bài tập lớn PHƯƠNG PHÁP TÍNH một bể hình cầu có một lỗ hình tròn ở đáy mà qua đó chất lỏng chảy ra dữ liệu thu thập cho biết tốc độ dòng chảy qua lỗ là hàm số theo thời gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA …………o0o………… BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN HỌC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHĨM LỚP L06 GVHD: ThS Đoàn Thị Thanh Xuân Tp HCM, Tháng 11/2020 Báo cáo mơn học GVHD: ThS Đồn Thị Thanh Xn MỤC LỤC Trang MỤC LỤC DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM Câu Câu Câu Báo cáo môn học GVHD: ThS Đoàn Thị Thanh Xuân DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM STT Họ tên MSSV Nội dung thực Nguyễn Trung Quân 1914840 Câu Lê Minh Quí 1712842 Câu Câu Hồ Sĩ Hùng 2013358 Báo cáo môn học GVHD: ThS Đồn Thị Thanh Xn Câu Một bể hình cầu có lỗ hình trịn đáy mà qua chất lỏng chảy Dữ liệu thu thập cho biết tốc độ dòng chảy qua lỗ hàm số theo thời gian: t (s) 500 1000 1500 2200 2900 Q (m3/hr) 10.55 9.576 9.072 8.640 8.100 7.560 t (s) 3600 4300 5200 6500 7000 7500 Q (m3/hr) 7.020 6.480 5.688 4.752 3.348 1.404 Viết phương trình để: a) Ước tính thể tích chất lỏng (tính lít) toàn thời gian đo b) Ước lượng mực chất lỏng bình t = Biết r = 1.5m Đa thức nội suy: Trong thực tế, nhiều ta phải sử dụng hàm y = f(x) mà khơng biết biểu thức giải tích, biết giá trị yi = f(xi) điểm xi ∈ [a,b], (i = 0, 1, , n) Cũng có trường hợp biểu thức giải tích f(x) cho cồng kềnh Khi dùng phép nội suy ta dễ dàng tính f x ∈ [a,b] mà độ xác khơng Bài toán nội suy đa thức: Cho hàm số y = f(x) dạng bảng: x x0 x1 xn Báo cáo môn học GVHD: ThS Đoàn Thị Thanh Xuân f(x) y0 y1 yn Đa thức Lagrange dạng tổng quát: lk(x) = n ∏ i=0 ,i ≠ k { l k ( x k )=1 x−x i thỏa mãn x k −xi l k ( x i ) =0 ,i ≠ k Khi thức nội suy Lagrange: n Ln(x) = ∑ y k l k (x ) = y0l0(x) + y1l1(x) + y2l2(x) + … + ynln(x) k=0 Áp dụng: Vận tốc dòng theo thời gian: t (s) 500 1000 1500 2200 2900 Q (m3/hr) 10.55 9.576 9.072 8.640 8.100 7.560 Q (l/s) 2.93 2.66 2.52 2.4 2.25 2.1 t (s) 3600 4300 5200 6500 7000 7500 Q (m3/hr) 7.020 6.480 5.688 4.752 3.348 1.404 Q (l/s) 1.95 1.8 1.58 1.32 0.93 0.39 Gọi hàm vận tốc: Q(t) Sử dụng công cụ Mathlab để xác định đa thức nội suy Bước 1: Nhập số liệu Báo cáo môn học GVHD: ThS Đoàn Thị Thanh Xuân Bước 2: Dùng hàm polyfit để tìm đa thức nội suy đa thức Q(t) → x, y tuyến tính Bước 3: Dùng hàm polyfit để tìm đa thức nội suy đa thức Q(t) Polyfit(x,y,n) với n = 1: bậc phương trình nội suy, ta bảng kết quả: → Đa thức Q(t) = −0.0003t + 2.8867 Lưu lượng đạo hàm thể tích theo thời gian Báo cáo mơn học GVHD: ThS Đồn Thị Thanh Xn → Thể tích chất lỏng thoát sau t = 7500s: Vchảy = −0.00015t2 + 2.8867t = 13212.75 (lít) Thể tích bình chứa: Vbình = 4/3*π*r3 = 14.1372 m3 = 14137.2 lít Thời gian để bình chảy hết nước: Q(t) = ↔ −0.0003t + 2.8867 = ↔ t = 9622s Vnước bình t = = Vnước chảy t = 9622s = −0.00015×96222 + 2.8867×9622 = 13888.3946 lít > Vbình/2 → Thể tích nước bình t = 0: Vbình − Vt = = π*h2*(r – h h ) (lít)  14137.2 − 13888.3946 = π*h2*(15 – ) 3 (lít) ↔ h = 2.36 (dm) = 0.236 (m) Mực chất lỏng t = 0: H = 2r – h = – 0.236 = 2.764 (m) Báo cáo mơn học GVHD: ThS Đồn Thị Thanh Xuân Câu Gọi R hình chữ nhật [0; 2] × [1; 4] a) Cho f (x; y) = xcos (x2 + y) Tính tích phân ∬ f ( x , y ) ⅆA R b) Nghiên cứu công thức Simpson Xây dựng hàm để ước lượng tích phân R cơng thức Simpson c) Gọi n m số khoảng x y thành phần Ước lượng tích phân với [n; m] = [40; 60] [n; m] = [80; 120] ước tính sai số GIẢI: b v a u b) Cho hàm số ∫ dy ∫ f (x , y ) dx, đặt z=f (x , y ) ứng với điểm x i, ta có hàm số: z=f (x i , y ) Như vậy, sau coi x i hàm số, giá trị x i cụ thể tương ứng với hàm số z , ta coi hàm số biến z=f ( y ), ta áp dụng phương pháp Simpson để tính tích phân Tiếp tục phân hoạch [a,b] y thành 2n đoạn nhau, Công thức Simpson sau: I= hy ¿ Như ta loại biến y khỏi z Tuy nhiên, lúc I trở thành hàm số khác phụ thuộc vào biến x (Ta giả sử x số, khơng có nghĩa thật số) Tiếp tục phân hoạch [u,v] x thành 2k đoạn nhau, kết toán là: b v a u h ∫ dy ∫ f ( x , y )dx=V = 3x ¿ Với I= hy ¿ Báo cáo mơn học GVHD: ThS Đồn Thị Thanh Xn Rõ ràng, với hai biến, phải liên tục thay đối giá trị (Tính liên tục z để tìm I theo x, mà I phần tử 2k phần tử để tính V) việc giải tay gần bất khả thi với đoạn phân hoạch lớn (Phân thành 40 60 đoạn, cần tính hàm z 2400 lần, phân hoạch thành 80 120 đoạn, số 9600 lần), vậy, ta sử dụng thuật tốn chương trình Mtalab để giải tốn) a c) Kết Báo cáo mơn học GVHD: ThS Đoàn Thị Thanh Xuân Câu Nhiệt dẫn dọc theo kim loại định vị hai tường nhiệt độ cố định Ngồi q trình dẫn nhiệt truyền khơng khí xung quanh cách đối lưu Dựa cân nhiệt, phân bố nhiệt độ dọc theo mơ tả phương trình vi phân bậc hai sau đây: ⅆ2 T 0= +h ( T ∞ −T ) ⅆ x Trong đó: T = nhiệt độ (K), h = hệ số truyền nhiệt khối phản ánh tầm quan trọng tương đối đối lưu dẫn m −2, x = khoảng cách dọc theo (m), T1 = nhiệt độ chất lỏng xung quanh (K) a) Chuyển đổi phương trình vi phân thành hệ phương trình đại số đồng thời tương đương cách sử dụng phép xấp xỉ sai phân trung tâm cho đạo hàm cấp hai b) Phát triển hàm để giải phương trình từ x = đến L trả khoảng cách nhiệt độ kết quả, đó, phương trình đại số phải giải ma trận tam giác c) Phát triển tập lệnh gọi hàm sau vẽ biểu đồ kết d) Kiểm tra tập lệnh bạn cho tham số sau: h = 0,0425 m −2, L = 12 m, Tꝏ = 220 K, T(0) = 320 K, T (L) = 450 K, ∆x = 0,5 m GIẢI a) Cơ sở lý thuyết: Xấp xỉ đạo hàm cấp hai hàm T( x 2) viết dạng d T T i−1−2 T i +T i+1 = ¿¿ dx Với x khoảng cách điểm i i+1 (Thường cho trước, cho độ dài L số lần chia n để tính x= L n Thay ( ) vào phương trình đề ta có: T i−1−2 T i+T i+1 ¿¿ Sau rút gọn, ta có: Báo cáo mơn học GVHD: ThS Đoàn Thị Thanh Xuân −T i−1+2 ¿ Với h , ( T ∞ ) giá trị cho trước Phương trình (2) kết câu a mà toán yêu cầu Bằng phân hoạch độ dài L thành n điểm khác nhau, cách đoạn x , ta đưa hệ gồm n−1 phương trình: −T +2¿ −T 1+ 2¿ −T n−2+ 2¿ Nếu đề cho trước giá trị đầu cuối, tức T T n, ta sử dụng ma trận tam giác, cách đưa hệ phương trình AT = B ¿ [] T1 T2 kết câu c sau thay giá trị vào phương trình … T n−1 [] T1 T Đoạn code dây sử dụng để giải ma trận tam giác để tìm , … Tn thuật tốn sử dụng sau thành công đưa hàm quy luật (2) (Ở câu a), đồng thời đưa phương trình vi phân xác câu hỏi vẽ đồ thị Thuật toán yêu cầu nhập giá trị đề Có thể thay đối giá trị (Trong phạm vi cho phép) để đưa mơ hình đồ thị kết khác b, c, d) %Nhập liệu đầu vào cho câu d function Tridal h = input('Nhap h = '); Tinf = input('Nhap T(vo cuc) = '); To = input('Nhap T0 = '); TL = input('Nhap T(L) = '); L = input('Nhap L = '); delx = input('Nhap gia tri Denta x = '); 10 Báo cáo môn học GVHD: ThS Đoàn Thị Thanh Xuân n = (L/delx)-1; %Khởi tạo vector phụ e1 = 0:0.1:(n-1)*0.1; %Vector cho hệ số thứ pt f1 = 0:0.1:(n-1)*0.1; %Vector cho hệ số thứ hai pt g1 = 0:0.1:(n-1)*0.1; %Vector cho hệ số thứ ba pt r1 = 0:0.1:(n-1)*0.1; %Vector kết tất pt hệ k = 0:0.1:0.1; %Vector phụ %Khởi tạo vòng lặp nhập hệ số vào vector %Do T(0)và T(L) hệ số cụ thể, ta chuyển %vế để gộp với r, e(1) g(L) = for i = 1:n if i ==1 e1(i) = 0; f1(i) = + h*(delx)^2; g1(i) = -1; r1(i) = To + Tinf*h*(delx)^2; else if i == n e1(i) = -1; f1(i) = + h*(delx)^2; g1(i) = 0; r1(i) = TL + Tinf*h*(delx)^2; else e1(i) = -1; f1(i) = + h*(delx)^2; g1(i) = -1; r1(i) = Tinf*h*(delx)^2; end end end %Trả kết câu d %Nghiệm hệ dùng Tridiagonal matrix t = Trida(e1,f1,g1,r1); for i = 1:n fprintf('Tai vi tri L = %f, ta duoc T = %f\ n',i*delx,t(i)); end syms T(L) %Tìm nghiệm phương trình vi phân eqn = diff(T,L,2) == h*(T-Tinf); cond = [T(0)==320, T(12)==450]; TSol(L) = dsolve(eqn,cond); disp('Phuong trinh nhiet T theo dai L co dang'); disp(TSol(L)) %Vẽ đồ thị phương trình vi phân 11 Báo cáo mơn học GVHD: ThS Đoàn Thị Thanh Xuân L = 0:0.5:12; plot(L,TSol(L),'b o') title('Phuong trinh nhiet T') xlabel('Do dai kim loai (m)') ylabel('Nhiet kim loai (K)') end %Kết thúc bước phân tích liệu %Dưới thuật tốn Trdiagonal matrix function x=Trida(e,f,g,r) b=length(f); for k = 2:b factor = e(k)/f(k-1); f(k) = f(k) - factor*g(k-1); r(k) = r(k) - factor*r(k-1); end x(b) = r(b)/f(b); for k = b-1:-1:1 x(k) = (r(k)-g(k)*x(k+1))/f(k); end end %Kết thúc toán Kết quả: 12 Báo cáo mơn học GVHD: ThS Đồn Thị Thanh Xuân 13 ... Hùng 2013358 Báo cáo mơn học GVHD: ThS Đồn Thị Thanh Xn Câu Một bể hình cầu có lỗ hình trịn đáy mà qua chất lỏng chảy Dữ liệu thu thập cho biết tốc độ dòng chảy qua lỗ hàm số theo thời gian: t (s)... điểm x i, ta ln có hàm số: z=f (x i , y ) Như vậy, sau coi x i hàm số, giá trị x i cụ thể tương ứng với hàm số z , ta coi hàm số biến z=f ( y ), ta áp dụng phương pháp Simpson để tính tích phân... Viết phương trình để: a) Ước tính thể tích chất lỏng (tính lít) tồn thời gian đo b) Ước lượng mực chất lỏng bình t = Biết r = 1.5m Đa thức nội suy: Trong thực tế, nhiều ta phải sử dụng hàm y