Luận văn thạc sĩ phương pháp giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ XUÂN SANG PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN QUỸ TÍCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ XUÂN SANG PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI THÁI NGUYÊN - 2017 c Mục lục Lời cảm ơn i Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Bài toán quỹ tích 1.1.1 Khái niệm 1.1.2 Quỹ tích 1.2 Véc tơ tọa độ 1.2.1 Véc tơ không gian 1.2.2 Tọa độ không gian 1.3 Sơ lược phép biến hình 10 1.3.1 Phép dời hình 10 1.3.2 Phép vị tự phép đồng dạng 11 1.3.3 Một số ví dụ mở đầu 12 Các phương pháp giải toán quỹ tích khơng gian 16 2.1 Phương pháp quỹ tích 16 2.2 Phương pháp quỹ tích phẳng khơng gian 19 2.2.1 Quỹ tích phẳng khơng gian 19 2.2.2 Quỹ tích hình chiếu điểm lên đường thẳng 23 c 2.2.3 Quỹ tích hình chiếu điểm lên mặt phẳng 27 2.3 Phương pháp véc tơ tọa độ 31 2.3.1 Tìm quỹ tích nhờ véc tơ 31 2.3.2 Tìm quỹ tích nhờ tọa độ 33 2.4 Phương pháp biến hình 37 2.4.1 Ứng dụng phép dời hình 38 2.4.2 Ứng dụng phép vị tự phép đồng dạng 41 2.5 Một số tốn quỹ tích nâng cao 44 2.5.1 Kết hợp phương pháp giải 44 2.5.2 Một số cách giải đặc biệt 49 Tài liệu tham khảo 59 c Danh mục hình 1.1 Bài tốn mở đầu 12 1.2 Quỹ tích điểm M, N, G 15 2.1 Quỹ tích 17 2.2 Quỹ tích I, H, E, F 18 2.3 Quỹ tích trung điểm I 20 2.4 Quỹ tích I,K,H 21 2.5 Bài tốn A: Quỹ tích H, E 23 2.6 Bài toán A: quỹ tích E, N, H 25 2.7 Bài tốn B: Quỹ tích hình chiếu H A 28 2.8 Bài tốn B: Quỹ tích hình chiếu N A 29 2.9 Quỹ tích hình chiếu A 31 2.10 Mặt phẳng trung trực mặt cầu 32 2.11 Phương pháp tọa độ 35 2.12 Đối xứng tâm SD 38 2.13 Đối xứng trục SBC 40 2.14 Quỹ tích M0 41 2.15 Quỹ tích trọng tâm Q 42 2.16 Quỹ tích A0 , B0 , C0 , G 43 2.17 Hai phương pháp 45 2.18 Quỹ tích S 47 2.19 Quỹ tích A, B, C, D 50 2.20 M nhìn mặt cầu góc vng 52 2.21 Quỹ tích trọng tâm tam giác 53 2.22 Quỹ tích H 55 c i Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn BGH trường Đại học Khoa học - Đại Học Thái Nguyên, thầy thuộc phịng Đào tạo sau đại học, cán thuộc Trung tâm Nhiên cứu Giáo dục-Đào tạo Hải Phòng, tạo điều kiện tốt để hồn thành khóa học Tơi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K9B (2015 - 2017) nhà trường tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Để hồn thành luận văn cách hồn chỉnh, tơi ln nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS.TS Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường Đại học Hải Phịng Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân điều thầy dành cho Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người ln động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng năm 2017 Tác giả Vũ Xuân Sang c Mở đầu Trong hình học phổ thơng ta biết tốn quỹ tích gọi tốn tìm tập hợp điểm Khi có kiến thức tọa độ phép biến hình loại tốn gặp thường xuyên Luận văn muốn nghiên cứu cách hệ thống tốn tìm quỹ tích điểm khơng gian (đương nhiên có liên quan đến quỹ tích mặt phẳng) Ngồi cách phát biểu tốn quỹ tích, nội dung chủ yếu luận văn nêu phương pháp hay dùng giải tốn quỹ tích khơng gian Đó phương pháp có hiệu biết sử dụng chỗ Mục đích đề tài là: - Nghiên cứu tốn quỹ tích hình học khơng gian phương pháp giải - Trình bày sở khoa học kỹ thuật áp dụng phương pháp: Phương pháp quỹ tích bản, phương pháp quỹ tích phẳng khơng gian, phương pháp véc tơ-tọa độ, phương pháp biến hình số vấn đề liên quan - Các kiến thức hình học khơng gian kỹ thuật giải tốn hình học khơng gian hệ thống nâng cao qua tốn quỹ tích hay khó kỳ thi học sinh giỏi - Người nghiên cứu có thêm kiến thức lực bồi dưỡng học sinh giỏi vấn đề khó Hình học Nội dung đề tài, vấn đề cần giải Trình bày hệ thống cách giải tốn quỹ tích khơng gian Phần lý thuyết trình bày tóm tắt sở khoa học phương pháp Phần trọng tâm chương nêu kỹ thuật chi