Bất đẳng thức

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CĨ TÍNH THUẦN NHẤT Bài tốn Tìm cực trị biểu thức với , Hàm số F thỏa mãn điều kiện (1) gọi hàm ba biến x, y, z Sau số ví dụ Bài Cho thỏa mãn Chứng minh Lời giải Nếu từ giả thiết Nếu Đặt Bất đẳng thức Bài toán cho trở thành: “Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện Chứng minh Ta có Lại có ” , Từ đó: Dấu xảy a = b = c Bài (KA 2009) Cho x, y, z số dương thỏa mãn Chứng minh Lời giải Cách Đặt thỏa mãn Cách Đặt mãn , a, b dương Khi tốn trở thành: “Cho số dương a, b Chứng minh ” Đây tốn Bài toán cho trở thành: “Cho số dương a, b thỏa Chứng minh (2) ” Ta thấy biểu thức điều kiện bất đẳng thức cần chứng minh đối xứng với a b Đặt Bài Cho số thực dương a, b, c Chứng minh (1) Lời giải Đặt (1) Đặt Đặt (coi hàm bậc ẩn P) ; Suy bất đẳng thức Bài (KA 2013) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện GTNN biểu thức Tìm Lời giải Vì số a, b, c dương nên ta có Trong Lại có: Khi tốn cho trở thành “Cho số thực dương x, y thỏa mãn Tìm GTNN biểu thức ” Theo bất đẳng thức Cauchy ta có Vậy Đặt Xét hàm số Suy Bằng phương pháp khảo sát hàm số ta có Vậy P = Dấu xảy a = b = c Đôi lời bình luận Đây tốn khó dành cho học sinh giỏi Trước tiên nhận thấy vai trò a b biểu thức điều kiện biểu thức P nên ta tìm cách “khử” bớt biến c Kỹ thuật toán chứng minh bất đẳng thức gọi “kĩ thuật giảm biến” Một để tiến hành việc giảm biến bậc hai biểu thức điều kiện bậc tử maauxa phân thức biểu thức P Do ta nghĩ đến việc chia hai vế chia tử mẫu cho lũy thừa c mà bậc c với bậc hai vế bậc tử mẫu Khi giảm biến c, toán trở thành toán hai biến x, y mà biểu thức điều kiện biểu thức P biểu thức đối xứng x, y Đến đây, ta thấy biểu thức P thu cồng kề có bậc cao Dự đốn dấu xảy dương Khi Vì áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số ta thu biểu thức cần đánh giá gọn quan trọng dấu xảy x = y = Kỹ thuật toán chứng minh bất đẳng thức gọi “kĩ thuật chọn điểm rơi” Sau tập tương tự Bài Cho a, b, c dương thỏa mãn Chứng minh Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng: Bài Cho a, b, c dương, Tìm GTNN biểu thức Bài Cho a, b, c dương, Tìm GTNN biểu thức Bài (KA 2011) Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [1; 4] biểu thức Tìm GTNN BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC ĐA BIẾN ĐỐI XỨNG I Bài tốn tìm cực trị biểu thức đối xứng hai biến Ta biết biểu thức đối xứng hai biến x, y biểu diễn thành biểu thức chứa S = x + y P = xy Trước hết xét toán sau: Bài Cho số x, y không âm thỏa mãn Tìm GTLN GTNN biểu thức: Lời giải Đặt t = xy Khi Bài tốn quy việc tìm GTLN, GTNN biểu thức P Từ ta tìm ; Bài tập tương tự Bài 1.1 Cho hai số x, y không âm thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN biểu thức Bài 1.2 (2009/D) Cho số thực x, y không âm thỏa mãn biểu thức Bài 1.3 Cho số x, y dương thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN Tìm GTLN, GTNN biểu thức Bài Cho x, y số thực thỏa mãn điều kiện: biểu thức: Tìm GTLN GTNN Lời giải Đặt Ta có Vậy (*) Ta biến đổi Bài tốn quy tìm GTLN, GTNN Từ ta có ; Lời bình Ở tốn 2, học sinh hay sai điều kiện (*) v nên cho đáp số sai Một điều cần ý với toán phải đặt biến phải tìm xác điều kiện biến Bài tập tương tự Bài 2.1 Cho số x, y dương thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN biểu thức Bài 2.2 Cho số thực x, y thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN biểu thức Bài 2.3 Cho số thực x, y thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN Gợi ý toán 2.3 Đây toán đối xứng với hai ẩn x 2y Bài Cho x, y hai số thực thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN biểu thức Lời giải Bài toán đưa biểu thức chứa xy biểu thức sau đạt có chứa căn, cồng kềnh phức tạp khó xử lý Bài toán ta đưa khảo sát cực trị hàm số biến x + y Đặt Ta có = Bài tốn quy tìm GTLN, GTNN Từ tìm Bài tập tương tự Bài 3.1 Cho hai số thực x, y thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN biểu thức: Bài 3.2 Cho số x, y dương thỏa mãn Tìm GTLN biểu thức Lời giải Giả thiết Biến đổi Dấu x = y = Bài (2009/B) Cho số x, y thỏa mãn Tìm GTNN biểu thức Lời giải Ta có Dấu xảy Bài tập tương tự Bài 4.1 (2012/D) Cho số thực x, y thỏa mãn Tìm GTNN biểu thức Các toán đối xứng dấu thường xảy tâm, nhiên có số tốn dấu lại lệch tâm, tốn sau ví dụ Bài (2011/B) Cho a, b số dương thỏa mãn Tìm GTNN biểu thức Lời giải Giả thiết suy Dấu xảy Bài tập tương tự Bài 5.1 Cho x, y số dương Tìm GTNN biểu thức Bài 5.2 Cho x, y số thực Tìm GTNN biểu thức Bài (2013/A) Cho số a, b, c dương thỏa mãn thức Tìm GTNN biểu Phân tích tốn Đây tốn tìm cực trị biểu thức đồng bậc đối xứng với hai biến a, b việc sử dụng tính đồng bậc biểu thức để giảm biến (bằng cách đặt sau đưa tốn xử lý biểu thức đối xứng Lời giải Đặt (x, y dương) Giả thiết ta có Suy Bằng biến đổi đơn giản ta có ) Bằng phương pháp xét hàm số ta có Dấu xảy a = b = c Bài tập tương tự Bài 6.1 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn thức II Tìm GTNN biểu Bài tốn tìm cực trị biểu thức đối xứng ba biến Bài Cho số dương x, y, z thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN biểu thức Lời giải Đặt Ta tìm khoảng biến thiên t Lại có Hệ có nghiệm (do < x < 4) Khi Từ ta có Bài tập tương tự Bài 7.1 Cho số x, y, z khơng âm thỏa mãn Lời giải Đặt Ta có Hệ có nghiệm Khảo sát hàm số ta có Tìm GTLN, GTNN , Bài 7.2 Cho số dương x, y, z thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN biểu thức Bài Cho số dương a, b, c Tìm GTNN biểu thức Lời giải Do Q biểu thức nên ta chuẩn hóa Ta có Đặt , Suy Hay với Từ ta có Bài tập tương tự Bài 8.1 Cho số thực dương a, b, c Tìm GTNN biểu thức Bài 8.2 Cho số thực dương a, b, c Chứng minh KỸ THUẬT TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY A CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CẦN BIẾT Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm: cho n số khơng âm Ta có: Dấu xảy Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Cho hai Dấu xảy Ta có: Bất đẳng thức Svac-sơ: với Dấu xảy : B MỘT SỐ KỸ THUẬT TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân kết hợp chọn điểm rơi Ví dụ 1: Cho Chứng minh: Hướng khai thác điều kiện sau:  Khai thác điều kiện kết hợp với bất đẳng thức kinh điển để giới hạn miền giá trị biến  Khai thác cách vào biểu thức cần chứng minh  Khai thác dùng điều kiện vào bước cuối bước trung gian toán chứng minh Ở khai thác theo hướng vào biểu thức cần chứng minh Ta có: Tương tự cho Nhân vế với vế bất đẳng thức ta điều phải chứng minh Dấu xảy Tổng quát: Cho Chứng minh: Bài tập: