Đang tải... (xem toàn văn)
(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀO THỊ THU TRANG BÀI TOÁN TỰA ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TỔNG HAI ÁNH XẠ ĐA TRỊ NỬA LIÊN TỤC DƯỚI VÀ NỬA LIÊN TỤC TRÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀO THỊ THU TRANG BÀI TOÁN TỰA ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TỔNG HAI ÁNH XẠ ĐA TRỊ NỬA LIÊN TỤC DƯỚI VÀ NỬA LIÊN TỤC TRÊN Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN Thái Nguyên, năm 2021 i Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Tôi không chép từ cơng trình khác Các tài liệu luận văn trung thực, kế thừa phát huy thành khoa học nhà khoa học với biết ơn chân thành Thái Nguyên, tháng năm 2021 Người viết luận văn Đào Thị Thu Trang Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn GS Nguyễn Xuân Tấn Do kiến thức mẻ khoảng thời gian nghiên cứu hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi sai sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp q thầy người để luận văn hoàn thiện Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới GS Nguyễn Xuân Tấn trực tiếp giao đề tài, hướng dẫn giúp đỡ tận tình suốt q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán q thầy quan tâm, nhiệt tình giảng dạy suốt khóa học Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè giúp đỡ tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! Mục lục Trang bìa phụ i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv LỜI MỞ ĐẦU Chương Một số kiến thfíc 1.1 Những khơng gian thường dùng 1.1.1 Không gian tơ pơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff 1.2 Nón ánh xạ đa trị 1.2.1 Nón 1.2.2 Ánh xạ đa trị 1.2.3 Tính liên tục ánh xạ đa trị 1.2.4 Tính lồi ánh xạ đa trị .13 Chương Bài toán tựa điểm bất động tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục nửa liên tục 16 2.1 Đặt toán .16 2.2 Sự tồn điểm bất động tổng hai ánh xạ đa trị nửa iv liên tục nửa liên tục 17 2.3 Một số ứng dụng 21 2.3.1 Bài toán cân tổng quát tồn nghiệm toán .25 Tài liệu tham khảo 31 iv LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động đóng vai trị quan trọng hình thành từ 100 năm Năm 1912, Browwer rằng: ánh xạ liên tục f từ đơn hình S ⊂ Rm vào ln có điểm bất động Sau đó, kết mở rộng: Ánh xạ liên tục f từ tập compact, lồi C không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương Hausdoff X vào ln có điểm bất động Năm 1972, Ky Fan mở rộng cho ánh xạ đa trị: Cho ánh xạ đa trị nửa liên tục f : C → 2C với 2C tập lồi compact khác rỗng Kí hiệu tập tập C, F (x) ≠ ∅, lồi, compact Khi tồn x¯ ∈ C, x¯ ∈ F (x¯) Điểm x¯ gọi điểm bất động ánh xạ đa trị F Năm 1968, Ky Fan Browder chứng minh ánh xạ đa trị F : C → 2C Với y ∈ C, F (−1)(y) = {x ∈ C, y ∈ F (x)} tập mở, F (x) ̸= ∅ Khi F có điểm bất động Ánh xạ đa trị có lát cắt mở Người ta rằng: Ánh xạ đa trị có lát cắt mở ánh đa trị nửa liên tục Cho P : C → 2C , F : C → 2X Bài tốn tìm x¯ ∈ C cho x¯ ∈ P (x¯) x¯ ∈ F (x¯) gọi tốn tìm điểm bất động chung P F hay toán tựa bất động F Năm 1922, Banach chứng minh ánh xạ f co từ không gian metric đầy đủ X vào nó, tức tồn k ∈ (0; 1) để: d(f (x), f (y)) ≤ kd(x, y), ∀x, y ∈ X (d metric X) Khi f có điểm bất động Hơn vậy, với x0 ∈ Xbất kỳ, ta xây dựng dãy lặp {xn}n∈N , xn+1 = f (xn), dãy lặp hội tụ tới điểm bất động f Định lý Nadler mở rộng cho ánh xạ đa trị Mục đích luận văn nhằm trình bày kết mở rộng Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh Nguyễn Quỳnh Hoa cho toán tựa điểm bất động cho ánh xạ đa trị F tổng ánh xạ đa trị G H, F = G+H, G ánh xạ đa trị nửa liên tục từ C vào 2X H ánh xạ nửa liên tục từ C vào 2X Kết nối kết KyFan Browder KyFan với Tất nhiên, giống hai định lý Ky Fan Browder KyFan ứng dụng nhiều toán khác lý thuyết tối ưu lý thuyết phương trình đa trị, kinh tế Nội dung luận văn dựa báo “Quai - Equilibrium problrm and Fixed point Theorem of the sum L.S.C and U.S.C mappings” N.X.Tan, N.Q.Hoa N.B.Minh đăng tạp chí Minimax Theory Apl.3.(2018) No.1, 57-72 Chương Một số kiến thfíc Trước nghiên cứu toán nêu luận văn, ta cần nhắc lại không gian, kiến thức cần dùng chương luận văn Ta bắt đầu việc nhắc lại không gian tô pơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff thường gặp toán lý thuyết tối ưu đơn trị lẫn đa trị vô hưỡng lẫn véc tơ 1.1 Những không gian thường dùng 1.1.1 Không gian tơ pơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff Trong mục này, ta xây dựng lớp khơng gian có cấu trúc, ta gọi cấu trúc tô pô Các khái niệm giới hạn, lân cận, tập đóng, tập mở sinh từ cấu trúc Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp X Một họ G tập X tôpô X nếu: (i) Hai tập ∅, X thuộc họ G; (ii) G kín phép giao hữu hạn, tức giao số hữu hạn tập thuộc họ G thuộc họ G; (iii) G kín phép hợp bất kì, tức hợp số hữu hạn hay vô hạn tập thuộc họ G thuộc họ G Hơn nữa, p∗(u) ≥ 0, với u ∈ TP(x,y)(x) Từ giả thiết (5) có ∅ ≠ G(x, y) + (H(x, y) ∩ TP (x,y) (x)) ⊂ TP (x,y) (x), nên p∗(v) + p∗(w) ≥ 0, với v ∈ coG(x, y), w ∈ H(x, y) ∩ TP(x,y)(x) Suy inf v+w∈coG(x,y)+(H(x,y)∩TP (x,y)(x)) p∗(v + w) ≥ (2.3.2) Mặt khác, đặt I(x, y) = {i ∈ {0, 1, , s}|ψi(x, y) > 0} Σsψ (x, y) = nên I(x, y) ̸= ∅ Do đó, với i Vì ψi(x, y) ≥ i i= ∈ I(x, y), (x, y) ∈ suppψ i ⊂ Upj(i) ta có cpj(i (x, y) + cpj(i) (x, y) < (2.3.3) ) Với v ∈ coG(x, y), w ∈ H(x, y), ta có p (v + w) = ∗ s Σ ψi (x, y).[pj(i) (v) + pj(i) (w)] i=0 = Σ i∈I(x,y) ≤ i∈ΣI(x,y) ψi (x, y).[pj(i) (v) + pj(i) (w)] ψi(x, y) max {pj(i)(v) + pj(i)(w)} i∈I(x,y ) = max {pj(i)(v) + pj(i)(w)} i∈I(x,y ) Hơn v+w ∈ ≤ inf {p∗(v + w)} coG(x,y)+(H(x,y)∩TP (x,y)(x)) v+w∈ inf max {pj(i)(v) + pj(i)(w)} (2.3.4) coG(x,y)+(H(x,y)∩TP (x,y)(x)) i∈I(x,y) Đặt C = co{pj(1), , pj(s)}, E = co(G(x, y)) + H(x, y), f (p, u) = p(v) + p(w), u = v + w sử dụng tô pô yếu* X ∗ , ta thấy thỏa mãn điều kiện định lý minimax Sion [5] Do đó, inf max pj(i)(u) u∈coG(x,y)+(H(x,y)∩TP (x,y)(x)) i∈I(x,y) = max i∈I(x,y) v+w inf ∈coG(x,y)+(H(x,y)∩TP (x)) ≤ max { ∈ inf pj(i)(v) i ∈I(x,y) v coG(x,y) + {pj(i)(v) + pj(i)(w)} (x,y) sup pj(i)(w)} w∈H(x,y) ≤ max {cp (x, y) + cp (x, y) < j(i) j(i) i ∈I(x,y ) Từ (2.3.4) (2.3.5) suy (2.3.5) p∗(u) < (2.3.6) inf u∈coG(x,y)+(H(x,y)∩TP (x)) (x,y) Ta thấy (2.3.2) mâu thuẫn với (2.3.6) Vậy định lý chứng minh Từ Định lý 2.2.1, ta có hệ điểm bất động ánh xạ đa trị liên quan tới tổng ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng Hệ sau mở rộng định lý Ky Fan định lý Brouwer - Ky Fan Hệ 2.2.2 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: D tập khác rỗng, lồi, compact X; G0, H0 : D → 2D ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng; G0 l.s.c H0 u.s.c với giá trị lồi, đóng; (G0(x) − x) + (H0(x) ∩ TD(x)) ⊂ TD(x), với x ∈ D Khi đó, tồn x ∈ D cho x ∈ G0(x) + H0(x) Chfíng minh Hệ suy trực tiếp cách đặt P (x, y) = Q(x, y) = D, G(x, y) = G0(x), H(x, y) = H0(x) với (x, y) ∈ D × K Hệ 2.2 tổng quát hóa định lý Ky Fan định lý Brouwer Ky Fan 2.3 Một số fíng dụng Trong mục trước, đưa số điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tối ưu, bất đẳng thức tựa biến phân véctơ, tựa cân véctơ Trong mục này, xét số điều kiện đủ cho tồn nghiệm tốn tựa khơng điểm liên quan tới ánh xạ đa trị tổng hai ánh xạ, tức F = G + H với G : D × K → 2X ánh xạ nửa liên tục yếu vô hướng H : D × K → 2X ánh xạ nửa liên tục yếu vơ hướng Ta có định lý: Định lý 2.3.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: D, K tập lồi, compact, khác rỗng; P : D × K → 2D ánh xạ đa trị liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng; Q : D × K → 2K ánh xạ u.s.c với giá trị lồi, đóng, khác rỗng; G ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng; H ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; Với (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), ∅ ̸= (G(x, y) − x) + (H(x, y) ∩ TP (x,y)(x)) ⊂ TP (x,y)(x) Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho: x ∈ P (x, y); y ∈ Q(x, y); ∈ G(x, y) + H(x, y) Chfíng minh Ta định nghĩa ánh xạ G∗ : D × K → 2X xác định G∗(x, y) = G(x, y) − x, (x, y) ∈ D × K Khi đó, với (x, y) ∈ D × K, G∗ ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng Khi đó, ta có điều phải chứng minh Hệ 2.3.2 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: D, K tập khác rỗng, lồi, compact; P : D × K → 2D ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; Q : D × K → 2K ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; G ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng; H ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị lồi, đóng; Với (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), x ∈/ G(x, y) + H(x, y) ∅ (G(x, y) − x) + (H(x, y) ∩ TP(x,y)(x)) ⊂ TP(x,y)(x) Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho: x ∈ P (x, y); y ∈ Q(x, y); G(x, y) + H(x, y) = ∅ Chfíng minh Ta giả sử G(x, y) + H(x, y) ̸= ∅, với (x, y) ∈ P (x, y)×Q(x, y) Suy ra, với (x, y) ∈ P (x, y)×Q(x, y), G(x, y) ≠ ∅ H(x, y) ̸= ∅ Do đó, (G(x, y) − x) + (H(x, y) ∩ TP(x,y)(x)) ⊂ TP (x,y)(x) Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho: x ∈ P (x, y); y ∈ Q(x, y); x ∈ G(x, y) + H(x, y) Ta thấy điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy ta có điều phải chứng minh Hệ 2.3.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: D, K tập khác rỗng, lồi, compact; P : D × K → 2D ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; Q : D × K → 2K ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; G : D × K → 2X ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng; Với (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), x G(x, y) G(x, y) − x ⊂ ∈/ TP (x,y)(x) Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho: x ∈ P (x, y); y ∈ Q(x, y); G(x, y) = ∅ Chfíng minh Giả sử với G(x¯, y¯) ̸= ∅, ∀(x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), ta xác định ánh xạ G˜ : D × K → 2X , H˜ : D × K → 2Z : G˜ (x, y) = G(x, y) − x; H˜ (x, y) = y, (y, x) ∈ D × K Khi đó,G˜ (x, y) ̸= ∅∀(x, y) ∈ P (x, y)×Q(x, y) G˜ (x, y) ∈ TP (x,y) (x), H˜ (x, y)− y = ∈ TQ(x,y) (y) Chúng ta kết luận G˜ (x, y)là ánh xạ đa trị l.s.c G˜ (x, y) ̸= ∅∀(x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y) Hơn nữa, với (x¯, by¯) ∈ D × K, cho: x ∈ P (x, y); y ∈ Q(x, y); x ∈ G(x, y) Điều mâu thuẫn, ta có điều phải chứng minh Hệ 2.3.4 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: D, K tập khác rỗng, lồi, compact; P : D × K → 2D ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; Q : D × K → 2K ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; H : D × K → 2Z ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng; Với (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), y ∈/ H(x, y) H(x, y) − y ∩ TQ(x,y)(y) ∅ Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho: x ∈ P (x, y); y ∈ Q(x, y); H(x, y) = ∅ Chfíng minh Giả sử với H(x, y) ̸= ∅, ∀(x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), ta xác định ánh xạ G˜ : D × K → 2X , H˜ : D × K → 2Z : G˜ (x, y) = x; H˜ (x, y) = H(x, y) − y, (y, x) ∈ D × K Khi đó,H˜ (x, y) ̸= ∅, ∀(x, y) ∈ P (x, y)×Q(x, y) H˜ (x, y) ⊂ TQ(x,y) (y) ̸= ∅ Chúng ta kết luận H˜ (x, y)là ánh xạ đa trị u.s.c H˜ (x, y) ̸= ∅∀(x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y) Hơn nữa, với (x¯, by¯) ∈ D × K, cho: x ∈ P (x, y); y ∈ Q(x, y); x ∈ H(x, y) Điều mâu thuẫn, ta có điều phải chứng minh 2.3.1 Bài toán cân tổng quát tồn nghiệm toán Cho X, Z Y khơng gian tơ pơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ⊂ X, K ⊂ Z tập khác rỗng Cho ánh xạ S : D×K → 2D, T : D × K → 2K; P1 : D → 2D, P2 : D → 2D, Q : K × D → 2K F1 : K × D × D × D → 2Y , F : K × D × D → 2Y , ta xét tốn sau: A/ Tìm (x¯, y¯) ∈ D × K cho 1/ x¯ ∈ S(x¯, y¯); 2/ y¯ ∈ T (x¯, y¯); 3/ ∈ F1(y¯, x¯, x¯, z), với z ∈ S(x¯, y¯) toán gọi toán tựa cân tổng quát loại I B/ Tìm x¯ ∈ D cho x¯ ∈ P1(x¯) ∈ F (y, x¯, t), với t ∈ P2 (x¯) y ∈ Q(x¯, t) Bài toán gọi toán tựa cân tổng quát loại II Trong toán trên, ta gọi ánh xạ S, T, P1, P2 Q ràng buộc, F1 F gọi ánh xạ mục tiêu, chúng đẳng thức, bất đẳng thức, bao hàm thức, bất bao hàm thức, tương giao ánh xạ đa trị, quan hệ khơng gian tích Bài tốn tựa cân tổng quát loại I nghiên cứu chi tiết luận văn tiến sĩ Trương Thị Thùy Dương Trong chương này, chủ yếu nghiên cứu tồn nghiệm toán tựa cân tổng quát loại II Trong mục ta đưa số điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa cân tổng quát loại II Từ kết ta thu kết cho tốn liên quan Ta có; Định lý 2.3.5 Các điều kiện sau đủ để tốn tựa cân tổng qt loại II có nghiệm: (i) D tập lồi, compắc, khác rỗng; (ii) Ánh xạ đa trị P1 : D → 2D có tập điểm bất động D0 = {x ∈ D| x ∈ P1(x)} đóng, khác rỗng D (iii) Ánh xạ đa trị P2 : D → 2D có P2−1(x) mở bao lồi coP2(x) P2(x) chứa P1(x) với x ∈ D; (iv) Với t ∈ D cố định, tập B = {x ∈ D| ∈/ F (y, x, t), với vài y ∈ Q(x, t) } mở D; (v) F : K × D × D → 2Y ánh xạ đa trị Q − KKM Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ đa trị M : D → 2D xác định M (x) = {t ∈ D| ∈/ F (y, x, t), với vài y ∈ Q(x, t) đó} Ta thấy có x¯ ∈ D, x¯ ∈ P1(x¯), mà M (x¯) ∩ P2 (x¯) = ∅, ∈ F (y, x¯, t), với t ∈ P2 (x¯) y ∈ Q(x¯, t) định lý chứng minh Sau ta chứng tỏ tồn điểm x¯ Bằng phản chứng, ta giả sử với x ∈ P1 (x), suy M (x) ∩ P2(x) ̸= ∅ Ta định nghĩa ánh xạ đa trị H : D → 2D với ( H(x) = co(M (x) ∩ P2(x)), x ∈ P1(x); P2(x), trường hợp lại S Giả sử H(x) ̸= ∅, với x ∈ D, ta có D = x∈D H−1(x) Hơn nữa, H−1(x) = (coM )−1(x) ∩ (coP2)−1(x) ∪ (P2−1(x) \ D0), D0 = {x ∈ D : x ∈ P1(x)} tập đóng D Vì vậy, H−1(x) tập mở D, với x ∈ D Hơn nữa, tồn điểm x¯ ∈ D cho x¯ ∈ H(x¯) = coM (x¯) ∩ coP2(x¯), ta tìm Σ t1 ,Σ , tn ∈ M (x¯) để x¯ = n αiti, αi ≥ 0, n αi = Từ định nghĩa M, ta có ∈/ F (y, x, ti ), với vài y ∈ Q(x, ti ) với i = 1, , n Mặt khác, từ giả thiết F ánh xạ Q−KKM, tồn số j ∈ {1, , n}sao cho ∈ F (y, x, tj), với y ∈ Q(x, tj) ta có mâu thuẫn Như vậy, với x ∈ D, x ∈/ H(x) Từ đây, ta suy tồn x¯ ∈ D so cho H(x¯) = ∅ Nếu x¯ ∈/ P1 (x¯), H(x¯) = P2 (x¯) = ∅, điều không xảy Nghĩa là, ta có x¯ ∈ P1 (x¯) H(x¯) = coM (x¯) ∩ coP2 (x¯) = ∅ Từ mâu thuẫn này, định lý chứng minh Giảm nhẹ điều kiện cho ánh xạ P2, tốn có nghiệm Ta có định lý sau, Định lý 2.3.6 Nếu điều kiện sau xảy ra: (i) D tập lồi, compắc, khác rỗng; (ii) P1 : D → 2D có tập điểm bất động D0 = {x ∈ X| x ∈ P1(x)} in D khác rỗng đóng; (iii) P2 nửa liên tục với giá trị khác rỗng với x ∈ D, P1(x) chứa bao lồi coP2(x) P2(x); (iv) Với t ∈ D cố định, tập hợp B = {x ∈ D| ∈/ F (y, x, t), với vài y ∈ Q(x, t) mở D; (v) F : K × D × D → 2Y ánh xạ Q − KKM, tốn tựa cân tổng qt loại II có nghiệm Chứng minh Cho U sở lân cận lồi đóng gốc khơng gian X Với U ∈ U, ta định nghĩa ánh xạ đa trị P1U , P2U : D → 2D xác định PiU (x) = (Pi(x) + U ) ∩ D, i = 1, 2, x ∈ D Ta dễ dàng chứng minh P2−1(t) tập