ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 20, NO 3, 2022 79 XÁC ĐỊNH CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA HÌNH CHIẾU GIAO TUYẾN LÊN MẶT PHẲNG CHỨA HAI TRỤC SONG SONG CỦA HAI MẶT BẬC HAI TRÒN XOAY DETERMINE THE CHARACTERISTICS OF THE INTERSECTING PROJECTION ONTO THE PLANE CONTAINING TWO PARALLEL AXES OF TWO REVOLUTION SURFACES OF SECOND-ORDER Nguyễn Độ, Nguyễn Công Hành*, Vũ Thị Hạnh Trường Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng1 *Tác giả liên hệ: nchanh@dut.udn.vn (Nhận bài: 06/10/2021; Chấp nhận đăng: 01/12/2021) Tóm tắt - Khi biểu diễn vật thể, thường gặp toán vẽ giao tuyến mặt bậc hai tròn xoay Chúng ta biết rằng, hai mặt bậc hai tròn xoay giao theo đường cong ghềnh bậc bốn Nếu hai mặt bậc hai trịn xoay có trục song song hai mặt mặt cầu hình chiếu giao tuyến lên mặt phẳng chứa hai trục chúng đường cong parabol Cho đến nay, chưa có tài liệu hay nghiên cứu xác định đặc trưng parabol hình chiếu giao tuyến mà sử dụng mặt phụ trợ để xác định điểm thuộc giao Bài báo trình bày phương pháp xác định xác đặc trưng parabol hình chiếu giao tuyến bao gồm: Đỉnh, trục đối xứng, tiêu điểm đường chuẩn Từ kết này, parabol hồn tồn xác định, có nghĩa parabol vẽ nhanh chóng mà khơng cần dùng mặt phụ trợ chí vẽ điểm ảo thuộc parabol giao tuyến Abstract - When representing objects, frequently encounter problems constructing the intersection of two revolution surfaces of secondorder Two revolution surfaces of second-order intersect in a quaternary rapids curve If two revolution surfaces of second–order have parallel axes or one of them is a sphere, the projection of the intersection onto the plane containing their two axes is a parabolic curve However, there has not been any research on determining the characteristics of the projection parabola of the intersection, but only use auxiliary surfaces to regulate the points on the intersection The paper presents the method to accurately ascertain the characteristics of the projection parabola of the intersection including vertex, symmetric, focus and directrix From this result, the parabola is completely defined, it can be drawn quickly without using auxiliary surfaces and even possible to determine imaginary points on the intersection parabola Từ khóa - Đỉnh; trục đối xứng; tiêu điểm; đường chuẩn; giao tuyến mặt bậc hai tròn xoay Key words - Vertex; axis of symmetry; focus; directrix; intersection of the revolution surfaces of second–order Đặt vấn đề Hiện nay, công nghiệp rèn dập vỏ, công nghiệp sản xuất hệ thống lò cỡ vừa lớn, hệ thống đường ống dẫn dầu khí, hệ thống vỏ tàu thủy cần vẽ xác giao tuyến mặt bậc hai tròn xoay để khai triển mặt Khi biểu diễn vật thể vẽ kỹ thuật, thường gặp tốn dựng hình chiếu giao tuyến mặt bậc hai tròn xoay, khối bậc hai tròn xoay Ta biết rằng, hai mặt bậc hai tròn xoay giao theo đường cong ghềnh bậc bốn, hình chiếu giao tuyến lên mặt phẳng đối xứng