Lêi më ®Çu To¸n häc tµi chÝnh ra ®êi tõ rÊt sím nh− lµ mét ®ßi hái tù nhiªn cña x héi Nh÷ng m« h×nh to¸n häc dïng ®Ó nghiªn cøu c¸c thÞ tr−êng tµi chÝnh ra ®êi nh»m môc ®Ých gi¶m thiÓu rñi ro tµi chÝn[.]
Lời mở đầu Toán học tài đời từ sớm nh- đòi hỏi tự nhiên xà hội Những mô hình toán học dùng để nghiên cứu thị tr-ờng tài đời nhằm mục đích giảm thiểu rủi ro tài chính, đ-ợc nhà đầu t-, chuyên gia tài dùng để phòng hộ bảo hiểm Việc đời thị tr-ờng Quyền chọn đòi hỏi phải xây dựng mô hình để định giá hợp đồng quyền chọn Hai ng-ời thành công việc xây dựng mô hình để định giá quyền chọn với thời gian liên tục hai nhà Toán học ng-ời Mỹ Fisher Black Myron Scholes từ năm 1973 Trong mô hình đó, tài sản sở đ-ợc giả thiết có giá tuân theo chuyển động Brown hình học dSt = àdt + dWt S giá trị tài sản, dịch chuyển số, St độ biến động số W chuyển động Brown tiêu chuẩn Với mô hình Black - cho bởi: Sholes ng-ời ta định giá chứng khoán định giá hợp đồng quyền chọn có kể đến yếu tố ngẫu nhiên tác động lên thị tr-ờng Với nhiều lý khác nhau, giá hợp đồng quyền chọn tính công thức Black - Scholes không phù hợp với thực tế Bằng thực nghiệm ng-ời ta thấy độ biến động số mà hàm thời gian giá thực thi hợp đồng quyền chọn, hàm lồi, đồ thị có chiều lồi quay xuống d-ới có hình dáng nụ c-ời, kiện gọi "Hiệu ứng nụ c-ời" Rất nhiều nhà nghiên cứu đà cố gắng đặt toán phù hợp tốt, xác ®Õn møc cã thĨ, víi d÷ liƯu vỊ qun chän Một số h-ớng tiếp cận nh-: Đầu tiên h-ớng tiếp cận dựa giả thiết mô hình hiển thay trình giá tài sản, dẫn đến hiệu ứng nụ c-ời hay độ lệch độ biến động Một ví dụ trình co dÃn số ph-ơng sai (CEV) cđa Cox (1975) vµ Cox & Ross (1976) H-íng tiÕp cận thứ hai dựa giả thiết tính không đếm đ-ợc giá trao đổi hành Cách đ-ợc nghiên cứu Breeden Litzenberger (1978), sau ®ã lµ Dupire(1994,1997), Derman vµ Kani(1994,1998) Hä ®· ®-a ®-ỵc biĨu thøc hiĨn cho ®é biÕn ®éng Black - Scholes nh- hàm giá thực thi kỳ hạn H-ớng tiềp cận có hạn chế ng-ời làm phải nội suy trơn giá quyền chọn giá thực thi liên tiếp để lấy vi phân cấp hai theo giá thực thi H-ớng tếp cận thứ ba, đ-ợc nghiên cứu Rubinstein(1994), Jackwerth vµ Rubinstein(1996), Britten - Jones vµ Neubeger(2000) gåm việc tìm xác suất không rủi ro mô hình tam thức/nhị thức giá tài sản, dẫn đến phù hợp tốt giá quyền chọn theo tiêu chuẩn trơn (mịn) Ngoài có h-ớng tiếp cận thị tr-ờng không đầy đủ Nó bao gồm mô hình độ biến động ngẫu nhiên, nh- mô hình Hull White (1987), Heston (1993) Tompkins(2000a,2000b), mô hình khuếch tán nhảy, nh- mô hình Merton(1976) hay Prigent, Renault Scaillet (2001) H-ớng tiếp cận cuối dựa gọi mô hình thị tr-ờng độ biến động tiềm ẩn Các ví dụ Schonbucher (1999), Ledoit Santa Clara (1998) Với đề tài "Hiệu ừng Nụ c-ời toán tài chính" luận văn này, sau tìm hiểu mô hình Black - Scholes, Dupire, Cox & Ross, Heston, Rubinstein, thấy việc đ-a mô hình tổng quát cần thiết, nhiên toán định giá