Phương pháp chỉnh thứ nguyên và ứng dụng

LI CM N Tụi xin chõn thnh cm n s giỳp nhit tỡnh ca cỏc thy cụ ban ch nhim khoa Vt Lớ Trng HSP H Ni c bit l Th.S H Thanh Hựng ó hng dn, giỳp v to mi iu kin thun li cho tụi hon thnh tt khúa lun tt nghip ny Ln u tiờn lm quen vi vic nghiờn cu ti khoa hc nờn cng khụng trỏnh nhng sai sút, hn ch, kớnh mong c s ch bo, gúp ý ca thy cụ giỏo khúa lun ny c hon thin hn Tụi xin chõn thnh cm n! H Ni, thỏng nm 2012 Sinh viờn thc hin Phm Th Hu LI CAM OAN Tờn tụi l: Phm Th Hu Sinh viờn: Lp K34 D Lý Trng HSP H Ni Vi ti ny tụi khng nh l ca riờng tụi, khụng trựng vi bt c ti no Trong ti ny nhng tụi a l bn lun, nghiờn cu v phng phỏp chnh th nguyờn v ng dng ca chnh th nguyờn vt lý H Ni, thỏng nm 2012 Sinh viờn thc hin Phm Th Hu MC LC Trang Li cm n Li cam oan Mc lc M U 1 Lý chn ti Mc ớch nghiờn cu i tng v phm vi nghiờn cu Nhim v nghiờn cu Phng phỏp nghiờn cu Cu trỳc khúa lun NI DUNG Chng 1: K d lý thuyt trng 1.1 Trong lý thuyt c in 1.2 Trong lý thuyt hm suy rng 1.3 Phng phỏp chnh Pauli Villars 1.4 Th nguyờn chớnh tc 11 Chng 2: Phng phỏp chnh th nguyờn 13 2.1 Quy tc Feynman 13 2.2 Tham s húa Feynman 15 2.3 Tớnh tớch phõn theo xung lng 17 2.4 Thỏc trin gii tớch 24 Chng 3: ng dng ca phng phỏp chnh th nguyờn 26 KT LUN 29 TI LIU THAM KHO 30 PH LC 31 M U Lý chn ti Vt lý hc l mt nhng mụn khoa hc nghiờn cu cỏc quy lut t n gin n tng quỏt ca t nhiờn Vt lý hc nghiờn cu cu trỳc ca vt cht thụng qua h thng cỏc nh lut, nh lý Nh ta ó bit, vt lý bt ngun t vic o c cỏc i lng vt lý cuc sng nh: chiu di, lng, thi gian ri tớnh toỏn da trờn cỏc i lng ú Khi lm cỏc biu thc, v mun bit xem ú l tớnh toỏn v i lng no ngi ta thng ngh n th nguyờn Vy dựng th nguyờn xõy dng v ún nhn cỏc cụng thc vt lý ú Th nguyờn l mt phng phỏp mnh c nhiu nh vt lý hin i phỏt trin, cú th k n Einstein, Plank, Fermi Tuy nhiờn s i ca phng phỏp th nguyờn cng song hnh vi s i ca phộp o vt lý ngha l t thi Galileo v Newtn cng ó cú v phng phỏp ny cho ta kim nghim li tớnh ỳng n ca kt qu vt lý ng thi tỡm c mi liờn h gia cỏc i lng tham s vt lý kt qu o m khụng s dng bt k mt i lng vt lý no Do ti liu v khúa lun ny l rt ớt iu ny ó gõy khú khn cho cỏc bn sinh viờn vỡ vy tụi chn ti: Phng phỏp chnh th nguyờn v ng dng cú th tỡm hiu k hn v th nguyờn ca cỏc i lng vt lý v ng dng ca th nguyờn vo cỏc bi Mc ớch nghiờn cu Mc ớch nghiờn cu l nghiờn cu v cỏc tham s vt lý v cỏch tớnh th nguyờn chớnh tc khụng gian d chiu p dng th nguyờn ca cỏc i lng vt lý dn ta n: Phng phỏp chnh th nguyờn Cỏc bc chớnh ca phng phỏp chnh th nguyờn v ng dng nú vo thc t tớnh toỏn cỏc hng s c bn i tng v phm vi nghiờn cu - Phng phỏp chnh th nguyờn v ng dng Nhim v nghiờn cu - Nghiờn cu v chnh th nguyờn qua cỏch tớnh th nguyờn chớnh tc khụng gian d chiu Phng phỏp nghiờn cu - c v tra cu ti liu - Phng phỏp lý thuyt trng - Phng phỏp lý thuyt ht c bn - Cỏc phng phỏp khỏc v ti liu dựng vt lý lý thuyt Cu trỳc khúa lun Chng 1: K d lý thuyt trng 1 Trong lý thuyt c in 1.2 Trong lý thuyt hm suy rng 1.3 Phng phỏp chnh Pauli - Vallars 1.4 Th nguyờn chớnh tc Chng 2: Phng phỏp chnh th nguyờn 2.1 Quy tc Feynman 2.2 Tham s húa Feynman 2.3 Tớnh tớch phõn theo xung lng 2.4 Thỏc trin gii tớch Chng 3: ng dng ca phng phỏp chnh th nguyờn Chng K D TRONG Lí THUYT TRNG 1.1 Trong lý thuyt c in Khỏi nim ht im cng dn n nhng i lng phõn kỡ nh lng riờng m Hin chỳng ta cha cú cụng c toỏn hc thớch hp v cho cỏc ht cú kớch thc v nhng c gng theo hng ny u khụng mang li kt qu Vỡ vy ta phi chp nhn k d vt lý ht c bn Nh li rng hm truyn (nhõn qu) c xỏc nh qua T tớch ca hai toỏn t trng: Dc ( x y) i / T ( ( x) ( y)) / Khi xo y o ta phi tin nh ngha T tớch S khụng xỏc nh ca T tớch ng thi gian dn n nhng k d hm Green v hm truyn Ta cú mi quan h gia D c vi D v D : Dc ( x) ( xo ) D ( x) ( xo ) D ( x) Quỏ trỡnh sinh ht vụ hng x v hy ht y c mụ t bi hm: i 1* ( y )1 ( x) | ( y ) ( x) | iD ( y x) D ( x y ) Cỏc hm truyn ca cỏc trng Spinor, vector, c biu din qua hm truyn ca trng vụ hng nh sau: c S ( x) (i m) D c ( x) Dnlc ( x) ( g nl ) D c ( x) n l m x x Hm Green nhõn qu D c tha phng trỡnh sau õy: Dc ( x) ( x) (i m) S c ( x) ( x) (1.1.1) ( m ) D ( x) ( g nl n l ) ( x) m x x c nl (1.1.2) Dng tng minh ca cỏc hm D ( x) nh sau: D ( x) D ( x) eikx (k m ) (k o )d 4k (i ) i (2 ) e (k m ) (k o )d 4k ikx (1.1.3) Ly tớch phõn v (1.1.3): i im ln m | | D ( x) ( x o ) ( ) 4 m2 ( x0 ) ( x) 0( | | ln | |) 16 D c ( x) 1 m im m| | ( ) ( ) ln i 16 2 0( | | ln | |) Trong ú: (1.1.4) x ( x o ) ( x) T (1.1.4) ta thy hm Green D ( x) v hm truyn u phõn k trờn nún ỏnh sỏng ti x Trong biu thc ca hm Green ta thy cú hai loi phõn k: + Phõn k nguy him kiu ( ) v + Phõn k nh nhng kiu ( ) 1.2 Trong lý thuyt hm suy rng iu ỏng chỳ ý nht l cỏc phộp nhõn phõn k chng cht l khụng c xỏc nh Vớ d: Ta bit x ( x) ; x ln( x) c xỏc nh Nhng tớch ca hai hm phõn k ti khụng nh ( x ) v ln x l ( x).ln x thỡ khụng c xỏc nh õy l trng hp phõn k chng cht, phõn k khụng chng cht nh ( x 3)ln x thỡ tớch ca chỳng c xỏc nh tt Suy ra: Tớch ca cỏc phõn k chng cht l khụng c xỏc nh Mun xỏc nh cỏc tớch ny ta phi tin xỏc nh, ngha l ta phi a cỏch biu din chỳng, hay núi cỏch khỏc l chnh chỳng Trong lý thuyt trng, tớnh tớch phõn Feyman ta luụn lm vic vi tớch ca cỏc hm truyn vi phõn k chng cht trờn nún ỏnh sỏng ( ) Do vy ta phi cú phộp chnh *Nhn xột: K d nguy him v ( x ) luụn i vi h s khụng ph thuc vo lng, cũn k d dng ln v ( ) cú h s t l vi m 1.3 Phng phỏp chnh Pauli Villars 1.3.1 Phng phỏp chnh Pauli Villars Phng phỏp chnh phi tha iu in: phn hu hn khụng ph thuc vo gii hn , M