Skkn rèn luyện kĩ năng giải một số bài toán liên quan đến khoảng cách trong hình học không gian lớp 11 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TĨNH GIA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 Người thực hiện: Phan Thị Nhường Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HỐ NĂM 2022 skkn Mục lục Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài .1 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu .1 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 19 Kết luận kiến nghị 19 3.1 Kết luận 19 3.2 Kiến nghị 20 skkn Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Đứng trước tốn, đặc biệt tốn khó người làm tốn ln đặt phương hướng giải Tuy nhiên người ham mê tốn cịn tìm cách giải quyểt khác nhau, tìm cách giải hay ngắn gọn lạ lại kích thích tính tị mị khám phá lịng say mê học tốn Hiện nay, đề thi TN THPT, đề thi chọn học sinh giỏi thi hình thức trắc nghiệm và thường xuất tốn hình học khơng gian cổ điển mà lời giải địi hỏi vận dụng nhiều kiến thức hình học phức tạp như: quan hệ song song, quan hệ vng góc, dựng hình để tính số đo góc hay tính khoảng cách… Việc tiếp cận tốn thực tế cho thấy thật khó khăn với học sinh, học sinh có lực học yếu trung bình Ví dụ tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách hai đường thẳng, khoảng cách đường thẳng mặt phẳng hay khoảng cách hai mặt phẳng Qua nghiên cứu nhiều tài liệu, nhận thấy tốn tính khoảng cách có nhiều dạng có nhiều cách tiếp cận khác Nhưng hầu hết dạng tốn dẫn đến việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Để giải toán ta quy toán tính khoảng cách từ điểm chân đường vng góc hình chóp hình lăng trụ đến mặt phẳng Đây phương pháp định hướng cho học sinh tiếp cận tốn tính khoảng cách thời gian ngắn Với lí từ thực tế giảng dạy với kinh nghiệm thu tiến hành thực đề tài sáng kiến kinh nghiệm cho năm học 2021 - 2022 với nội dung “ Rèn luyện kỹ phát triển tư để giải số toán liên quan đến khoảng cách hình học khơng gian lớp 11 ” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Khi nghiên cứu đề tài này, tơi mong muốn học sinh tiếp cận tốn liên quan đến khoảng cách hình học khơng gian lớp 11, biết quy lạ quen Đồng thời giúp học sinh có số kiến thức, phương pháp kỹ để học sinh giải số dạng toán liên quan - Bài tốn tính khoảng cách tảng quan trọng cho tốn tính thể tích hình học lớp 12 Hình thành cho em thói quen tìm tịi, tích lũy rèn luyện kỹ giải nhanh toán 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu sáng kiến học sinh mức độ đại trà lớp 11, Trường THPT Tĩnh Gia – Nghi Sơn - Thanh Hóa 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, số tài liệu internet … skkn - Phương pháp quan sát: Quan sát trình giảng dạy hoạt động học tập Trường THPT Tĩnh Gia - Thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm đánh giá hiệu sử dụng đề tài nghiên cứu việc giảng dạy lớp 11B3, 11B4 năm học 2021 - 2022 trường THPT Tĩnh Gia Nội dung sáng kiến kinh nghiệm d 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm a 2.1.1 Các định nghĩa (α) - Đường thẳng vng góc với mặt phẳng [1] Đường thẳng d gọi vuông góc với mặt phẳng ( ) Hình d vng góc với đường thẳng a nằm mặt phẳng ( ) (h.1), ký hiệu - Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng [1] Cho điểm O