Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐÌNH NGOAN BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ NỬA LIÊN TỤC DƯỚI VÀ NỬA LIÊN TỤC TRÊN TÁCH BIẾN Chuyên ngành Toán ứng dụng Mã số 8 46 01 12 LUẬN[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN ĐÌNH NGOAN BÀI TỐN TỰA CÂN BẰNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ NỬA LIÊN TỤC DƯỚI VÀ NỬA LIÊN TỤC TRÊN TÁCH BIẾN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Bùi Thế Hùng THÁI NGUYÊN - 2021 c Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu luận văn ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng 01 năm 2021 Người viết luận văn Nguyễn Đình Ngoan Xác nhận khoa chuyên môn Xác nhận người hướng dẫn TS Bùi Thế Hùng c Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới tiến sĩ Bùi Thế Hùng, người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, bảo tận tình, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, tồn thể thầy giáo khoa Tốn- Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên truyền thụ cho kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi cho ý kiến đóng góp q báu suốt q trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè quan tâm giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 01 năm 2021 Người viết luận văn Nguyễn Đình Ngoan ii c Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt iv Mở đầu Chương Bài toán cân ánh xạ nửa liên tục nửa liên tục 1.1 Tập lồi tính chất tập lồi 1.2 Ánh xạ đa trị 1.3 Tính nửa liên tục nửa liên tục ánh xạ đa trị 1.4 Sự tồn nghiệm toán cân 11 Chương Bài toán tựa cân ánh xạ nửa liên tục nửa liên tục tách biến 18 2.1 Bài toán tựa cân 18 2.2 Sự tồn nghiệm toán tựa cân 19 2.3 Một số áp dụng 29 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 iii c Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt R tập số thực R+ tập số thực không âm R− tập số thực không dương Rn không gian véctơ Euclide n− chiều Rn+ tập véctơ không âm Rn Rn− tập véctơ không dương Rn 2X tập tất tập X f :X→Y ánh xạ đơn trị từ tập X vào tập Y F : X → 2Y ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Y dom F miền định nghĩa ánh xạ đa trị F gph F đồ thị ánh xạ đa trị F A := B A định nghĩa B ∅ tập rỗng A⊆B A tập B A 6⊆ B A không tập B A∪B hợp hai tập hợp A B A∩B giao hai tập hợp A B A\B hiệu hai tập hợp A B iv c B tích Descartes hai tập hợp A B A bao đóng tơpơ tập hợp A int A phần tôpô tập hợp A conv A bao lồi tập hợp A cone A nón sinh tập A (EP ) toán cân véctơ (QEP ) toán tựa cân véctơ (GQEP ) toán tựa cân tổng quát (M GQEP ) toán tựa cân tổng quát hỗn hợp usc nửa liên tục lsc nửa liên tục kết thúc chứng minh v c Mở đầu Bài tốn cân vơ hướng E Blum W Oettli [3] nghiên cứu vào năm 1994 Từ tốn ta suy toán khác lý thuyết tối ưu toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán bù, toán cân Nash, toán điểm yên ngựa, toán điểm bất động, Sau tốn mở rộng cho trường hợp tập ràng buộc ánh xạ mục tiêu ánh xạ đa trị Bài toán cân trường hợp thường gọi với tên khác toán tựa cân vectơ đa trị, tốn đóng vai trị trung tâm lý thuyết cân vectơ hay gọi lý thuyết cân đa mục tiêu Lý thuyết hình thành từ ý tưởng cân kinh tế, lý thuyết giá trị Edgeworth, gắn liền với tên tuổi số nhà tốn học lớn, ta kể đến Hausdorff, Cantor, Borel, Von Neumann, Koopmans, Nhưng phải năm 1954 với cơng trình Deubreu giá trị cân tối ưu Pareto, lý thuyết cân vectơ công nhận ngành tốn học quan trọng có nhiều ứng dụng thực tế nhiều nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu Khi nghiên cứu toán