Skkn rèn luyện kĩ năng giải các bài toán hình học phẳng

RÈN LUYN KĨ NĂNG GII CÁC BÀI TỐN HÌNH HC PHNG **************** I) Suy nghĩ v vic hc Tốn Hình hc phng hin Có t hi làm th đ gii mt tốn Hình hc phng (HHP) chưa? Hay đ có th gii mơn HHP, mt bn có th gii nhanh gn n tưng mt toán HHP, cịn khơng? ðúng nhng đ rt thưng ñưc ñt mun tr li mt cách tha đáng đy đ qu l điu khơng đơn gin! Cũng ging dng tốn khác, đ gii mt tốn HHP đó, cn phi t gi thit, thơng qua suy lun đ tìm c on đưng ñn kt lun hoc mt yêu cu ñó ñt ca đ Nhưng đc bit hơn, mơn HHP, n gồi nhng tư logic thơng thưng, cịn cn phi có tư hình tưng, cn phi tìm đưc quan h gia yu t hình hc thơng qua nhìn trc quan Vi đc trưng đó, mt mt làm cho có th thy ñưc ñ ñang cn gii quyt mt cách rõ ràng mt khác địi hịi mt kh tưng tưng phong phú sâu sc nu mun hc tt d ng Toán Trên thc t, nhng hc sinh gii Tốn, khơng có nhiu ngưi gii HHP; tham gia kì thi HSG, h sn sàng b ñi mt câu HHP đ có thi gian dành cho nhng Tốn khác Nhưng hu tt c kì thi, ta đu thy s góp mt ca mt hoc hai Tốn HHP vi khong 1525% s đim c đ th th c s quan trng! Có mt điu l hc hình hc vi thi gi an nhiu bt c dng Tốn khác Ngay t lp làm quen vi khái ni m ñim, ñon thng, ñưng thng, góc,… ðn lp ñã bit đnh lí hc cách ch ng minh chúng: chng minh hai góc đnh 80 ,…Và hc rèn luyn chúng bng nhau, chng minh tng ba góc ca tam giác sut cho đn bây gi, thi gian dài vic hc bt c mt tốn s dng đo hàm, mt gii hn hay lưng giác Th nhưng, dưng nh Hình hc ln khơng mt la chn hàng ñu bt ñu cho li gii ca mt đ thi HSG Th m chí ni ám nh, lo s ca nhiu bn HSG Tốn Khi nhìn thy mt hình đó, h c ñưa v ði s nhanh tt sn sàng chp nhn bin ñi, khai thác nhng biu thc cng knh thay tốn có th gii mt cách nh nhàng bng hình hc thun túy Ta không ph nhn rng hc gii HHP khơn g phi chuyn d, có th cn khiu rèn luyn lâu dài, phi làm nhiu dng đ tích lũy cho nhng kinh nghim s nhy bén cn thit ñ ñi mt vi mt HH P mà khơng b ng ngàng, lúng túng Chng hn có nhiu hc sinh THCS có th gii HH P hc sinh THPT bi lí khiu Th nhưng, chng may khơng có khiu sao, chng l li b cuc? Tt nhiên cách gii quyt, tham kho mt s hưng gii quyt gi ý rèn luyn sau ñây ñ khc phc mong rng nhng ñiu có th giúp bn rút ñưc cho bn thân mt ý tưng mi cho vic hc HHP thi gian t i Th nhưng, ña s bn chưa gii HHP thưng ghét phn tránh làm tốn v hình hc; đó, trưc ht bn làm quen tip xúc nhiu vi nó, lâu dn bn có th tìm thy s thú v mà nhng toán HHP đem li mt s tin b cho * Chúng ta suy nghĩ v ñ sau : t lun? • Làm ñ rút ngn đưng t gi thit đn k • Làm ñ tn dng ht gi thit ñ cho? • Làm đưa kin thc hình hc sn có (như mt phương pháp hoc mt đnh lí đó) cho vic gii mt tốn HHP? án? • Làm cách đ có th k đưng ph gii mt to • Làm đ nâng cao trình đ HHP nu đ ã có mt lc nht đnh ? Các ni dung trình bày dưi s làm rõ điu đó: MT BÀI TOÁN ðƠN GIN NHƯNG K NHIU ðƯNG PH * Li gii ca VD đưc trình bày dưi ch y u da hưng suy nghĩ chính, trng phân tích bưc lp lun ch khơng sâu vào xét trưng hp ca hình v có th xy nhm hn ch s phc Dù vy thc t , gii toán HHP, nên ý ñiu này, nên xét ht trưng hp (v trí đim, tia; phân giác trong, ngồi; tam giác cân, khơng cân; đưng trịn thc s suy bin, ) đ đm bo li gii đưc đy đ xác ! II) Mt s