XÁC ĐỊNH NỘI LỰC VÀ CHUYỂN VỊ ĐỨNG VÒM CYCLOID CHỊU NHIỀU TẢI TRỌNG TẬP TRUNG

Tạp chí KHCN Xây dựng số 1/2013 XÁC ĐỊNH NỘI LỰC VÀ CHUYỂN VỊ ĐỨNG VÒM CYCLOID CHỊU NHIỀU TẢI TRỌNG TẬP TRUNG NCS LÂM THANH QUANG KHẢI Trường Đại học Cửu Long Tóm tắt: Bài báo trình bày cách xác định nội lực chuyển vị đứng vòm cycloid phẳng chịu nhiều tải trọng tập trung thẳng đứng theo phương pháp cực tiểu Với cách xây dựng này, báo thiết lập phiếm hàm cho tốn vịm trường hợp xét lực dọc trục xét mô men uốn với trục thực vịm dạng cong Từ khố: nội lực, chuyển vị đứng, vòm cycloid, phương pháp cực tiểu Đặt vấn đề Trước để đơn giản hóa q trình tính vịm, người ta sử dụng tính xấp xỉ việc thay đoạn vịm đoạn thẳng phương pháp phần tử hữu hạn, sai phân hữu hạn,… Tất nhiên chia đoạn vòm thành đoạn xem đoạn cong đoạn thẳng dẫn đến độ xác khơng cao, đặc biệt độ xác giảm có độ cong lớn Mặt khác tính vịm người ta xét thành phần lực dọc trục mà bỏ qua mô men uốn trình tính tốn Về mặt lý thuyết tính vòm phẳng nhiều hạn chế nhiều nguyên nhân khác hay mức độ phức tạp nên nhiều tác nhiều tài liệu nói hay q trình phân tích, tính tốn đưa phương pháp tính chung chung mà chưa tính tốn cụ thể cho cơng trì nh có hình dạng định Trong báo này, tác giả dùng trực tiếp độ dài vòm đường cong thực mà không xấp xỉ thành đoạn thẳng gãy khúc có xét đến ảnh hưởng mơ men uốn tính tốn vịm Các vấn đề nghiên cứu cong nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu hệ tĩnh hệ động Tuy nhiên, ý nghĩa khoa học báo chỗ đề xuất phương pháp tính nội lực chuyển vị thẳng đứng cho tốn vịm cycloid phẳng chịu nhiều tải trọng tập trung thẳng đứng theo phương pháp cực tiểu với trục thực vòm đường cong mà không xấp đường cong thành đoạn thẳng gãy khúc Nội dung nghiên cứu 2.1 Thành lập cơng thức tính nội lực, chuyển vị đứng vịm cycloid xét lực dọc trục [1] Hình Vòm cycloid chịu nhiều tải trọng tập trung Ta chia vòm cycloid phẳng thành n đoạn nhau, chịu thẳng đứng, hướng từ xuống (n − 1) lực tập trung tác dụng Lực Pi có phương n Chiều dài vòm cycloid: ∑ ∫ ds = 8a (đơn vị độ dài) i =1 S0i Ta thành lập công thức tính vịm theo phương pháp cực tiểu với trục thực vòm đường cycloid xét lực dọc trục Thế tổng cộng vịm (hình 1): ( ) n −1 N i2 Π=∑ ∫ ds −∑ Pi y 0*i − y i* ⇒ i =1 S i EA i =1 n Với S 0i = 8a : độ dài ban đầu đoạn vòm thứ i trước biến dạng n Dùng phương pháp thừa số Lagrange để đưa toán cực trị phiếm hàm với điều kiện ràng buộc tốn cực trị khơng có ràng buộc với phiếm hàm mở rộng: Π= EA S '01 S' { ( Với ( S' 0n 02 2 ∫0 N ds + EA S∫' N ds + + EA S ' ∫ N n ds − 01 ( n −1 ) ) ( ) ( )} m * * − P1 y 01 − y1* + P2 y 02 − y 2* + + Pn −1 y 0*(n −1) − y (*n −1) + ∑ λ j g j ⇒ λ j , λ j = 1, m j =1 ) thừa số Lagrange, ẩn toán Để nghiên cứu, ta có chia vịm thành đoạn chịu lực tập trung Pi = P (hình 2): Hình Vòm cyclid chịu tải trọng tập trung Π= EA { [ ∫[ ] 2a 4a [ ] 6a [ ] 8a [ ] 1 N ds + N 22 ds + N 32 ds + N 42 ds + ∫ ∫ ∫ EA a EA a EA a ] [ ] [ ]} m [ ] * * * − P y 01 − y1* + P y 02 − y 2* + P y 03 − y 3* + ∑ λ j g j ⇒ (1) j =1 Tại A, B gối tựa cố định (khơng có chuyển vị đứng ngang) nên điều kiện ràng buộc y A=yB=0 tổng hình chiếu đoạn vịm biến dạng lên phương ngang x L = 2πa  N   g = 1 − 2a  − y1* −  EA   (  N   + 1 − 2a  − y 3* − y 2*  EA   )  N   + 1 − 2a  − y 2* − y1*  EA   (  N   + 1 − 2a  − − y 3*  EA   * Ta hệ phương trình với ẩn số: N i , yi , λ Điều kiện cực trị (1): ( ) ( ) ) 2 + − 2πa = ∂Π ∂Π ∂Π =0 = 0; * = 0; ∂λ ∂N i ∂y i Từ ta có hệ phương trình với biến thơng số N i , yi* , λ Tác giả dùng chương trình Matlab để viết đoạn chương trình Giả sử vịm có a=3, độ cứng dọc trục EA=10 kN, tải trọng P=10 kN Giải ta lực dọc trục, chuyển vị đứng vòm: Bảng Lực dọc trục chuyển vị đứng xét lực dọc trục Điểm/đoạn (S = ÷ 2a ) (S = 2a ÷ 4a ) (S = 4a ÷ 6a ) (S = 6a ÷ 8a ) Chuyển vị đứng điểm (m) Lực dọc trục đoạn (kN) 0.3 -19.56 0.8 -13.51 0.3 -13.51 -19.56 Lưu ý: lực dọc mang dấu âm (chịu nén) Chuyển vị đứng mang dấu dương (hướng xuống) 2.2 Thành lập cơng thức tính nội lực, chuyển vị đứng vịm cycloid xét mô men uốn [3] Ta thành lập cơng thức tính vịm theo phương pháp cực tiểu với trụ c thực vòm đường cycloid xét mơ men uốn Thế tổng cộng vịm (hình 1): n Π=∑ i =1 ( ) n −1 M i2 ds Pi y0*i − yi* ⇒ − ∑ ∫ S0 i EI i =1 Dùng phương pháp thừa số Lagrange để đưa toán cực trị phiếm hàm với điều kiện ràng buộc tốn cực trị khơng có ràng buộc với phiếm hàm mở rộng: Π= EI S '01 ∫  d y1  EI   ds +  ds  { ( ) ( ) (  d yn    ds − ∫ ds  S '0 ( n −1 )   d y2  EI ∫S '  ds  ds + + 01 S '02 S '0 n )} m * * − P1 y01 − y1* + P2 y02 − y 2* + + Pn−1 y0*(n−1) − y(*n−1) + ∑ λ j g j ⇒ Với ( λ j , λ j = 1, m j =1 ) thừa số Lagrange, ẩn tốn Để nghiên cứu, ta chia vịm thành đoạn chịu lực tập trung Pi =P (hình 2): EI Π= 2  d y1  EI ∫0  ds  ds + 2a ( [ ]  d y2  EI ∫2a  ds  ds + 4a [ ]  d y3  EI ∫4a  ds  ds + 6a [ ]) m  d y4  ∫   ds − a  ds 8a [ ] * * * − P y 01 − y1, S = a + P y 02 − y 2, S = a + P y 03 − y 3, S =6 a + ∑ λ j g j ⇒ (2) j =1 Lập phương trình đường đàn hồi yi đoạn vòm dạng đa thức bậc sau: y1 = a + a1 s + a s + a3 s + a s + a5 s + a s y = b0 + b1 s + b2 s + b3 s + b4 s + b5 s + b6 s y = c0 + c1 s + c s + c3 s + c s + c5 s + c6 s y = d + d1 s + d s + d s + d s + d s + d s (s = ÷ 2a ) (s = 2a ÷ 4a ) (s = 4a ÷ 6a ) (s = 6a ÷ 8a ) Vịm xét có liên kết khớp đầu mút Do ta có độ võng đầu mút khơng, từ ta có ràng buộc: y1, S =0 = ⇒ g = a = ; y 4, S =8 a = ⇒ g1 = y 4, S =8 a = Ngồi cịn có điều kiện tính liên tục đường đàn hồi y góc xoay β mơ men uốn vị trí có lực tập trung: y1, S = a = y 2, S = a ⇔ g = y1, S = a − y 2, S = a = y , S = a = y 3, S = a ⇔ g = y , S = a − y 3, S = a = y 3, S = a = y , S = a ⇔ g = y 3, S = a − y , S = a = β1, S = a = β 2, S = a ⇔ g = β1, S = a − β 2, S = a = β , S = a = β 3, S = a ⇔ g = β , S = a − β 3, S = a = β 3, S = a = β , S = a ⇔ g = β 3, S = a − β , S = a = Điều kiện mơ men gối vịm có liên kết khớp khơng  =0   Thế điều kiện ràng bu ộc vào phương trình (2), ta đư ợc hệ phương trình với ẩn số: , bi , ci , d i , λ j M 1, S =0  d y1, S =0 = ⇔ g = EI   ds    d y , S =8 a  = ; M 4, S =8 a = ⇔ g = EI    ds   ∂Π ∂Π ∂Π ∂Π ∂Π =0 = 0; = 0; = 0; = 0; ∂λ j ∂ci ∂ai ∂bi ∂d i Điều kiện cực trị (2): Từ ta có hệ phương trình với biến thơng số , bi , ci , d i , λ j để xác định phương trình đường đàn hồi y i Tác giả dùng chương trình Matlab để viết đoạn chương trình Giải ta phương trình đường đàn hồi đoạn vòm: P 10 Pa s − s EI EI − Pa 12 Pa Pa P y2 = + s − s − s 3EI EI EI 12 EI − 12 Pa P 20 Pa 3Pa y3 = + s − s + s EI EI EI 12 EI − 48 Pa 38 Pa P Pa y4 = + s − s + s EI EI EI EI y1 = (s = ÷ 2a ) (s = 2a ÷ 4a ) (s = 4a ÷ 6a ) (s = 6a ÷ 8a ) Kết mơ men uốn, lực cắt chuyển vị đứng trình bày bảng sau: Bảng Mô men uốn, lực cắt chuyển vị đứng xét mô men uốn Điểm/đoạn Mô men uốn điểm (S = ÷ 2a ) − 3Pa (S = 2a ÷ 4a ) − Pa (S = 4a ÷ 6a ) − 3Pa (S = 6a ÷ 8a ) Lực cắt đoạn Chuyển vị đứng điểm − 3P −P P 3P 18 Pa EI 76 Pa 3EI 18 Pa EI Kết luận - Tác giả xây dựng phương pháp tính nội lực chuyển vị thẳng đứng vòm cycloid phẳng chịu nhiều tải trọng tập trung thẳng đứng theo phương pháp cực tiểu với trục thực vòm đường cong với trường hợp: xét lực dọc trục xét mô men uốn; - Tác giả sử dụng phương pháp đề xuất để tính nội lực cho loại vòm khác như: vòm tròn, vòm parabol; - Hạn chế phương pháp tính phải tìm trục đường cong hay nói khác phải tìm độ dài cung vịm TÀI LIỆU THAM KHẢO PHẠM VĂN TRUNG, Phương pháp tính tốn hệ kết cấu dây mái treo Luận án tiến sĩ kỹ thuật, Đại học Kiến trúc Hà Nội, 2006 NGUYỄN TRÂM, Phương pháp phần tử hữu hạn dải hữu hạn Nhà xuất Xây dựng, Hà Nội, 2012 VŨ THANH THỦY, Nghiên cứu nội lực chuyển vị hệ chịu uốn xét tới ảnh hưởng biến dạng trượt Luận án tiến sĩ kỹ thuật, Đại học Kiến trúc Hà Nội, 2010 th SEUNG KYU LEE, BRIAN MACE, MICHAEL BRENNAN, In-plane free vibrations of curved beams 15 International Congress on sound and vibration, Korea, 2008 PETER I KATTAN, Matlab guide to finite elements An Interactive Approach, Second editor, Springer, New York, USA, 2006