chung chúng đường cong phẳng bậc hai là: elíp (trịn), parabol hyperbol - Nếu hai mặt bậc hai tròn xoay trục chúng giao theo đường trịn nằm mặt phẳng vng góc trục chung đó, hình chiếu giao tuyến lên mặt phẳng đối xứng chung chúng suy biến thành đọan thẳng vuông góc trục chung; - Nếu hai mặt bậc hai trịn xoay có trục giao hình chiếu giao tuyến lên mặt phẳng đối xứng chung chứa hai trục chúng hyperbol [1]; - Nếu hai mặt bậc hai trịn xoay có trục song song hai mặt mặt cầu hình chiếu giao tuyến lên mặt phẳng đối xứng chung chứa hai trục chúng parabol [2-4] Cho đến nay, có nhiều nghiên cứu trình bày cách xác định giao tuyến mặt bậc hai tròn xoay phương pháp biểu diễn [5], lẫn mơ hình hóa hình học [6] Tuy nhiên, chưa có nghiên cứu xác định đặc trưng parabol giao tuyến mà sử dụng mặt phụ trợ để xác định điểm thuộc giao tuyến hình chiếu vng góc [5] Bài báo tập trung nghiên cứu phương pháp xác định xác đặc trưng parabol hình chiếu giao tuyến lên mặt phẳng đối xứng chung chứa hai trục song song hai mặt bậc hai tròn xoay gồm: Đỉnh, trục, tiêu điểm đường chuẩn parabol Khi xác định đặc trưng parabol hình chiếu giao tuyến có ý nghĩa parabol vẽ nhanh, xác mà khơng cần dùng mặt phụ trợ trình bày giáo trình Hình họa, Vẽ kỹ thuật [1,7-8] Các hình vẽ trình bày báo vẽ xác phần mềm AutoCAD [9-10] Nội dung nghiên cứu 2.1 Giới thiệu kiến thức phương pháp nghiên cứu Xác định đặc trưng parabol hình chiếu giao tuyến cần phải xác định tiếp tuyến với parabol; Để dựng tiếp tuyến với giao tuyến điểm thuộc giao qua điểm ta phải dựng hai mặt phẳng tiếp xúc với hai mặt bậc hai; giao tuyến hai mặt phẳng tiếp xúc đường thẳng tiếp xúc với giao tuyến cần dựng The University of Danang - University of Science and Technology (Nguyen Do, Nguyen Cong Hanh, Vu Thi Hanh) Nguyễn Độ, Nguyễn Công Hành, Vũ Thị Hạnh 80 2.1.1 Parabol a Đặc điểm tính chất parabol M k d H + Gọi K trung điểm HF KM đường cao phân giác góc HMF; P D + KM đường tiếp tuyến với parabol điểm M; + Rõ ràng KAt tiếp tuyến với parabol (Hình 1b) d d M H A D x F D f − Qua F, vẽ đường thẳng x // PQ trục parabol − Lấy Hh: MH=MF (Hình 3b); a) b) Hình Parabol đặc điểm b Xác định đặc trưng parabol biết đỉnh, trục tiếp tuyến điểm thuộc parabol − Vẽ HD ⊥ x dHD đường chuẩn parabol 2.1.2 Vẽ tiếp tuyến elíp điểm thuộc elíp Cho elíp xác định cặp trục AB, CD điểm M thuộc elíp (Hình 4) Qua M, vẽ tiếp tuyến với elíp • Cho parabol xác định đỉnh A, trục đối xứng x tiếp tuyến Mk với parabol M (Hình 2a) (g'2) + Vẽ At tiếp xúc với parabol đỉnh A; k + Gọi K = Mk At; Vẽ Kn ⊥ KM; + Vẽ F = Kn x – F tiêu điểm (Hình 2b) + Vẽ điểm D đối xứng với điểm F qua đỉnh A; + Vẽ d ⊥ x D, d đường chuẩn parabol M x D M C (2) K A t x n a) b) Hình Xác định đặc trưng parabol c Xác định phương trục parabol biết hai tiếp tuyến với parabol hai điểm thuộc parabol • Cho parabol xác định hai tiếp tuyến Mk Nf (Hình 3a) + Xác định phương trục parabol; + Xác định đặc trưng parabol: Đỉnh, trục, tiêu điểm đường chuẩn parabol o Xác định phương trục parabol − Qua M, N vẽ hai đường thẳng Nk’ Mf’; − Vẽ P = Mk Nf Q = Mf’ Nk’ (Hình 3b) − Thì PQ phương trục parabol, [3] o Xác định đặc trưng Parabol − Qua M, N vẽ đường thẳng Mh, Nh’ // PQ; − Vẽ Mn đối xứng với Mh qua tiếp tuyến Mk; − Vẽ Nn’ đối xứng với Nh’qua tiếp tuyến Nf; m2 M2 I2 n2 t A F O F' (g2) B (1) D (g1) F t2 A2 k d M A f' − Vẽ F = Mn Nn’ – F tiêu điểm; F t k x a) b) Hình Xác định phương trục parabol x A Q F A n' f K k' n h' N N M H k M h A1 n1 t1 I1 M1 m1 Hình Vẽ tiếp tuyến với elip Hình Măt hyperboloid điểm thuộc elip trịn xoay tầng + Vẽ hai tiêu điểm elíp: F’, F = (C, R) AB với R = AB/2; + Vẽ Mt phân giác góc ngồi góc FMF’ Mt tiếp tuyến với elíp M [1], [3] 2.1.3 Mặt hyperboloid tròn xoay tầng a Mặt hyperboloid tròn xoay tầng mặt tạo thành đường sinh thẳng m chuyển động quay xung quanh trục t chéo với (Hình 5) Điểm thuộc đường sinh m có khoảng cách ngắn đến trục t vạch đường tròn họng ()⊥t Mặt hyperboloid tròn xoay tầng xác định trục t đường sinh m trục t đường trịn họng () Đường sinh m ln ln tựa vào đường tròn họng () Mặt hyperboloid tròn xoay tầng thường giới hạn hai đường tròn đáy (g) đối xứng qua đường trịn họng () (Hình 5) [4-6], [11-12] b Mặt phẳng tiếp xúc với mặt hyperboloid tầng điểm thuộc mặt Mặt phẳng tiếp xúc với mặt hyperboloid tròn xoay tầng cắt mặt hyperboloid theo hai đường sinh, (Hình 5) - mặt phẳng (m,n) tiếp xúc với mặt hyperboloid tròn xoay tầng điểm M thuộc mặt ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 20, NO 3, 2022 2.2 Các toán xác định đặc trưng parabol hình chiếu giao tuyến • Bài tốn Cho mặt trụ trịn xoay trục t mặt cầu tâm O có mặt phẳng đối xứng chung (O, t) song song mặt phẳng hình chiếu đứng P2 Vẽ hình chiếu đứng giao tuyến xác định đặc trưng giao tuyến o Trường hợp 1: Trục t ⊥ P1 t2 d (2) DI2 f2 M2 T2 K B2 A2 (g2) T'2 k2 h2 S2 O2 F n x o Trường hợp 2: Trục t khơng vng góc P1 Cách xác định điểm T, T’ thuộc giao tuyến đặc trưng parabol hình chiếu đứng giao tuyến hồn tồn tương tự trường hợp (Hình 7); Ta nhận thấy giao tuyến hình chiếu đứng đối xứng qua đường thẳng (2) nên đường thẳng x (2) trục A2 đỉnh parabol hình chiếu đứng; Vì mặt trụ có trục t nghiêng với P1 nên để dựng mặt phẳng tiếp xúc với mặt trụ điểm T thuộc giao thực sau: + Ứng dụng hướng thiết diện Monge, ta xác định đường chuẩn đáy trụ elíp (C) thuộc mặt phẳng chiếu đứng có hình chiếu (C1) đường trịn (Hình 7); Axis M'2 O'2 t2 S1 T1 h1 k1 (g2) T'2 (2) f1 Axis x O2 I2 F L2 A2 n T2 D K M2 d M'2 (1) B1 81 I1t1 (C2) O'1 t1 + Vẽ cầu phụ trợ tâm I (hoặc tâm thuộc t) cắt hai mặt cho theo đường trịn phụ có hình chiếu đứng suy biến thành đoạn thẳng, chúng giao điểm T2, T’2 thuộc parabol hình chiếu đứng giao (Hình 6); + Ta nhận thấy giao tuyến hình chiếu đứng đối xứng qua đường thẳng (2) nên đường thẳng x (2) trục A2 đỉnh parabol; + Để xác định tiêu điểm F parabol, trước tiên ta phải dựng tiếp