Luận văn tách phân kỳ trong giản đồ một vòng bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên

MỞ ĐẦU Những thành tựu điện động lực học lượng tử (Quantum Electrodynamics QED) dựa sở lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với phương pháp tái chuẩn hóa khối lượng điện tích cho phép tính tốn q trình vật lý phù hợp tốt với số liệu thu từ thực nghiệm, với độ xác đến bậc e2 số tương tác theo lý thuyết nhiễu loạn    Trong lý thuyết trường 4 137 tương tác QED lý thuyết xây dựng hồn chỉnh Mơ phương pháp tính tốn trình vật lý QED người ta xây dựng cơng cụ tính tốn cho Sắc động học lượng tử (Quantum Chromodynamics - QCD) – lý thuyết tương tác hạt quark - gluon, tương tác yếu hay lý thuyết thống dạng tương tác lý thuyết điện yếu tương tác mạnh gọi mơ hình chuẩn [6, 7, 13, 18] Việc tính q trình vật lý theo lý thuyết nhiễu loạn bậc thấp lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến (các giản đồ Feynman, không chứa vịng kín) ta khơng gặp tích phân phân kỳ, tính bổ lượng tử bậc cao cho kết thu được, ta gặp phải tích phân kỳ vùng xung lượng lớn hạt ảo, tương ứng với giản đồ Feynman có vịng kín hạt ảo Các giản đồ diễn tả tương tác hạt với chân không vật lý trường tham gia tương tác quan niệm hạt điểm khơng có kích thước khơng tích Việc tách phần hữu hạn phần phân kỳ tích phân kỳ phải tiến hành theo cách tính tốn nào? Phần phân kỳ phần hữu hạn giải thích vật lý sao? Bỏ phần phân kỳ vào đâu để có kết thu cho trình vật lý hữu hạn Lưu ý: việc loại bỏ phân kỳ lý thuyết trường nhiệm vụ trọng yếu vật lý lý thuyết kể từ đời đến nay, ta cần phải nghiên cứu, tìm hiểu giải Ý tưởng tái chuẩn hóa – gộp phần phân kỳ vào điện tích hay khối lượng electron Kraumer – Bethe, sau tác giả Schwinger Feynman Tomonaga thực hóa QED [13,20] Cách xây dựng chung S - ma trận phân loại phân kỳ Dyson F đề xuất [10] Cách chứng minh tổng quát triệt tiêu phân kỳ số hạng tái chuẩn hóa chuỗi lý thuyết nhiễu loạn Bogoliubov – Parasyk tiến hành [8] Trong QED sử dụng việc tái chuẩn hóa điện tích khối lượng electron, giúp ta giải hợp lý phần phân kỳ tính tốn, kết ta thu hữu hạn cho biểu thức đặc trưng cho tương tác, bao gồm: tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã thời gian sống hạt Khi so sánh, kết thu phù hợp với số liệu thực nghiệm Lý thuyết trường lượng tử sau tái chuẩn hoá cho kết hữu hạn đặc trưng trình vật lý, gọi lý thuyết tái chuẩn hoá [7, 8, 19, 15] Các phương pháp khử phân kỳ thông dụng lý thuyết trường bao gồm: phương pháp cắt xung lượng lớn [7], phương pháp Pauli – Villars, phương pháp điều chỉnh thứ nguyên phương pháp R - toán tử N.N Bogoliubov khởi xướng [14] Mục đích luận văn Thạc sĩ vận dụng cách khử phân kỳ tử ngoại cách điều chỉnh thứ nguyên hạt ảo gần vòng kín minh họa q trình tái chuẩn hóa khối lượng điện tích electron QED bậc thấp lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho trình vật lý Bản luận văn Thạc sĩ gồm phần Mở đầu, ba chương, phần Kết luận, tài liệu tham khảo số phụ lục - Chương I: Các giản đồ phân kỳ vòng Chương dành cho việc giới thiệu lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến Trong mục 1.1 giới thiệu vắn tắt S - ma trận quy tắc Feynman để mô tả trình vật lý Mục 1.2 dành cho việc trình bày hàm Green photon, electron, hàm đỉnh QED Phân tích bậc phân kỳ QED bậc thấp trình bày mục 1.3 - Chương II: Tách phân kỳ giản đồ vòng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên Trong chương tách phần hữu hạn phần phân kỳ phương pháp điều chỉnh thứ nguyên QED Mục 2.1 xem xét toán tử phân cực bậc hai photon – giản đồ lượng riêng photon Trong mục 2.2 xem xét giản đồ lượng riêng electron Trong mục 2.3 xem xét hàm đỉnh bậc thấp Đồng thức Ward –Takahashi được chứng minh đồ thị mục 2.4 - Chương III: Tái chuẩn hóa QED Trong chương ta tái chuẩn hóa cho giản đồ vịng QED Mục 3.1 dành cho việc tái chuẩn hóa điện tích electron Mục 3.2 dành cho việc tái chuẩn hóa khối lượng Mục 3.3 tái chuẩn hóa hàm đỉnh Chứng minh cách định tính: việc tái chuẩn hóa điện tích khối lượng electron, tích phân phân kỳ “biến mất” vào điện tích vật lý khối lượng vật lý electron Mục 3.4 trình bày việc chứng minh việc tái chuẩn hóa QED gần vịng - Phần kết luận tóm tắt kết thu luận văn thảo luận khả vận dụng hình thức luận tính tốn cho lý thuyết trường tương tự Trong luận văn sử dụng hệ đơn vị nguyên tử   c  metric giả Euclide (metric Feynman - hay metric Bogoliubov [7]) tất bốn thành phần véctơ - chiều ta chọn thực A  A0 , A gồm thành phần thời gian thành phần không gian, số   0,1,2, 3 ,và theo quy ước ta gọi thành phần phản biến véctơ - chiều ký hiệu thành phần với số Chương Các giản đồ phân kỳ vòng Trong chương giới thiệu vắn tắt luận điểm lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến S - ma trận cho tương tác điện từ, quy tắc Feynman, giản đồ phân kỳ thường gặp gần vòng 1.1 S - ma trận giản đồ Feynman Biên độ xác suất trình tán xạ xác định yếu tố S – ma trận tán xạ, mà chúng liên hệ trạng thái đầu trạng thái cuối trình vật lý: S  T exp i  L (x)d4  int x (1.1) Trong Lint (x)  N J  (x)A (x)  e0 N (x) (x)A (x)   Lagrangian tương tác điện từ, e0 điện tích “trần” electron Mỗi đỉnh tương tác có ba đường vào ra, có đường photon, hai đường electron zn z2   z   ta có 2! n0 n !  hay positron Sử dụng phép khai triển hàm mũ ez   thể viết biểu thức S – ma trận (1.1) dạng: S  S (0)  S (1)  S (2)     iT  (i)2 Lint(x)d x  T  Lint (x)Lint (y)d4xd 4y  2! (1.2) Yếu tố ma trận trận q trình vật lý biểu diễn dạng:  f | S | i  fi  i 2   Pf  Pi M (1.3) fi Ở  i |  f | véctơ trạng thái đầu cuối hệ, Mf i biên độ xác suất dời chuyển, có ý nghĩa việc xác định tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã hay thời gian sống hạt Hàm delta diễn tả định luật bảo toàn xung lượng q trình vật lý Thay cơng thức (1.2) vào  f | S | i  ta có:  f | S | i  f | S (0) | i    f | S (1) | i    f | S (2) | i    f | | i  iT  f | Lint(x)d4x | i   (i)2 4y | i    T  f |  Lint (x)Lint (y)dxd 2! (1.4) Sử dung khai triển (1.4), cụ thể hạt trạng thái đầu trạng thái cuối ta viết biểu thức tường minh cho số hạng khai triển nhiễu loạn cho trình sau: tán xạ electron (hay positron) với trường điện từ ngoài, tán xạ electron (hay positron) với nhau, tán xạ Compton – tán xạ photon electron, hay hủy cặp electron – positron trình tán xạ khơng đàn tính, v.v Quy tắc Feynman cho tương tác điện từ không gian xung lượng: Hạt trạng thái Electron trạng thái đầu Electron trạng thái cuối Thừa số yếu tố ma trận  1 2   m  r   u    p  p 1 2   m  r   u    p  p Yếu tố giản đồ Positron trạng thái đầu  Photon trạng thái đầu hay trạng thái cuối 2  Positron trạng thái cuối 1 1 2    m  r     u p  p   m  r     u p  p  1 2    2k e k  Thế điện từ Aext k  Chuyển động i S (p)    pˆ  m 2 pˆ  m i  2   p m electron từ  (hay positron theo chiều ngược lại  ) Chuyển động photon hai đỉnh Đỉnh với số lấy tổng  2 g  D  (k)     k ie  2   4 p2  p1  k  1.2 Hàm Green hàm đỉnh Trong QED giản đồ Feynman sau đây: - Các phần lượng riêng photon - Các phần lượng riêng của electron - Các phần đỉnh - Phần tán xạ photon – photon diễn tả tương tác hạt với chân không vật lý Các giản đồ liên quan đến việc tính số hạng bổ bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến, hay cụ thể tính hàm Green photon, hàm Green electron hàm đỉnh lý thuyết tương tác trường electron – positron với trường điện từ Hàm Green hai điểm tổng giản đồ liên kết yếu mà thành phần giản đồ liên kết mạnh1 hạt Hàm Green photon, xác định công thức: G  (x  y)  i  T  A (x)A (y)    (1.5) |  véctơ trạng thái chân khơng trường tương tác, cịn A (x) A (y) toán tử trường điện từ biểu diễn Heisenberg Giản đồ liên kết mạnh (strong connected diagramms) - chặt đường không tách thành hai giản đồ - Giản đồ gọi giản đồ tối giản (irreducible diagramms) Hàm Green photon (1.5) biểu diễn tổng giản đồ sau: i i    i   i   Hình 1.1 Hàm truyền đầy đủ photon ten xơ phân cực chân không Hàm Green electron, xác định tương tự công thức sau G x  y  i  |T  (x) (y) |    (1.6) Trong  (x) ,  (y) toán tử trường electron – positron biểu diễn Heisenberg Hàm Green electron biểu diễn tổng giản đồ sau:  i i i i Hình 1.2 Các đồ thị hàm truyền đầy đủ electron phần lượng riêng Hàm đỉnh được xác định  z,x,y   T A z  x  (y)   (1.7) Giản đồ Feynman (1.7) tương ứng  * Hình 1.3 Đỉnh riêng đầy đủ  sơ đồ xương * Các đường bị bỏ 1.3 Bậc hội tụ giản đồ Feynman Khi tính tốn giản đồ Feynman (trong biểu diễn xung lượng), theo qui tắc chung phải lấy tích phân theo tất đường xung lượng giản đồ Tất tích phân có dạng: J   F(p , p , , p )d p d p d n 4 pn (1.8) Trong đó: F(p1, p 2, , pn ) hàm hữu tỉ tỉ số hai đa thức: n số đường xung lượng Tương ứng với đường xung lượng fermion electron ta có hàm truyền S ~ , tương ứng với đường xung lượng p photon ta có hàm truyền D ~ p2 Ta gọi: Fe : số đường xung lượng electron N e : số đường xung lượng electron Fp : số đường xung lượng photon N p : số đường xung lượng photon v : số đỉnh Trong vịng kín (loop) đường xung lượng trong, số đường số đỉnh:n  v , đồng thời lưu ý hai điểm sau: + Mỗi đỉnh tương ứng với đường photon, số đỉnh tổng số đường photon, phải ý số đường phải tính đến hai lần nối với hai đỉnh v  2Fp  N p (1.9) + Mỗi đỉnh tương ứng với hai đường xung lượng electron, tổng số đỉnh nửa số đường xung lượng electron: v  2Fe  N e (1.10) Từ (1.9) (1.10) ta thu được: Fp  1 v  Np 2 Fe  v  Ne 10 (1.11) (1.12) ... QED Phân tích bậc phân kỳ QED bậc thấp trình bày mục 1.3 - Chương II: Tách phân kỳ giản đồ vòng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên Trong chương tách phần hữu hạn phần phân kỳ phương pháp điều chỉnh. .. 4! giản đồ, khác việc hoán vị đường ngồi Thực tế, hội tụ từ bất biến chuẩn 14 Chương Tách phân kỳ giản đồ vòng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên Trong chương này, sử dụng phương pháp điều chỉnh. .. thức phân kỳ 13 Các giản đồ phân kỳ bậc thấp QED: Ví dụ Nhận xét Giản đồ chân khơng Giản đồ khơng xét Giản đồ lượng riêng electron Sơ bộ, phân kỳ tuyến tính, song thực tế phân kỳ loga Đỉnh phân