Đang tải... (xem toàn văn)
Mục lục 1 Kiến thức chuẩn bị 1 1 1 3 3 4 4 5 5 6 7 8 9 9 9 1 1 Không gian các hàm nhận giá trị trong một không gian Banach 1 1 1 Không gian các hàm khả vi liên tục 1 1 2 Không gian các hàm liên tục Ho[.]
Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian hàm nhận giá trị không gian Banach 1.1.1 Không gian hàm khả vi liên tục 1.1.2 Không gian hàm liên tục Holder 1.1.3 Không gian hàm liên tục Holder có trọng 1.1.4 Khơng gian hàm giải tích Tốn tử tuyến tính 1.2.1 Hạn chế tốn tử tuyến tính 1.2.2 Tập giải thức, tập phổ Tích phân Dunford 1.2.3 Nửa nhóm liên tục mạnh 1.2.4 Nửa nhóm giải tích 1.3 Nội suy không gian Banach 1.4 Khơng gian tốn tử liên hợp 1.4.1 Không gian đối ngẫu 1.4.2 Không gian liên hợp 1.4.3 Toán tử liên hợp 10 1.5 Ngoại suy không gian Banach 11 1.6 Tốn tử tuyến tính liên kết với dạng tựa tuyến tính 12 1.6.1 Dạng tựa tuyến tính toán tử liên kết 12 1.6.2 Dạng liên hợp toán tử liên hợp 13 Không gian Sobolev-Lebesgue 14 1.7.1 Biên miền 14 1.7.2 Không gian Sobolev với cấp nguyên 15 1.7.3 Không gian Sobolev-Lebesgue Rn 15 1.7.4 Không gian Sobolev-Lebesgue R+n miền bị 1.2 1.7 1.7.5 chặn 16 Các định lí nhúng 17 i 1.7.6 1.7.7 Vết ˚ps (Ω) H−s (Ω) Không gian H 18 1.7.8 Không gian tích 19 p Toán tử quạt, hàm mũ toán tử lũy thừa 2.1 2.2 2.3 17 20 Toán tử quạt vài tính chất 20 2.1.1 Định nghĩa toán tử quạt 20 2.1.2 Toán tử quạt liên kết với dạng tựa tuyến tính 21 2.1.3 Toán tử quạt không gian L2 23 2.1.4 Tính chất chuyển L2 25 Hàm mũ 26 2.2.1 Nửa nhóm giải tích sinh tốn tử quạt 26 2.2.2 Bài tốn Cauchy phương trình tiến hóa tuyến tính 29 Tốn tử lũy thừa 30 2.3.1 Tốn tử lũy thừa nửa nhóm giải tích 31 2.3.2 Miền toán tử elliptic lũy thừa L2 32 2.3.3 Nghiệm phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 33 Sự tồn nghiệm hệ phản ứng chất Xúc tác-Ức chế 36 3.1 Đặt toán 37 3.2 Nghiệm địa phương 38 3.3 Nghiệm địa phương không âm 39 3.4 Nghiệm toàn cục 40 3.4.1 Uớc lượng 40 3.4.2 Đánh giá tiên nghiệm 42 3.4.3 Nghiệm toàn cục 46 3.4.4 Ước lượng toàn cục 46 Tài liệu tham khảo 48 ii Lời cảm ơn Lời đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Lê Huy Chuẩn Thầy nhiệt tình dẫn để tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất thầy, cô tham gia giảng dạy cho tơi q trình học cao học Tôi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Tốn-Cơ-Tin học, phịng Sau Đại Học trường Đại học Khoa học Tự nhiên tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thiện thủ tục bảo vệ luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn cha mẹ Những người yêu thương ủng hộ vô điều kiện iii Lời mở đầu Một cách tiếp cận hệ thống để nghiên cứu phương trình, hệ phương trình vi phân với biến thời gian lý thuyết nửa nhóm Lý thuyết dựa kết nửa nhóm giải tích phát triển vào năm 50 kỉ trước Điểm bật cách tiếp cận cho công thức tổng qt biểu diễn nghiệm Chẳng hạn, nửa nhóm giải tích e−tA sinh tốn tử tuyến tính −A nghiệm dU Bài toán Cauchy phương trình tiến hóa tuyến tính ơ-tơ-nơm, + AU = dt F (t), < t ≤ T ; U (0) = U nghiệm tổng quát cho công thức t U (t) = e −tAU0 + −(t−s)A F (s)ds Không vậy, nghiệm Bài toán Cauchy R e dU + AU = F (U ), < t ≤ T ; U (0) = U phương trình tiến hóa nửa tuyến tính, dt t nghiệm phương trình tích phân U (t) = e−tAU0 + e−(t−s)A F (U (s))ds R quan trọng Những công thức nghiệm cung cấp cho ta nhiều thơng tin nghiệm tính nhất, tính quy tối đại, tính trơn v.v Đặc biệt tốn phi tuyến, ta suy tính liên tục Lipchitz trí đạo hàm Frechet nghiệm theo giá trị ban đầu Từ xây dựng hệ động lực xác định