cho hợp đồng quyền chọn toán mở có nhiều h-ớng giải việc giải vấn đề cách triệt để ch-a thực đ-ợc thời gian ngắn Nói chung, toán tìm phân phối không rủi ro để định giá quán cho tất quyền chọn gi-ờng nh- có nhiều điểm không xác định Một lời giải đ-ợc đ-a có giả thiết phụ thuộc phân phối không rủi ro có tham số cụ thể với số tham số, chẳng hạn phụ thuộc thời gian, ta sử dụng tham số cho phù hợp với độ biến động Bằng cách áp dụng cách t-ợng tự nh- Dupire(1994,1997), ta đặt toán tìm lớp mô hình dẫn tới phân phối không rủi ro có tham số đủ linh hoạt cho mục đích thực hành Khi tạo trình liên kết h-ớng tiếp cận phân phối không rủi ro có tham số h-ớng tiếp cận mô hình thay thế, dẫn đến mô hình hiển với mật độ không rủi ro có tham số linh hoạt Với điều kiện th-ờng gặp thực tế mô hình LIBOR ký kết tr-ớc (FLM) lựa chọn thn tiƯn nhÊt rÊt nhiỊu t×nh hng Trong ln văn cố gắng định nghĩa vấn đề liên quan đến mô hình FLM để thay cho mô hình loga chuẩn cổ điển, truy lại cấu trúc độ biến động nh- đà quan sát thị tr-ờng Luận văn gồm ba ch-ơng với nội dung sau đây: ã Ch-ơng Trình bày sơ l-ợc thị tr-ờng tài số khái niệm tài có liên quan Mô hình Black - Scholes công thức Black - Scholes định giá quyền chọn với thời gian liên tục ã Ch-ơng Nhắc đến khái niệm "Hiệu ứng Nụ c-ời" Mô hình Dupire với cách xây dựng công thức Dupire làm sở tham khảo xây dựng mô hình thay ch-ơng ã Ch-ơng Xây dựng lớp khuếch tán để lập mô hình lÃi suất LIBOR ký kết tr-ớc d-ới độ đo tắc chúng, dựa giả thiết phụ thuộc hàm trơn thời điểm đáo hạn lÃi suất ký kết tr-ớc chuyển động Brown kết hợp Đồng thời xây dựng lớp mô hình phù hợp cách gần nh- xác với độ biến động thị tr-ờng cho đầu vào ã Phần phụ lục Trình bày tóm tắt số yếu tố mô hình thị tr-ờng LIBOR Lời cảm ơn Bản luận văn đ-ợc hoàn thành d-ới h-ớng dẫn bảo tận tình PGS TS Trần Hùng Thao (Viện Toán học - Viện khoa học công nghệ Việt Nam) Thầy đà dành nhiều thời gian h-ớng dẫn tận tình nh- giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ng-ời thầy Tôi xin cảm ơn nhóm seminar "Toán tài chính" Viện Toán học đà giúp bổ sung, củng cố kiến thức thị tr-ờng tài nh- tìm hiểu mô hình toán học tài Qua đây, xin gửi tới thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Tr-ờng Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Hà Nội, nh- thầy cô đà tham gia giảng dạy khoá cao học 2007 - 2009, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình học tr-ờng Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất ng-ời đà quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ để hoàn thành nhiệm vụ Hà Nội, ngày 15 tháng 12 năm 2011 Học viên: Lê Việt Ph-ơng(1) (1) E-mail: Vietphuong2088@gmail.com Ch-¬ng Mét sè kiÕn thøc chuÈn bị Trong ch-ơng nhắc qua thị tr-ờng tài số khái niệm tài có liên quan Mô hình Black - Scholes công thức Black - Scholes định giá quyền chọn với thời gian liên tục 1.1 Kiến thức thị tr-ờng tài 1.1.1 