Moment từ dị thường của electron và phương pháp điều chỉnh thứ nguyên trong lý thuyết trường lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ HỤÊ MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG CỦA ELECTRON VÀ PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ HỤÊ MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG CỦA ELECTRON VÀ PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ Chuyên ngành : Mã số : Vật lý lý thuyết vật lý toán 60.44.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH NGUYỄN XUÂN HÃN Hà Nội - 2014 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn, ngƣời trực tiếp bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ em suốt thời gian học tập hoàn thành Bản luận văn thạc sĩ khoa học Em gửi lời cảm ơn chân thành tới tất Thầy Cô, Tập thể cán Bộ môn Vật lý lý thuyết, toàn thể ngƣời thân, bạn bè giúp đỡ, dạy bảo, động viên, trực tiếp đóng góp, trao đổi ý kiến khoa học quý báu để em hồn thành Bản luận văn Qua đây, em chân thành gửi lời cảm ơn tới Thầy C« Khoa Vật lý dạy bảo tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em suốt q trình học tập hồn thành Bản luận văn Hà Nội, 16 tháng 12 năm 2013 Học viên MỤC LỤC MỞ ĐẦU .1 CHƢƠNG - PHƢƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ CỦA ELECTRON 1.1 Phƣơng trình Pauli 1.2 Phƣơng trình Dirac cho electron trƣờng ngồi giới hạn phi tƣơng đối tính 1.3 Các bổ tƣơng đối tính cho phƣơng trình Pauli CHƢƠNG - CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP VÀO MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG CỦA ELECTRON 19 2.1 S-ma trận 19 2.2 Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào moment từ dị thƣờng 23 2.3 Hệ số dạng điện từ 24 CHƢƠNG - BỔ CHÍNH CHO MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG 28 3.1 Bổ cho mơmen dị thƣờng gần vòng 28 3.2 Moment từ dị thƣờng với bổ lƣợng tử 37 KẾT LUẬN .39 TÀI LIỆU THAM KHẢO Error! Bookmark not defined PHỤ LỤC A 41 PHỤ LỤC B 50 PHỤ LỤC C 51 DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 2.1 Các giản đồ Feynman cho tán xạ electron trường theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến gần vòng 20 Hình A.1…… ………………………………………………………………… 43 Hình A.2 ………………………………………………………………… BẢNG KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT QED: Điện động lực học lƣợng tử … 45 MỞ ĐẦU Lý thuyết lƣợng tử tƣơng tác điện từ hạt tích điện hay gọi điện động lực học lƣợng tử QED, đƣợc xây dựng hoàn chỉnh Sự phát triển QED liên quan đến đóng góp Tomonaga, J Schwinger, R Feynman Dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến tác giả nêu với việc tái chuẩn hóa khối lƣợng điện tích electron, QED lý giải thích thành cơng q trình vật lý qua tƣơng tác điện từ, định tính lẫn định lƣợng Ví dụ nhƣ dịch chuyển Lamb mức lƣợng nguyên tử Hydro moment từ dị thƣờng electron, kết tính toán lý thuyết số liệu thực nghiệm trùng với độ xác cao./1, 4, 6-13, 15,17/ Phƣơng trình Dirac cho electron trƣờng điện từ ngoài, tƣơng tác electron với trƣờng điện từ, chứa thêm số hạng tƣơng tác từ tính Cƣờng độ tƣơng tác đƣợc mô tả moment từ electron  ,  e0h e  0  ( m0 e0 khối lƣợng “trần” điện tích “trần” | h  c  2m0 2m0c electron, 0 - gọi magneton Bohr) Các hiệu ứng tƣơng tác chân không vật lý với electron – tính bổ bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho moment từ electron, sau tái chuẩn hóa khối lƣợng electron  m0  mR  điện tích electron  e0  eR  dẫn đến đóng góp bổ xung, mà đƣợc gọi moment từ dị thƣờng Lƣu ý, số R – ký hiệu giá trị đƣợc lấy từ thực nghiệm Tuy nhiên, thực nghiệm đo đƣợc moment từ electron   1,003875 0 , giá trị đƣợc gọi moment từ dị thƣờng electron J.Schwinger /13/ ngƣời tính bổ cho moment từ dị thƣờng electron vào năm 1948 ông thu đƣợc kết phù hợp với thực nghiệm ( bổ cho moment từ electron tính giản đồ bậc cao cho QED, sai số tính tốn với thực nghiệm vào khoảng 1010 % ) Biểu thức giải tích moment từ dị thƣờng electron mặt lý thuyết thu đƣợc :  ly thuyet  0 1    2 3   0,32748  1,184175  2    (0.1)  1,001159652236  28 0 R  1,00115965241 20 0 (0.2) Ở giá trị moment đƣợc tính lý thuyết theo thuyết nhiễu loạn (0.1) giá trị đƣợc lấy từ số liệu thực nghiệm (0.2) có trùng khớp với Mục đích luận văn Thạc sĩ khoa học tính bổ vịng cho moment từ dị thƣờng electron QED Việc loại bỏ phân kỳ q trình tính tốn giản đồ Feynman, ta sử dụng phƣơng pháp điều chỉnh Pauli -Villars Nội dung Luận văn Thạc sỹ khoa học bao gồm phần mở đầu, ba chƣơng, kết luận, số phụ lục tài liệu tham khảo Chƣơng Phƣơng trình Pauli moment từ electron Phƣơng trình Pauli moment từ dị thƣờng thu nhận hai cách: Trong mục 1.1 xuất phát từ phƣơng trình Schrodinger tư tượng luận ta thu đƣợc phƣơng trình Pauli với số hạng tƣơng tác moment từ electron với trƣờng /1/ Mục 1.2 dành cho việc nhận phƣơng trình Pauli việc lấy gần phi   tƣơng đối tính phƣơng trình Dirac trƣờng điện từ gần v c , v – vận tốc hạt, c vận tốc ánh sáng Các bổ tƣơng đối tính tiếp   theo cho phƣơng trình Pauli gần bậc cao v c thu đƣợc việc sử dụng phép biến đổi Fouldy - Wouthuyen mục 1.3 Chƣơng Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào moment từ dị thƣờng electron Xuất phát từ Lagrangce tƣơng tác electron với trƣờng ta nêu vắn tắt xây dựng S-ma trận mục 2.1 cho tốn tán xạ electron với trƣờng điện từ ngồi Trong mục 2.2 ta phân tích giản đồ Feynman gần vịng đóng góp cho moment từ dị thƣờng electron Mục 2.3 dành cho việc thảo luận ý nghĩa vật lý hệ số dạng điện từ, đặc biệt gần phi tƣơng đối tính Chƣơng Moment từ dị thƣờng electron gần vòng Trong mục 3.1 sử dụng phƣơng pháp điều chỉnh thứ nguyên ta tách phần hữu hạn phần phân kỳ cho giản đồ Feynman gần vịng Việc tính biểu thức bổ cho moment từ dị thƣờng gần vòng đƣợc tiến hành mục 3.2 Lƣu ý, việc tính moment từ dị thƣờng electron toán phức tạp, Luận văn bƣớc đầu ta thực loạt động tác để đơn giản hóa tốn việc: i/ bỏ qua phân kỳ hồng ngoại liên quan đến khối lƣợng photon; ii/ bỏ qua việc tái chuẩn hóa khối lƣợng, điện tích electron, hàm sóng electron trƣờng điện từ liên quan tới đƣờng ngồi giản đồ Feynman, tính tốn tới phần đóng góp chủ yếu liên quan đến giản đồ đỉnh Feynman cho mômen từ dị thƣờng electron Phần kết luận ta hệ thống lại kết thu đƣợc thảo luận việc tổng quát hóa sơ đồ tính tốn cho lý thuyết tƣơng tự Trong luận văn sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h  c  metric Feynman Các véctơ phản biến tọa độ: r x    x0  t , x1  x, x  y, x3  z    t , x  véctơ tọa độ hiệp biến: r x  g x   x0  t , x1   x, x2   y, x3   z   t ,  x  , đó: g   g  1 0    1 0     0 1     0 1 Các số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ đến CHƢƠNG - PHƢƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ CỦA ELECTRON Phƣơng trình Pauli số hạng tƣơng tác moment từ electron với trƣờng điện từ ngồi thu đƣợc hai cách: i/ Tổng qt hóa phƣơng trình Schrodinger cách kể thêm spin electron tƣơng tác momen từ với trƣờng đƣợc giới thiệu mục 1.1; ii/ Từ phƣơng trình Dirac cho electron trƣờng điện từ ngoài, thực phép gần phi tƣơng đối tính gần bậc vc ta có phƣơng trình Pauli cho electron với moment từ Nghiên cứu bổ tƣơng đối tính cho phƣơng trình Pauli gần bậc cao ta phải sử dụng phép biến đổi Fouldy - Wouthuyen 1.1 Phƣơng trình Pauli Phƣơng trình Pauli mơ tả hạt có spin ½ chuyển động trƣờng điện từ với điều kiện vận tốc hạt nhỏ nhiều vận tốc ánh sáng Phƣơng trình Pauli có dạng phƣơng trình Schrodinger (khi hạt có spin khơng), song hàm sóng  phƣơng trình Pauli khơng phải vơ hƣớng có thành r phần   r , t  phụ thuộc vào biến khơng gian thời gian, mà cịn chứa biến số r spin hạt s z Kết hàm sóng   r , sz , t  spinor hai thành phần:   r h    r ,  , t    r      r , sz , t      r h    r ,  , t      (1.1) Vì hạt có spin nên có moment từ Từ thực nghiệm hiệu ứng Zeemann moment từ hạt với spin h Vì biểu thức dƣới dấu tích phân mà ta quan tâm phụ thuộc vào K  , góc p n-1 thành phần K vector, qua hệ thức liên hệ 1     m  1  m 2  0 sin  d        m  2  2   (A.8) Mà đƣa đến d n 1 n 1  2 n2 K d K K sin n3  d   1    n  1 2  (A.9) Hay qua biến x  cos n 1 2 d K 1    n  1 2   dx K n2 1  x2  n2 (A.10) 1 A.3 Mơ hình tự tƣơng tác trƣờng vô hƣớng Lint  g Để minh họa phƣơng pháp điều chỉnh phân kỳ tử ngoại điều chỉnh thứ nguyên xem xét mơ hình tốn học tƣơng tác đơn giản Lint  g Trong g- số tƣơng tác, cịn  trƣờng thực vơ hƣớng Giản đồ lƣợng riêng Theo quy tắc đối ứng Feynman giản đồ lƣợng riêng mơ hình tƣơng ứng với tích phân đơn giản sau đây: I k  : i   m dp 2  p  i   m2   p  k   i    (A.11) Tƣơng ứng với giản đồ vòng Feynman với hai đƣờng vơ hƣớng (xem hình A.1) 43 k p p p-k Hình A.1 Chuyển từ chiều sang n chiều ( với n   2 ) ta viết: I (k )  reg J (k )   i  2 2  i  2 2  m dn p   p  m2   p  k  dn p   p  m2   p  k   m2 2   (A.12) Áp dụng cơng thức tham số hóa Feynman 1   dx ab  ax  b 1  x     (A.13) a  ( p  k )  m2 , b  p  m2 Với Ta đƣợc reg J (k )   i  2 2 i  2 2  dx   dn p  dx    p  k 2  m2  x   p  m2  1  x    p dn p  pkx  k x  m (A.14)  2 Áp dụng tích phân:  p Với d p  pk ' lb  n   m   m 2    1 i   m n n m m  2, l  k x  m2 , k '  kx ta đƣợc 44  k '2  l  m n reg J  k    i  n     2  0  1 i    2 i  2 2 n   2 k x2  m2  k x 2 n ( ) dx   m2  x 1  x  k    2        dx  2  m  x  x k         (A.15) Sử dụng công thức khai triển: a    ln a Ta có:      2 2      ln   2  2   m  x 1  x  k     {m  x 1  x  k }    m2  x 1  x  k    m2  x 1  x  k      ln     ln     ln  2       ( )      O( ) (A.16) Trong   0.5772 số Euler Mascheroni    m2  x 1  x  k    1  reg J  k        O      dx 1   ln    ln      0       Cho   0 ta có reg J  k     I huu han      m2  x 1  x  k  I huu han     dx ln    ln       Trong 45 (A.17) Nhƣ phƣơng pháp khử phân kỳ điều chỉnh thứ nguyên phần kỳ dị tích phân ( phân kỳ loga vùng tử ngoại) có cực đƣợc tách  thành phần riêng Một vấn đề đặt ra: liệu sử dụng phƣơng pháp khử phân kỳ tử ngoại điều chỉnh thứ nguyên, để tiếp tục khử phân kỳ hồng ngoại QED photon bị xạ hay hấp thụ có lƣợng thấp khối lƣợng nghỉ không hay không? Giản đồ đỉnh Giản đồ đỉnh tƣơng ứng với tích phân sau   p, k   i m dq 1   2 2  q m  q  k  m  q  p (A.18) tam giác liên quan đến đỉnh có ba đƣờng – đƣờng có xung lƣợng q hàm truyền vô hƣớng vô hƣớng vô hƣớng , đƣờng khác có xung lƣợng  q  k  - hàm truyền m  q2 m2   q  k  , cịn đƣờng cịn lại có xung lƣợng  q  p  - hàm truyền m  q  p 2 q k+q k p p-k Hình A.2 Viết lại tích phân dƣới dạng: 46 p+q   p, k   i m dq 1   2 2  q m  q  k  m  q  p (A.19) i dq 1  2   2  q  m  q  k   m  q  p 2  m Áp dụng phƣơng pháp điều chỉnh thứ nguyên: i  2   p, k   reg I  p, k     d nq  q2  m2   q  k   m2   q  p   m2  2 (A.20) Sử dụng cơng thức tham số hóa Feynman: 1 x 1  2 dx  dy abc  a 1  x  y   bx  cy  0 Với (A.21) a  q  m2 b   q  k   m2 c   q  p   m2 Ta có a 1  x  y   bx  cy  2   q  m2  1  x  y    q  k   m2  x   q  p   m2  y      q  2q  py  kx   k x  p y (A.22) Tích phân (A.20) viết lại: reg I  p, k   2i 2  1 x  dx  dy  d 0 n q  q  2q  py  kx   k x  p y  Áp dụng công thức: 47 (A.23)  p d p  pk ' l  n   m   2   (1) m i   m n n m k '  l  m (A.24) n m3 l  k x  p2 y Với k '  py  kx Ta đƣợc: reg I ( p, k )  2i 2 2 1 x 0  dx  n (3  ) dy (1)3 i (3) n 3 [( py  kx)  k x  p y ] 2 n  2  1     2  dx  dy 1   py  kx 2  k x  p y  0 2 1 x   1  1 x  dx  0 0   2   dy  1       py  kx 2  k x  p y      (A.25) Khai triển 1  (1   )  ( )       O( )   1     O( )    1   2      py  kx 2  k x  p y      (A.26)   2     1    ln    py  kx 2  k x  p y         py  kx 2  k x  p y      1    ln        48 (A.27)     py  kx   k x  p y     1 x    reg I ( p, k )   dx  dy 1     O( )  1  (1   )ln       0       (A.28) Cho   0 ta thấy tích phân hữu hạn     py  kx   k x  p y     1 x    reg I  p, k   dx  dy 1  ln       2 0       (A.29)  Kết luận: với tốn hàm đỉnh hạt vơ hƣớng tích phân (C.8) khơng phân kỳ mà lƣợng hữu hạn 49 PHỤ LỤC B Một số hệ thức với ma trận Dirac   ,     2g  (B.1)    d (B.2)     d (B.3)         d    (B.4)         g    d  4     (B.5)           2         d        (B.6) Tr(ood number of Dirac matrices)=0, (B.7) Tr       dg  (B.8) Tr          d  g  g  g  g   g  g  (B.9) 50 PHỤ LỤC C Từ giản đồ Feynman bậc hai Hình 1, ta có:   ( p, p ')  ie  2    p ' k  m     p  k  m    d Dk   2  D (k   )  p ' k   m2   p  k   m2     2 (C.1) Sử dụng tham số hóa Feynman: Mẫu số: Với: (Do Đặt: ) , ta có: (C.2) Biến đổi tử số (đổi biến), ta thu đƣợc: 51 (C.3) Trong đó: : phần tuyến tính k (có thể lƣợc bỏ) Đặt q = p’ – p lƣu ý x+y+z=1, ta có: Nhƣ vậy: (C.4) Xét toàn biểu thức biên độ đầy đủ (kể đến đƣờng ngồi) ý đến phƣơng trình Dirac, ta có: Do đó: 52 Viết lại tử số: Hay (để ý x+y+z=1): Xét toàn biểu thức biên độ chuyển dời, ta có: Và: Nên: Ta thấy phép tham số hóa Feynman đối xứng với x y, mẫu số đối xứng với x y, Bốn số hạng đầu tử số (*) đối xứng với x y Tuy nhiên số hạng cuối 53 (*) phản xứng x y Nhƣ đóng góp số hạng vào tích phân Do đó: Ta lại có: Cuối cùng, tử số đƣợc viết dƣới dạng: (C.5) Trong đó: (C.6) Nhƣ biểu thức bổ vịng hàm đỉnh bậc viết dƣới dạng: (C.7) Với thừa số dạng (C.8) (C.9) Ta thấy thừa số dạng hội tụ với , ta chuyển tích phân khơng – thời gian chiều để lấy tích phân Bây ta quan tâm tới thừa số dạng thứ nhất, ta có: 54 Ta có: Mà: Nên: Nhƣ vậy: Bây ta đổi biến: Ta có: 55 Trong đó: (C.9) Ta thấy số hạng quan trọng  -> Hơn nữa: Do đó: Ta có: Tích phân số hạng thứ thứ (** ) hội tụ  đủ nhỏ Ta có: Xét số hạng thứ (**), ta có: (C.10) Nhƣ vậy: 56 Do đó: Với: Lấy (I), ta có: (C.11) Nhƣ vậy, Phân kỳ hồng ngoại có dạng 57