Phương pháp chỉnh thứ nguyên và ứng dụng

L ỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn giúp đỡ nhiệt tình thầy ban chủ nhiệm khoa Vật Lí – Trường ĐHSP Hà Nội Đặc biệt Th.S Hà Thanh Hùng hướng dẫn, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành tốt khóa luận tốt nghiệp Lần làm quen với việc nghiên cứu đề tài khoa học nên không tránh khỏi sai sót, hạn chế, kính mong bảo, góp ý thầy giáo để khóa luận hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên thực Phạm Thị Huế LỜI CAM ĐOAN Tên là: Phạm Thị Huế Sinh viên: Lớp K34 – D Lý – Trường ĐHSP Hà Nội Với đề tài khẳng định riêng tôi, không trùng với đề tài Trong đề tài vấn đề đưa bàn luận, nghiên cứu phương pháp chỉnh thứ nguyên ứng dụng chỉnh thứ nguyên vật lý Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên thực Phạm Thị Huế MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu .2 Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận NỘI DUNG Chương 1: Kỳ dị lý thuyết trường 1.1 Trong lý thuyết cổ điển 1.2 Trong lý thuyết hàm suy rộng 1.3 Phương pháp chỉnh Pauli – Villars 1.4 Thứ nguyên tắc 11 Chương 2: Phương pháp chỉnh thứ nguyên 13 2.1 Quy tắc Feynman 13 2.2 Tham số hóa Feynman 15 2.3 Tính tích phân theo xung lượng 17 2.4 Thác triển giải tích 0 24 Chương 3: Ứng dụng phương pháp chỉnh thứ nguyên 26 KẾT LUẬN 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 PHỤ LỤC 31 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý học môn khoa học nghiên cứu quy luật từ đơn giản đến tổng quát tự nhiên Vật lý học nghiên cứu cấu trúc vật chất thông qua hệ thống định luật, định lý Như ta biết, vật lý bắt nguồn từ việc đo đạc đại lượng vật lý sống như: chiều dài, khối lượng, thời gian tính tốn dựa đại lượng Khi làm biểu thức, muốn biết xem tính tốn đại lượng người ta thường nghĩ đến thứ nguyên Vậy dùng thứ nguyên để xây dựng đón nhận cơng thức vật lý Thứ ngun phương pháp mạnh nhiều nhà vật lý đại phát triển, kể đến Einstein, Plank, Fermi Tuy nhiên đời phương pháp thứ nguyên song hành với đời phép đo vật lý nghĩa từ thời Galileo Newtơn có phương pháp cho ta kiểm nghiệm lại tính đắn kết vật lý đồng thời tìm mối liên hệ đại lượng tham số vật lý kết đo mà không sử dụng đại lượng vật lý Do tài liệu khóa luận điều gây khó khăn cho bạn sinh viên tơi chọn đề tài: “Phƣơng pháp chỉnh thứ ngun ứng dụng” để tìm hiểu kỹ thứ nguyên đại lượng vật lý ứng dụng thứ nguyên vào tập Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu nghiên cứu tham số vật lý cách tính thứ ngun tắc khơng gian d chiều Áp dụng thứ nguyên đại lượng vật lý để dẫn ta đến: “Phương pháp chỉnh thứ nguyên” → Các bước phương pháp chỉnh thứ nguyên ứng dụng vào thực tế để tính tốn số Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Phương pháp chỉnh thứ nguyên ứng dụng Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu chỉnh thứ nguyên qua cách tính thứ ngun tắc khơng gian d chiều Phƣơng pháp nghiên cứu - Đọc tra cứu tài liệu - Phương pháp lý thuyết trường - Phương pháp lý thuyết hạt - Các phương pháp khác tài liệu dùng vật lý lý thuyết Cấu trúc khóa luận Chương 1: Kỳ dị lý thuyết trường 1 Trong lý thuyết cổ điển 1.2 Trong lý thuyết hàm suy rộng 1.3 Phương pháp chỉnh Pauli - Vallars 1.4 Thứ nguyên tắc Chương 2: Phương pháp chỉnh thứ nguyên 2.1 Quy tắc Feynman 2.2 Tham số hóa Feynman 2.3 Tính tích phân theo xung lượng 2.4 Thác triển giải tích ε→0 Chương 3: Ứng dụng phương pháp chỉnh thứ nguyên Chƣơng KỲ DỊ TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG 1.1 Trong lý thuyết cổ điển Khái niệm hạt điểm dẫn đến đại lượng phân kì khối lượng riêng m  Hiện chưa có cơng cụ tốn học thích hợp v cho hạt có kích thước cố gắng theo hướng không mang lại kết Vì ta phải chấp nhận kỳ dị vật lý hạt Nhớ lại hàm truyền (nhân quả) xác định qua T – tích hai toán tử trường: D (x y) i 0 / T ((x)( y)) /  c Khi xo  ta phải tiền định nghĩa T – tích Sự khơng xác định T – o y tích “đồng thời gian” dẫn đến kỳ dị hàm Green hàm truyền Ta có mối quan hệ Dc với D D: D (x) (x )D (x)   (x )D (x) c  o o  Q trình sinh hạt vơ hướng x hủy hạt y mô tả hàm:  * ( y)(x) 0 |  ( y) (x) | iD ( y x)      D (x y) 1 i Các hàm truyền trường Spinor, vector, biểu diễn qua hàm truyền trường vô hướng sau: c (x) S(i    Dc (x) m)   Dc (x) (g c )D nl  nl (x) m x n x l Hàm Green nhân c D (1.1.1) thỏa mãn phương trình sau đây: D (x) (x) c (i  m)S c (x) (x) (m2 )D c (x) (g  2 (1.1.2) )( x) nl m2 xnxl nl Dạng tường minh hàm D (x) sau:  D (x)  (i2 )3 i  D (x)  e e (2) (k m2 )(k o )d 4k ikx ikx  (k o  ) (k )d k m (1.1.3) Lấy tích phân vế (1.1.3):  D (x)  (xo i im ln m | |2 )()  2  4  8 m  (x )(x) 0( | | ln | |) 16 im m |  |2 1 m ln c ()   D (x)   ( )  4  i4 16  8 2 Trong đó: 0( | |  ln | |) (1.1.4) x2 (xo ) (x) Từ (1.1.4) ta thấy hàm Green D (x) hàm truyền phân kỳ nón ánh sáng x 0 Trong biểu thức hàm Green ta thấy có hai loại phân kỳ: + Phân kỳ nguy hiểm kiểu  ( )  + Phân kỳ nhẹ nhàng kiểu  ( ) 1.2 Trong lý thuyết hàm suy rộng Điều đáng ý phép nhân phân kỳ “chồng chất” không xác định Ví dụ: Ta biết x (x) ; x ln(x) hàm phân kỳ không  (x) xác định Nhưng tích hai ln x (x).l khơng xác nx định Đây trường hợp phân kỳ chồng chất, phân kỳ khơng chồng chất (x 3) ln x tích chúng xác định tốt Suy ra: Tích phân kỳ chồng chất không xác định Muốn xác định tích ta phải tiền xác định, nghĩa ta phải đưa cách biểu diễn chúng, hay nói cách khác “chỉnh” chúng Trong lý thuyết trường, tính tích phân Feyman ta ln làm việc với tích hàm truyền với phân kỳ chồng chất nón ánh sáng (  ) Do ta phải có phép chỉnh *Nhận xét: Kỳ dị nguy hiểm   (x) với hệ số không phụ thuộc vào khối lượng, kỳ dị dạng ln và có hệ số tỉ lệ với m2  ( ) 1.3 Phƣơng pháp chỉnh Pauli – Villars 1.3.1 Phƣơng pháp chỉnh Pauli – Villars Phương pháp chỉnh phải thỏa mãn điều điện: phần hữu hạn không phụ thuộc vào giới hạn , M 0 Phương pháp cắt phải chọn cho bất biến Lorentz bảo toàn vấn đề đối xứng khác + Thay hàm truyền m(x) hàm truyền chỉnh: n reg m(x)m(x)  Cimi (x) Trong hệ số ci (1.3.5) i1 thỏa mãn điều kiện sau: n (1.3.6) c i 0 i1 2 m  (1.3.7) n cM  i i i 0 2n 2 n m2n2   cM i i i  (1.3.8) C  (T ) Với CR : +N R=A biểu diễn qui N 1 + R=F biểu diễn sở 2N  crd R dc (T a ) (T b ) R cd R R R bd T aT b T  Với TR = + N R=A biểu diễn quy + R=F biểu diễn sở Trong QCD ta có: g 11 1  dg   N  ( )N    q  dt 3 2  Nq số quark, N=3 g Do vậy: (g)  (4 ) Trong (11 N ) Nq số fermion vì: ' g (g,t) g  (4 t ) q  