tuyến với giao tuyến điểm T thuộc giao: − Dựng mp (h,f) tiếp xúc với mặt cầu điểm T; − Dựng mp () ⊥ P1 tiếp xúc với mặt trụ điểm T; − Vẽ TB = mp () mp(h,f) TB tiếp tuyến với giao tuyến điểm T; − Gọi K = B2T2 (g2); − Đường thẳng Kn ⊥B2T2, cắt trục x F tiêu điểm parabol cần xác định (theo (Hình 2b)) + Vẽ D đối xứng F qua A2; đường thẳng d ⊥ x A2 đường chuẩn parabol cần xác định b2 B2 K2 a2 E2 T1 f1 b1 (1) a1 h1 O1 (C1) Hình Giao tuyến mặt cầu mặt trụ tròn xoay + Vẽ OI ⊥ t I; Dựng mặt cầu phụ trợ tâm I nội tiếp mặt trụ theo đường tròn () cắt mặt cầu cho theo đường tròn phụ (g); Vẽ A2 = (2) (g2) điểm giới hạn thuộc parabol hình chiếu đứng giao tuyến; h2 E1 L1 O1 Hai mặt trụ cầu giao theo đường cong ghềnh bậc bốn, chiếu lên mặt phẳng (O, t) // P2 parabol Để vẽ hình chiếu đứng parabol đặc trưng nó: f2 B1 K1 Hình Giao tuyến mặt cầu mặt trụ tròn xoay + Dựng mặt phẳng (TE, a) tiếp xúc mặt trụ theo đường sinh TE, với a đường thẳng tiếp xúc với đường chuẩn (C) chân E đường sinh ST (Hình 7); Dựng mặt phẳng (h, f) tiếp xúc mặt cầu điểm T; Vẽ TB= mp(TE, a)mp(h,f) tiếp tuyn với giao tuyến điểm T; Để xác định tiêu điểm đường chuẩn, ta thực hiện: + Gọi K = B2T2 (g2); + Đường thẳng Kn ⊥B2T2, cắt trục x F tiêu điểm parabol cần xác định − Vẽ D đối xứng F qua A2; đường thẳng d ⊥ x A2 đường chuẩn parabol cần xác định • Bài tốn Cho mặt nón trịn xoay trục t mặt cầu tâm O có mặt phẳng đối xứng chung (O,t) // P2 Vẽ hình chiếu đứng giao tuyến xác định đặc trưng giao tuyến Vì hai mặt cho có mặt phẳng đối xứng chung (O,t) // P2 nên hình chiếu đứng giao tuyến parabol; Ta xét hai trường hợp sau: o Trường hợp 1: Trục t ⊥ P1 + Vẽ OI ⊥ t I; + Dựng mặt cầu phụ trợ tâm I nội tiếp mặt nón theo đường trịn () đồng thời cắt mặt cầu cho theo đường Nguyễn Độ, Nguyễn Công Hành, Vũ Thị Hạnh 82 tròn phụ (g); vẽ A2 = (2) (g2) điểm giới hạn thuộc parabol hình chiếu đứng giao (Hình 8) (2) T2 D A2 P (g2) E2 G2 B2 nF I2 n' m' O2 Q T'2 m t1S1 G1 O1 T1 B1 m1 E1 F '1 R2 O2 n A2 K Axis I2 T2 f'1 f2 M2 S2 (C2) a2 E2 (2) a2 E1 a1 k'1 S1 B1 R1 h1 (C1) a'1 f1 S1 t1 B2 h2 f1 T1 h'1 B'1 D (g2) F '2 E '1 T '1 (2) h'2 B'2 F d h2 x Axis M'2 f'2 E'2 t2 T'2 t2 M2 x M'2 f2 S2 d S2 Hình Giao tuyến mặt cầu mặt nón trịn xoay Để xác định tiêu điểm parabol, ta tiến hành: a1 h1 Hình Giao tuyến mặt cầu mặt nón trịn xoay + Tương tự, dựng mặt cầu phụ trợ có tâm I (hoặc tâm thuộc t), cắt hai mặt cho theo hai đường tròn phụ, chúng giao điểm T, T’ thuộc giao Để xác định đặc trưng parabol hình chiếu đứng giao tuyến, trước tiên ta phải xác định phương trục parabol cách vẽ hai tiếp tuyến với giao tuyến T T’: + Tại điểm T thuộc giao, ta dựng hai mặt phẳng (h,f) mp (SE, a’) tiếp xúc với mặt cầu mặt nón cho; Hai mặt phẳng tiếp xúc giao theo đường BT tiếp tuyến với giao tuyến T (Hình 8); + Tương tự, dựng hai mặt phẳng tiếp xúc với hai mặt nón, cầu cho T’, chúng giao theo đường B’T’ tiếp tuyến với giao tuyến T’; − Vẽ hai đường T2m T’2m’ lầ lượt song song với T’2B’2 T2B2; − Vẽ P = T2B2 T2’B’2 Q=T2m T’2m’ PQ phương trục parabol, ta thấy PQ//(2) Xác tiêu điểm, định trục, đỉnh đường chuẩn parabol: + Vẽ hai đường T2n, T’2n’ đối xứng với hai đường h2, h’2 qua T2B2 T2’B’2; + Vẽ F = T2n T’2n’ tiêu điểm parabol − Ta thấy F(2) nên đường thẳng x (2) trục parabol hình chiếu đứng giao tuyến (Hình 8); − Vẽ D đối xứng F qua A2, đường thẳng d ⊥ x D đường chuẩn parabol hình chiếu đứng giao o Trường hợp 2: Trục t khơng vng góc P1 Tương tự trường hợp 1, vẽ OI ⊥ t I; Dựng mặt cầu tâm I nội tiếp nón theo đường tròn () đồng thời cắt cầu cho theo đường tròn (g) Ta nhận x (2) trục A2=(2)(g2) đỉnh parabol hình chiếu đứng; Cách xác định điểm T, T’ thuộc giao tuyến hoàn toàn tương tự trường hợp + Ứng dụng hướng thiết diện Monge, xác định đường chuẩn đáy nón elíp (C) thuộc mặt phẳng chiếu đứng có hình chiếu (C1) đường trịn (Hình 9); + Dựng mặt phẳng (SE, a) tiếp xúc mặt nón theo đường sinh TE, với a tiếp xúc với đường chuẩn (C) chân E đường sinh ST; + Hai mặt phẳng (h,f) (SE,a) tiếp xúc với hai mặt cho T, chúng giao theo đường thẳng BT tiếp tuyến với giao tuyến T; + Gọi K giao điểm B2T2 với tiếp tuyến parabol đỉnh A2; + Đường thẳng Kn ⊥ KT2, cắt trục x F tiêu điểm parabol hình chiếu đứng; + Vẽ D đối xứng F qua A2, đường thẳng d ⊥x D đường chuẩn parabol hình chiếu đứng ➢ Nhận xét Qua hai trường hợp 1, hai toán nêu Để xác định đỉnh trục parabol hình chiếu đứng giao tuyến, ta vẽ I = OI ⊥ t dựng mặt cầu phụ trợ tâm I nội tiếp mặt nón trục t theo đường tròn () đồng thời cắt mặt cầu cho theo đường tròn phụ (g); Vẽ A2 =(2) (g2) điểm giới hạn thuộc parabol Kết luận: + A2 đỉnh parabol hình chiếu đứng; + Trục x (2) trục đối xứng parabol • Bài tốn Cho hai mặt nón trụ trịn xoay trục t, k ⊥ P1 có mp(t, k) // P2 Vẽ hình chiếu đứng giao tuyến xác định đặc trưng giao tuyến (Hình 10 a, b) Mặt phẳng đối xứng chung hai mặt chứa hai trục t, k song song P2 nên hình chiếu đứng giao tuyến parabol Vì mặt trụ có đường sinh vng góc P1 nên hình chiếu giao tuyến thuộc đường tròn suy biến trụ Gắn điểm giao tuyến vào mặt nón, ta xác định hình chiếu đứng giao Ta thấy hình chiếu đứng giao tuyến đối xứng qua đường thẳng x nằm ngang ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 20, NO 3, 2022 Mặt phẳng đối xứng chung hai mặt chứa hai trục t, k // P2 nên hình chiếu đứng giao tuyến parabol; chứa S2 nên x trục đối xứng parabol; t2 t2 k2 k2 d d S2 A D F x M2 n H D Axis A2 S2 F M2 n H T2 a2 a2 E2 N2 a1 a1 E1 N k1 E1 B1 k1 t1S1 (1) x Axis N2 E2 B2 (1) T1 T1 t1S1 T2 a) b) Hình 10 Giao tuyến hai mặt trụ nón trịn xoay o Trường hợp (Hình 10a) Mặt phẳng () ⊥ P1 chứa trục t nón mặt phẳng tiếp xúc mặt trụ theo đường sinh qua T; mp(ST, a) tiếp xúc mặt nón theo đường sinh ST với a tiếp xúc với đường tròn đáy nón chân E đường sinh ST Hai mặt phẳng tiếp xúc với hai mặt điểm T, chúng giao theo TB tiếp tuyến với giao tuyến điểm T; o Trường hợp (Hình 10b) Mặt