tiết áp dụng c phương pháp giải Đồng thời đưa ví dụ điển hình để chứng tỏ phương pháp giải thực hiệu Chương Kiến thức chuẩn bị Nhắc lại tốn quỹ tích, véc tơ tọa độ không gian vấn đề phép biến hình khơng gian Nội dung phần chọn lọc đủ để áp dụng chương hai, bao gồm mục sau: 1.1 Bài tốn quỹ tích mặt phẳng khơng gian 1.2 Các quỹ tích 1.3 Véc tơ, phép toán véc tơ 1.4 Tọa độ khơng gian 1.5 Sơ lược phép biến hình Chương Các phương pháp giải tốn quỹ tích khơng gian Lần lượt trình bày phương pháp giải tốn quỹ tích khơng gian, mở đầu phương pháp quỹ tích Mỗi phương pháp có phân tích bình luận cách sử dụng, ví dụ tốn mẫu chọn lọc Lưu ý cách giải tốn quỹ tích mức độ khó chương hai chia thành mục sau: 2.1 Phương pháp quỹ tích 2.2 Phương pháp quỹ tích phẳng khơng gian 2.3 Phương pháp véc tơ, tọa độ 2.4 Phương pháp biến hình 2.5 Một số tốn quỹ tích nâng cao Tác giả c Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Bài tốn quỹ tích Bài tốn quỹ tích tốn khó khơng người học mà người dạy thân tốn chuyển động, tốn hàm hình học Về chất toán tập hợp: "Tìm tập hợp (hay dựng tập hợp) cho biết tính chất đặc trưng phần tử nó" Về thuật ngữ chúng tơi chọn thuật ngữ "quỹ tích" để thể rõ tốn nghiên cứu tốn hình học mà khơng dùng thuật ngữ chung chung "tập hợp" Hơn nữa, xét phương pháp giải tốn quỹ tích điểm, quỹ tích khác nghiên cứu đề tài khác 1.1.1 Khái niệm Bài tốn quỹ tích(điểm): Tìm tất điểm (trên mặt phẳng hay khơng gian) có chung tính chất α điểm Nghiệm toán hình (tập hợp điểm) gồm gồm điểm có tính chất α Nếu ta gọi H(α) tập hợp tất điểm M có tính chất α, cịn Φ hình Ta nói hình Φ nghiệm toán tức ta phải chứng minh đẳng thức tập hợp H(α) = Φ ⇐⇒ H(α) ⊆ Φ Φ ⊆ H(α) Mệnh đề "nếu M ∈ H(α) M ∈ Φ" gọi mệnh đề thuận; mệnh đề "nếu M ∈ Φ M ∈ H(α)" gọi mệnh đề đảo Hai mệnh đề gọi cặp thuận-đảo c Áp dụng quy tắc lơ gic, ngồi cặp "thuận-đảo" ta cịn giải tốn quỹ tích với cặp mệnh đề tương đương sau: -Cặp "thuận-phản": Nếu M ∈ H(α) M ∈ Φ M ∈ / H(α) M ∈ / Φ; -Cặp "phản đảo-đảo": Nếu M ∈ / Φ M ∈ / H(α) M ∈ Φ M ∈ H(α); -Cặp "phản đảo-phản": Nếu M ∈ / Φ M ∈ / H(α) M ∈ / H(α) M ∈ / Φ Chú ý i Trong toán quỹ tích việc phát hình Φ0 ⊇ Φ đóng vai trị quan trọng tốn Cách phát Φ0 phải tìm cách dự đoán từ cách làm phần thuận với kinh nghiệm hình học sẵn có bật hình Φ0 ii Quan điểm chúng tơi trình bày lời giải tốn quỹ tích cần cần có hai phần: phần thuận phần đảo Phần thuận đảm bảo tính khơng thiếu phần đảo đảm bảo tính khơng thừa quỹ tích Chính "giới hạn (nếu có)" chi tiết nhỏ phần đảo để loại phần thừa, quan điểm khác với nhiều tác giả coi "giới hạn quỹ tích cần thiết mục thiết phải trình bày lời giải" (xem chẳng hạn [4]) iii Kỹ thuật lập mệnh đề đảo Bản chất chứng minh mệnh đề đảo chứng minh "từ M ∈ H(α) kéo theo M ∈ Φ" theo nghĩa chứng minh bao hàm thức H(α) ⊆ Φ Trên thực tế tính chất α hội tính chất, chẳng hạn α1 , α2 , α3 , phần đảo ta phải lấy M ∈ Φ thỏa mãn α1 , α2 chứng minh M thỏa mãn α3 Chính sau lấy M ∈ Φ ta phải tiến hành tốn dựng hình Ở cần đến kỹ thuật tách α thành tính chất α1 , α2 , α3 Từ thấy có nhiều cách lập mệnh đề đảo, khéo léo ta nhận phép chứng minh phần đảo đơn giản Để bắt đầu với toán quỹ tích ta phải liệt kê quỹ tích (Xem chi tiết [2]) c u a a a a a a |[~a, ~b]| = t + ... Các phương pháp giải tốn quỹ tích khơng gian 16 2.1 Phương pháp quỹ tích 16 2.2 Phương pháp quỹ tích phẳng khơng gian 19 2.2.1 Quỹ tích phẳng khơng gian 19 2.2.2 Quỹ tích hình. ..ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ XUÂN SANG PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN QUỸ TÍCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp Tốn... khoa học kỹ thuật áp dụng phương pháp: Phương pháp quỹ tích bản, phương pháp quỹ tích phẳng khơng gian, phương pháp véc tơ-tọa độ, phương pháp biến hình số vấn đề liên quan - Các kiến thức hình học