Bài toán Cauchy; nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm; tồn tập hút; nghiên cứu tính ổn định khơng ổn định nghiệm dừng; xây dựng đa tạp trơn ổn định khơng ổn định v.v trí phương pháp giải gần ta thu lời giải số nghiệm Luận văn sử dụng lý thuyết nửa nhóm giải tích để chứng minh tính tồn nghiệm hệ phản ứng chất Xúc tác-Ức chế Chúng chia luận văn làm ba chương Chương nói số khơng gian hàm nhận giá trị không gian Banach, nét khái quát khơng gian Sobolev, tốn tử tuyến tính, khơng gian liên hợp tốn tử liên hợp Chúng giới thiệu khái niệm số tính chất nội suy, ngoại suy khơng gian Banach Chương giành để nói tốn tử quạt, hàm mũ toán tử lũy thừa Chúng tơi đề cập đến khái niệm tốn tử quạt liên kết với dạng tựa tuyến tính nghiên cứu tính chất chuyển tốn tử L2 Ngoài tồn nghiệm Bài tốn Cauchy phương trình tiến hóa tuyến tính, nửa tuyến tính phát biểu Chương trình bày kết nghiên cứu tồn nghiệm toàn cục hệ phản ứng chất Xúc tác-Ức chế Bằng cách sử dụng lý thuyết nửa nhóm giải tích, chúng tơi chứng minh tồn nghiệm toàn cục hệ phản ứng iv chất Xúc tác-Ức chế trường hợp riêng Do thời gian lực có hạn, số điểm trình bày luận văn cịn thiếu xót Tác giả mong muốn nhận góp ý thầy, cô bạn đồng nghiệp Hà nội, tháng 04 năm 2011 Hoàng Thế Tuấn v Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian hàm nhận giá trị không gian Banach Cho X không gian Banach với chuẩn || || Ta giới thiệu số không gian hàm nhận giá trị X, xác định khoảng R miền C Không gian hàm bị chặn Cho [a, b] đoạn R Xét không gian hàm bị chặn [a, b], kí hiệu B([a, b]; X) Trên B([a, b]; X) ta đưa vào chuẩn supremum kF k = as≤ut≤pb kF (t)k Với chuẩn B([a, b]; X) không gian Banach 1.1.1 Không gian hàm khả vi liên tục Cho [a, b] đoạn R m = 0, 1, 2, số ngun khơng âm Kí hiệu C ([a, b]; X) không gian hàm khả vi liên tục đến cấp m [a, b] Khi m = 0, m C0 ([a, b]; X) không gian hàm liên tục thường kí hiệu cách đơn giản C([a, b]; X) Trên Cm ([a, b]; X) ta sử dụng chuẩn sau kF kCm = (i) a≤t≤b max ||F (t)|| i=0 m X Với chuẩn Cm ([a, b]; X) không gian Banach (xem [1, Tr 10]) Sau hai kết Định lý 1.1.1 Cho A tốn tử tuyến tính đóng X Nếu F ∈ C([a, b]; X) AF ∈ C([a, b]; X), A b Za F (t)dt = b Za AF(t)dt Chứng minh Xét phân hoạch đoạn [a, b] điểm mốc a = t0 < t1 < < tN = b lấy tổng (tn − tn−1 )F (τn ) với tn−1 ≤ τ n≤ t n n=1 N X Rõ ràng A( (tn − tn−1 )F (τn )) = (tn − tn−1 )AF(τn ) n=1 N n=1 N X X b a Chob N → ∞ với điều kiện max (tn − tn−1 ) → 0, ta F (t)dt ∈ D(A) b R A a F (t)dt = a AF(t)dt ≤n≤N R R Định lý 1.1.2 Cho a ∈ C([0, T ], R) f ∈ C([0, T ], R) Nếu u ∈ C([0, T ], R) ∩ C1 ((0, T ], R) thỏa mãn bất đẳng thức vi phân du + (1.1) dt a(t)u ≤ f (t), < t ≤ T, t a(τ )dτ − u(t) ≤ e R u(0) + t Z0 e− t s a(τ )dτ R f (s)ds, < t ≤ T Nói riêng, a(t) ≡ δ > f (t) ≡ f > u(t) ≤ e−δt u(0) + fδ −1 , < t ≤ T Chứng minh Với t cố định, ta có t t t d u(s)e− s a(τ )dτ = [u0 (s) + a(s)u(s)]e− s a(τ )dτ ≤ f (s)e− s a(τ )dτ R R R ds ꢀ ꢁ Lấy tích phân hai vế bất đẳng thức theo s đoạn [0, t], ta thu t t t a(τ )dτ a(τ )dτ − f (s)e ds − s s u(t) − u(0)e R R ≤ Z0 Từ (1.1) có u(t) ≤ e − t a(τ )dτ R u(0) + Nói riêng, a(t) ≡ δ > t Z0 e− t s a(τ )dτ R f (s)ds, < t ≤ T t u(t) ≤ e−δt u(0) + Z0 e−δ(t−s) f (s)ds, < t ≤ T Thêm vào đó, f (t) ≡ f > u(t) ≤ e−δt u(0) + fδ −1 , < t ≤ T 1.1.2 Không gian hàm liên tục Holder Với m = 0, 1, 2, số mũ σ ∈ (0, 1), kí hiệu Cm+σ ([a, b]; X) không gian hàm khả vi liên tục m lần, có đạo hàm cấp m liên tục Holder [a, b] với số mũ σ Trên Cm+σ ([a, b]; X) ta đưa vào chuẩn kF (m) (t) − F (m) (s)k a≤s