đường thẳng a Trong mặt phẳng a O• gọi H hình chiếu vng góc O a Khi H α khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a (h.2), ký hiệu Hình Vậy - Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng [1] O Cho điểm M mặt phẳng ( ) Gọi H hình chiếu vng góc M lên mặt phẳng ( ) Khi khoảng cách hai điểm M H gọi khoảng cách H M α từ điểm M đến mặt phẳng (h.3) Kí hiệu Vậy Hình - Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song [1] a A B Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng ( ) Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng ( ) khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng ( ) , ký hiệu • α A'• B' (h.4) Vậy với Hình - Khoảng cách hai mặt phẳng song song [1] Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng kia, M α ký hiệu (h.5) Vậy - Khoảng cách hai đường thẳng chéo • Cho hai đường thẳng chéo a b Đoạn thẳng MN ( M  a, N  b) gọi đường vng góc chung a b β M' Hình skkn MN  a, MN  b Khi ta nói MN khoảng cách hai đường thẳng chéo a b (h.5a) • Nếu a chéo b , b  ( ), a // ( ) M  a (h.5b) • Nếu a chéo b , a  ( ), b  (  ) , ( ) // (  ) M     (h.5c) a M M a a M α h b α N b b β Hình 5b Hình 5a Hình 5c - Góc đường thẳng mặt phẳng [1] A d Cho đường thẳng d mặt phẳng ( ) • Trường hợp đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( ) góc d mặt phẳng ( ) 900 O d' • Trường hợp đường thẳng d khơng vng góc với H α mặt phẳng ( ) góc d hình chiếu d’ Hình ( ) gọi góc d ( ) (h.6) - Góc hai mặt phẳng [1] Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng - Cách xác định góc hai mặt phẳng α Giả sử ( )  (  )  c , Lấy I  c Dựng đường thẳng a a ( ) đường thẳng b (  ) vng góc với c I Khi góc hai ( ) (  ) góc giũa hai β đường thẳng a b c I b 2.1.2 Các định lý hệ [1] Hình d α a a b c α β b Hình 8b Hình 8a - Nếu đường thẳng vng góc với hai đường cắt thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng - Nếu đường thẳng vng góc với hai cạnh tam giác vng góc với cạnh thứ tam giác - Điều kiện để hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng - Nếu hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng mà vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng skkn 2.1.3 Phương pháp tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) [5] - Xác định điểm H cho MH vng góc với ( ) H Cụ thể: β - Xác định mp (  ) chứa điểm M vng góc với mp ( ) M theo giao tuyến  - Trong mp (  ) kẻ MH vng góc với  H ( H   ) H α Chứng minh: Hình ( )  (  )    MH  ( ) Ta có   MH  (  ), MH   2.1.4 Các hệ thức lượng tam giác vuông [3] Cho tam giác ABC vuông A Gọi AH đường cao Đặt AB  c, AC  b, BC  a, AH  h, ta có: A • a  b2  c2 b • b  a.s in B  a.cosC; b  c.tan B  c.cot C c h 1 • SABC  b.c ; SABC  a.h B H a C 2 Hình 10 1 b.c    h  • h b2 c2 b2  c A 2.1.5 Định lý Talet trong tam giác [3] Nếu đường thẳng song song với cạnh tam d giác cắt hai cạnh cịn lại định cạnh M N đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ (h.7) C B AM AN AM AN MB NC Hình 11    Nếu MN // BC ; ; AB AC MB NC AB AC 2.1.6 Phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng [6] - Nếu  // mp ( ) - Cho   ( )  I , gọi A ', B' hình chiếu A B ( ) với A, B   Áp dụng định lý Talet ta có - Nếu A α A' Hình 12a B B B' C A α I A' B A B' Hình 12b α A' I Δ B' C' Hình 12c