d d a2  ac b2  bd a c   Bài 13: Cho b d , CMR: c  ac d  bd a13  a23  a33 a1  2 3 a , a , a , a a  a a a  a a a  a  a a4 3 4 Bài 14: Cho số thỏa mãn: , , Chứng minh : HD: a1 a2 a2 a3 a1 a2 a3 a13 a23 a33 a13  a23  a33 a1 a2 a3 a1  ,           a2 a3 a4 a2 a3 a4 a2  a33  a43 a2 a3 a4 a4 Từ GT => a2 a3 a3 a4 2018 �a  a   a2018 � a1 a2 a3 a a     2018 , CMR :  �1 � a2 a3 a4 a2019 a2019 �a2  a3   a2019 � Bài 15: Cho HD : 2018 2018 �a � �a  a  a   a2018 � a1 a2 a 2018  � �  � � a2 a3 a2019 �a2018 � a2  a3  a4   a2019 � � Từ GT ta có : n �a  2014b � a � � b  2014 c b  a c � � c , Khi n = ? � Bài 16: Cho a,b,c 0, t/m HD: n n a b a  2014b �a � �b � a b  ac     � � � � b c b  2014c �b � �c � c Từ: a a b �a �   � � n  Mà c b c �b � a c b a  c  b3 a    3 d Bài 17: Cho c d d , CMR: c  b  d HD : a c b a c b3 a       c b d d Ta có : c b d a c b3 a a  c  b3  3 3  3 b d d c b  d3 Áp dụng tính chất dãy tỉ số : c a1994  c1994  a  c  a c   b1994  d 1994  b  d  1994 b d Bài 18: Cho , CMR : HD : 1994 a c a1994  c1994  k b    k d    k  1994   k 1994 1994 1994 1994 b d b d Đặt b d 1994 1994  a  c    kb  kd   k 1994 1994 1994 bd bd 2a2  3ab  5b2 2c2  3cd  5d2 a c   2b2  3ab 2d2  3cd ,Với điều kiện mẫu thức xác định Bài 19: Cho tỉ lệ thức: b d ,CMR: HD: � a  k.b a c   k  � b d c  kd � Đặt , Thay vào biểu thức ta có: 1994 1994 2a2  3ab  5b2 k2  3k  2c2  3cd  5d2 k2  3k     3k  3k 2b2  3ab 2d2  3cd x y z bz  cy cx  az ay  bx     a b c Bài 20: Cho số a, b, c, x, y, z t/m a b c , Chứng minh rằng: HD: �x  ak x y z �    k  �y  bk a b c �z  ck � Đặt: bz  cy bck  bck cx  az ay  bx    0,  0, 0 a a b c và => đpcm a c ac 2009a  2010c   2 Bài 21: Cho b d , CMR : bd 2009b  2010d HD : 2 a c a c �a � �c � a.c a c a.c 2010c 2009a    � � � �     b d b d �b � �d � b.d b d => b.d 2010d 2009b a c  Bài 22: CMR : b d HD: a c a b    c d Ta có: b d 4 �a  b � a  b  � � 4 �c  d � c  d a b a b �a  b � a  b     � � 4 cd c d �c  d � c  d a c ab  a  b    b, c, d , c  d �0  , CMR :  b d cd  c  d  2 Bài 23: Cho HD : a b ab a b a  b a  b  a  b      c d cd c d c  d c d c d2 Ta có : 2 Bài 24: Cho b  a.c, c  b.d , Chứng minh rằng: a  b3  c �a  b  c � a a  8b3  125c   � � 3 3 �b  c  d � a, b  c  d b, d b  8c  125d HD: a b c abc     a, Từ GT ta có: b c d b  c  d a c   a  2c   b  d    a  c   b  2d  Bài 25: Cho a,b,c,d số hữu tỉ dương b d , CMR : HD : a c ac a 2c a  c      1 Từ GT b d b  d b 2d b  2d (2) a  c a  2c    b  d b  2d Từ (1) (2) Nhân chéo 2 a c b a ba   2 a Bài 26: Cho c b , cmr: a  c HD: a  c a  ab a  a  b  a    b  c b  ab b  a  b  b c  a b Từ gt=> , Khi