Microsoft Word 207 Lê Th? S?c Nguyen Thi Van doc Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019 ISBN 978 604 82 2981 8 210 TÍNH HẦU TỰ ĐỒNG HÌNH CỦA CÁC DÒNG CHẤT LỎNG CHẢY QUA MỘT VẬT CẢN Lê Thế Sắ[.]
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019 ISBN: 978-604-82-2981-8 TÍNH HẦU TỰ ĐỒNG HÌNH CỦA CÁC DỊNG CHẤT LỎNG CHẢY QUA MỘT VẬT CẢN Lê Thế Sắc1, Nguyễn Thị Vân1 Trường Đại học Thủy lợi, email: SacLT@tlu.edu.vn lim lim f ( t + sn − sm ) = f ( t ) , ∀t ∈ \ (1.2 ) GIỚI THIỆU CHUNG Trong báo này, chúng tơi thiết lập tồn tính nghiệm hầu tự đồng hình luồng chất lỏng chảy qua vật thể mô tả phương trình NavierStokes-Oseen Xét vật thể di chuyển D chất lỏng nhớt nén lấp đầy tồn khơng gian ⎧ut + ( u ⋅∇ ) u − Δu + ∇p = divF in Ω × \, ⎪ in Ω × \, ⎪∇ ⋅ u = ⎨u = on ∂Ω × \, ⎪ ⎪ lim u ( t , x ) = u∞ (1.1) ⎩ x →∞ với Ω := \ \ D bề vật thể với biên ∂Ω trơn; u vận tốc chất lỏng; p áp suất divF ngoại lực m→∞ n →∞ Nghĩa ∃ hàm g ( t ) cho giới hạn sau tồn với (1.3) n →∞ Ký hiệu BPC ( \; X ) không gian hàm B ( \; X ) liên tục \ / ] có giới hạn hữu hạn ] Định nghĩa 1.2 Hàm f ∈ BPC ( \; X ) gọi ] - hầu tự đồng hình ∀ dãy số nguyên ( sn′ ) , ∃ dãy ( sn ) cho giới hạn (1.3) Dễ thấy AP ( \; X ) ⊂ AA ( \; X ) ⊂ ] AA ( \; X ) Đặt AOu := − P ( Δu ) + P ( u∞∇v ) , 3.2 Phương trình Navier-Stokes-Oseen Ký hiệu Lσp := Cc∞,σ ( Ω ) C ∞ c ,σ Lp , ( Ω ) := {ν ∈ C ( Ω ) : divν ∞ c = in Ω} , Với < r < ∞ ≤ q ≤ ∞, ký hiệu Lr ,q không gian Lorentz Chú ý Lr ,r ( Ω ) = Lr ( Ω ) Lrω ( Ω ) := Lr ,∞ ( Ω ) gọi không gian Lr yếu Đặt Lσr ,q ( Ω ) := Rg ( Pr ,q ) , Lr ( Ω ) = Lσr ( Ω ) ⊕ {∇p ∈ Lr : p ∈ Lrloc ( Ω )} , Lr ,q ( Ω ) = Lσr ,q ( Ω ) ⊕ G r ,q ( Ω ) , KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 3.1 Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.1 Hàm f ∈ BC ( \; X ) hầu tự đồng hình ∀ dãy số ( sn′ ) , ∃ dãy (sn) cho n →∞ f ( t ) = lim f ( t − sn ) , t ∈ \ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Chúng phát triển phương pháp sử dụng báo [1] sang trường hợp hàm hầu tự đồng hình ] − hầu tự đồng hình Phương pháp liên quan đến lí thuyết nội suy, đánh giá đối ngẫu đến tính chất trơn Lp − Lq phương trình tuyến tính liên kết Hơn nữa, không gian liệu ban đầu mở rộng tới lớp hàm ] hầu đồng hình, nghiệm thu hầu tự đồng hình, điều tổng qt hóa định lí mở rộng loại Massera [2] g ( t ) = lim f ( t + sn ) G r ,q ( Ω ) := {∇p ∈ Lr ,q ( Ω ) : p ∈ Lrloc,q ( Ω )} Gọi P = Pr phép chiếu Helmholtz L ( Ω ) , hạn chế P = Pr ,q xác định r phép chiếu bị chặn Lr ,q ( Ω ) 210 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019 ISBN: 978-604-82-2981-8 ( Cho ϕ ∈ Cc∞ ( \ ) thỏa mãn ϕ ≥ 0, ϕ ≡ lân cận Ω c suppϕ ⊂ B ( 0;r ) Đặt b∞ := Bog D ( ( ∇ϕ ) u∞ ) , với Bog D toán tử Bogovskii D = { x ∈ Ω : x < r} ∞ c Ta có b∞ ∈ C ( ) Ω thỏa mãn divb∞ = b∞ = u∞ ∂Ω Với α ∈ ` n0 , ∃C > cho ∇α b∞ L∞ ( Ω ) D ( AO ) := W01, p ( Ω ) ∩ W 2, p ( Ω ) ∩ Lσp ( Ω ) , với v := u − u∞ + b∞ Do ( u ⋅∇ ) u = div ( u ⊗ u ) nên u nghiệm (1.1) v nghiệm ( 3.1) G ( v ) = F − ∇b∞ − ( u∞ − b∞ ) ⊗ b∞ − b∞ ⊗ v + v ⊗ v − v ⊗ b∞ Bổ đề 3.1 a Với p ∈ (1; ∞ ) , ≤ q ≤ ∞, − AO sinh nửa nhóm bị chặn (e ) Lσp ( Ω ) − tAO Lσp ,q ( Ω ) b Với1 < p ≤ q < ∞, ∃C > cho e− tAO f q ,1 ≤ Ct 3⎛ 1 ⎞ − ⎜ − ⎟ 2⎝ p q ⎠ f p ,1 q ,1 , ∇e − tAO′ f q ,1 3⎛ 1 ⎞ − − ⎜ − ⎟ 2⎝ p q ⎠ ∫e −( t −τ ) AO BF (τ ) dτ −∞ Hơn nữa, tồn số M > không phụ thuộc vào F cho uˆ ≤ M F ∞ 3/ ,∞ 3×3 ( L \ ;L (Ω) ) Chúng ta định nghĩa toán tử nghiệm sau: S ( F )( t ) := t ∫e −( t −τ ) AO PdivF (τ ) dτ −∞ Kết mục phát biểu Đinh lý 4.2 Nếu F ∈ ]AA ( \; X ) u ( t ) ∈ AA ( \; Y ) Chứng minh Để chứng minh kết sử dụng kết từ hai bổ đề thực tế hàm ]AA -liên tục hầu tự đồng hình Bổ đề 4.3 Tốn tử nghiệm ánh xạ ]AA ( \; X ) vào Trường hợp nửa tuyến tính Đặt B = Pdiv , ( 3.1) trở thành f p ,1 u ' ( t ) + AOu ( t ) = BG ( u )( t ) , t ∈ \, ( 4.2 ) với G : BPC ( \;Y ) → BPC ( \;Y ) 3.3 Nghiệm hầu tự đồng hình a) Trường hợp tuyến tính Xét phương trình: u ' ( t ) + AOu ( t ) = PdivF ( t ) , t ∈ \ t u (t ) = Bổ đề 4.4 Nếu F khả tích địa phương bị chặn nghiệm đủ tốt u (.) liên tục , t > ≤ Ct ) ( 4.1) có nghiệm đủ tốt uˆ ∈ BC ( \ ; Y ) xác định bởi: c Với < p ≤ q ≤ 3, ∃C > cho ∇e − tAO f 3×3 Y := L3,σ ∞ ( Ω ) Khi BC ( \ ;Y ) ≤C u ∞ v ' ( t ) + AO v ( t ) = PdivG ( v )( t ) , Bổ đề 4.1 Cho F ∈ L∞ \ ; L3/2,∞ ( Ω ) G ( u ) = F − ∇b∞ − ( u∞ − b∞ ) ⊗ b∞ − b∞ ⊗ u + u ⊗ u − u ⊗ b∞ u ∈ BC ( \;Y ) nghiệm đủ tốt (4.2) ( 4.1) Đặt B = Pdiv ∞ Y1 := L6,σ ∞ ( Ω ) , Y2 := Lσ2,∞ ( Ω ) , X := L3/2, (Ω) σ u (t ) = t ∫e −( t −τ ) AO BG ( u )(τ ) dτ −∞ Theo [2] tồn nghiệm hầu tự đồng hình ( 4.1) 211 Đặt { BRaa,Y ( ) := ω ∈ AA ( \;Y ) : ω BC ( \ ;Y ) } ≤R Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019 ISBN: 978-604-82-2981-8 Định lý 4.3 Nếu F ∈ ]AA ( \; X ) tồn nghiệm đủ tốt uˆ ∈ AA ( \;Y ) ( 3.1) BRaa,Y ( ) với R = 1 − b∞ 4M L3,∞ ( Ω) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M Hieber, Nguyen Thieu Huy and A.Seyfert, On periodic and almost periodic solutions to imcompressible viscous fluid flow problems on the whole line, conference: Mathematics for Nonlinear Phenomena: Analysis and Computation (2017) [2] R Finn, Mathematical questions relating to viscous fluid flow in an exterior domain, Rocky Mountain J Math (1973), 107-140 212 ... kết sử dụng kết từ hai bổ đề thực tế hàm ]AA -liên tục hầu tự đồng hình Bổ đề 4.3 Tốn tử nghiệm ánh xạ ]AA ( \; X ) vào Trường hợp nửa tuyến tính Đặt B = Pdiv , ( 3.1) trở thành f p ,1 u '' ( t )... BG ( u )( t ) , t ∈ \, ( 4.2 ) với G : BPC ( \;Y ) → BPC ( \;Y ) 3.3 Nghiệm hầu tự đồng hình a) Trường hợp tuyến tính Xét phương trình: u '' ( t ) + AOu ( t ) = PdivF ( t ) , t ∈ \ t u (t )... Ω ) , X := L3/2, (Ω) σ u (t ) = t ∫e −( t −τ ) AO BG ( u )(τ ) dτ −∞ Theo [2] tồn nghiệm hầu tự đồng hình ( 4.1) 211 Đặt { BRaa,Y ( ) := ω ∈ AA ( \;Y ) : ω BC ( \ ;Y ) } ≤R Tuyển tập Hội nghị