skkn 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua thực tế giảng dạy Trường THPT Tĩnh Gia 4, chất lượng đầu vào thấp, điểm sàn vào lớp 10 thấp khu vực Thị Xã Nghi Sơn Bên cạnh đó, em chủ yếu thuộc vùng bãi ngang ven biển lân cận miền núi, kinh tế khó khăn nên gia đình em học sinh chưa thật đầu tư cho việc học Vì vậy, đa số học sinh có lực học trung bình yếu mơn tốn Trong q trình giảng dạy, tơi thấy tốn tính khoảng cách vấn đề khó khăn với phần đa học sinh Các em vận dụng kiến thức học vào giải tốn Trong đó, tốn tìm khoảng cách nhiều dạng nên em dễ rối tiếp cận đề Đặc biệt năm gần hình thức thi cuối học kỳ, thi học sinh giỏi hay kỳ thi TN THPT đưa hình thức trắc nghiệm, khối lượng kiến thức nhiều, thời gian làm có hạn Vì vậy, học sinh cần có cách tiếp cận dễ hiểu để giải toán ngắn gọn, rút ngắn thời gian làm Qua kiểm tra thường xun mơn Hình học lớp 11B3, 11B4 Trường THPT Tĩnh Gia 4, có số học sinh làm tốt, lại nhiều học sinh chưa định hình phương pháp thường bị điểm dạng tập 2.3 Các giải pháp giải vấn đề Trong trình giảng dạy lớp 11B4, tơi tích cực áp dụng việc Rèn luyện kỹ phát triển tư để giải số tốn liên quan đến khoảng cách hình học không gian lớp 11 Dưới số dạng minh họa mà áp dụng trình nghiên cứu thực đề tài Hệ thống tập có phân dạng, phân loại từ dễ đến khó làm tài liệu ơn tập áp dụng cho kỳ thi học sinh giỏi, kỳ thi TN THPT Sau em nắm kiến thức phân loại dạng toán tơi đưa cách tính nhanh khoảng cách phù hợp với hình thức đề thi trắc nghiệm 2.3.1 Dạng 1: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng chứa đường cao Phương pháp: Giả sử tính khoảng cách từ điểm M đến mp( ) -Dựng đường vng góc từ điểm M đến cạnh đối diện nằm ( ) -Chứng minh tính vng góc -Tính khoảng cách Ví dụ [4] Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình chữ nhật, SA vng góc với mặt phẳng đáy, O giao điểm AC BD G trọng tâm tam giác ABC , AB  a, AD  a Khoảng cách từ G đến mặt phẳng ( SAD ) 2a 4a a a A B C D 3 Phân tích: Để xác định khoảng cách từ G đến ( SAD) ta dựng GI vng góc với cạnh đối diện AD Thì GI khoảng cách từ G đến ( SAD ) Lời giải -Dựng skkn S GI  AD  GI  ( SAD) -Chứng minh: ta có  GI  SA -Tính GI : Trong DAB có nên áp dụng I định lý talet tam giác DAB Ta có A D IG DG 2 2a    IG  AB  O AB DB 3 G 2a B Hình 13 C Vậy d (G,( SAD))  Ví dụ [4] Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' ,Tam giác ABC vuông C Hình chiếu A’ mặt phẳng ( ABC ) trung điểm H cạnh AB Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A ' HC ) a a a B C a D 3 Phân tích: Vì H hình chiếu vng góc A ' mp(ABC) nên A ' H đường cao hình lăng trụ Mặt phẳng ( A ' HC ) chứa đường cao A ' H Để xác định khoảng cách từ A đến ( A ' HC ) A ta dựng AK vng góc với cạnh đối diện HC Khi đ ó AK khoảng cách từ A đến ( A ' HC ) Lời giải -Dựng: A'  AK  HC  AK  ( A ' HC ) -Chứng minh: Ta có   AK  A ' H A -Tính AK : Ta có AB  AC  BC  3a  a  2a  HC  a 1 a2 SABC  CA.CB  a 3.a  2 a2 SAHC  S ABC  2S a Mà SAHC  AK HC  AK  AHC  HC Vậy C' B' A K H B C Hình 14 Chọn đáp án A 2.3.2 Dạng 2: Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng Thực tế em học sinh thường thấy khó việc dựng hình Nên dạng đề tài phân trường hợp cụ thể em học sinh tiếp cận cách dựng khoảng cách dễ dàng skkn Nội dung Cách dựng