đó: 2 b c b b2  c b b2  c2  a  c2 b  a       2 a a2  c2 a a  c2 a => a  c hay 2 a c a  ac b  bd   2 Bài 27: Cho b d , CMR: c  ac d  bd HD: a c ac ca ac a ca c      b d b d d b b d b d b d Từ gt=> a  ac c  ac a  ac b  bd    b  bd d  ad c  ac d  ad => a x b y a2 x  ,  , CMR :  b y Bài 28: Cho k a k b HD : a kx x  a  kx, b2  ky    b ky y Từ GT a c   c �0  CMR : Bài 29: Cho b d 3 �a  b � ab �a  b � a  b   � � � � 3 a, �c  d � cd b, �c  d � c  d HD : a c a b ab ab �a  b �      � � b d c d c  d cd �c  d � a, Vì a b ab a b3 a  b3 �a  b �      � � c d c  d c d c  d �c  d � b, ab  a  b  a c 3a  5b 3c  5d   , CMR :  cd  c  d  b d a  b c  d Bài 30: Cho HD : a c a b 3a  5b 3a  5b       b d c d 3c  5d 3c  5d Từ GT ab ca   a �b, c �a  a  b c  a Bài 31: Cho , Chứng minh rằng: a  b.c HD: a  b a  b 2a 2b a b GT        a  bc c  d c  d 2c 2a c a Ta có: a  2009 b  2010 a b   Bài 32: CMR: Nếu a  2009 b  2010 2009 2010 HD : a  2009 a  2009 2a 2.2009 a 2009 a b        b 2010 2009 2010 Ta có : b  2010 b  2010 2b 2.2010 a5 b6 a  , CMR :  b Bài 33: Cho a  b  HD : a   10 b   12 10 12      a 5 b6 a 5 b6 Từ GT Nhân chéo=> ĐPCM 2a  13b 2c  13d a c  , CMR :  3c  7d b d Bài 34: Cho 3a  7b HD : 2a  13b 3a  7b  2a  13b    3a  7b  b a a c       2c  13d 3c  7d  2c  13d    3c  7d  d c b d GT=> ab cd a c  , CMR :  b d Bài 35: Cho a  b c  d u2 v2 u v   Bài 36: CMR : Nếu u  v  bd a c c  b  d , CMR: b d Bài 37: Cho a  b  c HD: Từ GT =>  b  d  c  b.d  bc  cd  bd  bc  bd  cd  d  b  c   ad a c  => b d a c a d a  b ab    2 cd , Với a, b, c, d �0, Chứng minh rằng: b d b c Bài 38: Cho c  d HD:  a  b a  b 2ab  a  b     2 c  d 2cd  c  d  cd Ta có: a b a b 2a 2b a b a c        2c 2d c d b d TH1: c  d c  d a  b b  a 2b 2a a c      b d TH2: c  d c  d 2c 2d a  b a  2b a c  , b, d �0, CMR :  b d Bài 39: Cho c  d c  2d HD: Từ GT, Ta nhân chéo rút gọn: ab cd b a  2b a b a c GT        a  2b c  2d , Trừ vào vế ta : d c  2d c d b d Hoặc : ab bc a b   Bài 40: Cho c �0 a  b b  c , CMR: b c a bc a bc  , b �0 a  b  c a  b  c Bài 41: Cho tỉ lệ thức: , Chứng minh rằng: c = HD:  a  b  c    a  b  c   2b   a  b  c  a  b  c  2c   c  GT   a  b  c    a  b  c  2b Ta có: abc abc   b �0  Bài 42: Cho tỉ lệ thức : a  b  c  a  b  c , CMR : a=0 HD: a bc abc a bc abc 2a 2a   1  1  a  b  c  a  b  c => a  b  c a  b  c Từ a  b  c  a  b  c Nếu a �0 ta có  a  b  c   a  b  c  b  b  b  vô lý=> a=0 a b c d    Bài 43: Cho a, b, c, d t/m : 3b 3c 3d 3a , a+b+c+d �0, Chứng minh rằng: a= b= c= d HD: a b c d abc d GT       3b 3c 3d 3a  a  b  c  d  Từ GT ta có: => a  b  c  d a1 a2 a    , a1  a2   a9 �0, CMR : a1  a2  a3   a9 a1 Bài 44: Cho a2 a3 HD : Từ GT cộng từ với tử, mẫu với mẫu ab b a  b2 a   c �0   2 c Bài 45: Cho tỉ lệ thức: bc c , CMR : b  c HD: a.10  b b 10a a a b a b a.b a  b a GT            b.10  c c 10b b b c b c b.c b  c c a c  Bài 46: CMR: a+c=2b 2bd=c(b+d) b d với b,d khác HD: a c  Vì a+c=2b nên từ 2bd=c(b+d) ta có: (a+c)d=c(b+d) hay a.d=b.c=> b d x y yz   x  y   5 y  z   3 z  x  Bài 47: Chứng minh rằng: , Thì HD: x y zx x yzx y  z z  x y  z  z  x x  y    yz    3 3  5 Ta có: 2 z  x zx yz zx x y zx x y zx  y  z   (2)   x  y    (1) 10 5 10 và x y yz  Từ (1) (2) ta có: a  d  b2  c  b, d �0,  Bài 48: Cho a  d  b  c, CMR số a, b, c, d lập thành tỉ lệ thức: HD : a c 2 a  d  b  c   a  d    b  c   2ad  2bc   b d Vì ab ca  Bài 49: Cho a  b c  a , Chứng minh số a,b,c �0, lập thành tỉ lệ thức HD : ab ca ab ab a b      ca ca c a Vì : a  b c  a Bài 50: Chứng minh : Nếu có a, b, c, d thỏa mãn : � ab  ab  2cd   c 2d � ab  ab     ab  1 � � � chúng lập thành tỉ lệ thức : � �� HD : TH 1: ab  ab  2cd   c 2d    ab  cd    ab  cd  Từ GT=> đpcm 2 2 � ab ab  2  2 ab  1 � �  a b  2ab  2ab    a b  2 ( Vô lý) TH2 : � ax  by M  k  c, d �0  cx  dy Bài 51: Cho , Chứng minh rằng, Giá trị M khơng phụ thuộc vào x,y số a,b,c,d lập thành tỉ lệ thức : HD : ax  by b  k, x  0, y    k cx  dy d Đặt Chọn Chọn x  1, y   a a b  k   c c d 2bd  c  b  d  a c  b d Bài 52: Chứng minh : Nếu a  c  2b HD :   a  c  d  c  b  d  Từ GT , Nhân vào=> ĐPCM 2 Bài 53: Cho x,y,z số khác x  yz; y  xz; z  xy CMR : x=y=z HD : Từ gt=> cặp phân số Bài 54: Cho a,b,c,d,e,g �Z , Biết b,d,g>0 a.d - b.c=2009 c.g - d.e =2009 a c e c ae & & & a, So sánh b d g b, So sánh: d b  g HD : a, Từ GT ta có : b, Từ GT ta có : a.d  b.c  c e a c e a c c.g  d e       d g b d g b d a.d  b.c  c.g  d e  a.d  de  cg  bc  d  a  e   c  b  g   c ae  d bg ab ca  a  bc a  b c  a , Đảo lại có khơng ? Bài 55: Chứng minh : Nếu HD : a b ab ab     c a ac ca Từ GT a  b a  b 2b b a     Ngược lại : c  a c  a 2a a c , x y z   Bài 56: Cho a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c , a b c   Chứng minh rằng: x  y  z x  y  z x  y  z HD: a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c   x y z Từ GT=>  a  2b  c    2a  b  c    4a  4b  c   a  x  2y  z x  2y  z  a  2b  c    2a  b  c    4a  4b  c  b  2x  y  z 2x  y  z =  a  2b  c    2a  b  c    4a  4b  c  c   4x  y  z 4x  y  z a b c   => x  y  z x  y  z x  y  z (đpcm) a b c x y z     Bài 57: Cho a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c , Chứng minh : x  y  z x  y  z x  y  z HD: a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c   x y z Từ GT=>  a  2b  c    2a  b  c    4a  4b  c  9a x  2y  z x  2y  z  a  2b  c    2a  b  c    4a  4b  c  9b  2x  y  z 2a  y  z =    a  2b  c    2a  b  c    4a  4b  c  9c  4x  y  z 4x  y  z 2y  2z  x 2z  2x  y 2x  2y  z x y z     a b c Bài 58: Cho , CMR: 2b  2c  a 2c  2a  b 2a  2b  c a b c x y z     Bài 59: Cho a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c , CMR: x  y  z z  y  x x  y  z  HD: a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c   x y z Nghịch đảo GT ta được:  a  2b  c    2a  b  c    4a  4b  c   9a  x  2y  z x  2y  z  4a  4b  c    2a  b  c    a  2b  c   9b  z  y  2x z  y  2x  a  2b  c    2a  b  c    4a  4b  c  9c   4x  y  z 4x  y  z bz  cy cx  az ay  bx x y z     a b c , Chứng minh rằng: a b c Bài 60: Cho dãy tỉ số: HD: bxz  cxy cxy  ayz ayz  bxz  bxz  cxy    cxy  ayz    ayz  bxz     0 ax by cz ax  by  cz Từ GT => �y z bz  cy � �b  c x y z � � cx  az     � � a b c � �x  z ay  bx � �a c => 3x  y z  x y  3z x y z     , CMR: Bài 61: Cho HD: 3x  y  � �  � 2z  4x   3x  y    z  x    y  3z  GT  0 � y  3z  � 16   x y z   => 2bz  3cy 3cx  az ay  2bx x y z     a 2b 3c Bài 62: Cho dãy tỉ số nhau: , Chứng minh rằng: a b 3c HD : Từ GT ta có : 2abz  3acy 6bcx  2abz 3acy  6bcx 2abz  3acy  6bcx  2abz  3acy  6bcx    0 a2 4b 9c a  4b  9c z y x z x y z 2bz  3cy    3cx  az       3c 2b a 3c a 2b 3c => a b c ( a  c)    (a  b)(b  c ) Bài 63: Cho dãy 2009 2011 2013 , Chứng minh rằng: HD: a b c a c a b bc      k 4 2 2 Ta có: 2009 2011 2013 a  c  4 k � 2 a  c 4 k    �  � a  b  2k    4k 4 � b  c  2 k  a  b   b  c   4k => VT= VP � x y z   x  z  8 x  y  y  z   1998 1999 2000 Bài 64: Cho số x,y,z thỏa mãn: , CMR : HD: xz x y yz �x  z � �x  y � �y  z �  x  z     �   x  y  y  z � � � � � 1 1 �2 � � 1 � � 1 �=> Từ gt=> 2 Bài 65: Cho số x,y,z thỏa mãn: by+cz=a, ax+cz=b, ax+by=c , với a,b,c số dương cho trước 1   x  y  z  không phụ thuộc vào a,b,c HD: Cộng theo vế GT ta được: 2a   x 1 a  b  c a  b  c   ax  by  cz    ax  a   2a  x  1 2b 2c  ,  Chứng minh tương tự ta có: y  a  b  c z  a  b  c 2 a  b  c 1    2 x  y  z  a  b  c Khi đó: a  bc b  ca c  ab x  yz y  zx z  xy     x y z a b c , Chứng minh: Bài 66: Cho HD: x  yz y  zx z  xy x  yz y  zx z  xy    k  a  ,b  ,c  a b c k k k Đặt: => a x  bc   x yz  y z  k2  y z  xy  xz  x yz a  bc   x  y  z  3xyz x k2 b  ca c  ab  x  y  z  xyz  x  y  z  3xyz y z Chứng minh tương tự: => đpcm 2 a b �24 2006 2006 2004 2004 a  b  a  b Bài 67: Cho a, b dương thỏa mãn: , Chứng minh 32 HD: a  b2  24 a �b  a 2004 a   b 2004  b a , b � 32 Giả sử: a=1=>b=1=> Nếu: , Giả sử:  a 2004  b2  2 2 2004  a , Vì a �b   b �a   a  b �2 => b a  b2  �  4 32 32 1 1 1   0   �0 Bài 68: Cho a,b,c �0 a b c , chứng minh rằng: ab bc ca HD:    �1 � �1 �   �  � �  ��0 �b c � a �b c � Từ GT=> a 1 1 1  �0  �0,  �0 ac bc => ab ac , Tương tự: bc ab 1 � �1 �   ��0 Cộng theo vế ta được: => �ab bc ca � a b bc ca x ,y  ,z  ab bc c  a , Chứng minh (1+x)(1+y)(1+z)=(1-x)(1-y)(1-z) Bài 69: Cho HD: a b 2a 2b 2c x 1  1  y 1  , z 1  ab a  b , Tương tự: bc ca Xét 8abc VT   a  b  b  c  c  a  Khi a b 2b 2c 2a 1 x  1  1 y  ,1  z  ab ab , bc ca Tương tự: 8abc VP   VT a  b  b  c  c  a   Khi đó: x 2000 y 2000  1000  2 2 1000 b (a  b)1000 Bài 70: Cho x  y  b.x  a y Chứng minh rằng: a HD: bx  ay  x2 y x2  y    a b ab ab Từ x 2000 y 2000 x 2000 y 2000  1000   1000  2000  1000 1000 1000 a b a b  a  b  a  b x a b bc ca ,y  ,z  ab bc c  a Thì (1  x)(1  y)(1  z)  (1  x)(1  y)(1  z) Bài 71: Chứng minh nếu: HD: a b 2a 2b 2c x 1  1  y 1  , z 1  ab a  b , Tương tự: bc ca Xét 8abc VT   a  b  b  c  c  a  Khi a b 2b 2c 2a 1 x  1  1 y  ,1  z  ab ab , bc ca Tương tự: 8abc VP   VT a  b  b  c  c  a   Khi đó: 2c b  c b2 b2  a  ab   15 c2   2 3 Bài 72 : Biết và a  ac  c  a, c �0; a �c , CMR : a a  c HD: �2 b � b2 a  ab   15    a  ac  c  � c  � 3� � Ta có:  2c  ab  ac  2c  ab  ac  2ac  2c  2ac  ab  ac 2c b  c  2c  c  a   a  b  c    a ac   x  y x y   Chứng minh rằng: x y1 Bài 73: Cho  HD: y x 3y x Từ     3y  x  (1)  x y1 Và   y1  x  2y  thay vào (1) ta được: 3y  2y    y   x  10 a c ac x  ;y  ;z  b d b  d với a,b,c,d số nguyên b,d>0 Bài 73: Cho số hữu tỉ: CMR: x TH1: x  y  z  t   P  4 TH2: x  y  z  t �0  P  Q Ax  By  C ax  by  c không phụ thuộc vào x, y Bài 80: Cho A, B, C tỉ lệ với a, b, c, CMR : HD : k  ax  by  c  A B C    k  A  ka , B  kb, C  kc  Q  k ax  by  c Ta có : a b c x y z   Bài 81: Cho số a,b,c,x,y,z thỏa mãn : a  b  c  a  b  c  a b c ( Các tỉ số có nghĩa), CMR : x2  y2  z2   x  y  z 2 12ab  4bc  3ac    4b c 3a , CMR: 3a  4b  c Bài 82: Cho a, b, c khác thỏa mãn: ...  c  2012d    a b c d Bài 4: Cho dãy tỉ số : ab bc cd d a M    c d d  a a b bc Tính giá trị biểu thức: HD: Trừ 2011 vào vế tỉ số tỉ lệ thức ta được: abcd abcd abcd abcd... c, d lập thành tỉ lệ thức: HD : a c 2 a  d  b  c   a  d    b  c   2ad  2bc   b d Vì ab ca  Bài 49: Cho a  b c  a , Chứng minh số a,b,c �0, lập thành tỉ lệ thức HD : ab...  2b2  3ab 2d2  3cd ,Với điều kiện mẫu thức xác định Bài 19: Cho tỉ lệ thức: b d ,CMR: HD: � a  k.b a c   k  � b d c  kd � Đặt , Thay vào biểu thức ta có: 1994 1994 2a2  3ab  5b2 k2