cách rèn luyn tư hình hc nâng cao k 1) La chn cơng c thích hp đ gii mt tốn HHP Chúng ta th ngm nghĩ li, ñang hc sin thy phương pháp gii mt toán HHP C ñó chưa th gi mt phương pháp theo nghĩa đnh hưng, tư tưng ca li gii; gii b Xin nêu mt s phương pháp bn sau: ĩ gii toán HHP h THPT hin nay, bit đưc ht ó th bit nhiu đnh lí, b đ tng qt đây, ta nói đn phương pháp ng cách ch chưa ñi sâu vào vic gii th Phương pháp hình hc thun túy (quan h song song, vng góc; tam giác đng dng, bng nhau; tính cht ca tam giác, đưng trịn; đnh lí hình hc quen thuc; phép bin hình,…) Phương pháp lưng giác (ñưa yu t v lưng giác ca góc bin đi) Phương pháp vectơ (dùng vectơ chng minh tính cht hình hc ho c dng mt h vectơ đơn v đ gii tốn) Phương pháp ñi s (ñưa yu t v ñ dài cnh bin ñ i) Phương pháp ta ñ (ñưa gi thit ñã cho vào mt h trc ta đ tì m ta đ đim, phương trình đưng thng, đưng trịn liên quan) Trong đó, mc đ tư hình hc đưc th hin gi m dn qua th t phương pháp Nu mt hc sinh chưa gii HHP thư ng vi tốn có gi thit “thun li” lp tc s dng ta đ, điu tt nhiên có ích ch o kĩ tính tốn, bin đi s ca nói chung khơng có li cho vic rèn luyn tư hình hc Và đa s tốn hình khó có th s dng phương pháp này, ch cn mt đưng t rịn hoc mt tâm đưng trịn ni tip khin cho vic dùng phương pháp ta đ tht khó khă n ri Th khơng phi nói vy mà ta li qn phương pháp đưc Có vài bn n i dung li khơng thích s dng ta đ c tìm mt cách gii thun túy cho Cơng v ic khơng phi lúc đúng, nht vi kì thi HSG có thi gian “gp rút” s lưng tốn cn gii đưc li tương nhiu Chúng ta th nói v mt tốn đơn gin sau: VD1: Cho ñon thng AB c ñnh ñưng thng d c ñnh song song vi AB ðim C di đng d Tìm qu tích trc tâm tam giác ABC * Phân tích: Mt s bn thy tốn có gi thit tht đơn gin, ch có ñon thng c ñnh, mt ñim di ñng ñưng thng song song ri tìm trc tâm; thêm na, tốn có v quen thuc nên h ch v hình c gng k đưng ph đ gii Th nhưng, chc chn bn s khó mà tìm đưc mt li gii hình hc thun túy cho tốn mà thc t qu tích ca H mt ñưng parabol! C H A O Nu khơng cn thn v hình trưc nhiu ln đ d đốn qu tích, chc chn rng khơng cịn mt qu tích đưng thng, đưng cong thơng thưng mà mị mn tìm khơ có Bài tốn khơng khó nu khơng la chn thành cơng vic gii đưc * Gii: ng cách s khơng đn kt qu mun cơng c khơng th nhanh chóng Trong mt phng ta đ Oxy, xét A (1; 0), B (1; y = a , a ≠ , C di ñng nên có ta đ C (m; a) ) đưng thng d có phương trình: , m∈ ℝ Ta s tìm ta đ trc tâm ca tam giác ABC Phương trình đưng cao ca tam giác ng vi ñnh C là: x = m; (m − 1)(x + 1) + ay = ⇔ ( m − 1)x + ay + m − = Phương trình đưng cao ng vi đnh A là: Ta đ trc tâm ca tam giác ABC nghim ca h: x=m ( m − 1)x + ay + m − = ⇔ x=m 1− x2 = Suy ra: y 1− m2 y= a a 1− x2 y= Vy qu tích ca H parabol có phương trình: a VD2: Cho tam giác ABC có cnh BC c ñnh, A di ñng tron lưt trng tâm, trc tâm ca tam giác Bit rng qu tích ca A A G B C g mt phng Gi G, H ln ñon GH ct BC ti trung ñim ca GH, tìm * Phân tích Ta thy gi thit ca tốn khơng phc điu kin GH ct BC ti trung đim ca GH qu tht khó dng; ta có th hiu đơn trung đim ca GH thuc BC vy cũn khơng đem li nhiu gi ý cho li gii tốn Và đng trưc nhng tốn có gi thit ñơn gin gin g nu ng khó dng th th nghĩ đn phương ph ta đ Khi đó, dù tính cht hình hc chưa ñưc áp th hin ñy ñ ñiu kin hình hc s đư đm bo cht ch Cũng tin hành la chn mt h trc ta ñ thích h c p H tương t ri tính ta đ đim G, H vit phương trình đưng thng cn thit, đt vào u kin ca tốn, ta s tìm đưc qu tích ca đim A mt đưng hypebol Các bn th gii li toán vi vic gi nguyên gi thit ban ñu, ch thay trc tâm H bng tâm đưng t rịn ngoi tip O, cơng vic nói chung đưc tin hành tương t dù vy ta có thê m mt khám phá mi Và nu đưc, gii li hai tốn va ri bng phương pháp hình hc thun túy da đnh nghĩa đưng conic, tìm tiêu đim ñưng chun ca chúng! ðây mt ñ không ñơn gin * Ta so sánh hai phương pháp gii tốn sau đ rút tm quan trng ca vic la chn phương pháp phù hp gii tốn HHP: VD3: Cho tam giác ABC Phía ngồi tam giác ABC dng đim D, E, F cho tam giác BCD, CAE, ABF tam giác ñu Chng m inh hai tam giác ABC DEF có trng tâm Gii: *Cách S dng phương pháp vectơ : (khá nh nhàng không cn tn nhiu thi gian ñ nghĩ cách gii này) Gi M, N, P ln lưt trung ñim ca BC, CA, AB Ta có: AD+BE+CF = AM +MD+BN +NE+CP+PF =(AM +BN +CP)+(MD+NE+PF) 1 AM +BN +CP = (AB+ AC)+ (BA+BC)+ (CA+CB) =0 2 Và MD + NE + PF = theo đnh lí nhím nên: AD+BE+CF =0 Vy hai tam giác ABC DEF có trng tâm *Cách S dng hình hc phng thun túy : (dng nhiu đưng ph, hưng suy nghĩ thiu t nhiên địi hi có kinh nghim v tốn có gi thit tương t th này) Gi I trung ñim EF Q ñim ñi xng vi D qua BC, đó: Δ BCQ tam giác đu Ta thy phép quay tâm B góc quay 60 bin C thành Q, bin A thành F nên: ΔABC = ΔFBQ , tương t: D thy: ΔABC = ΔEQC ⇒ ΔFBQ = ΔEQC E Suy ra: FQ = AC = AE, QE = AB = AF t giác AEQF hình bình A I hành Do đó: I trung đim ca AQ, mà M trung đim ca QD nên IM Q F ñưng trung bình ca tam giác QAD N P ⇒ IM = G C B M D AD IM //AD Gi G giao ñim ca AM ID theo đnh lí Thalès: GM=GI =IM=1 GA GD AD Hơn na G thuc hai trung tuyn ca tam giác ABC DEF nên trng tâm chung ca hai tam giác ABC DEF Vy hai tam giác ABC DEF có trng tâm (đpcm) * Trong vic gii tốn bng phương pháp t a ñ, ta cn ý ñn vic chn h trc ta ñ hp lí: ta đ đim, phương trình đưng thng cn vit đơn gin; có nhiu liên h vi đim ñã cho gi thit, tn d ng ñưc yu t đưng song song, vng góc, trung đim hình cn dng đơn gin,… Chng hn có tốn sau: VD4: Cho tam giác ABC có D trung đim ca cnh BC G vng góc vi đưng thng AD Trên đưng thng d trung ñim ca ñon thng MB, MC ðưng thn thng AB ti P, đưng thng qua F vng góc vi d c rng đưng thng qua M, vng góc vi ñưng thng P ñng ñưng thng d i d ñưng thng qua D ly mt ñim M bt kì Gi E, F ln lưt g qua E vng góc vi d ct đưng t đưng thng AC ti Q Chng minh Q ln qua mt đim c đnh M di * Phân tích Ta thy ñ gi thit ñưa ch xoay quanh yu t trung đim, đưng vng góc, đon thng, có P A D' M E K nhiu yu t vy nên vic liên kt chúng li ñm bo s dng ñưc tt c gi thit qu ñiu không d dàng Chúng ta có mt li gii bng cách s dng phương F K' B C pháp hình hc thun túy nh kin thc trc ñng phương sau D H' H Q I phc cn phi k D nhiu đưng ph: *Gii Gi H, K ln lưt hình chiu ca B, C lên ñưng Do D trung ñim ca BC nên DH = DK, suy r Gi (ω) ñưng trịn tâm A qua H K thng d a AD trung trc ca HK Gi H’, K’ ln lưt ñim ñi xng vi H, K q ⇒ H’, K’ thuc (ω) ua ñưng thng AB, AC ⇒AH =AK Gi s ñưng thng HH’, KK’ ct ti