Phng phỏp ct phi chn cho bt bin Lorentz bo ton v cỏc i xng khỏc + Thay hm truyn m( x) bng hm truyn ó chnh: n reg m( x) m( x) Ci mi ( x) (1.3.5) i Trong ú cỏc h s ci tha cỏc iu kin sau: n ci (1.3.6) i n m ci M i2 (1.3.7) i n m2 n2 ci M i2 n2 i (1.3.8) iu kin (1.3.6) lm trit tiờu cỏc k d nguy him Cỏc iu kin cũn li (1.3.7), (1.3.8) thỡ lm trit tiờu cỏc phõn k khụng nguy him i cựng lng m + Trong kt qu cui cựng cho M i Hm reg m( x) liờn tc khỏc vi m(x) ch vựng cc nh quanh nún ỏnh sỏng Khi M i thỡ khụng cũn s khỏc gia reg m( x) v m( x) Nờn chnh Pauli- Villars l lm tng bc xung lc mu s 1.3.2 Mt vi vớ d Ta tớnh tớch phõn phõn k s dng phng phỏp chnh Pauli Villars 1.3.2.1.Vớ d 1: Ta xột lý thuyt vụ hng thc vi Lagrangian sau õy m2 g Ls 2 4! (1.3.9) B ớnh mt vũng vo hm truyn ca trng vụ hng c mụ t bi gin Feynman hỡnh 1.1 k p p Hỡnh 1.1: B ớnh mt vũng vo hm truyn lý thuyt Biu thc tng ng l d 4k i ( p) ig (2 )4 (k m2 i ) (1.3.10) ú l h s i xng ca gin Ta thy phõn k bc hai k Nu dựng phng phỏp chnh Pauli Villars ta phi dựng hai lng ph cú hm truyn t l vi k6 1 a a 2 2 (1.3.11) 2 k m k m k M1 k M k iu kin (1.3.11) cho ta t ta t s t l vi 0(1) C th (k M12 )(k M 22 ) a1 (k m2 )(k M 22 ) a2 (k m2 )(k M12 ) = k k (M12 M 22 ) M12 M 22 a1[k k (m2 M 22 ) m2M 22 ] + a2[k k (m2 M12 ) m2 M12 ] 0(1) (1.3.12) T õy ta cú hai iu kin: + S hng t l vi k trit tiờu a1 a2 = (1.3.13) + S hng t l vi k trit tiờu (M12 M 22 ) a1 (m2 M 22 ) a2 (m2 M12 ) = (1.3.14) T hai iu kin (1.3.13) v (1.3.14) trờn ta thu c a2 M 12 m2 M 22 M 12 M 22 m2 a1 a2 M M 22 (1.3.15) Vi a1 , a2 cho bi (1.3.15) ta thy hm truyn ó chnh cú dng M12 M 22 m2 (a1M 22 a2 M 12 ) k m2 (k m2 )(k M 12 )(k M 22 ) (1.3.16) Khi M1 v M u tin ti rt ln ta cú: g d 4k ( p) (2 )4 (k m2 )(k )2 (1.3.17) 2.3 Tớnh tớch phõn theo xung lng Ta s s dng kớ hiu sau: I ( M ) d d p (1) d 2 (2 ) ( p M ) d ( ) 2 i (4 ) (M ) d d ( ) (2.3.17) ( ) 2.3.1 Tớnh tớch phõn khụng gian d chiu Chỳng ta lm vic khụng gian Minkowski d chiu, gm mt chiu thi gian v (d 1) chiu khụng gian Chỳng ta quan tõm n tớch phõn dng I d (q) dd p ( p pq m2 ) ú: p ( p0 , r ) Xột h ta cc: ( ( p0 , r, ,1,2 , ,d ) ta cú: d d p = dp0r d 2drd sin1d1 sin 2d2 sin d d 3dd d = dp0 r d drd sin k k d k k ú: p0 ,0 r ,0 ,0 i Khi ú: I d (q) dp0 r d 1d sin k k d k ( p pq m2 ) dr S dng cụng thc: (sin ) n (cos ) m1 d t m 1 , lu ý rng ( ) thỡ: 2 k ) k (sin ) d k ( ) ( 17 (n)(m) ( n m) (2.3.18) Do ú: ( d 1) r d dr I d (q ) dp0 p r pq m2 d ( ) Tớch phõn ny bt bin i vi phộp bin i Lorent nờn ta s tớnh nú h qui chiu q (m,0) Khi ú p.q 2mp0 Thc hin phộp bin i bin s: p, p q Dn ti p0' q p02 2mp0 Ta cú: ( d 1) r d dr ' I d (q) dp0 p0'2 r (q m2 ) (2.3.19) d ( ) Hm beta Euler c nh ngha nh sau: ( x ) ( y ) B ( x, y ) dtt x1 (1 t ) x y (ỳng vi Rex >0, Rey