CHUYÊN đề bất ĐẲNG THỨC

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A>B TA XÉT HIỆU A-B >0, CHÚ Ý BĐT x + y + z ≥ xy + yz + zx Bài 1: CMR : với x,y,z HD: Xét hiệu ta có: 2 2 x + y + z − xy − yz − zx ≥ ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x ) ≥ ( ) Dấu xảy x = y = z x + y + z ≥ xy + yz − zx Bài 2: CMR : với x,y,z HD: Xét hiệu ta có: x + y + z − xy − yz + zx ≥ ( x − y + z ) ≥ Dấu xảy x+z=y x2 + y + z + ≥ ( x + y + z ) Bài 3: CMR : với x,y,z HD: Xét hiệu ta có: 2 ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) ≥ Dấu x=y=z=1 a + b2  a + b  ≥ ÷   Bài 4: CMR : với a,b ta có : HD : Xét hiệu ta có : a + b a + 2ab + b − ≥0 2a + 2b − ( a − 2ab + b ) ≥ a + 2ab + b ≥ ( a + b ) ≥ 2 Dấu a=b a + b2 + c2  a + b + c  ≥ ÷ 3   Bài 5: CMR : với a,b,c ta có : HD: Ta có: a + b + c a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac ≥ 3a + 3b + 3c − ( a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac ) ≥ 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ac ≥ A2 ≥ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 2 , Dấu a=b=c a + b2 + c2 ≥ ( a + b + c) Bài 6: CMR : HD: Ta có: 3a + 3b + 3c ≥ a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ac ≥ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 2 , Dấu a=b=c a +b 2 ( a + b) ≥ Bài 7: CMR : HD: a +b 2 ≥ 2ab ( a + b) ≥ 2 Ta chứng minh: 2a + 2b ≥ a + 2ab + b a + b − 2ab ≥ ( a − b ) ≥ Dấu a=b ( a + b ) ≥ 2ab Ta chứng minh a + 2ab + b ≥ 4ab ( a − b ) ≥ Dấu a=b a2 + Bài 8: Cho a,b,c số thực, CMR: HD: Ta có: 4a + b − 4ab ( 2a − b ) ≥ b2 ≥ ab Dấu b=2a Bài 9: Cho a,b,c số thực, CMR : HD: Ta có: a + b + − ab − a − b ≥ a + b + ≥ ab + a + b 2a + 2b + − 2ab − 2a − 2b ≥ ( a − 2ab + b ) + ( a − 2a + 1) + ( b − 2b + 1) ≥ ( a − b ) + ( a − 1) + ( b − 1) ≥ 2 Dấu a=b=1 a + b + c + d + e2 ≥ a ( b + c + d + e ) Bài 10: Cho a,b,c,d số thực : CMR : HD: Ta có: a + b + c + d + e2 − ab − ac − ad − ae ≥ 4a + 4b + 4c + 4d + 4e − 4ab − 4ac − 4ad − 4ae ≥ 2 2 2 2 ( a − 4ab + 4b ) + ( a − 4ac + 4c ) + ( a − 4ad + 4d ) + ( a − 4ae + 4e ) ≥ ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + ( a − 2d ) + ( a − 2e ) ≥ 2 2 Dấu xảy a=2b=2c=2d=2e    1 + ÷1 + ÷ ≥  a  b  Bài 11: Cho a,b thỏa mãn: a+b = 1, a>0, b>0 CMR: HD: b  a  a + b  a + b   a b = 1 + ÷ + ÷ =  + ÷ + ÷ = +  + ÷+ a  b   a  b  b a ta có: VT a b = +  + ÷ ≥ + 2.2 = b a Dấu a b = => a + b a = b = b a 2  x+ y x, y ≥ 0, CMR :  ÷ ≥ xy   Bài 12: Cho HD: Ta có: x + y + xy ≥ xy x − xy + y ≥ ( x − y ) ≥ , Dấu x=y a + b ≥ a b + ab Bài 13: Cho a > 0, b > 0, CMR: HD: Ta có: ( a3 − a 2b ) + ( b3 − ab2 ) ≥ a ( a − b ) − b2 ( a − b ) ≥ ( a − b ) ( a − b ) ≥ ( a − b ) 2 ( a + b) ≥ Dấu a=b a ≥ b ≥ 1, Bài 14: Cho HD: CMR: 1 + ≥ 2 + a + b + ab Xét hiệu:   1   − −  ÷+  ÷≥ 2  + a + ab   + b + ab  a ( b − a) b ( a − b) + ( + a ) ( + ab ) ( + b ) ( + ab ) 2 ( b − a ) ( ab − 1) 2 ( + ab ) ( a + 1) ( b + a ) ≥0 ≥0 Dấu a=b a=b=1 x2 + y + z + t ≥ x ( y + z + t ) Bài 15: CMR : với số thực x,y,z,t ta ln có : HD: Ta có: x + y + z + t − xy − xz − xt ≥ 2 2 x + y + z + 4t − xy − xz − xt ≥ ( x − xy + y ) + ( x − xz + z ) + ( x − xt + 4t ) + x ≥ Dấu x= 2y=2z=2t=0 a2 + b + c ≥ ab − ac + 2bc Bài 17: CMR : HD: Ta có: a + 4b + 4c − 4ab + 4ac − 8bc ≥ a − 4a ( b − c ) + ( b + c − 2bc ) ≥ a − 4a ( b − c ) + ( b − c ) ≥ ( a − 2a + 2c ) ≥ x + y + z ≥ xy − zx + yz Bài 19: CMR : HD: Ta có: x + y + z − xy − yz + zx ≥ x − x ( y − z ) + y − yz + z ≥ x − x ( y − z ) + ( y − z ) ≥ ( x − y + z ) ≥ x + y + z + ≥ x ( xy − x − z + 1) Bài 20: CMR : HD: Ta có: x + y + z + − x y + x − xz − x ≥ (x + y − x y ) + ( x − xz + z ) + ( x − x + 1) ≥ (x − y ) + ( x − z ) + ( x − 1) ≥ 2 ±1 Dấu x=z=1, y= a + b + c ≥ ab + bc + ca Bài 21: CMR : HD: Ta có : a + b + c − ab − bc − ca ≥ 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ca ≥ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ Bài 22: CMR : HD: ta có: 2 a + b ≥ ab b b 3b b  3b2  a − a + + ≥ a − ≥0  ÷ + 4 2  a + b − ab ≥ x + xy + y ≥ Bài 23: CMR : HD: Ta có: y y2 3y2 y  3y2  x + x + + ≥  x + ÷ + ≥0 4 2  a ( a + b ) ( a + c ) ( a + b + c ) + b 2c ≥ Bài 24: CMR : HD: a ( a + b + c ) ( a + b ) ( a + c ) + b c ≥ 2 2 ( a + ab + ac ) ( a + ab + ac + bc ) + b c ≥ Đặt a + ab + ac = x  bc = y x ( x + y ) + y ≥ x + xy + y ≥ Khi ta có: (a + b2 ) ( a + b ) ≥ ( a + b3 ) Bài 25: CMR : HD: Ta có: a + a b + a b + b ≥ a + a 3b + b 3 3 ( a b − a b ) + ( a b − a b ) ≥ 2 a b ( a − b ) + a b ( b − a ) ≥ ( a − b ) ( a 3b − a 2b ) ≥ a 2b ( a − b ) ≥ ( a + b ) ( a + b3 ) ≤ ( a + b ) Bài 26: CMR : HD: Ta có: a + ab3 + a 3b + b ≤ 2a + 2b a − ab3 + b − a 3b ≥ ( ) 3 a − b3 ( a − b ) ≥ ( a − b ) a ( a − b ) + b ( b − a ) ≥ ( a + b3 ) ≥ ( a + b ) ( a + b ) Bài 27: Cho a,b > 0, CMR : HD: Ta có: 2a + 2b3 ≥ a + ab + a 2b + b3 3 a − a b + b − ab ≥ 2 a ( a − b ) + b ( b − a ) ≥ ( a − b ) ( a + b) ≥ ( a + b3 ) ≥ ( a + b ) Bài 28: Cho a, b > 0, CMR: HD: Ta có: 4a + 4b3 ≥ a3 + 3a 2b + 3ab + b3 3 3a − 3a b + 3b − 3ab ≥ 2 2 3a ( a − b ) + 3b ( b − a ) ≥ ( a − b ) ( a − b ) ≥ ( a − b ) ( a + b) ≥ a + b3 + abc ≥ ab ( a + b + c ) Bài 29: Cho a,b,c > 0, CMR: HD: Ta có: a + b3 + abc ≥ a 2b + ab + abc 3 a − a b + b − ab ≥ 2 a ( a − b ) + b ( b − a ) ≥ ( a − b ) ( a + b) ≥ (a + ab + b ) ≥ (a + b ) ≥ ab ( a + b ) 2 Bài 30: CMR: HD: Ta có: a + 2a 2b + b ≥ ab ( a + 2ab + b ) = a 3b + 2a 2b + ab3 4 ( a − a b ) + ( b − ab ) ≥ 3 a ( a − b ) + b ( b − a ) ≥ 3 ( a − b ) ( a − b ) ≥ ( a − b ) (a + ab + b ) ≥ a2 + b2 + c ≥ a ( b + c ) Bài 31: CMR: HD: ta có: a + b + c − ab − ac ≥ 2 4a + 4b + 4c − 4ab − 4ac ≥ 2 2 ( a − 4ab + 4b ) + ( a − 4ac + 4c ) + 2a ≥ ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + 2a ≥ 2 a + b2 + c + d ≥ a ( b + c + d ) Bài 32: CMR: HD: a + b + c + d − ab − ac − ad ≥ 2 2 4a + 4b + 4c + 4d − 4ab − 4ac − 4ad ≥ 2 2 2 ( a − 4ab + 4b ) + ( a − 4ac + 4c ) + ( a − 4ad + 4d ) + a ≥ ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + ( a − 2d ) + a ≥ a + b2 + c2 + Bài 33: CMR: HD: Ta có: (a 2 ≥ ( a + b + c) − a ) + ( b2 − b ) + ( c2 − c ) + ≥0 1  1  1   a − a + ÷+  b − b + ÷+  c − c + ÷ ≥ 4  4  4  2 1  1  1   a − ÷ + b − ÷ +  c − ÷ ≥ 2  2  2  Bài 34: CMR: a + b4 + ≥ 4ab HD: ta có: a + b − 4ab + ≥ 4 2 2 a + b − 2a b + 2a b − 4ab + ≥ ( a − b ) + ( a 2b − 2ab + 1) ≥ 2 ( a − b ) + ( ab − 1) ≥ 2 x4 − x + > Bài 35: CMR: HD: ta có: ( x − x + ) + ( x − x + 1) > ( x − ) + ( x − 1) > 2 Không xảy dấu x4 − x + > Bài 36: CMR: HD: Ta có: 1  1   x − x + ÷+  x − x + ÷ ≥ 4  4  2 1  1  x − ÷ +x− ÷ ≥ 2  2  x3 + x + > x ( x > 0) Bài 37: CMR: HD: x3 − 3x + x + > ta có: 2 x ( x − x + ) + x + > x ( x − ) + x + > , Vì x > ( x − 1) ( x − ) ( x − 3) ( x − ) ≥ −1 Bài 39: CMR: HD: ( x − 1) ( x − ) ( x − ) ( x − 3) + ≥ 2 ( x − x + ) ( x − x + ) + ≥ Đặt x2 − 5x + = t Khi ta có: ( t − 1) ( t + 1) + ≥ t ≥ Bài 40: CMR: HD: , Dấu t=0 x + x3 + x + x + > x ( x + 1) + ( x + 1) + x > Ta có : ( x + 1) ( x + 1) + x > x ( x + 1) ( x − x + 1) + x > 2 ( ĐPCM) a + 4b + 4c ≥ 4ab + 8bc − 4ac 2 Bài 41: CMR : HD: Ta có: a + 4b + 4c − 4ab − 8bc + 4ac ≥ a + ( 2b ) + ( 2c ) − 2.a.2b − 2.2b.2c + 2.a.2c ≥ 2 ( a − b + c ) ≥ ( a + b3 + c ) ≥ ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) 3 Bài 42: CMR : với a, b, c >0 HD: Ta có: 8a + 8b3 + 8c3 ≥ 2a3 + 2b3 + 2c3 + 3a 2b + 3ab + 3b c + 3bc + 3a c + 3ac 3 2 2 2 6a + 6b + 6c − 3a b − 3ab − 3b c − 3bc − 3a c − 3ac ≥ ( 3a − 3a 2b ) + ( 3a − 3a 2c ) + ( 3b3 − 3b a ) + ( 3b3 − 3b c ) + ( 3c − 3bc ) + ( 3c − 3ac ) ≥ 2 2 2 3a ( a − b ) + 3a ( a − c ) + 3b ( b − a ) + 3b ( b − c ) + 3c ( c − b ) + 3c ( c − a ) ≥ 2 2 2 ( a − b ) ( a − b ) + ( a − c ) ( a − c ) + ( b − c ) ( b − c ) ≥ ( a − b ) ( a + b ) + 3( a − c ) ( a + c ) + 3( b − c ) ( b + c ) ≥ ( a + b + c) ≥ a + b3 + c3 + 24abc Bài 43: CMR: với a,b,c>0 HD: Ta có: a + b3 + c + ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ a + b + c + 24abc ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 24abc Vì  a + b ≥ ab  b + c ≥ bc  c + a ≥ ca , Nhân theo vế ta ĐPCM  x y x2 y + + ≥ 3 + ÷ y x  y x Bài 44: CMR: Với x, y # ta có: HD: Ta có: x + y + x y ≥ xy ( x + y ) ( x + y ) − xy ( x + y ) + x y − xy ( x + y ) ≥ 2 2 2 ( x + y ) ( x + y − xy ) + xy ( xy − x − y ) ≥ 2 2 ( x + y − xy ) ( x + y − xy ) ≥ ( x − y ) (x − xy + y ) ≥ a3 + b3 ≥ a +b ≥1 Bài 45: CMR : Nếu , HD: Ta có: b ≥ − a => b3 ≥ − 3a + 3a − a3 1 1  a + b3 ≥ 3a − 3a + =  a − ÷ + ≥ 2 4  ab + bc + ca ≤ a + b + c Bài 46: Cho a,b,c > 0, CMR : HD: Ta có: a + b + c − ab − bc − ca ≥ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ Bài 47: CMR : HD: Ta có: 2 a2 + a + >0 a2 − a + 1  a + a + =  a + a + ÷+ > 0, ∀a 4  1 = = h.2 => h = a Dấu a=2=> , Khi ta có : 3.2  a a  3a S =  + + ÷+ ≥ 33 + = + = 64 4 4 8 a  0 = = k => k = a Dấu   S =  + 8a + 8a ÷− 14a ≥ 3 64 − 14a a  , mà , Khi ta có : a ≤ => −14a ≥ −7 => S ≥ 3.4 − = A=a+ 1 +b+ +c+ a b c ≥ ≥ ≥ Bài 10: Cho a 10, b 100, c 1000, Tìm Min của: HD : 1 a = 10 => = = k 10 => k = a 10 100 Dấu , Tương tự với b c, Khi ta có : 99.10 101  a  99a B= + ≥ + = ÷+ 10 100 100  a 100  100 , Tương tự với b c P = a+b+c+ 1 + + a b c a +b+ c ≤1 Bài 11: Cho a,b,c ba số thực dương thỏa mãn: , Tìm Min của: HD : 1  1  1  P =  + 9a ÷+  + 9b ÷+  + 9c ÷− ( a + b + c ) a=b=c= a  b  c  Dấu , Khi P ≥ + + − 8( a + b + c) a + b + c ≤ => −8 ( a + b + c ) ≥ −8 Mà P ≥ + + − = 10 Vậy P = ab + bc + ca Bài 12: Cho a,b,c ba số thực thỏa mãn: a+b+c=1, Tìm Max của: HD : a+b+ 1 a = b = c = => ab = 3 a.b ≤ 3 3 Ta có : Dấu 1 b+c+ c+a+ 3 , ca ≤ 3 bc ≤ 3 3 Tương tự ta có : Cộng theo vế ta :  2a + 2b + 2c  P ≤ 3 + ÷= 3 3  a+b+c ≤ P = a+b+c+ Bài 13: Cho a,b,c ba số thực dương thỏa mãn: , Tìm Min của: HD : 1  1  1  a = b = c = => P =  + 4a ÷+  + 4b ÷+  + 4c ÷− ( a + b + c ) a  b  c  Dấu 15 P ≥ + + − = 2 a +b+ c ≤1 Bài 14: Cho a,b,c ba số thực dương thỏa mãn: , 1 1 P = a + b + c + 2 + + ÷ a b c Tìm Min của: HD : 2  2  2  a = b = c = => P = 18a + ÷+ 18b + ÷+ 18c + ÷− 17 ( a + b + c ) a  b  c  Dấu => P ≥ 19 Bài 15: Cho a,b,c ba số thực dương thỏa mãn: a3 b3 c3 A= + + 2 ( − a ) ( − b) ( − c2 ) a +b+ c =1 , , Tìm Min của: HD : a=b=c= Dấu Khi : a 1− a 1− a + + ≥ a 8 ( 1− a) b3 ( 1− b) + 1− b 1− b + ≥ b 8 , Tương tự ta có : c (1− c) + 1− c 1− c + ≥ c 8 A≥ Cộng theo vế ta : ( a + b + c) = 4 a +b ≤1 Bài 16: Cho a,b số thực dương thỏa mãn: , Tìm của: HD : 1 a = b = => = = 16ab ab Ta có : Dấu S = ab + ab 1 + + a b c Khi ta có :   S =  16ab + ÷− 15ab ≥ 16 − 15ab ab   a + b ≥ ab => ≥ ab => ab ≤ mà S ≥ 2.4 − Vậy −15 => −15ab ≥ 4 15 15 17 =8− = 4 A = a+b+ a +b ≤1 1 + a2 b2 Bài 17: Cho a,b số thực thỏa mãn: , Tìm HD :   1  a = b = => A =  8a + 8a + ÷+  8b + 9b + ÷− 15 ( a + b ) a   b   Dấu => S ≥ 3.4 + 3.4 − 15.1 = a+b+c ≤ P = a+b+c+ Bài 18: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn: , Tìm Min HD : a =b=c= Dấu   1  1  P =  8a + 8a + ÷+  8b + 8b + ÷+  8c + 8c + ÷− 15 ( a + b + c ) a   b   c   Khi đoa : 45 27 P ≥ 3.4 + 3.4 + 3.4 − 15 = 36 − = 2 a+b+c ≤ A = a + b2 + c2 + Bài 19: Cho a,b,c sơ thực dương thỏa mãn: , Tìm Min: HD : a=b=c= Dấu : 1   1  1  3 1 1  => P =  a + + ÷+  b + + ÷+  c + + ÷+  + + ÷ 8a 8a   8b 8b   8c 8c   a b c   P≥ 3 3  27 + + +  ÷= 4 4 a +b +c  x + y ≤1 Bài 20: Cho x,y số thực dương thỏa mãn:    A = 1 − ÷ − ÷  x  y  Tìm Min của: HD : 1 + + a b2 c2 1 + + a b c => A = x= y= A≥9 Dấu : , Ta cần chứng minh    2 2  − ÷ − ÷ ≥ ( x − 1) ( y − 1) ≥ x y y   x  Xét ≥ ( x + y) => ≥ x + y + x y , , Nên ta cần chứng minh : 2 2 ( x + y ) ≥ x + y + x y xy ( − xy ) ≥ ( x + y) < xy ≤ BĐT do: P= ≤ => Min A = x= y= a+b ab + ab a + b Bài 21: Cho a,b>0 Tìm Min của: HD :  a+b ab =   m ab a + b => m = a = b  Dấu : Khi ta có : a+b ab a + b 3.2 ab 3.2 P= + + ≥2 + = 1+ = 4 ab 4 ab a + b ab Bài 22: Cho HD : a +b ≤1 P= a,b>0, Tìm của: a =b= 1 + a + b ab 2 Dấu   P= + ≥ + ÷+ 2 2ab  2ab ( a + b ) 2ab  a +b Khi : 4 P≥ + ≥ + = ≥6 2 2 ( a + b ) 4ab ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) Bài 23: Cho a,b>0 HD : a + b ≤1 a =b= P= , Tìm Min của: 1+ a + b = + 2ab 3.2ab 1+ a + b Dấu : Khi : 1   => P =  + ≥ + ÷+ 2  + a + b 6ab  3ab ( a + b + 6ab + 1) 3ab 2 P≥ => ( a + b ) + 4ab + 3ab + a + b ≥ ab => ab ≤ Mặt khác : Dấu Bài 24: Cho a,b>0, HD : => P ≥ + = + 3 1 + a + b = 6ab  => a = b = a = b a + b =  a + b ≤1 P= , Tìm Min của: a =b= 1 + + 4ab a + b ab 2 Dấu       P= + + 4ab ÷ ≥ +  ab + ÷+  ÷+ 2 2ab   2ab 4ab  4ab  a +b  ( a + b)  Khi : a + b2 = 2ab   2 4ab => a = b = a b = P≥ + + ≥ 16 2  4ab ( a + b) a + b = Dấu 1 S= 3+ + a + b ≤1 a + b a b ab Bài 25: Cho a,b>0 , Tìm Min của: HD : a =b= a + b3 + 3a 2b + 3ab = ( a + b ) Dấu 1 = = 3 a +b 2a b 2ab Khi : 1 1 25 S= 3+ + + + ≥ 2 a + b 2a b 2ab 2a b 2ab ( a + b ) + ab ( a + b ) 25 S≥ ( a + b) ( a + b) + 4ab ≤ ( a + b ) Bài 26: Cho a,b,c>0 HD : a=b=c= Dấu ( a + b) => ab ≤ , Vì a +b + c =1 2 => P = a +b+c+ , Tìm Min của: 1 = 3, a = abc , Khi : S ≥ 20 abc a=b= , Dấu 1 = a = b = c => m = m.abc Tìm m cho :  abc  P = a+b+c + ≥ 44 + ÷+ 9abc  9abc 9abc 9abc  P≥ + 9abc a + b + c ≥ 3 ( abc ) ≥ 3 ( abc ) => a 2b 2c ≤ 2 , Ta lại có : 12 3 => P ≥ + = =4 => 9abc ≤ = => ≥ = 9abc 3 3 3 3 1 + + =4 x y z Bài 27: Cho x,y,z>0 HD : P= 27 1 + + 2x + y + z x + y + z x + y + 2z , Tìm Max : x= y=z= 1 1 => x = y + z => = + + + 2x + y + z x y z x Dấu xảy 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P ≤  + + + ÷+  + + + ÷+  + + + ÷ 16  x x y z  16  x y y z  16  x y z z  Nên : 4 4 ≤  + + ÷= 16  x y z  a + b + c =1 Bài 28 : Cho a,b,c số thực dương , CMR: HD : a = b = c = => a + b = b + c = c + a = 3 Dấu : a+b + b+c + c+a ≤ 2 ( a + b) + ( b + c) + ( c + a) ≤ 3 Khi ta có : Tương tự ta có : => 2 +a+b +b +c +c+a 3 VT ≤ + + =2 2 2 +a+b ( a + b) ≤ , A= a+b + b+c + c+a Bài 29: Cho a,b,c dương thỏa mãn: a+b+c=1, Tìm Max HD : a = b = c = => a + b = b + c = c + a = 3 Dấu : 2 a+b+ + 2 3 a + b = 3 ( a + b) ≤ 3 3 Nên : Tương tự ta có : b+c ≤ b+c+ 2 + 3 3 P≤ c+a ≤ a+c+ 2 + 3 2( a + b + c) + = 18 Cộng theo vế ta : x2 y2 z2 + + ≥ 1+ y 1+ z 1+ x Bài 30: Cho x,y,z>0 xyz=1, CMR: HD : x2 1+ y x = y = z = => = = => α = 1+ y α Ta có Dấu x2 + y y2 1+ z z2 1+ x + ≥x + ≥y + ≥z 1+ y 1+ z 1+ x Khi : , tương tự ta có : 3 P ≥ ( x + y + z) − ( x + y + z) − = ( x + y + z) − = 4 4 Cộng theo vế ta : P = 3x + y + z xy + yz + zx = Bài 31: Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn : , Tìm Min : HD :   x + y ≥ xy   2 2 x + z ≥ xz   2 2 y + z ≥ yz P ≥ ( xy + yz + zx ) = 10 Ta có : , Cộng theo vế ta : Dấu x=y=1, z=2 P = x2 + y2 x + y + xy = Bài 32: Cho x,y số thực dương thỏa mãn : , Tìm Min : HD : x + y) ( t2 = x + y + xy ≤ x + y + + t ≥ => t ≤ − t≥4 4 Ta có : x + y) ( 2 =8 ( x + y ) ≥ 16 => P = x + y ≥ Hay x + y =  => x = y = x = y  x + y + xy =  Dấu ≤ a ≤ 3,8 ≤ b ≤ 11 Bài 33 : Cho a,b số thực thỏa mãn : a+b=11, P = ab Tìm Max : HD : a = 3, b = => 8a = 3b Dấu ( 33 + 5.3) = 24 1 ( 8a + 3b ) 1 P = ( 8a.3b ) ≤ = 3 ( a + b ) + 5a  ≤ ( 3.11 + 5a ) ≤ 24 24 96 96 96 Khi : Bài 34: Cho x,y > 0, HD : x + y ≥ 6, CMR : A = x ( x − 1) + y ( y − 1) ≥ 12 x= y =3 Dấu A = ( x + y ) − ( x + y ) = ( x + ) + ( y + ) − ( x + y ) − 18 Khi : A ≥ 2.3 x + 2.3 y − ( x + y ) − 18 A ≥ ( x + y ) − ( x + y ) − 18 = ( x + y ) − 18 ≥ 30 − 18 = 12 => a + b + c = 1, CMR : S = a + b + b + c + c + a ≤ 16 Bài 35: Cho a,b,c > 0, Thỏa mãn : HD : a = b = c = => a + b = b + c = c + a = 3 Dấu +a+b ( a + b) ≤ Co si ngược ta có : , 2 +b+c +c+a 2 3 b + c ≤ , c + a ≤ ( ) ( ) 3 Tương tự ta có : 2( a + b + c) S ≤ + = => S ≤ = 2 Cộng theo vế ta : a b − + b a − ≤ ab Bài 36: Cho a,b > 1, CMR: HD : b − = a − = => a = b = Dấu : Co si ngược ta có : ( b − 1) + = ab a ( b − 1) ≤ a 2 b ( a − 1) ≤ b a − + ab = 2 Cộng theo vế ta : a ( b − 1) + b ( a − 1) ≤ ab ab + = ab 2 P= Bài 37: Cho x,y,z > 0, x+y+z = 2, tìm GTNN của: HD : x2 y2 z2 + + y+z x+z x+ y x= y=z= Dáu x2 y+z = = => k = y+z k Khi : x2 y+z + ≥x y+z Nên : , Tương tự ta có : x+ y+z x+ y+z P+ ≥ x + y + z => P ≥ =1 2 x2 y2 + ≥8 y −1 x −1 Bài 38: Cho x,y > 1, CMR : HD : x= y Dấu , Thay vào ta : 2 x x + = => x = y = x −1 x −1 x2 + ( y − 1) ≥ x y −1 y2 + ( x − 1) ≥ y x −1 Khi : VT ≥ ( x + y ) − ( y − 1) − ( x − 1) = a + b + c =1 Bài 39: Cho a,b,c > 0, thỏa mãn: HD : a=b=c= 2 a b c 3 + 2+ 2≥ b +c a +c a +b 2 , CMR: Dấu a2 a 2a 2a 27a a 3  a  = = ≥ = ≥  2÷  b + c  ( − a2 ) ( − a ) ( − a ) 2a 27 Khi : 3 3 3 3 2 3 VT ≥ a +b +c = a +b +c = 2 2 Tương tự ta có : ( ) BẤT ĐẲNG THỨC CHƯA SOẠN a + b = x + y, a2 + b2 = x2 + y2 Bài : Cho HD: a + b = x + y => a − x = y − b Từ a2010 + b2010 = x2010 + y2010 , Chứng minh : a2 + b2 = x2 + y2 => a2 − x2 = y2 − b2 => ( a + x) ( a − x) = ( y + b) ( y − b) Mặt