Các thị tr-ờng tài Từ lâu ta đà nghe nói tới trung tâm giao dịch chứng khoán nh- NewYork, London, Tokyo gần trung tâm giao dịch chứng khoán thành phố lớn Việt Nam nh- Hà Nội, Thành phố Hồ Chí Minh Các báo hoạt động buôn bán thị tr-ờng th-ờng xuyên xuất trang tờ nhật báo tin thời tin tài quốc gia có kinh tế thị tr-ờng Còn nhiều thị tr-ờng tài khác nữa, thị tr-ờng có đặc tr-ng xác định loại hàng hoá tài đ-ợc mang trao đổi Các thị tr-ờng tài quan trọng thị tr-ờng cổ phiếu, thị tr-ờng trái phiếu, thị tr-ờng tiền tệ, thị tr-ờng hợp đồng giao sau hợp đồng quyền chọn Hàng hoá trao đổi thị tr-ờng đ-ợc phân thành hai loại tài sản sở tài sản phái sinh - Tài sản sở gồm: Cổ phiếu, trái phiếu hay đơn vị tiền tệ Tài sản sở đ-ợc gọi tài sản nguyên khởi hay tài sản tảng - Tài sản phái sinh bao gồm tài sản phụ thuộc, tức hàng hoá mà giá trị rút đ-ợc từ giá trị tài sản sở Tài sản phái sinh hay phái sinh tài đ-ợc gọi tài sản phụ thuộc Các quyền chọn, hợp đồng kỳ hạn phái sinh tài điển hình 1.1.2 Cổ phiếu chứng khoán phái sinh Một công ty huy động vốn cách bán cổ phần họ cho nhà đầu t- Ng-ời sở hữu cổ phần nhận đ-ợc cổ tức không tuỳ thuộc vào công ty làm ăn có lÃi không có định chia lÃi cho cổ động hay không Ngoài họ có toàn quyền bán chuyển nh-ợng cho ng-ời khác Giá cổ phiếu phản ánh cách nhìn dự đoán nhà đầu t- chi trả cổ tức, khoản tiền kiếm đ-ợc t-ơng lai nguồn vốn mà công ty kiểm soát Nh- phần lớn thời gian giá cổ phiếu đ-ợc phán định ng-ời muốn trả giá cho vào ngày định tr-ớc Cho tr-ớc chứng khoán, tức loại cổ phiếu trái phiếu Khi đó, phái sinh chứng khoán hợp đồng đặc biệt mà giá trị ngày t-ơng lai phụ thuộc hoàn toàn vào giá trị t-ơng lai chứng khoán Cá nhân hÃng xây dựng nên hợp đồng mang bán gọi ng-ời viết Cá nhân hÃng mua hợp đồng đ-ợc gọi ng-ời giữ Chứng khoán mà hợp đồng vào để lập nên đ-ợc gọi tài sản tảng 1.1.2.1 Các hợp đồng kỳ hạn a) Hợp đồng ký kết tr-ớc Là loại hợp đồng ký kết hai bên đối tác A B (Th-ờng công ty tài nhà môi giới đầu t-, nhà đầu t- tài ) Với quy -ớc sau: (a) Đến thời điểm đáo hạn T hợp đồng, bên A phải giao cho bên B khối l-ợng sản phẩm tài (Cổ phiếu, trái phiếu, tiền tệ ) khối l-ợng hàng hoá có giá thị tr-ờng X thời điểm T (b) Đến thời điểm đáo hạn T đó, bên B phải trả cho bên A khoản tiền F (0, T ) định tr-ớc từ lúc ký kết (c) Không có chi phí giao dịch tr-ớc thời điểm T (d) Đến thời điểm T hai bên bắt buộc phải thực thi quy -ớc đó, theo số điều khoản cụ thể b) Hợp đồng giao sau Hợp đồng giao sau hai đối tác A B giống với hợp đồng ký kết tr-ớc quy -ớc (a), (c), (d) khác với hợp đồng ký kết tr-ớc quy -ớc (b), đ-ợc thay quy -ớc (b) (b) Đến thời điểm đáo hạn T , bên B phải trả cho bên A khoản tiền F (t, T ), khoản tiền hoàn toàn xác định giá thị tr-ờng thời điểm t (t < T ) Ngoài sản phẩm ghi nợ hợp đồng phải tài sản đ-ợc niêm yết thị tr-ờng thức Một điểm phân biệt hai loại hợp đồng ký kết tr-ớc giao sau là: hợp