Chuyên đề: KỸ NĂNG SỬ DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC Trình bày: Hoàng Ngọc Hùng TTCM Toán Trường THPT Kỳ Lâm I.Kiến thức cần nhớ 1.. Khái niệm đường tròn lượng giác Là đường tròn định hướng,
Trang 1Chuyên đề: KỸ NĂNG SỬ DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC Trình bày: Hoàng Ngọc Hùng
TTCM Toán Trường THPT Kỳ Lâm
I.Kiến thức cần nhớ
1 Khái niệm đường tròn lượng giác
Là đường tròn định hướng, đơn vị, nhận gốc tọa độ O làm tâm
2 Biểu diễn một cung, một góc lượng giác trên ĐTLG
Trường hợp 1: x k m
2
2
với [ 0 ; 2 ], k Z, mN, m > 2
B1:Xác định điểm ngọn trên đường tròn lượng giác
tương ứng điểm M1
B2:Tìm các điểm khác bằng cách chia ĐTLG thành một 2m - giác đều
nhận M1 làm đỉnh
Khi đó số các điểm trên ĐTLG biểu diễn toàn bộ góc (cung) lượng giác
Ví dụ 1 x34 k2
ta có: x34 k2
4
2 4
3
k
x
Ta có biểu diễn trên hình vẽ
Ví dụ 2 x k
4 3
Trên ĐTLG chỉ có hai điểm đối xứng nhau qua
tâm O
1
O
O
M1
M2 O
M1
M3
M4
M2 O
M1
Trang 2Nhận xét: Đa giác nhận được từ các điểm trên ĐTLG là một đa giác có số đỉnh chẵn nên đối
xứng qua tâm O
Trường hợp 2: 22 1
m k
x với [ 0 ; 2 ], k Z, mN, m > 1 B1:Xác định điểm ngọn trên đường tròn lượng giác
tương ứng điểm M1
B2:Tìm các điểm khác bằng cách chia ĐTLG thành một 2m + 1 - giác đều
nhận M1 làm đỉnh
Khi đó số các điểm trên ĐTLG biểu diễn toàn bộ góc (cung) lượng giác
Nhận xét: Đa giác nhận được từ các điểm trên ĐTLG là một đa giác có số đỉnh lẻ nên nhận
trục OM1 làm trục đối xứng
Ví dụ 1: x34 k 23
B1:Xác định điểm ngọn 34 trên đường tròn lượng giác
tương ứng điểm M1
B2:Tìm các điểm khác bằng cách chia ĐTLG thành một tam giác đều
nhận M1 làm đỉnh
3 Tổng hợp nghiệm trên ĐTLG nếu có các trường hợp
+Hai điểm đối xứng qua gốc toạ độ và có điểm đầu là
khi đó : x k
+Các điểm tạo thành đa giác đều có số chẵn 2n đỉnh và có điểm đầu là
khi đó:
n k x
2
2
+Các điểm tạo thành đa giác đều có số lẻ 2n + 1 đỉnh và có điểm đầu là
khi đó: 22 1
n k
II.Các ví dụ:
Dạng 1:
m k x
n k x
Phương pháp:
Bước 1: Biểu diễn các họ nghiệm x kn và x k m trên cùng một đường tròn lượng giác (Vòng tròn với các nghiệm)
Bước 2: Lấy những nghiệm chung nhất của hai họ nghiệm và tổng hợp nghiệm ( nghiệm được khoanh 2 vòng)
Ví dụ 1:
k x
k
M 2
M 1
O
M3
Trang 3Ví dụ 2
k x
k x
2 3
2 2
Ví dụ 3:
k x
k x
2
3 6
Dạng 2:
m k x
n k x
Phương pháp:
Bước 1: Biểu diễn các họ nghiệm
n k
x và
m k
x trên cùng một đường tròn lượng giác (Vòng tròn với các nghiệm)
Bước 2: Chỉ lấy những nghiệm một lần chung cho hai họ nghiệm và tổng hợp nghiệm nếu các điểm đó tạo thành đa giác đều)
Ví dụ 1:
k x
k
x 2
Ví dụ 2
k x
k x
2
Ví dụ 3:
k x
k x
2
3 6
Dạng 3:
m k x
n k x
Phương pháp:
Bước 1: Biểu diễn các họ nghiệm x kn và x k m trên cùng một đường tròn lượng giác (Vòng tròn với các nghiệmx kn và gạch chéo đối với họ nghiệmx k m )
Bước 2: Chỉ lấy những nghiệm được vòng tròn mà không bị gạch chéo tổng hợp nghiệm nếu tạo thành đa giác đều)
Ví dụ 1:
k x
k
Ví dụ 2
k x
k x
2
2 2
Ví dụ 3:
k x
k x
2
3 6
VD: Giải phương trình: 1 tan 2 sin
1 cot
x
x x
Giải:
Điều kiện của phương trình đã cho là: cosx 0, sinx 0 và cot x -1
Ta biến đổi phương trình đã cho:
1 tan cos sin sin
1 cot cos sin cos
sin
2 sin cos
x
x
Trang 4(Loại do điều kiện)
sinx 2 1 0
cos x
sin 0
2 cos
2
x x
x = 2
4 k
, k Z
Giá trị x = - 2
4 k
, k Z bị loại do điều kiện cot x -1
Vậy nghiệm của của phương trình đã cho là x = 2
4 k
, k Z
Bài tập tự luyện
Giải các phương trình lượng giác sau:
2
cos
1
.
2
sin
x
x
2)cos 3x( 1 tanx) 0
sin 2 2
cos sin ) sin (cos
x
x x x
x
M 2
O
M 1