Môment từ dị thường của electron và phương pháp điều cắt xung lượng trong lý thuyết trường lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Đắc Minh MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG CỦA ELECTRON VÀ PHƢƠNG PHÁP CĂT XUNG LƢỢNG LỚN TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hµ Néi - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Đắc Minh MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG CỦA ELECTRON VÀ PHƢƠNG PHÁP CĂT XUNG LƢỢNG LỚN TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật Lý toán M· sè: 60.44.01.03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH NGUYỄN XUÂN HÃN Hµ Nội - 2014 Lời cảm ơn Li u tiờn, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn, người trực tiếp bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ em suốt thời gian học tập hoàn thành Bản luận văn thạc sĩ khoa học Em gửi lời cảm ơn chân thành tới tất Thầy Cô, Tập thể cán Bộ mơn Vật lý lý thuyết, tồn thể người thân, bạn bè giúp đỡ, dạy bảo, động viên, trực tiếp đóng góp, trao đổi ý kiến khoa học quý báu để em hoàn thành Bản luận văn Qua đây, em chân thành gửi lời cảm ơn tới Thầy C« Khoa Vật lý hướng dẫn, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em suốt q trình học tập hồn thành Bản luận văn Hà Nội, ngày 20 tháng 08 năm 2014 Học viên Nguyễn Đắc Minh MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chƣơng - PHƢƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ CỦA ELECTRON 1.1 Phương trình Pauli 1.2 Phương trình Dirac trường ngồi giới hạn phi tương đối tính .6 1.3 Các bổ tương đối tính cho phương trình Pauli Chƣơng - GIẢN ĐỒ FEYNMAN VÀ MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG ELECTRON 17 2.1 S-ma trận 17 2.2 Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào moment từ dị thường 22 2.3 Hệ số dạng điện từ 23 Chƣơng - BỔ CHÍNH CHO MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG 27 3.1 Bổ cho moment dị thường gần vòng 27 3.2 Moment từ dị thường với bổ lượng tử 33 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 PHỤ LỤC 38 DANH MỤC HÌNH Hình Các giản đồ Feynman cho tán xạ electron trường theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến gần vòng 18 MỞ ĐẦU Sự phát triển điện động lực học lượng tử QED chứng minh rằng, sở lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến I Tomonaga, J Schwinger, R Feynman khởi xướng, với việc tái chuẩn hóa khối lượng điện tích electron lý giải thích thành cơng trình vật lý qua tương tác điện từ, đồng thời cho kết tính tốn lý thuyết phù hợp với số liệu thực nghiệm với độ xác tùy ý Ví dụ dịch chuyển Lamb mức lượng nguyên tử Hydro moment từ dị thường electron, kết tính tốn lý thuyết số liệu thực nghiệm trùng với độ xác cao./1, 4, 6-13, 15,17/ Phương trình Dirac cho electron trường điện từ ngoài, tương tác electron với trường điện từ, chứa thêm số hạng tương tác từ tính Cường độ tương tác mô tả  e0h e  0  | h  c  2m0 2m0c moment từ electron  , ( m0 e0 khối lượng “trần” điện tích “trần” electron, 0 - gọi magneton Bohr) Các hiệu ứng tương tác hạt với chân không vật lý – tính bổ bậc cao, cho mơmen từ electron, sau tái chuẩn hóa khối lượng electron  m0  mR  điện tích electron  e0  eR  dẫn đến đóng góp bổ sung, mà gọi mơmen từ dị thường Lưu ý, số ký hiệu cho giá trị “trần”– giá trị chưa kể tương tác, R – ký hiệu giá trị thu từ thực nghiệm Tuy nhiên, thực nghiệm đo moment từ electron   1,003875 0 , giá trị gọi moment từ dị thường electron J Schwinger /13/ người tính bổ cho moment từ dị thường electron vào năm 1948 ông thu kết phù hợp với thực nghiệm ( bổ cho moment từ electron tính giản đồ bậc cao cho QED, sai số tính tốn với thực nghiệm vào khoảng 1010 % ) Biểu thức giải tích moment từ dị thường electron mặt lý thuyết gần thu  ly thuyet  0 1    2 3   0,32748  1,184175   2    (0.1)  1,001159652236  28 0 R  1,00115965241 20 0 (0.2) Ở giá trị moment lý thuyết trường lượng tử tính lý thuyết theo thuyết nhiễu loạn hiệp biến (0.1) giá trị lấy từ số liệu thực nghiệm (0.2) có trùng khớp tốt với Mục đích luận văn Thạc sĩ khoa học tính bổ vịng cho moment từ dị thường hạt lý thuyết trường lượng tử, cụ thể moment từ dị thường electron QED Việc tính đóng góp bổ vịng, phải tính thêm nhiều giản đồ Feynman, chứa tích phân phân kỳ, mà chúng phân kỳ hồng ngoại phân kỳ tử ngoại Việc loại bỏ phân kỳ hồng ngoại theo cách thông thường: cho photon ảo khối lượng tối thiếu min , kết cuối cho min  , phân kỳ tử ngoại q trình tính tốn giản đồ Feynman có nhiều cách sử dụng: phương pháp điều chỉnh Pauli- Villars, phương pháp điều chỉnh thứ nguyên, phương pháp cắt xung lượng lớn Trong luận văn sử dụng phương pháp điều cắt xung lượng lớn, sử dụng rộng rãi lý thuyết trường lượng tử nói chung QED nói riêng Nội dung Luận văn Thạc sỹ khoa học bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, tài liệu tham khảo số phụ lục Chương - Phƣơng trình Pauli moment từ electron Phương trình Pauli moment từ thu nhận hai cách: Trong mục 1.1 xuất phát từ phương trình Schrodinger tư tượng luận ta thu phương trình Pauli với số hạng tương tác moment từ electron với trường /1/ Mục 1.2 dành cho việc nhận phương trình Pauli việc lấy gần phi tương đối tính   phương trình Dirac trường điện từ ngồi gần v c , v – vận tốc hạt, c vận tốc ánh sáng Các bổ tương đối tính cho phương   trình Pauli gần bậc cao v c thu việc sử dụng phép biến đổi Fouldy-Wouthuyen mục 1.3 Chương - Giản đồ Feynman moment từ dị thƣờng electron Xuất phát từ Lagrangce tương tác electron với trường ta nêu vắn tắt xây dựng S-matrận mục 2.1 cho toán tán xạ electron với trường điện từ ngồi Trong mục 2.2 ta phân tích giản đồ Feynman gần vịng đóng góp cho moment từ dị thường electron Các giản đồ Feynman liên quan đến đường mà hạt tương tác với chân không vật lý: chân không trường điện từ - photon chân không trường electron – positron- electron ảo – positron ảo Các giản đồ Feynman gắn với việc tái chuẩn hóa hàm sóng electron hay hàm sóng trường ngồi, chúng khơng cho đóng góp cho moment từ electron Mục 2.3 dành cho việc thảo luận ý nghĩa vật lý hệ số dạng điện từ, đặc biệt gần phi tương đối tính Chương - Bổ cho moment từ dị thƣờng electron Trong mục 3.1 sử dụng phương pháp cắt xung lượng lớn ta tách phần hữu hạn phần phân kỳ cho giản đồ Feynman gần vịng Việc tính biểu thức bổ cho moment từ dị thường gần vòng tiến hành mục 3.2 Lưu ý, việc tính moment