mở D với t ∈ D bao lồi coP2U (x) P2U (x) đượcUbao hàm P1U (x) với x ∈ D Vì vậy, P1U , P2U , Q F thỏa mãn tất điều kiện, tồn x¯U ∈ D để x¯U ∈ P1 (x¯U ) ∈ F (y, x¯U , t), với t ∈ P2(x¯U ) y ∈ Q(x¯U , t) Bởi tính compắc D, khơng giảm tính tổng qt, ta giả sử x¯U hội tụ tới x¯ U giảm Tính đóng P1 suy x¯ ∈ P1(x¯) Cho t ∈ P2(x¯) tùy ý Tập hợp B = {x ∈ D| ∈/ F (y, x, t), với vài y ∈ Q(x, t) đó} mở D tập A = {x ∈ D| ∈ F (y, x, t), với y ∈ Q(x, t)} tập đóng D Từ x¯U ∈ A x¯U hội tụ tới x¯, ta có x¯ ∈ A Như ∈ F (y, x¯, t) với t ∈ P2(x¯) y ∈ Q(x¯, t) Hệ 2.3.7 Giả thiết điều kiện sau thỏa mãn: i) D, K tập lồi, compắc, khác rỗng; ii) P ánh xạ đa trị liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng; iii) Với t ∈ D cố định, tập B = {x ∈ D| ∈/ F (y, x, t), với vài y ∈ Q(x, t) đó} mở D; iv) F : K × D × D → 2Y ánh xạ đa trị Q − KKM Khi đó, tốn tựa cân tổng quát loại II có nghiệm Kết luận Trong luận văn này, tơi nghiên cứu tốn tựa điểm bất động tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục nửa liên tục trên, tồn nghiệm toán Các kết bao gồm: 1) Trình bày khơg gian tơ pơ tuyến tính lồi địa phương Hausdoff, nón, ánh xạ đa trị 2) Giới thiệu toán tựa điểm bất động tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục nửa liên tục trên, chứng minh tồn nghiệm tốn qua định lí 2.2.1 3) Giới thiệu số ứng dụng toán liên quan Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Xuân Tấn Nguyễn Bá Minh,(2005), "Một số vấn đề lý thuyết tối ưu vecto đa trị", Nhà xuất giáo dục [2] Duong, T.T.T., and Tan, N.X,(2010), "On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems of type I and Related Problems" Adv Nonlinear Var Inequal 13, No 1, 29-47 [3] Duong,T.T.T., and Tan, N.X., (2010), "On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems of type II and Related Problems" Adv Nonlinear Var Inequal 13, No 1, 29-47 [4] Fan, K.,(1972) "A minimax inequality and application, Inequalities III", O Shisha (Ed), Aca Press, New-York in [5] Fan, K., (2000), "Some sufficient conditions for the existence of equilibrium points concerning multivalued mappings", Vietnam Jour of Math, 28, 295-310 [6] Tan, N.X., Minh, N.B., Hoa, N.Q., (2018), "Quasiquasi-equilibrium problems and Fixed point Theorem of the sum L.S.C and U.S.C mappings" Minimax Theory Apl.3.No.1, 57-72 ... Chương Bài toán tựa điểm bất động tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục nửa liên tục 16 2.1 Đặt toán .16 2.2 Sự tồn điểm bất động tổng hai ánh xạ đa trị nửa iv liên tục nửa liên tục ... Minh Nguyễn Quỳnh Hoa cho toán tựa điểm bất động cho ánh xạ đa trị F tổng ánh xạ đa trị G H, F = G+H, G ánh xạ đa trị nửa liên tục từ C vào 2X H ánh xạ nửa liên tục từ C vào 2X Kết nối kết KyFan... ĐÀO THỊ THU TRANG BÀI TOÁN TỰA ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TỔNG HAI ÁNH XẠ ĐA TRỊ NỬA LIÊN TỤC DƯỚI VÀ NỬA LIÊN TỤC TRÊN Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng