Skkn toán học thpt (20)

1 BÁO CÁO SÁNG KIẾN I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Mỗi môn học trường phổ thơng với đặc trưng góp phần thực mục tiêu giáo dục có mơn Tốn Mơn Tốn trường phổ thơng khơng trang bị cho học sinh kiến thức mơn mà cịn bồi dưỡng tư tưởng, tình cảm đắn đồng thời giúp em phát triển toàn diện Song để thực chức cần thiết phải đổi phương pháp dạy học theo tinh thần: phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo học sinh, bồi dưỡng cho học sinh lực tự học, lòng say mê học tập ý chí vươn lên Quán triệt sâu sắc quan điểm đạo Bộ Giáo dục Đào tạo, Sở Giáo dục – Đào tạo Nam Định đổi phương pháp dạy học, giáo viên trường THPT Giao Thủy bước tích cực áp dụng phương pháp, hình thức dạy học theo hướng phát triển phẩm chất, lực học sinh Năm học 2021 - 2022 năm học thứ sáu Bộ Giáo dục tổ chức thi THPT Quốc Gia mơn tốn hình thức trắc nghiệm nên số nội dung giảng dạy theo phương pháp truyền thống khơng cịn phù hợp, cần có hướng khai thác phát huy tư học sinh để đạt hiệu cao Chuyên đề "Góc đường thẳng mặt phẳng; Góc hai mặt phẳng" nội dung quan trọng hình học lớp 11 Nếu hệ thống tập khai thác sử dụng hợp lý rèn luyện cho học sinh khả phát triển tư biểu mặt như: khả tìm hướng (khả tìm nhiều lời giải khác cho tốn), khả tìm kết (khai thác kết tốn, xem xét khía cạnh khác toán), khả sáng tạo toán sở tốn quen thuộc Xuất phát từ lí trên, qua kinh nghiệm giảng dạy thân dự học tập đồng nghiệp, viết sáng kiến kinh nghiệm BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC, NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT QUA DẠY BÀI TOÁN GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG; GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG II MƠ TẢ GIẢI PHÁP Mơ tả giải pháp trước tạo sáng kiến Trong kì thi, đặc biệt kì thi THPTQG học sinh giỏi tốn Góc đường thẳng mặt phẳng; Góc hai mặt phẳng làm cho nhiều học sinh lúng túng nghĩ trừu tượng thiếu tính thực tế Có thể nói tốn Góc đường thẳng mặt phẳng; Góc hai mặt phẳng có phân loại đối tượng học sinh cao Mô tả giải pháp sau có sáng kiến Trong q trình học tập, tơi khuyến khích HS sử dụng nội lực nào, phương pháp nào, kiến thức có thể, phát giải vấn đề SKKN hướng đến việc phát triển phẩm chất, lực học sinh, rèn luyện tính linh hoạt tư duy, thể khả chuyển hướng trình tư Trước hết cần rèn luyện cho HS khả đảo ngược q trình tư duy, lấy đích trình biết làm điểm xuất phát cho q trình mới, cịn điểm xuất phát q trình biết lại trở thành đích q trình Việc chuyển hướng q trình tư khơng đảo ngược q trình mà cịn chuyển từ hướng sang hướng khác không thiết ngược với hướng ban đầu Rèn luyện cho học sinh tính độc lập: Tính độc lập tư thể khả tự phát vấn đề, tự xác định phương hướng tìm cách giải quyết, tự kiểm tra hoàn thiện kết đạt Tính độc lập liên hệ mật thiết với tính phê phán tư thể khả đánh giá nghiêm túc ý nghĩ tư tưởng người khác thân mình, có tinh thần hồi nghi khoa học, biết đặt câu hỏi “tại sao?”, “như nào?” chỗ, lúc Như qua việc nghiên cứu sâu toán giúp HS sáng tạo tốn thể tính sáng tạo tư Sau tơi trình bày nội dung cụ thể giải pháp sáng kiến BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC, NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT QUA DẠY BÀI TỐN GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG; GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Những điểm mà sáng kiến đề cập đến bao gồm: - Phần Góc đường thẳng mặt phẳng: đưa thêm số phương pháp để tính góc đường thẳng mặt phẳng (Trang 4) Bài tập minh họa với nhiều lời giải theo hướng tiếp cận phương pháp nói (Trang 8) - Phần Góc hai mặt phẳng: đưa thêm số phương pháp để tính góc hai mặt phẳng (Trang 39) Bài tập minh họa với nhiều lời giải theo hướng tiếp cận phương pháp nói (Trang 43) - Phần Một số biện pháp bồi dưỡng lực tự học, lực tư sáng tạo: tìm nhiều cách giải khác nhau; đề xuất toán từ toán cho; phát sai lầm lời giải, nguyên nhân cách khắc phục sai lầm (Trang 60) - Phần Tứ diện vng: khai thác - ứng dụng tính chất Góc đường thẳng mặt phẳng; Góc hai mặt phẳng để phát triển thêm số tốn (Trang 68) PHẦN GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG I Phương pháp Phương pháp Dựng góc SGK định nghĩa góc đường thẳng mặt phẳng sau: + Nếu đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( P ) góc đường thẳng d mặt phẳng ( P ) 90 + Nếu đường thẳng d khơng vng góc với mặt phẳng ( P ) góc đường thẳng d hình chiếu d’ mặt phẳng ( P ) gọi góc đường thẳng d mặt phẳng ( P ) Chú ý: Gọi  góc đường thẳng d mặt phẳng ( P ) * 0    90 ( P)   = 0  d  ( P ) d *  * Để tìm hình chiếu d’ d ( P ) ta làm sau: A Tìm giao điểm M = d  ( P ) Lấy điểm A tùy ý d khác M xác định hình chiếu H A ( P ) Khi d’ đường thẳng qua hai điểm H M M H P Ta có  = AMH cos  = MH MA sin  = AH , 0    90 AM Tuy nhiên việc xác định hình chiếu đường thẳng lên mặt phẳng khơng phải lúc thuận lợi Chính vậy, việc đưa thêm số phương pháp để tính góc đường thẳng mặt phẳng nhằm khắc phục khó khăn Phương pháp Sử dụng quan hệ song song a Hướng 1: Chọn đường thẳng  d Khi góc đường thẳng d mặt phẳng ( P ) góc đường thẳng  mặt phẳng ( P ) b Hướng 2: Chọn mặt phẳng (Q ) phẳng ( P ) góc đường thẳng d ( P ) Khi góc đường thẳng mặt phẳng ( Q ) c Hướng 3: Chọn đường thẳng  d Chọn mặt phẳng ( Q ) đường thẳng d mặt phẳng ( P ) góc đường thẳng  d mặt ( P ) Khi góc mặt phẳng ( Q ) Chú ý: Với phương pháp trên, học sinh thay hai đối tượng đường thẳng mặt phẳng nhằm mục đích xác định hình chiếu đường thẳng lên mặt phẳng thuận lợi Phương pháp Sử dụng khoảng cách Nhận thấy Phương pháp việc xác định hình chiếu điểm lên mặt phẳng khơng phải lúc thuận lợi Chính vậy, việc sử dụng khoảng cách để tính góc đường thẳng mặt phẳng nhằm khắc phục khó khăn Cho đường thẳng d cắt mặt phẳng ( P ) M Gọi  góc đường thẳng d mặt phẳng ( P ) Khi sin  = AM MA − d cos  = d ( A, ( P ) ) A , 0    90 ( A, ( P ) ) M H P MA Chú ý: Với phương pháp trên, học sinh khơng cần xác định góc mà tính góc đường thẳng mặt phẳng thơng qua khoảng cách, cách tính khoảng cách đơn giản nhiều so với cách xác định góc tính góc Phương pháp Sử dụng dãy tỉ số khoảng cách (KHƠNG CẦN TÌM GIAO ĐIỂM đường thẳng mặt phẳng) Nhận thấy Phương pháp việc xác định giao điểm đường thẳng mặt phẳng lúc thuận lợi Khắc phục khó khăn cách lấy hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng xem vị trí tương đối hai điểm với mặt phẳng A Cho đường thẳng d qua hai điểm A, M d a Hai điểm A, M nằm phía mặt phẳng ( P ) sin  = d ( M , ( P )) MO = d ( A, ( P ) ) AO = P K O d ( M , ( P ) ) + d ( A, ( P ) ) H MA M M d A b Hai điểm A, M nằm phía mặt phẳng ( P ) sin  = d ( M , ( P )) MO = d ( A, ( P ) ) AO = P d ( M , ( P ) ) − d ( A, ( P ) ) O H K MA Chú ý: Cách tiếp cận thích hợp cho học sinh nắm việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Phương pháp Sử dụng góc phụ  A Cho đường thẳng  vng góc với mặt phẳng ( P ) Gọi  góc đường thẳng d mặt phẳng ( P ) M H P Gọi  góc đường thẳng d đường thẳng    +  = 90 Ta có sin  = cos  , 0    90 cos  = sin  = − cos  Chú ý: Thông qua phương pháp này, ta áp dụng tính góc đường thẳng mặt phẳng thơng qua tính góc hai đường thẳng Phương pháp Sử dụng góc phụ a Gọi  góc hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) Cho đường thẳng a vng góc với mặt phẳng ( P) Gọi  góc đường thẳng a mặt phẳng (Q )   +  = 90 Ta có cos  = sin  = − cos  sin  = cos  , 0    90 Chú ý: Thông qua phương pháp này, ta áp dụng tính góc đường thẳng mặt phẳng thơng qua tính góc hai mặt phẳng Phương pháp Sử dụng phương pháp tọa độ không gian Đường thẳng d có vectơ phương u Mặt phẳng ( P ) có vectơ pháp tuyến n Gọi  góc đường thẳng d mặt phẳng ( P ) Ta có sin  = u.n u.n , 0    90 Sau đưa số tập minh họa với nhiều lời giải theo hướng tiếp cận phương pháp nói II Bài tập minh họa Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh a Tính góc đường thẳng AD mặt phẳng ( ABD ) Lời giải Lời giải 1: Phương pháp Tìm hình chiếu A mặt phẳng ( ABD ) Tìm giao điểm AD mặt phẳng ( ABD ) Cụ thể: Ta có AI ⊥ ( ABD ) I Giao điểm AD mặt phẳng ( ABD ) giao điểm AD AD Lời giải 2: Phương pháp Ta có AD BC  nên góc đường thẳng AD mặt phẳng ( ABD ) góc đường thẳng BC mặt phẳng ( ABD ) Gọi  góc đường thẳng BC mặt phẳng ( ABD ) Hướng 1: Hình chiếu BC mặt phẳng ( ABD ) BI   = CBI  cos  = BI 3 =   = arccos BC  3 Hướng 2: Ta có sin  = Mà d ( C, ( ABD ) ) C B = 2d ( A, ( ABD ) ) C B 1 1 a , CB = a = + + =  d ( A, ( ABD ) ) = 2 AB AD a d ( A, ( ABD ) ) AA  sin  = 6   = arcsin 3 Lời giải 3: Phương pháp Tìm giao điểm AD mặt phẳng ( ABD ) Tính d ( A, ( ABD ) ) Lời giải 4: Phương pháp (KHÔNG CẦN tìm giao điểm AD mặt phẳng ( ABD) ) Gọi  góc đường thẳng AD mặt phẳng ( ABD ) Ta có A, D nằm hai phía mặt phẳng ( ABD ) sin  = d ( A, ( ABD ) ) + d ( D, ( ABD ) ) AD = 2d ( A, ( ABD ) ) AD Mà d ( D, ( ABD ) ) = d ( A, ( ABD ) ) , 1 1 a , AD = a = + + =  d ( A, ( ABD ) ) = 2   AB AD a d ( A, ( A BD ) ) AA  sin  = 2d ( A, ( ABD ) ) AD = 6   = arcsin 3 Lời giải 5: Phương pháp Gọi  góc đường thẳng AD mặt phẳng ( ABD ) Ta có AC ⊥ ( ABD ) Gọi  góc hai đường thẳng AD AC  sin  = cos  = cos C AD = AC 2 + AD2 − C D2 AC  AD Lời giải 6: Phương pháp Ta có AD ⊥ ( ABCD ) Gọi  góc đường thẳng AD mặt phẳng ( ABD ) Gọi  góc hai mặt phẳng ( ABD ) ( ABCD )  sin  = cos  Lời giải 7: Phương pháp 10 Chọn hệ trục tọa độ Bài 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Gọi M , N trung điểm cạnh BC SD ,  góc đường thẳng MN mặt phẳng ( SAC ) Tính tan  Lời giải Lời giải 1: Phương pháp AD  BM đường trung bình tam giác AID nên M trung điểm ID Suy MN // SI +) Gọi I giao điểm DM AB Ta có BM //AD, BM = +) Ta có tứ giác BDCI