từ dị thường electron tốn phức tạp, Luận văn bước đầu ta thực loạt động tác để đơn giản toán việc bỏ qua phân kỳ hồng ngoại liên quan đến khối lượng photon, bỏ qua việc tái chuẩn hóa khối lượng, điện tích electron, hàm sóng electron trường điện từ liên quan tới đường ngồi giản đồ Feynman, tính tốn tới phần đóng góp chủ yếu liên quan đến giản đồ đỉnh Feynman cho moment từ dị thường electron Phần kết luận ta hệ thống lại kết thu thảo luận việc tổng quát hóa sơ đồ tính tốn cho lý thuyết tương tự Trong Bản luận văn sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h  c  metric Feynman Các véctơ phản biến tọa độ : r x    x0  t , x1  x, x  y, x3  z    t , x  r véctơ tọa độ hiệp biến : x  g x   x0  t , x1   x, x2   y, x3   z   t ,  x  , g   g  1 0    1 0     0 1     0 1 Các số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ đến CHƢƠNG PHƢƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ CỦA ELECTRON Phương trình Pauli cho electron có spin số hạng tương tác moment từ với trường điện từ ngồi thu hai cách: i/ Xuất phát từ phương trình Schrodinger cho hat có spin khơng, ta thêm spin electron tương tác moment từ với trường ngồi giới thiệu mục 1.1; ii/ Từ phương trình Dirac cho electron trường điện từ ngoài, ta thực phép gần   phi tương đối tính cho phương trình gần bậc v c ta thu phương trình Pauli cho electron với moment từ Nghiên cứu bổ tương đối tính cho phương trình Pauli gần bậc cao ta phải sử dụng phép biến đổi FouldyWouthuyen 1.1 Phƣơng trình Pauli Phương trình Pauli mơ tả hạt có spin ½ chuyển động trường điện từ với điều kiện vận tốc hạt nhỏ nhiều vận tốc ánh sáng Phương trình Pauli có dạng phương trình Schrodinger (khi hạt có spin khơng), song hàm sóng  phương trình Pauli khơng phải vơ hướng có thành phần r   r , t  phụ thuộc vào biến không gian thời gian, mà chứa biến số spin r hạt s z Kết hàm sóng   r , sz , t  spinor hai thành phần   r h    r ,  , t    r      r , sz , t      r h    r ,  , t      (1.1) Vì hạt có spin nên có moment từ Từ thực nghiệm hiệu ứng Zeemann moment từ hạt với spin h r r   0 , (1.2) r 0 - magneton Bohr,  ma trận Pauli Khi đăt hạt vào trường điện từ ngồi, ta có thêm lượng tương tác phụ KẾT LUẬN Trong Bản Luận văn Thạc sĩ khoa học nghiên cứu mômen từ dị thường electron lý thuyết trường lượng tử Việc tính bổ cho moment từ dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến qua giản đồ Feynman Những kết chủ yếu Luận văn Thạc sĩ bao gồm 1/ Phương trình Pauli chưa số hạng tương tác moment từ electron với từ trường ngoài, nhận hai cách: i/ Tổng qt hóa phương trình Schrodinger từ tư tượng luận; ii/ Thực phép gần phi tương đối tính cho phương trình Dirac electron trường điện từ ngồi 2/ Nghiên cứu q trình tán xạ electron với trường điện gần phi tương đối tính, chúng tơi làm rõ: i/ phân bố điện tích electron qua hệ số dạng điện nghiên cứu tán xạ electron lên điện trường ngoài, ii/ phân bố moment từ electron nghiên cứu tán xạ electron lên từ truờng 3/ Sự dị thường moment từ xuất tương tác electron với chân không vật lý Phân tích giản đồ Feynman gần vòng ta bỏ qua giản đồ Feynman lien quan với đường ngồi electron tương tác với chân khơng vật lý trường điện từ tương tác electron với photon sinh qua phân cực chân không trường electron-positron có mặt trường điện từ ngoài, giữ lại giản đồ Feynman b xét tán xạ electron lên trường điện từ ngồi cho đóng góp vào moment từ electron 4/ Sử dụng phương pháp cắt xung lượng lớn để giải phân kỳ tích phân cận trên, tách phần phân kỳ phần hữu hạn số hạng bổ cho moment từ Phần phân kỳ số hạng bổ gộp vào việc tái chuẩn hóa khối lượng điện tích electron, phần hữu hạn số hạng bổ cho đóng góp vào moment từ dị thường 5/ Kết tính số mơmen từ dị thường phù hợp tốt với số liệu thu từ thực nghiệm 35 Những kết thu Luận văn Thạc sĩ sở để nghiên cứu việc tính mơmen từ hạt lý thuyết trường phức tạp vật lý hạt mơ hình chuẩn mà thống ba bốn loại tương tác nay: điện từ, yếu mạnh , sắc động học lượng tử 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG, Hà Nội Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, NXB ĐHQG, Hà Nội Phạm Phúc Tuyền (2007), Lý thuyết hạt bản, ĐHQG, Hà Nội Hoàng Ngọc Long (2005), Cơ sở vật lý hạt bản, NXB Thống kê, Hà Nội Hà Huy Bằng (2006), Các bổ vịng lý thuyết trường lượng tử, NXB ĐHQG, Hà Nội Tiếng Anh Cvitanovic, C.M and Kinoshita, T (1974), Phys Rev D10, 1974, 4007 Gross, F (2001), Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory, A Wiley – Interescience Publication Feynman, R P (1998), Quantum Electrodynamics, Westview Press Fradkin, S (1985), Quantum Field Theory and Quantum Statistics, Adam Hilger, Bristol 10 Schwinger, J (1949), Quantum Electrodynamics II Vacuum Polarization and Self-Energy, Phys Rev 75 (1949) 651 11 Summerfield, C M (1958), Ann Phys N, Y, (1958) 26 12 Ryder, L H (1985), Quantum field theory, Cambridge University Press 16 Wachter, A (2010), Relativistic Quantum Mechanics, Springer 37 PHỤ LỤC A Metric giả Euclide Thông thường người ta sử dụng hai loại metric: metric Euclide (metric Pauli) với thành phần thứ tư ảo - không phân biệt số Ba thành véctơ chiều - thành phần khơng gian véctơ chiều, ta chọn thực, cịn thành phần thứ tư ảo Am = A m = (A1 = Ax , A2 = Ay , A3 = Az , A4 = iA0 ) số m = (1, 2, 3, 4); Ngược lại, trường hợp metric giả Euclide (metric Feynman - hay r Bogoliubov [8]) tất bốn thành phần véctơ - chiều ta chọn thực A = A 0, A ( ) gồm thành phần thời gian thành phần không gian, số m = (0,1, 2, 3),và theo quy ước ta gọi thành phần phản biến véctơ 4-chiều ký hiệu thành phần với số r def A = A 0, A = (A 0, A 1, A 2, A ) = Am ( ) (A.1) Các véctơ phản biến tọa độ r x m = (x = t , x = x , x = y, x = z ) = (t , x ) (A.2) véctơ tọa độ hiệp biến r x m = gmnx n = (x = t , x = - x , x = - y , x = - z ) = (t , - x ) (A.3) véctơ xung lượng r p m = (E , px , py , pz ) = (E , p ) (A.4) Tích vơ hướng hai véctơ xác định r r A B = gmnA mB n = AmB m = A 0B - A B (A.5) Tensor metric có dạng 38 gmn = g mn ỉ1 0ữ ỗỗ ữ ữ ỗỗ0 - 0ữ ữ ỗ ữ = ỗ ỗỗ0 - ữ ữ ữ ữ ỗỗ ữ ỗố0 0 - 1÷ ÷ ø (A.6) Chú ý, tensor metric tensor đối xứng gmn = gnm gnm = g mn Thành phần véctơ hiệp biến xác định cách sau Am = gmn A n , A0 = A 0, Ak = - A k Đạo hàm hiệp biến ¶ m = ỉ¶ ỉ¶ ¶ ¶ ữ ả ỗỗ , ẹ ữ ỗỗ , ữ ữ , , = ẹ = , ữ ỗốả x ¶ y ¶ z ÷ ÷ ÷ ¶ x m çè¶ t ø ø Đạo hàm phản biến ¶ m = ổả ả ữ = ỗỗ , - ẹ ữ ữ ữ ả x m ỗốả t ứ dive bốn chiều ¶ mAm = (A.7) r r ¶ A0 + Đ A ¶t Sự liên hệ hàm truyền hai loại metric khác Dmn (k ) = - dmn i (2p ) kP2 (« )D mn (k ) = gmn i (2p ) kF2 1 ipˆ P - m = 2 (2p ) pˆ P + im (2p ) pP + m i i pˆ F + m (« )S F (p ) = = 4 2 (2p ) pˆ F - m (2p ) pF - m S P ( p) = - Lưu ý k P - xung lượng với số P ký hiệu metric Pauli, k F - với số F kí hiệu metric Feynman Ma trận Dirac có liên hệ với bảng sau: Metric Pauli ỉI r ÷ ÷ g m = (g, g ), g = b = ççç ÷ ÷ çè0 - I ø ÷ Metric Feynman - Bogoliubov ỉI r ÷ ÷ g m = (g 0, g ), g = b = ççç , ÷ ÷ çè0 - I ø ÷ 39 rử sữ r r ổ ỗ ữ g = - i ba = ỗỗ r ữ ỗốs ữ ữ ứ r r ổ0 g = ba = ỗỗỗ r ỗố- s g mg n + g n g m = 2dmn g mg n + g n g m = 2g mn g = g1g g g = e g g g g ,= ! a bs r a b s r g = g = b , g j = ba j , g 5+ = g , Sp g m = 0, ổ0 ỗỗ ỗỗ- I ố ö - I÷ ÷ ÷ 0÷ ÷ ø g5g5 = = (dmn dmn + g g nv ms - g g nr g5g5 = Sp g m = 0, Sp {g mg n g s g r } mr -i ea bs r g a g b g s g r 4! ổ0 I ữ ỗ ữ ỗ = ỗ ữ ỗốI 0ữ ữ ứ g = g = b , g j = ba j , g = - i g g 1g g = g 5+ = g , Sp (g mgn ) = 4dmn , r sư r ÷ ÷ , s ma trận Pauli ÷ ÷ 0ø ÷ Sp {g mg n } = 4g mn Sp {g mg n g s g r } ) = (g mn g s r + g mr g nv - g ms g nr ) Spg = Sp (g g mg n ) = Spg = 0, Sp (g g mg n ) = Sp (g g mg n g r g s )m = 4emnr s Sp (g g mg n g r g s )m = 4e mnr s Lấy tổng lấy trung bình theo phân Lấy tổng lấy trung bình theo phân cực cực hạt hạt r r ¢ u p Qu p å ( ) () = r, r¢ = Sp Q (pˆ - im )Q (pˆ ¢- im ) 2 r¢ r ¢ u p Qu p ( ) () = å r, r¢ = Sp Q (pˆ + m )Q (pˆ ¢+ m ) Q = g 4Q + g Q = g 0Q + g { } Chuẩn hóa spinor tốn tử chiếu p u (p )u (p ) = u +r ¢ (p )u +r (p ) m = dr ¢r r¢ r { } Chuẩn hóa tốn tử chiếu u r ¢ (p )u r (p ) = 2m dr ¢r u r ¢ (- p )u r (- p ) = - 2m dr ¢r å r 40 u r ( p)u r ( p) = L F (p ) = (pˆ + m ) p u (- p )u (- p ) = u -r ¢ (p )u -r (p ) m = - dr ¢r r¢ å r å r ỉpˆ + im ÷ ÷ u r ( p)u r ( p) = L (p ) = ỗỗ ữ ữ ỗố 2im ứ u r (- p)u r (- p ) = L (- p ) r ỉ- pˆ + im ÷ ÷ = çç ÷ çè 2im ø ÷ L (± p ) = L (± p ) L (p ) + L (- p ) = å u r (- p)u r (- p) = - L F (- p ) r = - (- pˆ + m ) Thay đổi cách chuẩn hóa spinor ta biểu diễn tốn tử chiếu có dạng tương tự ỉpˆ + m ữ ữ L F (p ) = ỗỗ , L (- p ) = ữ ỗố 2m ứ ữ F ổ- p + m ữ ỗỗ ữ ữ ỗố 2m ứ ữ u r ( p)u r ( p) = 2m L F (p ) r å r L (p )L (- p ) = L (- p )L (p ) = 41 u r (- p)u r (- p) = - 2m L F (- p ) PHỤ LỤC B PHƢƠNG PHÁP CẮT XUNG LƢỢNG LỚN Ta tiến hành tính tốn tỉ mỉ số tái chuẩn hóa khn khổ lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến Việc trình bày đầy đủ vấn đề phức tạp, nên ta dẫn kết dạng đơn giản nhất, mơ hình tương tác Lint  g Mơ hình tương tác đơn giản Lint  g cho phép ta thực tính tốn cụ thể, chi tiết đồng thời sử dụng dễ dàng phương pháp toán học hữu hiệu Theo định lý giá trị thặng dư, kết phép lấy tích phân mặt phẳng phức khơng thay đổi chu tuyến biến dạng cực biểu thức dâu tích phân nằm chu tuyến Sự biến dạng không gian xung lượng, ta chuyển từ metric giả Euclide sang metric Euclide, có nghĩa ta quay đường lấy tích phân quanh gốc tọa độ C góc  , (chú ý p0  ip0 , p0 thực) cho bình phương độ dài tổng bình phương tất bốn tọa r r độ với thành phần thứ tư tọa độ thực p  p  p02  p  p02  (Trong khơng gian Euclide bình phương vectơ chiều – chiều