phẳng () ⊥ P1 tiếp xúc trụ theo đường sinh qua T mp(ST, a) tiếp xúc mặt nón theo đường sinh ST, chúng giao theo TB tiếp tuyến với giao tuyến điểm T; Vẽ T2n đối xứng với T2H qua B2T2, cắt trục x điểm F tiêu điểm parabol hình chiếu đứng; Vẽ D đối xứng F qua A2, đường thẳng d ⊥ x D đường chuẩn parabol hình chiếu đứng Dựng mặt phẳng phụ trợ () // P1 cắt hai nón đỉnh S, I theo hai đường tròn (g),(g’) Vẽ T, T’= (g)(g’) điểm thuộc giao Ta thấy hình chiếu đứng giao tuyến đối xứng qua đường thẳng x S2I2 nên x trục parabol; Hai mặt phẳng (SE,a), mp(SL,b) tiếp xúc với hai mặt nón đỉnh S, I điểm T; Chúng giao theo TB tiếp tuyến với giao tuyến điểm T; Vẽ T2n đối xứng với (g2)//x qua trục B2T2, cắt trục x điểm F tiêu điểm parabol hình chiếu đứng; Trên (g2), lấy T2H=T2F; qua H, vẽ d ⊥ x D d đường chuẩn A2 trung điểm DF đỉnh parabol • Bài toán Cho mặt cầu tâm O mặt ellipsoid tròn xoay xác định cặp trục QR ⊥ CH tâm I với trục dài QR ⊥ P1 Vẽ hình chiếu đứng giao tuyến xác định đặc trưng giao tuyến Q2 B2 C2 Cho hai mặt nón trịn xoay đỉnh S, I trục t, k ⊥ P1 có mp(t, k) // P2 Vẽ hình chiếu đứng giao tuyến xác định đặc trưng giao tuyến (Hình 11) k2 d D A2 (2) (g2) S2 I2 n F M2 H T2 x Axis M'2 L2 E2 B2 L1 E1 T1 (g1) t1S1 (g'1) k1I1 a2 b2 B1 a1 b1 T'1 Hình 11 Giao tuyến hai mặt nón trịn xoay b2 F2 a2 K2 G2 f2 (2) k2 M2 T2 I2 D A2 T'2 h2 n F H2 O2 x Axis d F'2 R2 C1 Q1R1 I1 • Bài tốn t2 83 a1 M'2 H1 O1 b1 B1 T1 A1 k1 G1 K1 f1 h1 Hình 12 Giao tuyến mặt elipxoid tròn xoay cầu Mặt phẳng đối xứng chung hai mặt song song P2 nên hình chiếu đứng giao tuyến parabol Dựng cầu phụ trợ tâm I QR cắt hai mặt cho theo hai đường tròn (g), (g’) đường tròn giao T, T’ điểm thuộc giao Hai đường trịn bao hình chiếu giao điểm A thuộc giao Ta thấy hình chiếu đứng giao tuyến đối xứng qua đường thẳng x I2O2 nên x trục; A2 đỉnh parabol hình chiếu đứng Dựng mặt cầu phụ trợ có tâm thuộc trục QR cắt hai mặt cho theo đường tròn giao tuyến phụ, đường tròn giao điểm T, T’ thuộc giao Dựng mp(h,f) tiếp xúc mặt cầu tai T Dựng mặt phẳng (a, b) tiếp xúc với mặt ellipsoid T: + Vẽ a tiếp xúc với đường tròn vĩ tuyến qua T; + Xác định F, F’ tiêu điểm mặt ellipsoid có: F2, F’2 = (C, R) Q2K2 với R = Q2R2/2; + Vẽ b tiếp xúc với đường elíp kinh tuyến qua T có b2 phân giác góc F2T2F’2; b1I1T1 Hai mặt phẳng (h,f) mp(a,b) tiếp xúc với hai Nguyễn Độ, Nguyễn Công Hành, Vũ Thị Hạnh 84 mặt cầu mặt ellipsoid T, chúng giao theo TK tiếp tuyến với giao tuyến điểm T; Vẽ T2n đối xứng với a2 qua K2T2, cắt trục x điểm F tiêu điểm parabol hình chiếu đứng Vẽ D đối xứng F qua A2, đường thẳng d ⊥ x D đường chuẩn parabol hình chiếu đứng • Bài tốn Cho mặt trụ trục t mặt hyperboloid tròn xoay tầng xác định trục k, đường sinh m đường tròn họng (); Hai trục t, k ⊥ P1 mp(t, k) // P2 Vẽ hình chiếu đứng giao tuyến xác định đặc trưng giao tuyến D M2 t2 k2 d H T2 (2) I2 k2 K2 B2 m2 A2 n F J2 x Axis G2 M'2 k1 m1 K1 I1 T'1 B1 k1 (1) M'1 A2 J1 T1 (1) G1 t1 