N ), 11N ( 3 q '2 g (g,t)   (11N  N ), g q t 3 (4  ) dg'2  11N (  N )dt, g (4 ) 3 q 1  g 11N  (4 ) '2 ( N t c ) q (2.3.33) Do từ (2.3.31) ta có: Γ (ε) = = 1 (1 )    0() Tiếp tục áp dụng (2.3.32) ta có: Γ (-1 +ε) = 1 ()   1 = (1    )  0( )     1  = 1 0()      tương tự: Γ (-2 + ε ) = 1 (1 )   (1) 1  =    (1  ) 0()   trường hợp tổng quát: 1 1 n (n (1      )  0() (2.3.34) (1)   n!   n  Suy công thức (2.3.26) chứng minh Một số công thức cần thiết khác: d d p (2) d (2n 1) p 2 ( p M 0 ) d d p (2 ) p d p  d (2 ) p d  ( 1) i d  d (  1) (4) 2 ( p M d (2.3.35) )  p  M 2 d /2 (   1 ) () I (M ) d M (2.3.36)  ( p M ) ( 1   g  d ) (2.3.37) Sử dụng (2.3.17) (2.3.37) ta thu được:  2die2  ( dx m x(1 (q)  d  x)q  (4 )  d 2) ( d ) 2  x(1  x) (q g (2.3.38)  qq) Trong trường hợp: d   (2.3.39) Các hàm Γ định nghĩa sau:    dt t e t z1 (Rez > 0) (z 1)  (n 1) z(z), n!  (2 d ) (1 ( z)(1 sin( , d d z)  z)  )(1  )2 2  dxx 1 ( )()  (1 x)  () 2.4 Thác triển giải tích ε → Bây ta cho ε → 0, biểu diễn hàm Γ là: ()    0()  (2.4.40) γ số Euler – Mascheroni γ = 0.5772 Như ta có biểu thức: 2die 1  2g (q  =  q ln(4 ) 6(4  )  q )   (q)     (2.4.41) = 6 dxx(1 x) ln m x(1 x)q 0() Để thu công thức (2.4.41) ta sử dụng  x x 1ln x  ln e 0() x , Như tích phân có hai phần: phần phân kỳ ϵ → phần thứ hai hữu hạn div  (q)  ie (2 q g  12  q q    fin  (q) =  12  ie (q2 g )  q q  1 ln(4)       )(ln     2 6 dxx(1 x) ln m x(1 x)q ) 0() (2.4.42) Do    luôn nên người ta thường gộp ln(4 ) chúng lại ký hiệu là: CUV    ln(4) Đây phân kỳ tử ngoại vùng xung lượng lớn viết lý thuyết trường + Nhận xét: Phương pháp chỉnh thứ nguyên có nhiều ưu điểm so với phương pháp khác tính đơn giản bảo tồn bất biến Lorentz, bất biến chuẩn, Nó áp dụng cho phân kỳ tử ngoại lẫn phân kỳ hồng ngoại Nhưng có số hạn chế sau đây: ma trận  xác định tốt không gian Do vậy, làm việc không gian d chiều khó để làm phương pháp Trong biểu thức tường minh ta thấy bậc phân kỳ tích   phân Feynman thể bậc xung lượng khối lượng hệ số đó p    Chƣơng ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG PHÁP CHỈNH THỨ NGUYÊN Sau áp dụng phương pháp chỉnh thứ ngun để tính bổ đính vòng cho hàm truyền trường vô hướng Theo quy tắc Feynman Ta có: g d k p  i  ie2 p k  2 m2  ie p k p k 2   i i  k2   d k 2 p k 2 e2  24 p k 2 m2 k Dùng phương pháp chỉnh thứ nguyên ta tính (3.1) ip từ không gian chiều sang không gian d chiều với d 2  Chuyển đưa vào tham số khối lượng µ ip  e  2  dk  (3.2) 2 p d  d  k 2  2  p k 2  Tham số hóa Feynman      k 2 p k  m k m  2          2   p k   x k m x (3.3) 1  2 k px2  p 2  m2 x p x x   Đặt q k  px , M p x m x p x 2 2 Khi đó: d dx  i1 p  e d q 2 p q px2 2 d 2 q M 2 (3.4) 2 Sử dụng cơng thức tính tích phân khơng gian d chiều Tính tích phân theo xung lượng: d d q  2d q d d q 1   i  d M  q  4d 2  2   d 2  M  2d q d d q M q 0    1 1 id  d 1       2d q 4d 2 M  M d 21 (3.5)  Ta có:    2   i p  e  d  p dx px     M   i  2    2    1d  d   2  2 M 24    2 i  1   e  2  2p dx  px  4    M  2 4      Thác triển theo 0 Ta có: M   dx 2 p px     4.M 2  ie 22 2    4 M  M 162     2d  2 1d1d 1      i  2 1      2 G ) (;e)(m 4p M - ÷ é1+ e (lnm2 ỉ g e 4p çç ÷ ê ç èe ÷ø ë  ln2  ln4  lnM )ù ûú lnM  Cuv ln  lnM æ - - ; ö ÷é ù 2 + g 1÷1+ e (ln4pm lnM ) ỷ -ữứ ố ỗỗ ởờ ỳ e (2 e)G(e 1)(4pm2 M - 2e ) (2 e)ỗ - (3.6)  2ln42 lnM 1 2   1  2Cuv 2ln2  lnM 1 (3.7) Do i p    dx p 2C x2 ie1    16 0 ln ln M dx p x m x  uv 2 2ln lnM  1  2 u p x2C 2 2 2 2 p 3m p 3m ie p 3m  ln2  C16 3 uv  dx  p  x2  lnM 2 (3.8) Dùng phương pháp chỉnh thứ nguyên ta thu kết (3.8) cho bổ đính vòng cho hàm truyền trường vô hướng KẾT LUẬN Trong đề tài sâu vào nghiên cứu thứ nguyên vật lý: thứ nguyên lý thuyết trường, tham số hóa Feyman, tính tích phân theo xung lượng, thác triển giải tích ε → ứng dụng chỉnh thứ nguyên Tuy nhiên phương pháp chinh thứ nguyên có nhiều ưu điểm so với phương pháp khác tính đơn giản tính bảo tồn bất biến Lorentz, bất biến chuẩn,vv Nó áp dụng cho phân kỳ tử ngoại lẫn phân kỳ hồng ngoại Nhưng có số hạn chế: ma trận xác định tốt không gian 5 chiều Do vậy, làm việc không gian d chiều ta phải cẩn thận gặp khó khăn số trường hợp Đã có nhiều thảo luận vấn đề 5 chỉnh thứ nguyên Nhưng người ta dùng thứ nguyên trường hợp 5 (trường hợp có spinor xoắn trái phải) Từ biểu thức tường minh   ta có kết luận sau: bậc ( p) phân kỳ tích Feyman thể bậc xung lượng khối lượng hệ số Trong p  p    ( p) Từ biểu thức tường minh I(M ) ta thấy I1(0) 0 Như chỉnh thứ nguyên với hạt bên khơng khối lượng cho đóng góp khơng Bằng lý thuyết nhiễu loạn, ta khai triển bậc cao tùy nhu cầu Như ta phải làm việc với phân kỳ Một yêu cầu quan trọng phép khai triển phải có ý nghĩa hay nói cách khác phải có tính hội tụ u cầu đòi hỏi: ta khai triển bậc cao ta gặp số hữu hạn loại phân kỳ phân kỳ logarit, phân kỳ tuyến tính TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Ngọc Long, Cơ sở Vật Lý hạt bản, Viện khoa học Công nghệ Nhà xuất thống kê Hà Nội 2006 [2] P V Dong, L T Hue, H T Hung, H N Long and N H Thao, Symmetry factor of Feynman diagrams of scalar fields, TMPh (15001511), (2010) [3] L T Hue, H T Hung and H N Long, General symmetry factor of Feynman diagrams, ReMPh, 2012 [4] H T Hung, Tái chuẩn hóa điện động lực học vơ hướng bậc vòng, 2009 [5] Citzykson and J, B, Zuber, Quantum Field Theory, Mc Graw-Hill, New York, 1980 [6] T.D.Ler, Particle Physics and Introduction to Feiild Theory, Harwood Academic Publishers (1988) [7] K Huang Quarks, Leptons Gauge Fields, world scientific, 1982 [8] T P Cheng and L F Li, Gauge theory of elementary particle physics, clarendon press, 1984 PHỤ LỤC Các tích phân sử dụng khơng gian d chiều d d q  1   i  d 2 q M d  4d 2  2  d  d q q 2  q  d d d q    2 q M d    0   1 1 id  d  M d  M q 2   4d 2 1  1   M d 21 ... Các bước phương pháp chỉnh thứ nguyên ứng dụng vào thực tế để tính tốn số Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Phương pháp chỉnh thứ nguyên ứng dụng Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu chỉnh thứ nguyên. .. sử dụng đại lượng vật lý Do tài liệu khóa luận điều gây khó khăn cho bạn sinh viên chọn đề tài: “Phƣơng pháp chỉnh thứ nguyên ứng dụng để tìm hiểu kỹ thứ nguyên đại lượng vật lý ứng dụng thứ nguyên. .. tắc Trong phương pháp chỉnh thứ nguyên d 4x  d dx ta cần thứ nguyên tham số vật lý Cách tính thứ nguyên tắc không gian d chiều sau: Ta biết d chiều, để tác dụng S số Lagrangian có thứ ngun d