hình bình hành nên BD // IC , mà BD ⊥ ( SAC ) nên IC ⊥ ( SAC ) Suy hình chiếu điểm I lên mặt phẳng ( SAC ) điểm C +) Góc đường thẳng MN mặt phẳng ( SAC ) góc đường thẳng SI mặt phẳng ( SAC ) góc SI SC hay góc ISC =  +) Ta có SC = a 3, IC = BD = a  tan  = Lời giải 2: Phương pháp IC a = = SC a 3 65 ta có HS=HC= a , CH ⊥ SH nên tam giác SHC vuông cân H  HSC = 450 Vậy góc đường thẳng SC mặt phẳng (SAD) 450 Học sinh nghiên cứu lời giải sai lầm là: H hình chiếu C đường thẳng SH khơng phải hình chiếu C mp(SAD) Một lời giải CD ⊥ AD ( ABCD hình vng) Ta có ( SAD ) ⊥ ( ABCD )  ( SAD )  ( ABCD ) = AD    CD ⊥ ( SAD ) CD  ( ABCD )   CD ⊥ AD  SD hình chiếu SC mặt phẳng (SAD), nên góc đường thẳng SC mặt phẳng (SAD) góc SD SC góc DSC Ta có HS=HC= a , CD ⊥ SD nên tam giác SDC vuông cân D  DSC = 450 Vậy góc đường thẳng SC mặt phẳng (SAD) 450 Giáo viên lưu ý học sinh lỗi mà em thường phạm phải tính góc đường thẳng d mặt phẳng (P) Thay tìm hình chiếu d (P) em tìm hình chiếu d đường thẳng 66 Ví dụ 2: Câu 19.c Đề khảo sát chất lượng học kỳ năm học 2021-2022 trường THPT Giao Thủy Sai lầm: Học sinh biết chuyển góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng đó, xét thiếu trường hợp Đáp án trường Câu 19.c làm theo Phương pháp 67 68 PHẦN TỨ DIỆN VNG Trong q trình bồi dưỡng học sinh giỏi, giải đề thi học sinh giỏi, giải đề thi olympic hay bắt gặp bất đẳng thức hình học Tơi tự đặt câu hỏi với thân đưa vấn đề với em học sinh lớp, em đội tuyển học sinh giỏi: Từ thực trạng đó, dạy tính chất Góc đường thẳng mặt phẳng; Góc hai mặt phẳng tứ diện vuông, tập trung vào việc khai thác - ứng dụng tính chất phát triển thêm số toán, đồng thời kết hợp với bất đẳng thức đại số để tạo tốn cực trị hình học tứ diện vng A TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG; GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG CỦA TỨ DIỆN VNG Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc Tc1 Gọi x, y, z góc OA, OB, OC với ( ABC ) Chứng minh sin x + sin y + sin z = Tc2 Gọi  ,  ,  góc tạo ( ABC ) với ( OAB ) , ( OBC ) , ( OCA) Chứng minh a) cos2  + cos2  + cos2  = b) tan  + tan  + tan  = tan  tan  tan  − B MỘT SỐ BÀI TỐN ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG; GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG CỦA TỨ DIỆN VNG Bài tốn [TĐP] Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi x, y, z góc đường thẳng OA, OB, OC với mặt phẳng ( ABC ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = ( + cot x )( + cot y )( + cot z ) Lời giải Gọi H trực tâm tam giác ABC , tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc nên ta có OH ⊥ ( ABC ) 1 1 = + + 2 OH OA OB OC Ta có x = ( OA; ( ABC ) ) = OAH , y = ( OB; ( ABC ) ) = OBH , z = ( OC; ( ABC ) ) = OCH Nên sin x = OH OH OH , sin y = , sin z = OA OB OC Đặt a = OA , b = OB , c = OC , h = OH 1 1 = 2+ 2+ 2 h a b c 69 M = ( + cot x )( + cot y )( + cot z )   =  +  + sin x   sin     +  y  sin z   a  b2  c2  =  +  +  +  h  h  h   = + ( a + b2 + c2 ) 1 + ( a 2b + b c + c a ) + a 2b c h h h Ta có: ( a + b + c ) (a b 2 + b 2c + c a ) ( = a + b2 + c2 h   1   a b b c c a  3     a b c    2 2 = 3 a 4b4c 2 + 1 1 1 +   3 a b2 c 3 = b c  a b c h4  1 1 = ( a 2b + b c + c a )  + +  a b c  )  a1 = 27 abc 4 3   1  1 2 2 2  a b c = a b c  + +   a 2b2c  3    = 27  a b c  h a b c    Do đó: M = + ( a + b + c ) 1 + ( a 2b + b c + c a ) + a 2b c h h h  + 4.9 + 2.27 + 27 = 125 Dấu đẳng thức xảy a = b = c , hay OA = OB = OC Vậy M = 125 Bài toán [TĐP] Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi  ,  ,  góc tạo ( ABC ) với (OAB ) , (OBC ) , (OCA) cos  + cos  + cos   Hướng dẫn: Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có cos  + cos  + cos   (1 + + 1)(cos  + cos  + cos  ) Kết hợp tính chất  cos  + cos  + cos   Chứng minh 70 Bài toán [TĐP] Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi  ,  ,  góc tạo cot  + cot  + cot   ( ABC ) với (OAB ) , (OBC ) , (OCA) Chứng minh  x, y , z  x + y + z = Hướng dẫn: Đặt x = cos2  , y = cos2  , z = cos2  Kết hợp tính chất   Ta có tan  = cot  = 1 y+z −1 = −1 = cos  x x  cot  = x y Tương tự cot  = , z+x y+z z x+ y x y z + + y+z z+x x+ y Vậy cot  + cot  + cot  = Áp dụng BĐT Nesbit ta có x y z + +  y+z z+x x+ y Vậy cot  + cot  + cot   Bài tốn [TĐP] Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi  ,  ,  góc tạo ( ABC ) với tan  + tan  + tan  + cot  + cot  + cot   (OAB ) , (OBC ) , (OCA) 15 Hướng dẫn: Tương tự Bài tốn 3/ ta có tan  = Vậy tan  + tan  + tan  = Ta có Chứng minh z+x x+ y y+z , tan  = , tan  = z x y x+ y y+z z+x + + z x y x+ y y+z z+x x y y z z x + + = + + + + +  Mà cot  + cot  + cot   z x y z z x x y y Vậy tan  + tan  + tan  + cot  + cot  + cot   15 71 Bài tốn [TĐP] Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi  ,  ,  góc tạo 3sin  + 3sin  + 3sin  ( ABC )  cos2  32−cos  với (OAB ) , (OBC ) , (OCA) + cos2  32−cos  Chứng minh + cos2  32−cos   x, y , z  x + y + z = Hướng dẫn: Đặt x = cos2  , y = cos2  , z = cos2  Kết hợp tính chất   1 1 − y y − x dấu 0, y − z z − y dấu x 3 3 1 0, z − x x − z dấu 0, nên 3 Do 1 1 1 1 1 1  x − y ( y − x ) +  y − z ( z − y ) +  z − x ( x − z )   3  3 3   − 3x − y − 3z y + z − 2x z + x − y x + y − 2z + + + + 0 0  x y z 3x 3y 3z  1 3x y 3z + y + z  x + y + z  31− x + 31− y + 31− z  x.32 − x + y.32 − y + z.32 − z x 3 3 3 Vậy 3sin  + 3sin  + 3sin   cos2  32−cos  + cos2  32−cos  + cos2  32−cos  Bài toán [TĐP] Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi  ,  ,  góc tạo sin  + ( ABC ) với (OAB ) , (OBC ) , (OCA) Chứng minh 1 97 + sin  + + sin  +  4 sin  sin  sin  Hướng dẫn: Kết hợp tính chất  sin  + sin  + sin  = Đặt m = sin  , n = sin  , p = sin  0  m, n, p  m + n + p = Ta có  Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có m2 +  81    1 = 1 +  m +   1.m +  m m  m 97  16  97  Tương tự n2 +  81    1 = 1 +  n +   1.n +  , n n  n 97  16  97  72 p2 +  81    1 1 p +  = 1 +  p +   p p  p 97  16  97  Do m2 + 1   1   9 97 + n2 + + p +  2 +  = m + n + p +  + +   m n p  m n p  2 97  97  Dấu “=” xảy  m = n = p =  a=b=c=h 3 Bài toán [TĐP] Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi  ,  ,  góc tạo ( ABC ) với ( OAB ) , ( OBC ) , ( OCA) Chứng minh (cot  cot  + cot  cot  + cot  cot  )2 + cot  cot  cot   Hướng dẫn: Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có (tan  + tan  + tan  )2  3(tan  + tan  + tan  ) = 3(tan  tan  tan  − 2) (sử dụng tính chất 2.)  (tan  + tan  + tan  )2 +  tan  tan  tan   cot  cot  cot  (tan  + tan  + tan  ) + cot  cot  cot   Vậy (cot  cot  + cot  cot  + cot  cot  )2 + cot  cot  cot   Bài toán [TĐP] Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi  ,  ,  góc mặt phẳng ( OAB ) , ( OBC ) , ( OCA) với mặt phẳng ( ABC ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = tan  + tan  + tan  + cot  + cot  + cot  73 C PHÁT TRIỂN THÊM MỘT SỐ BÀI TỐN Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc Ta ln có a) OC ⊥ (OAB), OA ⊥ (OBC ), OB ⊥ (OCA) b) OH ⊥ ( ABC ) với H trực tâm tam giác ABC Khi  ,  ,  góc tạo ( ABC ) với ( OAB ) , ( OBC ) , ( OCA)  ,  ,  góc tạo OH với OA, OB, OC Vậy Tc2 phát biểu theo cách khác [TĐP] (Bài toán tương tự - cách hỏi khác) Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc Gọi H trực tâm tam giác ABC Gọi  ,  ,  góc tạo OH với OA, OB, OC Chứng minh a) cos2  + cos2  + cos2  = b) tan  + tan  + tan  = tan  tan  tan  − Bài toán phát triển [TĐP] Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc Cho T điểm miền tam giác ABC , OT hợp với cạnh bên OA, OB, OC góc theo thứ tự  ,  ,  Chứng minh a) cos2  + cos2  + cos2  = b) tan  + tan  + tan  = tan  tan  tan  − Bài toán phát triển [TĐP] Cho OABC tứ diện vuông, T điểm miền tam giác ABC , OT hợp với cạnh bên OA, OB, OC góc theo thứ tự  ,  ,  Chứng minh cos  + cos  + cos   Bài toán phát triển [TĐP] Cho OABC tứ diện vuông, T điểm miền tam giác ABC , OT hợp với cạnh bên OA, OB, OC góc theo thứ tự  ,  ,  Chứng minh cot  + cot  + cot   74 Bài toán phát triển [TĐP] Cho OABC tứ diện vuông, T điểm miền tam giác ABC , OT hợp với cạnh bên OA, OB, OC góc theo thứ tự  ,  ,  Chứng minh tan  + tan  + tan  + cot  + cot  + cot   15 Bài toán phát triển [TĐP] Cho OABC tứ diện vuông, T điểm miền tam giác ABC , OT hợp với cạnh bên OA, OB, OC góc theo thứ tự  ,  ,  Chứng minh 3sin  + 3sin  + 3sin   cos2  32−cos  + cos2  32−cos  + cos2  32−cos  Bài toán phát triển [TĐP] Cho OABC tứ diện vuông, T điểm miền tam giác ABC , OT hợp với cạnh bên OA, OB, OC góc theo thứ tự  ,  ,  Chứng minh sin  + 1 97 + sin  + + sin  +  4 sin  sin  sin  Bài toán phát triển [TĐP] Cho OABC tứ diện vuông, T điểm miền tam giác ABC , OT hợp với cạnh bên OA, OB, OC góc theo thứ tự  ,  ,  Chứng minh (cot  cot  + cot  cot  + cot  cot  )2 + cot  cot  cot   75 III HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI Hiệu kinh tế Dựa vào kết đạt Trong bối cảnh cải cách triệt để giáo dục nước nhà Dạy cho học sinh biết tìm tịi lời giải, tức hướng vào người học, rèn luyện phát triển khả suy nghĩ, khả giải vấn đề cách động, độc lập, sáng tạo Bồi dưỡng tư học sinh giúp tạo người toàn diện, phát huy điểm mạnh, lực cần thiết: lực làm việc sáng tạo, khoa học, lực giải vấn đề, lực giao tiếp, lực hợp tác, giúp tạo nguồn nhân lực chất lượng cao, phát huy tối đa sức sáng tạo người công xây dựng bảo vệ Tổ quốc Đó lợi ích gián tiếp hiệu mặt kinh tế Sáng kiến kinh nghiệm tạo động lực thúc đẩy học sinh tích cực học tập góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy thân nói riêng kết giáo dục nhà trường nói chung Sáng kiến kinh nghiệm tài liệu bổ ích dùng cho giáo viên giảng dạy mơn Tốn bậc THPT, cho bồi dưỡng HSG, cho học sinh khối 11, 12 ôn thi THPTQG, giúp em mua nhiều sách tham khảo giảm bớt thời gian học trực tuyến Hiệu mặt xã hội Nâng cao chất lượng giáo dục: Giúp phát triển lực học sinh, phát triển tư duy, định hướng phương pháp làm tốn hình học khơng gian, giúp học sinh học hình khơng gian hứng thú, đặc biệt có hiệu học sinh lớp 11, lớp 12 học sinh ôn thi THPT quốc gia Đồng thời với sáng kiến kinh nghiệm này, giúp cho giáo viên tiếp cận với phương pháp dạy học mới, kết hợp với phương pháp dạy học truyền thống, tài liệu để tham khảo soạn kế hoạch dạy học theo định hướng phát triển lực học sinh 76 Đối với nhà trường, sáng kiến kinh nghiệm bổ sung vào hệ thống tài liệu tham khảo, góp phần nhỏ giải vấn đề dạy học theo định hướng phát triển lực học sinh Năm học 2019 - 2020 dạy thử nghiệm lớp 11A1 trường THPT Giao Thủy kết đạt sau: Lớp 11A1 Sĩ số Số học sinh Số học sinh có Số học sinh có kĩ đạt điểm cách giải hay, làm tốt >=8 mạch lạc 35 30 39 35 Tôi dạy thử nghiệm lớp 11A2 trường THPT Giao Thủy kết đạt sau: Lớp 11A2 Sĩ số Số học sinh Số học sinh có Số học sinh có kĩ đạt điểm cách giải hay, làm tốt >=8 mạch lạc 30 25 40 30 Đối với lớp 11B10 trường THPT Giao Thủy không dạy thử nghiệm kết đạt sau: Lớp Sĩ số Số học sinh Số học sinh có Số học sinh có kĩ đạt điểm cách giải hay, làm tốt >=8 mạch lạc 11B10 40 15 15 Năm học 2020 - 2021 dạy thử nghiệm lớp 12A1 trường THPT Giao Thủy kết đạt sau: Lớp 12A1 Sĩ số 39 Số học sinh Số học sinh có Số học sinh có kĩ đạt điểm cách giải hay, làm tốt >=8 mạch lạc 35 30 35 Tôi dạy thử nghiệm lớp 12A2 trường THPT Giao Thủy kết đạt sau: Lớp 12A2 Sĩ số 40 Số học sinh Số học sinh có Số học sinh có kĩ đạt điểm cách giải hay, làm tốt >=8 mạch lạc 33 28 33 77 Khả áp dụng nhân rộng Sáng kiến kinh nghiệm tài liệu bổ ích dùng cho giáo viên giảng dạy mơn Tốn bậc THPT, cho bồi dưỡng HSG, cho học sinh khối 11, 12 ôn thi THPTQG 78 IV Cam kết không chép vi phạm quyền Xuất phát từ say mê chuyên môn với mong muốn giúp em học sinh có kiến thức vững vàng để tự tin bước vào kỳ thi HSG, kỳ thi THPTQG Tôi nghiên cứu tài liệu, đề thi đại học đề thi thử năm, đề HSG trường để tạo sáng kiến kinh nghiệm này, với mục tiêu “BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC, NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH” Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm mà đưa nghiên cứu, viết trình bày TÁC GIẢ SÁNG KIẾN Trần Đức Phương CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đề thi học sinh giỏi tỉnh Đề thi THPTQG Báo THTT ... giải học sinh lớp dạy Học sinh Cao Mạnh Tuấn lớp 11A1 23 24 Học sinh Lại Xuân Diện lớp 11A2 25 26 Lời giải 3: Phương pháp Lời giải học sinh lớp tơi dạy Học sinh Dỗn Anh Tuấn Sơn lớp 11A2 27 28 Học. .. chất lượng học kỳ năm học 2019-2020 trường THPT Giao Thủy Đáp án trường Câu 24.3 làm theo Phương pháp S E P M B A H I N O D C 16 Lời giải 1: Phương pháp Lời giải học sinh lớp dạy Học sinh Mai... Sau tơi trình bày nội dung cụ thể giải pháp sáng kiến BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC, NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT QUA DẠY BÀI TỐN GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG; GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG