Bài viết Tính hầu tự đồng hình của các dòng chất lỏng chảy qua một vật cản thiết lập sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm hầu tự đồng hình của các luồng chất lỏng chảy qua một vật thể được mô tả bởi phương trình NavierStokes-Oseen.
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019 ISBN: 978-604-82-2981-8 TÍNH HẦU TỰ ĐỒNG HÌNH CỦA CÁC DỊNG CHẤT LỎNG CHẢY QUA MỘT VẬT CẢN Lê Thế Sắc1, Nguyễn Thị Vân1 Trường Đại học Thủy lợi, email: SacLT@tlu.edu.vn lim lim f ( t + sn − sm ) = f ( t ) , ∀t ∈ \ (1.2 ) GIỚI THIỆU CHUNG Trong báo này, chúng tơi thiết lập tồn tính nghiệm hầu tự đồng hình luồng chất lỏng chảy qua vật thể mô tả phương trình NavierStokes-Oseen Xét vật thể di chuyển D chất lỏng nhớt nén lấp đầy tồn khơng gian ⎧ut + ( u ⋅∇ ) u − Δu + ∇p = divF in Ω × \, ⎪ in Ω × \, ⎪∇ ⋅ u = ⎨u = on ∂Ω × \, ⎪ ⎪ lim u ( t , x ) = u∞ (1.1) ⎩ x →∞ với Ω := \ \ D bề vật thể với biên ∂Ω trơn; u vận tốc chất lỏng; p áp suất divF ngoại lực m→∞ n →∞ Nghĩa ∃ hàm g ( t ) cho giới hạn sau tồn với (1.3) n →∞ Ký hiệu BPC ( \; X ) không gian hàm B ( \; X ) liên tục \ / ] có giới hạn hữu hạn ] Định nghĩa 1.2 Hàm f ∈ BPC ( \; X ) gọi ] - hầu tự đồng hình ∀ dãy số nguyên ( sn′ ) , ∃ dãy ( sn ) cho giới hạn (1.3) Dễ thấy AP ( \; X ) ⊂ AA ( \; X ) ⊂ ] AA ( \; X ) Đặt AOu := − P ( Δu ) + P ( u∞∇v ) , 3.2 Phương trình Navier-Stokes-Oseen Ký hiệu Lσp := Cc∞,σ ( Ω ) C ∞ c ,σ Lp , ( Ω ) := {ν ∈ C ( Ω ) : divν ∞ c = in Ω} , Với < r < ∞ ≤ q ≤ ∞, ký hiệu Lr ,q không gian Lorentz Chú ý Lr ,r ( Ω ) = Lr ( Ω ) Lrω ( Ω ) := Lr ,∞ ( Ω ) gọi không gian Lr yếu Đặt Lσr ,q ( Ω ) := Rg ( Pr ,q ) , Lr ( Ω ) = Lσr ( Ω ) ⊕ {∇p ∈ Lr : p ∈ Lrloc ( Ω )} , Lr ,q ( Ω ) = Lσr ,q ( Ω ) ⊕ G r ,q ( Ω ) , KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 3.1 Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.1 Hàm f ∈ BC ( \; X ) hầu tự đồng hình ∀ dãy số ( sn′ ) , ∃ dãy (sn) cho n →∞ f ( t ) = lim f ( t − sn ) , t ∈ \ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Chúng phát triển phương pháp sử dụng báo [1] sang trường hợp hàm hầu tự đồng hình ] − hầu tự đồng hình Phương pháp liên quan đến lí thuyết nội suy, đánh giá đối ngẫu đến tính chất trơn Lp − Lq phương trình tuyến tính liên kết Hơn nữa, không gian liệu ban đầu mở rộng tới lớp hàm ] hầu đồng hình, nghiệm thu hầu tự đồng hình, điều tổng qt hóa định lí mở rộng loại Massera [2] g ( t ) = lim f ( t + sn ) G r ,q ( Ω ) := {∇p ∈ Lr ,q ( Ω ) : p ∈ Lrloc,q ( Ω )} Gọi P = Pr phép chiếu Helmholtz L ( Ω ) , hạn chế P = Pr ,q xác định r phép chiếu bị chặn Lr ,q ( Ω ) 210 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019 ISBN: 978-604-82-2981-8 ( Cho ϕ ∈ Cc∞ ( \ ) thỏa mãn ϕ ≥ 0, ϕ ≡ lân cận Ω c suppϕ ⊂ B ( 0;r ) Đặt b∞ := Bog D ( ( ∇ϕ ) u∞ ) , với Bog D toán tử Bogovskii D = { x ∈ Ω : x < r} ∞ c Ta có b∞ ∈ C ( ) Ω thỏa mãn divb∞ = b∞ = u∞ ∂Ω Với α ∈ ` n0 , ∃C > cho ∇α b∞ L∞ ( Ω ) D ( AO ) := W01, p ( Ω ) ∩ W 2, p ( Ω ) ∩ Lσp ( Ω ) , với v := u − u∞ + b∞ Do ( u ⋅∇ ) u = div ( u ⊗ u ) nên u nghiệm (1.1) v nghiệm ( 3.1) G ( v ) = F − ∇b∞ − ( u∞ − b∞ ) ⊗ b∞ − b∞ ⊗ v + v ⊗ v − v ⊗ b∞ Bổ đề 3.1 a Với p ∈ (1; ∞ ) , ≤ q ≤ ∞, − AO sinh nửa nhóm bị chặn (e ) Lσp ( Ω ) − tAO Lσp ,q ( Ω ) b Với1 < p ≤ q < ∞, ∃C > cho e− tAO f q ,1 ≤ Ct 3⎛ 1 ⎞ − ⎜ − ⎟ 2⎝ p q ⎠ f p ,1 q ,1 , ∇e − tAO′ f q ,1 3⎛ 1 ⎞ − − ⎜ − ⎟ 2⎝ p q ⎠ ∫e −( t −τ ) AO BF (τ ) dτ −∞ Hơn nữa, tồn số M > không phụ thuộc vào F cho uˆ ≤ M F ∞ 3/ ,∞ 3×3 ( L \ ;L (Ω) ) Chúng ta định nghĩa toán tử nghiệm sau: S ( F )( t ) := t ∫e −( t −τ ) AO PdivF (τ ) dτ −∞ Kết mục phát biểu Đinh lý 4.2 Nếu F ∈ ]AA ( \; X ) u ( t ) ∈ AA ( \; Y ) Chứng minh Để chứng minh kết sử dụng kết từ hai bổ đề thực tế hàm ]AA -liên tục hầu tự đồng hình Bổ đề 4.3 Tốn tử nghiệm ánh xạ ]AA ( \; X ) vào Trường hợp nửa tuyến tính Đặt B = Pdiv , ( 3.1) trở thành f p ,1 u ' ( t ) + AOu ( t ) = BG ( u )( t ) , t ∈ \, ( 4.2 ) với G : BPC ( \;Y ) → BPC ( \;Y ) 3.3 Nghiệm hầu tự đồng hình a) Trường hợp tuyến tính Xét phương trình: u ' ( t ) + AOu ( t ) = PdivF ( t ) , t ∈ \ t u (t ) = Bổ đề 4.4 Nếu F khả tích địa phương bị chặn nghiệm đủ tốt u (.) liên tục , t > ≤ Ct ) ( 4.1) có nghiệm đủ tốt uˆ ∈ BC ( \ ; Y ) xác định bởi: c Với < p ≤ q ≤ 3, ∃C > cho ∇e − tAO f 3×3 Y := L3,σ ∞ ( Ω ) Khi BC ( \ ;Y ) ≤C u ∞ v ' ( t ) + AO v ( t ) = PdivG ( v )( t ) , Bổ đề 4.1 Cho F ∈ L∞ \ ; L3/2,∞ ( Ω ) G ( u ) = F − ∇b∞ − ( u∞ − b∞ ) ⊗ b∞ − b∞ ⊗ u + u ⊗ u − u ⊗ b∞ u ∈ BC ( \;Y ) nghiệm đủ tốt (4.2) ( 4.1) Đặt B = Pdiv ∞ Y1 := L6,σ ∞ ( Ω ) , Y2 := Lσ2,∞ ( Ω ) , X := L3/2, (Ω) σ u (t ) = t ∫e −( t −τ ) AO BG ( u )(τ ) dτ −∞ Theo [2] tồn nghiệm hầu tự đồng hình ( 4.1) 211 Đặt { BRaa,Y ( ) := ω ∈ AA ( \;Y ) : ω BC ( \ ;Y ) } ≤R Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019 ISBN: 978-604-82-2981-8 Định lý 4.3 Nếu F ∈ ]AA ( \; X ) tồn nghiệm đủ tốt uˆ ∈ AA ( \;Y ) ( 3.1) BRaa,Y ( ) với R = 1 − b∞ 4M L3,∞ ( Ω) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M Hieber, Nguyen Thieu Huy and A.Seyfert, On periodic and almost periodic solutions to imcompressible viscous fluid flow problems on the whole line, conference: Mathematics for Nonlinear Phenomena: Analysis and Computation (2017) [2] R Finn, Mathematical questions relating to viscous fluid flow in an exterior domain, Rocky Mountain J Math (1973), 107-140 212 ... kết sử dụng kết từ hai bổ đề thực tế hàm ]AA -liên tục hầu tự đồng hình Bổ đề 4.3 Tốn tử nghiệm ánh xạ ]AA ( ; X ) vào Trường hợp nửa tuyến tính Đặt B = Pdiv , ( 3.1) trở thành f p ,1 u ' ( t )... BG ( u )( t ) , t ∈ , ( 4.2 ) với G : BPC ( ;Y ) → BPC ( ;Y ) 3.3 Nghiệm hầu tự đồng hình a) Trường hợp tuyến tính Xét phương trình: u ' ( t ) + AOu ( t ) = PdivF ( t ) , t ∈ t u (t )... Ω ) , X := L3/2, (Ω) σ u (t ) = t ∫e −( t −τ ) AO BG ( u )(τ ) dτ −∞ Theo [2] tồn nghiệm hầu tự đồng hình ( 4.1) 211 Đặt { BRaa,Y ( ) := ω ∈ AA ( ;Y ) : ω BC ( ;Y ) } ≤R Tuyển tập Hội nghị