M1 Hình 13 Giao tuyến mặt trụ hyperboloid trịn xoay Hình chiếu giao tuyến trùng với đường trịn hình chiếu trụ, gắn điểm giao tuyến vào đường sinh mặt hyperboloid ta xác định hình chiếu đứng giao tuyến Ta thấy hình chiếu đứng giao tuyến đối xứng qua đường thẳng x (2) nên x trục đối xứng A2 đỉnh parabol hình chiếu đứng Hai mặt phẳng () mp(ITJ) tiếp xúc với hai mặt trụ mặt hyperboloid điểm T, chúng giao theo TB tiếp tuyến với giao tuyến điểm T Mặt phẳng đối xứng chung hai mặt chứa hai trục t, k song song P2 nên hình chiếu đứng giao tuyến parabol Vẽ T2n đối xứng với T2H qua B2T2, cắt trục x điểm F tiêu điểm parabol hình chiếu đứng Hai đường trịn bao hình chiếu hai mặt giao điểm A, A’ thuộc giao có hình chiếu đứng A2x đỉnh parabol Vẽ D đối xứng F qua A2, đường thẳng d ⊥ x D đường chuẩn parabol hình chiếu đứng Nhận xét Kết nghiên cứu đưa phương pháp xác định xác đặc trưng parabol hình chiếu giao tuyến lên mặt phẳng đối xứng chung chứa hai trục hai mặt bậc hai tròn xoay gồm: Đỉnh, trục đối xứng, tiêu điểm đường chuẩn mà chưa có tài liệu hay nghiên cứu công bố Kết luận Kết nghiên cứu ứng dụng để vẽ parabol hình chiếu giao tuyến lên mặt phẳng đối xứng chung chứa hai trục hai mặt bậc hai tròn xoay cách tổng qt, nhanh chóng, xác; chí xác định điểm thực ảo thuộc parabol hình chiếu mà phương pháp dùng mặt phụ trợ thơng thường khơng xác định Nghiên cứu đưa vào tài liệu giáo trình Hình họa - Vẽ kỹ thuật nhằm phục vụ việc học tập giảng dạy Nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng việc khai triển xác giao tuyến thuộc mặt bậc hai tròn xoay việc thi công vẽ kỹ thuật TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] V.O.Gordon, M.A Sementsov, A course in descriptive geometry, Mir publishers, 1980 [2] Nguyễn Độ, Giáo trình Vẽ kỹ thuật, Nhà xuất Xây dựng Hà Nội, 2008 [3] Ada, T., Kurtuluş, A., & Yanik, H B., “Developing the concept of a parabola in Taxicab geometry”, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 46(2), 2014, 264–283 [4] Nguyễn Đình Điện, Đỗ Mạnh Mơn, Dương Tiến Thọ, Nguyễn Văn Tuấn, Hình học họa hình, Nhà xuất Đại học trung học chuyên nghiệp Hà Nội, 1977 [5] Ratko Obradović, “Determination of intersecting curve between two surfaces of revolution with intersecting axes by use of auxiliary spheres”, Architecture and Civil Engineering, 2(2), 2000, 117 – 129 [6] Thomas W Sederberg, Jianmin Zheng, Handbook of Computer Aided Geometric Design, Elsevier, 2002 [7] Joseph W Giachino, Henry J Beukema, Drafting and Graphics, American Technical Society, 1972 [8] Nguyễn Đức Sỹ, Dương Thọ, Tơn Nữ Huyền Trang, Hình học họa hình, Nhà xuất Xây dựng, 2018 [9] Nguyễn Độ, AutoCAD2006 tập 1-2D, Nhà xuất Xây dựng, 2007 [10] Nguyễn Độ, Thiết kế mơ Hình 3D – AutoCAD 2008, Nhà xuất Xây dựng, 2009 [11] Ю.И Короев, Черчение для строительей, Москва Высшая школа, 1982 [12] Н.С Брилинг, С.Н Симонин, Справочник по строительному черчению, Москва стройиздат, 1987