xung lượng tổng bình phương thành phần, tất thực) Như d p  id p.dp0  i zdz , z  p2 * Cách tính tích phân trƣờng hợp cắt xung lƣợng lớn Tính tích phân: K   f  p p l  n d4 p (B.1) Tính tích phân (B.1.1), rõ ràng cần giới hạn trường hợp hàm f  p  hàm vô hướng p2 Thật vậy, f  p   p p f  p  thì: 42 f  p   p f1  p  K  Nếu    p l d   p p f p 2 n     p2 f2 p2 p     d p n p2  l (B.2)  , thực chất ta thay đổi từ metric giả Euclide Sau phép quay Wick góc sang metric Euclide, bình phương độ dài tổng bình phương tất r r bốn tọa độ với thành phần thứ tư tọa độ thực p  p  p02  p  p02  Điều cho phép khơng gian chiều,ta đưa vào hệ tọa độ cầu: p 2   sin 1cos2 p1   sin 1 , p 0   sin 1cos2 sin  p3   sin 1cos2cos , (B.3) Dễ dàng kiểm tra từ công thức (A.3) suy hệ thức: p12  p22  p32  p02    (B.4) Yếu tố thể tích p - không gian chiều với hệ tọa độ cầu xác định: r d pdp0  d p  H1H H H d  d1d2d (B.5) Các hệ số metric H i tính công thức:  p1   p2   p3   p0  Hi   i    i    i    i   u   u   u   u          2 2 (B.6) Ở đây: u1   , u  1 , u  2 , u   Sử dụng cơng thức (B.3), từ (B.6) ta có: H1  1, H   , H3   sin 1 , H   sin 1 sin 2 (B.7) Theo cơng thức (B.7), thể tích (B.5) có dạng: d p   sin 1 sin 2 d  d1d2 d (B.8) Thay biểu thức cho d p vào tích phân (B.1)    p l d   f p2 n p   f p2  r2   p  p 0  l    d p  i n 43   f p2  r2   p  p0  l    n d4 p  (B.9) R   2  i      f p  sin 1 sin  d  d1d d  0 0 l  Trong R bán kính hình cầu khơng gian xung lượng chiều Lấy tích phân theo biến 1 ,  , ta tìm được:      p  l  2 i  p  l     f p2 d p f p  3d p R n 2 R2  i n   f z zdz z l (B.10) n Sử dụng công thức dễ dàng tính tích phân:    d4 p R2     i R  l ln   p2  l l   (B.11)  R2    i  ln  1 l   (B.12) d4 p p l  2 d4 p p l  n   2i l n2  n  1 n    n  3 (B.13) Ở l  , công thức cuối ta cho R   Trong công thức (A.13) phép thay p  p  k l  k  l ta nhận được:  d4 p  p  pk  l    n  2i l k  n2  n  1 n   k  l; n   (B.14) Trong trường hợp riêng, F  p   , cơng thức (B.14) có dạng: p d p 0  n p l   (B.15) Trong (B.15) thực phép thay p  p  k l  k  l theo cơng thức (A.14) ta tìm được:  d4 p p  pk  l   2ik  l  k   n  1 n  2 n n2 Để tính tích phân phân kỳ loga: 44  n  3 (B.16) d4 p I1  k , l     N p  pk  l  (B.17) Ta tiến hành phép thay công thức (B.12) Kết ta tìm được:     R2   2i  ln  1  l k  d4 p   p  pk  l (B.18) Trong vùng lấy tích phân  khác với  mà ta lấy tích phân (B.17) Ta chứng minh tích phân (B.17) với việc tăng bán kính R tùy ý, khác với tích phân đứng vế trái (B.18) Thật vậy, bán kính R siêu hình cầu khơng gian xung lượng chiều, khác với bán kính R siêu hình cầu  lượng hữu hạn Từ ta rút ra: với việc tăng R tỷ số tiến đến đơn vị, loga tỷ số tiến đến khơng Vì vậy, hiệu tích phân nói trên, ta có: lim R    d4 p  p  pk  l     d  ln  R  ln1  R (B.19) Chú ý điều viết:   d4 p  p  pk  l    R2   2i  ln  1  l k  (B.20) Bây tính tích phân phân kỳ loga : I2     p p d p p  pk  l  (B.21) Thực phép thay p  k  p biến tích phân (A.21) dạng :   p p d p p l    p  k   p  k  d p p   pk  l  (B.22) Tiếp theo ta có : I1   p p d p  p2  l     p2d p  p2  l     d4 p  p2  l     i   p  l  d4 p  Theo công thức (A.12) (A.13) từ ta nhận : 45  (B.23) I2   2i   3 2  ln R  ln l   (B.24) Ngồi ta có :  p d p p  l 0 ;  d4 p p l    2i 2l (B.25) Chú ý công thức (B.23) (B.24) ta nhận :  p p p d p   pk  l  R2    2i k k     i  ln    2   l  k2   l k (B.26) Tích phân cơng thức (B.25) theo k ta có :  p p d p  pk  l  R2 3   2ik  ln    c ( Với c số) 2  l k  (B.27) Muốn tìm số c , ta thay vào cơng thức (B.26) k Lúc tích phân phía trái (B.26) theo công thức (B.26) không từ (B.26) suy Theo cơng thức (B.27) cơng thức (B.26) có dạng :  p p d p  pk  l   R2 3   ik  ln   2  l k 46 (B.28) PHỤ LỤC C KHỬ PHÂN KỲ TRONG MƠ HÌNH L int = gf Trong tất mơ hình tương tác hạt bản, xét mặt toán học dẫn đến hai mơ hình tương tác bản: mơ hình tự tương tác hạt vơ hướng thực L int = gf Mơ hình tương tác đơn giản, cho phép ta thực tính tốn cụ thể, chi tiết Qua ví dụ L int = gf ta minh họa rõ ràng phương pháp khử phân kỳ, sử dụng lý thuyết trường lượng tử Trong lý thuyết L int = gf  tồn hai giản đồ gần vòng: Giản đồ tương ứng với phần lượng riêng hạt vơ hướng Hình C.1  Hình C.2 Giản đồ khác ứng với giản đồ đỉnh ba Theo quy tắc đối ứng Feynman giản đồ lượng riêng mơ hình tương ứng với tích phân đơn giản sau đây: I (k ) : i p2 ò dp é ù m - p - i e êm - (p - k ) - i e ú êë ú û ( (C.1) ) Tương ứng với giản đồ vịng Feynman với hai đường vơ hướng (xem hình C.1) Biểu thức (C.1) giản đồ lượng riêng hạt vơ hướng Tích phân (C.1) ảnh Fourier tích hai hàm truyền với biến số chập nhau: 47 I  k  : 16 2i  eikx  Dc  x  dx Các tích phân (C.2) chứa hàm kỳ dị suy rộng dạng  ,  1 (trong   x ) Vì vậy, cơng thức (C.2) đại lượng xác định Xét mặt toán học, cần tiến hành định nghĩa lại đại lượng (C.2) Ở có cách giải vấn đề: Phương pháp cắt xung lượng lớn phương pháp dễ hiểu cả, bao gồm việc cắt tích phân có biến đường xung lượng giới hạn  Sau chuyển tích phân theo xung lượng bốn chiều dạng tích phân khơng gian Euclide điều chỉnh biểu diễn dạng tốn học:  dp  i   d p   i  dp4  d p  reg   dp r E 2 2  dp    p    p  2  i  d  p 3dp  p   (C.2) Phương pháp cắt xung lượng lớn áp dụng tốt cho phân kỳ dạng loga Trong trường hợp đơn giản dẫn đến kết tương tự phương pháp khử phân kỳ Pauli – Villars Bây áp dụng phương pháp cho biểu thức (C.1): I  k   reg  I  k   i   m  p  i   dp   p  i  m   p  k   i     1     2 2  m   p  k   i  m  p  i   p  i i dp   2  m (C.3) Thực phép biến đổi tích phân tương tự làm phương pháp điều chỉnh Pauli – Villar, sau cho   , thu được: reg  I  k     m2  x 1  x  k 2 dx ln  2  2  m  xm  1  x    x 1  x  k  (C.4) Biến đổi biểu thức dấu tích phân (C.4):    m2  x1 x k   xm2 1 x   x1 x k  m2  x1 x k  ln   ln   l n 2  xm2 1 x   x1 x k              48 Khi   thì: 2  và:   m2  xm2  1  x    x 1  x  k  dx ln   2   0 1 1 x      2   dx ln   dx ln  ln 1  x    ln   dx ln 1  x  2     0 Chú ý rằng:  dx ln 1  x   1 Kết cuối cùng, biểu thức (C.4) trở thành: reg  I  k    ln Với phần hữu hạn: 2  I definite  k  m2 (C.5)  m2  x 1  x  k  I definite  k   1   dx ln  2   So sánh kết thu từ ba phương pháp khử phân kỳ khác trên, thấy phần phân kỳ tách thành phần kì dị phần hữu hạn: I  k   I anomalous  I definite Phần kì dị phương pháp Pauli – Villars ln chỉnh thứ nguyên  2 M2 , phương pháp điều , phương pháp cắt xung lượng lớn  ln 49 2 m2  ln m2 2