đồng ký kết tr-ớc, hai bên đối tác thoả thuận ràng buộc trực tiếp với thông qua điều khoản hợp đồng Còn hợp đồng giao sau hai bên mua bán quan hệ gián tiếp với thị tr-êng chÝnh thøc th«ng qua mét tỉ chøc trung gian gọi "Quỹ đền bù" hợp đồng giao sau ng-ời giữ hợp đồng ng-ời bán hay ng-ời mua Việc chuyển tiền qua lại ng-ời giữ hợp đông quỹ đền bù đ-ợc tiến hành hàng ngày đ-ợc gọi "Lệnh gọi đền bù" Việc giao dịch hợp động đ-ợc thực theo hình thức hét to hiệu 1.1.2.2 Các hợp đồng quyền chọn a) Hợp đồng quyền chọn mua Là loại hợp đồng cho phép ng-ời giữ hợp đồng có hội mua cổ phần chứng khoán t-ơng lai với giá đảm bảo tr-ớc Các điều kiện hợp đồng là: (a) Đến ngày đáo hạn, ng-ời giữ hợp đồng trả cho ng-ời viết hợp đồng số tiền giá thực thi hợp đồng (b) Nếu ng-ời viết hợp đồng nhận đ-ợc số tiền giá thực thi ng-ời giữ trả ng-ời viết phải giao cổ phần chứng khoán cho ng-ời giữ vào ngày đáo hạn Nh- ng-ời giữ hợp đồng có quyền chọn đầu t- Nếu đến ngày đáo hạn giá cổ phiếu thấp giá thực thi ng-ời có quyền không thực thi Còn giá cổ phiếu cao giá thực thi ng-ời giữ trả chi phí thực thi có đ-ợc cổ phần có giá trị Nếu hợp đồng cho phép ng-ời giữ sử dụng vào ngày đáo hạn ta nói quyền chọn mua thuộc kiểu Châu Âu Còn loại khác hạn chế hợp đồng quyền chọn mua kiểu Mỹ Ng-ời giữ hợp đồng đ-ợc phép thực thi hợp đồng thời điểm tr-ớc ngày đáo hạn b) Hợp đồng quyền chọn bán Là loại hợp đồng cho phép ng-ời giữ hợp đồng có hội đ-ợc phép bán cổ phần chứng khoán t-ơng lai với giá đảm bảo tr-ớc, ng-ời ta không sở hữu cổ phiếu Các điều kiện hợp đồng là: (a) Đến ngày đáo hạn, ng-ời giữ hợp đồng đ-a cho ng-ời viết cổ phần chứng khoán t-ơng đ-ơng số tiền theo giá thị tr-ờng lúc cổ phần chứng khoán (b) Nếu ng-ời viết hợp đồng nhận đ-ợc cổ phần chứng khoán số tiền t-ơng đ-ơng ng-ời giữ hợp đồng giao cho phải trả chi phí thực thi cho ng-ời giữ hợp đồng vào ngày đáo hạn hợp đồng Cũng nh- với hợp đồng quyền chọn mua, hợp đồng quyền chọn bán ng-ời giữ hợp đồng có quyền chọn đầu t- Và hợp đồng cho phép ng-ời giữ sử dụng vào ngày đáo hạn gọi quyền chọn bán kiểu Châu Âu Còn thực thi hợp đồng vào thời điểm tr-ớc ngày đáo hạn ta có quyền chọn b¸n kiĨu Mü Mét qun chän b¸n kiĨu Mü cã thể kiếm đ-ợc nhiều tiền quyền chọn bán kiều Châu Âu 1.2 Thị tr-ờng toán học 1.2.1 Giá đ-ợc xem nh- trình ngẫu nhiên Xét tài sản tài S mà giá thời điểm t đ-ợc ký hiệu S(t) Giả sử t0 thời điểm ta biết đ-ợc giá thực thi S(t0 ) nhờ quan sát thị tr-ờng nói chung ta tr-ớc đ-ợc giá S(t) với t > t0 Giá S(t) biến đổi cách phụ thuộc vào nhiều yếu tố ngẫu nhiên nh- biến động giá sản phẩm khác, xu h-ớng tăng tr-ởng suy thoái kinh tế giới, diễn biến nhu cầu tiêu dùng n-ớc, tiềm lực sản xuất, diễn biến trị, sách nhà n-ớc, diễn biến tâm lý nhà đầu t- Ta gom yếu tố ngẫu nhiên tất sản phẩm tài S thị tr-ờng vào tập hợp kí hiệu mà phần tử biểu thị yếu tố ngẫu nhiên Mỗi kiện xảy thị tr-ờng tập hợp gồm số yếu