khác:  a − x = 0,(1) => ( a + x) ( a − x) = ( y + b) ( a − x) =>   a + x = b + y,(2) Với Với a − x = => b = y => a2010 + b2010 = x2010 + y2010  a + b = x + y a + b = x + y => a = y => b = c => a2010 + b2010 = x2010 + y2010  a + x = b+ y x 2011 + y 2011 ≤ x 2012 + y 2012 Bài : Cho x+y=2, CMR: HD : ( x 2012 + y 2012 ) − ( x2011 + y 2011 ) = x2011 ( x − 1) + y 2011 ( y − 1) x2011 ( − y ) + y 2011 ( y − 1) Xét = Do x-1=1-y ( x 2012 + y 2012 ) − ( x2011 + y 2011 ) = ( − y ) ( x2011 − y 2011 ) Vậy ( − y ) ( x 2011 − y 2011 ) ≥ ( dpcm ) x1 ≥ ≥ y x ≥ y => x 2011 ≥ y 2011 Giả sử : y ≥ x => y 2011 ≥ x 2011 : y ≥1≥ x ( − y ) ( x2011 − y 2011 ) ≥ ( dpcm ) Tương tự lấy đo x=y=1 a b c A= + + ≥3 b+c −a a +c −b a +b −c Bài 3: CMR: HD: b + c − a = x > 0, c + a − b = y > 0, a + b − c = z > Đặt , từ đó: y−z x+ z x+ y a= ,b = ,c = 2 thay vào A ta y + z x + z x + y  y x   x z   y z   A= + + =  + ÷+  + ÷+  + ÷ ≥ ( + + ) ≥ 2x 2y 2z  x y   z x   z y   Bài 4: CMR: a, b, c độ dài cạnh tam giác A dấu = b+c+a > b−c−a < b−c+a > Vậy A 0, Chứng tỏ rằng: nguyên a b c d + + + a +b+c b +c +d c +d +a d +a +b có giá trị khơng x + y + z ≤ xy + y + z − Bài 6: Tìm số nguyên x, y, z thỏa mãn: HD: 2 y  y  x − + −  ÷  ÷ + ( z − 1) ≤ 2  2  Ta có gt=> => a, b, c > Bài 7: Cho HD: a +b + c ≤1 1 + + ≥9 a + 2bc b + 2ac c + 2ab , CMR: x = a + 2bc, y = b + 2ac, z = c + 2ab Đặt 1 + + ≥9 x y z ( a + b + c) ≤ Khi x+y+z= x + y + z ≤1 với x + y + z ≥ xyz 1 1 + + ≥ 33 x y z xyz Áp dụng Co si cho số : ta 1 1 1 1 ( x + y + z )  + + ÷≥ + + ≥9 x y z x + y + z ≤ x y z   => mà => đảng thức xảy x=y=z= a + b2 + c ≤ Bài 8: Cho a, b, c số không âm không lớn thỏa mãn: a+b+c=3 CMR: HD: ( − x ) ( − b ) ( − c ) ≥ + ( ab + bc + ca ) − ( a + b + c ) − abc ≥ Theo giả thiết ta có: a + b2 + c2 Cộng hai vế với sau thu gọn ta được: 2 2 ( a + b + c ) ≥ a + b + c + abc + a + b + c + abc ≤ abc ≥ => a + b2 + c ≤ , Mà Đẳng thức xảy ba số a,b,c có số 0, số số x + y ≥ x3 + y x3 + y ≤ Bài 9: Cho x,y >0 thỏa mãn: , CMR : , dấu xảy ? HD: x + x3 ≥ x , y + y ≥ y Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương ta có: 2 3 x + x + y + y ≤ x + y => x + y ≥ ( x + y − x − y ) ≥ x + y x + y ≥ x3 + y x + ≥ x, y + ≥ y Do Mà Nên 2 3 + x + + y ≥ 2x + y ≥ 2x + y ≥ x + y + x + y4 x3 + y ≤ dấu x=y=1 x + y − xy ≥ x + y − 2 Bài 10: CM: HD: x + y − xy ≥ x + y − => ( x + y − xy ) ≥ ( x + y − 1) x + y − xy ≥ x + y − => ( x − y) + ( x − 1) + ( y − 1) ≥ 2 => đúng, dấu x=y=1 −4 −5 > x − 2x + Bài 11: CMR khơng có giá trị x thỏa mãn: HD: −4 −4 −5 < 0, −5 < 2 ( x − 1) + ( x − 1) + Ta có: mà => đpcm 3 a + b = a + b5 a + b ≤ + ab Bài 12: Cho a, b số dương thỏa mãn: , CMR: HD: a + b ≤ + ab => a + b − ab ≤ => ( a + b ) ( a + b − ab ) ≤ a + b => a + b ≤ a + b Ta có: ( a3 + b3 ) ( a3 + b3 ) ≤ ( a + b ) ( a5 + b5 ) => 2a3b3 ≤ ab5 + a5b => => ab ( a − 2a 2b + b ) ≥ => ab ( a − b ) ≥ ∈ [ 0;1] a, b dương a + b + c3 − ab − bc − ca ≤ Bài 13: Cho số a, b, c , CMR: HD: ∈ [ 0;1] ( − a ) ( − b ) ( − c ) ≥ => − a − b − c + ab + bc + ca − abc ≥ Do a,b,c Nên ∈ [ 0;1] b ≤ b, c3 ≤ c a + b + c − ab − bc − ca ≤ − abc ≤ => , Do a,b,c nên , từ ta có: a + b + c − ab − bc − ca ≤ a + b + c − ab − bc − ca ≤ 1 + ≥ a +1 b +1 Bài 14: Cho a>0, b>0 a+b=1, CMR: HD: 1 + ≥ => ( a + + b + 1) ≥ ( a + 1) ( b + 1) a +1 b +1 => ( a − b) ≥ ≥ 4ab + => ≥ 4ab => ( a + b ) ≥ 4ab => ≥ ( ab + a + b + 1) => a+b=1 với a, b a+b c+b + ≥4 2a − b 2c − b 1 + = a c b Bài 15: Cho a, b, c ba số dương , CMR : HD: 1 ab bc + = => 2a − b = 2c − b = a c b c a a+b c+b a +b c+b c c a a ac + = + = + + + ≥ 44 ≥ ab bc 2a − b 2c + b b a b c b c a => Áp dụng BĐT Cô si cho số a, b, c dương , dấu a=b=c < a < b, ax + bx + c = Bài 16: Cho a,b,c số thỏa mãn hai điều kiện sau: vô nghiệm, a+b+c =3 b−a CMR: HD: a+b+c > => a + b + x > ( b − a ) => 4a + c > 2b 0 4a + c > 4a + ≥ 4a = 2b 4a 4a 4a => a+b+c >3 b−a từ suy ra: (*) hay a + b3 = a − b a + b + ab < Bài 17: Cho a, b số nguyên dương thỏa mãn : , CMR : 2 A = 4x y − ( x + y2 + z2 ) > Bài 18: Cho x,y,z ba cạnh tam giác: CMR: x + 2012 x − 2011x + 2012 > Bài 19: CMR : với x −2 ≤ a , b , c , d ≤ a + 2b + 3c + 5d = 10 Bài 20: Cho a, b, c, d thỏa mãn: CMR: 2 2 a + 2b + 3c + 5d ≤ 140 1 1 1  + + ≤  + + ÷ x + yz y + xz z + xy  xy yz xz  Bài 21 : CMR : HD : VT ≤ x2 + yz ≥ x2yz = 2x yz Ta có :  y+ z x + z x + y  + + 2 ÷  ≤ VT ≤ xyz Khi : 1 x + y+ z  =  xyz ÷  1 1   yz + xz + xy  + +  ÷=  ÷  ÷  x yz y xz z xy ÷ xyz    1 1  + +  yz zx xy ÷ , Dấu ‘’=’’ x=y=z x1 + 1 1 = x2 + = x3 + = = xn + x2 x3 x4 x1 Bài 22 : CHứng minh : x1 = x2 = x3 = = xn , x1.x2.x3 xn = : 2< Bài 23 : Cho a, b, c, d >0, CMR : a+ b b+ c c+ d d+ a + + + 3 b− a Chứng minh rằng: HD: a+ b+ c > => a + b + c > 3( b − a) => 4a + c > 2b 0< a< b b− a Do , nên bất đẳng thức: ax2 + bx + c = b2 < 4ac Vì phương trình: vơ nghiệm nên b2 b2 b2 => c > => 4a + c > 4a + ≥ 4a = 2b 4a 4a 4a Từ suy ra: a+ b+ c >3 b− a ... b,c3 ≤ c Do , từ ta có: a + b + c − ab − bc − ca ≤ a + b + c − ab − bc − ca ≤ DẠNG : SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ Các BĐT phụ hay dùng : a + b) ( 2 a +b ≥ ( x + y ) ≥ xy a + b4 > Bài 1: Cho a+b >... b + c + ≥ (2) abc + ( ab + bc + ca + a + b + c + 1) ≥ Cộng (1) (2) theo vế ta được: DẠNG 3: BẤT ĐẲNG THỨC COSI VÀ SCHAWRZ BĐT Cô Si: Với hai số a,b khơng âm ta có: a + b + c ≥ 3 abc Mở rộng ta... dương, CMR: HD: a b c + + ≥ b+c c+a a+b 1 1 + + ÷≥ x y z ( x + y + z)  Ta có : Áp dụng bất đẳng thức : x = a + b 1    + +  y = b + c => ( a + b + c )  ÷≥  a+b b+c c+a  z = c + a