I I đim c đnh (*) Ta có : PE // BH (cùng vng góc vi d) mà PE q ua trung ñim ca MB nên qua trung ñim ca MH ⇒ PE trung trc ca MH ⇒ PH=PM Gi (ω1) đưng trịn tâm P qua H M, tính xn Hồn tồn tương t, ta có: QF trung trc c a MK; nu gi g nên H’ thuc (ω1) (ω2 ) đưng trịn tâm Q qua K M K’thuc (ω2 ) Ta li có: + (ω) , (ω1) ct tai H, H’ nên HH’ trc ñng phương ca (ω),(ω1) + (ω) , (ω2 ) ct tai K, K’ nên KK’ trc ñng phương ca (ω),(ω2) Mt khác : M thuc (ω1) , (ω2 ) P, Q ln lưt tâm ca (ω1) , (ω2 ) nên ñưng thng d’ qua M, vng góc vi PQ trc đng phương ca (ω1),(ω2 ) T suy ra: HH’, KK’, d’ ñng quy ti tâm ñng ph T (*) (**) suy d’ ñi qua I ñim c ñnh ương ca ba đưng trịn (ω),(ω1),(ω2 ) (**) Vy đưng thng qua M, vng góc vi đưng th đng đưng thng d Ta có đpcm ng PQ ln qua mt ñim c ñnh M di * Ta có th s dng phương pháp ta đ đ gii nh nhàng vic xác đnh ta đ trung đim vit phương trình đưng vng góc cho biu thc đơn gin, ñáp án thc ca ñ thi HSGQG Th nhưng, khơng phi cách chn trc ta đ cho ta mt li gii nhanh gn Nu chn h trc ta đ gc D trc hồnh trùng vi BC theo suy nghĩ thơng thưng li gii s dài phc h ơn so vi chn gc ta đ D trc hồnh đưng thng d Các bn th vi cách s thy s khác bit đó! Qua VD trên, ta thy rng vic la chn cơng c thích hp đ gii tốn hình hc mt yu t quan trng đ có th đn kt qu mt cách ñơn gin ngn gn hơn, nhiu cách nht có th gii quy t ñưc ñ 2) V vic tn dng gi thit ca đ Trong mt tốn thơng thưng, gi thit đưa ra, dù hay nhiu, dù gián tip hay trc tip, bt c li gii ca tốn đu đưc tn dng Mt tốn có gi thi t nói chung vic s dng chúng đơn gin bi khơng phi d dàng cho vic đưa hàng lot gi thit, yu t, quan h hình hc vào li gi i ca Mi gi thit đưa đu có mc đích tm quan trng nht đnh; nhim v ca xác ñnh xem quan trng nht ñ tn dng liên kt tt c vào l i gii tốn ca mình! Trưc ht, ta đt câu hi : “ gi thit nói lên điu gì?”, chng hn cho gi thit: tam giác ABC có M, N, P trung ñim cnh , ñiu ñó gi cho ta suy nghĩ rng: Các cnh ca tam giác MNP song song bng na cnh ca tam giác ABC tương ng; Tam giác MNP ñng dng vi tam giác ABC vi t s ñ ng dng l ẵ; Din tớch tam giỏc MNP bng ẳ din tích tam giác AB C; Phép v t tâm G – trng tâm tam giác ABC vi t s 1/2 bin tam giác ABC ñã cho thành tam giác MNP; Hai tam giác có trng tâm; ðưng trịn ngoi tip tam giác MNP đưng t rịn Euler nên qua chân đưng cao trung ñim ñon ni trc tâm ñ nh ca tam giác ABC; Trc tâm ca tam giác MNP tâm đưng trịn ng oi tip ca tam giác ABC, * Có tht nhiu suy nghĩ t mt gi thit nu t a b sót mt s chúng có th khơng gii đưc tốn chìa khóa v n đ (tt nhiên khơng phi dùng ht ý) Chúng ta có đưc nhiu liên tưng kin thc hình hc ca nhiu kinh nghim sâu sc, điu địi hi ta cn m mt s lưng nht ñnh toán HHP Tip theo ta li hi: “ vy nu chưa có nhiu kinh nghim sao?”, tt nhiên có mt cách nh giúp ta có th thy trc quan gi thit Chúng ta th tìm cách dng “gi thit” bng thưc compa, nht vi gi thit có phn phc tp, điu nhiu lúc rt có ích Chúng ta th tìm hiu rõ điu qua toán sau: tha: KAB == KBC == VD5: Cho tam giác ABC có K đim nm tam giác KCA Gi D, E, F ln lưt tâm đưng trịn ngoi tip c ác tam giác KBC, KCA, KAB Gi M, N, P ln lưt giao ñim ca BC, FD; CA, D E; AB, EF Chng minh rng: tam giác ABC, DEF, MNP ñng dng vi 13