tố ngẫu nhiên Để đo l-ờng cách định l-ợng khả xảy kiện ng-ời ta dùng loại th-ớc đo độ đo xác suất P Độ đo đo đ-ợc kiện thuộc lớp F kiện (F đ-ợc xác định nh- đại số), kiện A thuộc lớp đ-ợc gọi biến cố ngẫu nhiên giá trị đo l-ờng khả xảy kiện A xác xuất P(A) Vậy ta có không gian xác suất (, F , P ) mà tài sản tài S(t) trình ngẫu nhiên xác định đó: Với t, S(t) phụ thuộc vào yếu tố ngẫu nhiên : S = S(t,) 1.2.2 Thông tin thị tr-ờng biểu diễn toán học 1.2.2.1 - tr-ờng luồng thông tin thị tr-ờng Ta nhắc lại định nghĩa - tr-ờng Định nghĩa 1.2.1 Một đại số G (hay gọi tr-ờng G ) xác định tập họ tập thoả mÃn tính chất: (a) G đóng phép hợp đếm đ-ợc (b) G đóng phép lấy phần bù (c) Ω ∈ G NhËn xÐt 1.2.2 + Tõ (a) vµ (b) ta suy G cịng ®ãng ®èi víi phÐp giao đếm đ-ợc + Từ (b) (c) suy G Nh- phần ta đà nói, giá sản phẩm tài đ-ợc xem nh- trình ngẫu nhiên xét không gian xác suất (, F , P ) , kiện A xảy thị tr-ờng đ-ợc xem tập hợp thuộc họ F với khả xảy xác suất P(A) Nh-ng giá sản phẩm thay đổi ngẫu nhiên theo thời gian t thông tin thị tr-ờng (chính sách, nhu cầu tiêu dùng ) tích luỹ ngày nhiều thêm Ta giả sử thông tin thị tr-ờng thời điểm t đ-ợc ghi nhận tr-ờng thông tin Ft họ F Nh- vËy Ft ghi nhËn mäi biÕn cè xảy thị tr-ờng thời điểm s t Về mặt toán học, họ thông tin F họ Ft đ-ợc xác định nh- - đại số tập yếu tố ngẫu nhiên Định nghĩa 1.2.3 Luồng thông tin thị tr-ờng Ft , t họ - đại số - đại số F (Ft F ) thoả mÃn điều kiện sau đây: (i) Là họ tăng, tức Fs Ft với s t T (ii) Liên tục phải, tức >0 Ft+ = Ft (iii) Mọi tập P - bỏ qua đ-ợc A thuộc F đ-ợc chứa F0 (do A Ft, t) Điều kiện (i) phản ánh thông tin thị tr-ờng: Mỗi ngày trôi qua ta có thêm thông tin diễn biến thị tr-ờng Các điều kiện (ii) (iii) có tính chất kỹ thuật để phục vụ tính toán Trong toán học, luồng thông tin F(t) định nghĩa nh- đ-ợc gọi lọc Tuỳ bối cảnh toán, chọn nhiều lọc khác 1.2.2.2 Không gian xác suất đ-ợc lọc Định nghĩa 1.2.4 Cho không gian xác suất (, F , P ) gồm tất yếu tố ngẫu nhiên thị tr-ờng tài chính, vµ cho Ft , t ≥ lµ mét luång thông tin thị tr-ờng Khi (, F , Ft, P ) đ-ợc gọi không gian xác suất đ-ợc lọc thị tr-ờng Nếu tài sản tài S có giá trình ngẫu nhiên St = S(t,) xác định không gian xác suất đ-ợc lọc St biến ngẫu nhiên đo đ-ợc Ft Tính chất đ-ợc gọi tính thích nghi trình giá tài sản St luồng thông tin thị tr-ờng Ft Điều có nghĩa kiện liên quan đến giá tài sản S thời điểm t đ-ợc chứa đựng tr-ờng thông tin Ft 1.2.2.3 Lịch sử diễn biến giá tài sản Định nghĩa 1.2.5 Cho S tài sản tài xét không gian xác suất (, F , P ) cđa thÞ tr-êng Ta chän bé läc (Ft ) tr-ờng sinh giá trị khứ Ss , s t tài sản S kí hiệu (FtS ) ∀t FtS = σ(Ss , s ≤ t) Hä (FtS ) thoả mÃn tính chất luồng thông tin thị tr-ờng đ-ợc gọi lịch sử diễn biến giá tài sản S từ khứ thời điểm t Trong toán học, (FtS , t 0) đ-ợc gọi lọc tự nhiên trình ngẫu nhiên (St, t 0) 1.2.2.4 Luồng thông tin tổng hợp thị tr-ờng Định