cân người ta thường quan tâm đến tồn nghiệm Hầu hết kết tồn nghiệm toán tựa cân thiết lập cho hàm mục tiêu nửa liên tục nửa liên tục nặng liên tục (xem [3]-[11]) Năm 2018, phương pháp sử dụng định lý phân hoạch đơn vị kết hợp với định lý điểm bất động Kakutani- Fan- Glicksberg, N X Tan [13] thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân với hàm mục tiêu c nửa liên tục nửa liên tục tách biến Mục đích luận văn trình bày cách hệ thống kết Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận tài liệu tham khảo Chương luận văn dành cho việc trình bày số kiến thức sở giải tích lồi, giải tích đa trị khái niệm ánh xạ đa trị, tính nửa liên tục tính nửa liên tục ánh xạ đa trị Ngồi ra, chúng tơi trình bày số điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán cân ánh xạ nửa liên tục ánh xạ nửa liên tục Chương trình bày điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân ánh xạ mục tiêu nửa liên tục nửa liên tục tách biến Một số áp dụng vào toán tựa cân tổng quát toán tựa cân tổng quát hỗn hợp trình bày c Chương Bài toán cân ánh xạ nửa liên tục nửa liên tục Trong chương này, chúng tơi trình bày số điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán cân ánh xạ đa trị nửa liên tục ánh xạ nửa liên tục Ngồi ra, chúng tơi trình bày số kiến thức kết quen biết giải tích đa trị chúng tơi trích từ sách chuyên khảo giải tích đa trị [1] [2] 1.1 Tập lồi tính chất tập lồi Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X khơng gian tuyến tính Tập A ⊆ X gọi lồi với x1 , x2 ∈ A ta ln có λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A với λ ∈ [0, 1] Mệnh đề 1.1.2 Giả sử Aα ⊆ X tập lồi với α ∈ I , với I tập số Khi tập A = ∩ Aα lồi α∈I Chứng minh Lấy x, y ∈ A Khi x, y ∈ Aα , với α ∈ I Do Aα lồi với α ∈ I nên λx + (1 − λ)y ∈ Aα , với λ ∈ [0, 1], α ∈ I Do c λx + (1 − λ)y ∈ A với λ ∈ [0, 1] Vậy A tập lồi Mệnh đề 1.1.3 Giả sử Ai ⊆ X tập lồi λi ∈ R (i = 1, 2, , m) Khi λ1 A1 + λ2 A2 + · · · + λm Am tập lồi Chứng minh Đặt A = λ1 A1 + λ2 A2 + · · · + λm Am Lấy x, y ∈ A λ ∈ [0, 1] Khi tồn xi ∈ Ai , yi ∈ Ai , i = 1, 2, , m cho x = λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λm xm , y = λ1 y1 + λ2 y2 + · · · + λm ym Ta có λx + (1 − λ)y = λ(λ1 x1 + · · · + λm xm ) + (1 − λ)(λ1 y1 + · · · + λm ym ) = λ1 [λx1 + (1 − λ)y1 ] + · · · + λm [λxm + (1 − λ)ym ] Do Ai tập lồi nên λxi + (1 − λ)yi ∈ Ai , với λ ∈ [0, 1], i ∈ {1, 2, , m} Suy λx + (1 − λ)y ∈ A, với λ ∈ [0, 1] Vậy A tập lồi Định nghĩa 1.1.4 Giả sử X khơng gian tuyến tính, A tập X Khi giao tất tập lồi chứa A gọi bao lồi tập A kí hiệu conv A Định lí 1.1.5 Giả sử A tập khơng gian tuyến tính X Khi conv A trùng với tập tất tổ hợp lồi tập A, tức ( n ) n X X conv A = αi xi : xi ∈ A, αi ≥ 0, αi = i=1 i=1 Chứng minh Ta có conv A tập lồi Vì A ⊆ conv A nên conv A chứa tất tổ hợp lồi A Hơn tập tất tổ hợp lồi A lồi chứa A, chứa conv A (vì conv A tập lồi nhỏ chứa A) Vậy conv A trùng với tập tất tổ hợp lồi A c ... nghiệm toán cân ánh xạ nửa liên tục ánh xạ nửa liên tục Chương trình bày điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân ánh xạ mục tiêu nửa liên tục nửa liên tục tách biến Một số áp dụng vào toán tựa cân. .. 1.3 Tính nửa liên tục nửa liên tục ánh xạ đa trị 1.4 Sự tồn nghiệm toán cân 11 Chương Bài toán tựa cân ánh xạ nửa liên tục nửa liên tục tách biến ... ) toán cân véctơ (QEP ) toán tựa cân véctơ (GQEP ) toán tựa cân tổng quát (M GQEP ) toán tựa cân tổng quát hỗn hợp usc nửa liên tục lsc nửa liên tục kết thúc chứng minh v c Mở đầu Bài tốn cân