nghĩa 1.2.6 Giả sử thị tr-ờng M gồm có tài sản S 1, S , , S K k Mỗi tài sản S k (k = 1, 2, , K) øng víi mét lÞch sư diƠn biến FtS Khi luồng thông tin tổng hợp thị tr-ờng M, ký hiệu FtM đ-ợc ®Þnh nghÜa bëi ∀t ≥ FtM = K [ FtS k k=1 Trong đó, với t, FtM lÞch sư diƠn biÕn cđa thÞ tr-êng M cho tíi thời điểm t 1.2.2.5 Giả thuyết thị tr-ờng hiệu Định nghĩa 1.2.7 Giả thuyết thị tr-ờng hiệu giả thuyết gồm hai điều kiện sau: (i) Mọi thông tin tài đ-ợc phản ánh đầy đủ giá sản phẩm tài (ii) Mọi nhà đầu t- có hội nh- để tiếp cận thông tin thị tr-ờng Nói cách khác, có hội v-ợt trội nắm bắt đ-ợc thông tin thị tr-ờng (giá cả, sách ) ng-ời khác Hai điều kiện đ-ợc gọi hai nguyên lý giả thuyết thị tr-ờng hiệu Giả thuyết đ-ợc nhà kinh tế học Mỹ Eugene Fama đ-a năm 1965 Ba dạng thị tr-ờng hiệu quả: - Dạng yếu: Khi thông tin thị tr-ờng thông tin khứ - Dạng trung bình: Khi thông tin thị tr-ờng thông tin công khai - Dạng mạnh: Gồm thông tin có thể, ra, diễn biến t-ơng lai giá sản phẩm tài phụ thuộc vào thông tin khứ thông qua giá chúng Nói cách khác, giá tài sản tài có tính chất Markov 1.2.2.6 Một số khái niệm toán tài a) Ph-ơng án đầu t- Một ph-ơng án đầu t- tổ hợp số hữu hạn chứng khoán với trọng số Giả sử có n chứng khoán với giá trị thời điểm t S1 (t), , Sn(t) Một ph-ơng án đầu t- cách chọn (t) chứng khoán S1 , , n (t) chứng khoán Sn thời điểm t để đầu t- Vậy giá trị V (t) ph-ơng án thời điểm t lµ: α V (t) = α1 (t)S1(t) + + αn (t)Sn (t) = n X αi (t)Si (t) i=1 Rõ ràng V (t) trình ngẫu nhiên Các i (t) hàm số tất định t Nếu i (t) > gọi ph-ơng án bán chứng khoán Si , i (t) < gọi ph-ơng án mua chứng khoán Si Ph-ơng án đầu t- đ-ợc gọi danh mục đầu t- chiến l-ợc đầu t- đ-ợc ký hiệu (, S) b) Cân đối lại tự tài trợ - Tại thời điểm t, ph-ơng án đầu t- đ-ợc cân đối lại, tức điều chỉnh lại việc mua bán chứng khoán Si (1 i n) Điều có nghĩa thay ®ỉi c¸c träng sè cđa chóng tõ α1 (t), , αn(t) sang β1 (t), , βn(t) - NÕu sau cân đối lại mà giá trị ph-ơng án đầu t- không thay đổi ta gọi cân đối lại cân đối tự tài trợ 1.2.3 Cơ hội có chênh lệch thị giá nguyên lý AAO Xét mô hình thị tr-ờng M gồm chứng khoán S họ ph-ơng án đầu t- tự tài trợ Định nghĩa 1.2.8 Một ph-ơng án đầu t- tự tài trợ đ-ợc gọi hội có độ chênh thị giá trình giá Vt () ph-ơng án đầu t- thoả mÃn điều kiện: 10 ... nhiều tình Trong luận văn cố gắng định nghĩa vấn đề liên quan đến mô hình FLM để thay cho mô hình loga chuẩn cổ điển, truy lại cấu trúc độ biến động nh- đà quan sát thị tr-ờng Luận văn gồm ba ch-ơng... tr-ớc chuyển động Brown kết hợp Đồng thời xây dựng lớp mô hình phù hợp cách gần nh- xác với độ biến động thị tr-ờng cho đầu vào ã Phần phụ lục Trình bày tóm tắt số yếu tố mô hình thị tr-ờng LIBOR... gọi mô hình thị tr-ờng độ biến động tiềm ẩn Các ví dụ Schonbucher (1999), Ledoit Santa Clara (1998) Với đề tài "Hiệu ừng Nụ c-ời toán tài chính" luận văn này, sau tìm hiểu mô hình Black - Scholes,