Trường hợp 1: Hình Dựng AH  SB d ( A,( SBC ))  AH chóp S ABC có SA  ( ABC ) , S tam giác đáy vuông H B Hãy xác định khoảng cách từ A đến ( SBC ) A B Chứng minh  BC  AB  BC  ( SAB ) +  BC  SA  BC  AH (1) + AH  SB (2) Từ (1) (2)  AH  ( SBC ) Vậy AH  d ( A,( SBC )) C Trường hợp 2: Hình S ABC chóp có SA  ( ABC ) Hãy xác định khoảng cách từ A đến ( SBC ) Ta cần tạo góc vng mặt phẳng đáy để quy toán trường hợp Dựng AI  BC AH  SI Khi d ( A,( SBC ))  AH S Ta có:  BC  AI  BC  ( SAI )   BC  SA  ( SBC )  ( SAI ) theo giao tuyến SI Trong ( SAI ) kẻ AH  SI  AH  ( SBC ) Vậy AH  d ( A,( SBC )) H C A I B * Trường hợp đặc biệt Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi vng góc Gọi H hình chiếu vng góc A mặt phẳng ( BCD) D 1 1    AH AB AC AD Ví dụ (Trích tuyển sinh đại học khối D-năm 2002) H Cho tứ diện ABCD có AD vng góc với mặt C phẳng ( ABC ), AC=AD=4, AB=3, BC=5 Khoảng A cách từ A đến mặt phẳng ( BCD ) I 34 34 A B B Hình 15 25 17 12 34 C D 17 skkn Lời giải Nhận xét: Vì BC  AB  AD nên ABC vuông A Tứ diện ABCD tứ diện vng A (vì AB, AC , AD đơi vng góc) Gọi H hình chiếu A mặt phẳng ( BCD ) 1 1 1 17 34     2 2 2  AH  2 2 AH AB AC AD 4 72 17 Vậy 2 Chọn đáp án C Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA vng góc với mặt phẳng đáy AB  a , BC  a , góc SC mặt phẳng đáy 450 a) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) 2a a 2a 2a A B C D 5 b) Gọi M trung điểm BC Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SDM ) a a 30 a A B C D a 5 Lời giải a) Phân tích: Ta nhận thấy Đường cao hình chóp SA , mp ( SBC ) khơng chứa đường cao, điểm A chân đường cao nên tốn dựa vào dạng Ngồi ABC vng B nên ta dựng AH  SB AH khoảng cách cần tính -Dựng S -Chứng minh: Ta có : + AH  SB + BC  ( SAB )  AH  BC  AH K Suy AH  ( SBC ) H -Tính AH : D 2 2 A AC  AB  BC  a  3a  2a I 45° SAC vuông cân A  SA  AC  2a SAB vng A ta c ó B C M SA AB 2a.a 2a AH    Hình 16 SA2  AB 4a  a Vậy Chọn đáp án B b) Phân tích: Ta nhận thấy mp ( SDM ) không chứa đường cao, điểm A chân đường cao nên toán dựa vào giải pháp Ngồi ta tính nên ABC không cạnh vuông M D ta dựng khoảng cách theo trường hợp dạng skkn -Dựng hình: Dựng AI  DM ( I  DM ) dựng AK  SI ( K  SI ) Khi -Chứng minh:  DM  AI  DM  ( SAI )  ( SDM )  ( SAI ) theo giao tuyến SI Ta có   DM  SA Trong ( SAI ) kẻ AK  SI  AK  ( SDM ) a 3 a -Tính AK : Ta có DM  DC  MC  a     2   1 AD AB a 3.a 2a S ADM  DM AI  AD AB  AI    2 DM a 7 AS AI a 30 SAI vuông A : AK   AS  AI Vậy Chọn đáp án A Ví dụ [5] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B Hình chiếu đỉnh S trùng với trung điểm H đoạn AC, AD=4a, SA=AB=BC=2a Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng ( SCD ) A a B a C 2a D a S Lời giải -Dựng hình: Kẻ HK  SC ( K  SC )  HK  (SCD ) A I K -Chứng minh: Gọi I trung điểm AD ta H có AI  BC  2a  ABCI hình bình hành B C  IC  AB  2a Hình 17 ACD có CI  AD nên AC  CD CD  SH  CD  ( SAC )  CD  HK (1) Ta có  CD  AC  HK  SC (2) Từ (1) (2) ta có HK  ( SCD) 1 AB  BC  4a  4a  a -Tính HK : HC  AC  2 SH  SA2  AH  4a  2a  a D skkn Xét SHC vuông H : HK  HS HC a 2.a a HS  HC 2a  a Vậy Chọn đáp án A 2.3.3 Dạng 3: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Để tính khoảng cách từ điểm M đến mp( ) ta tính khoảng cách từ điểm H chân đường cao hình chóp (hoặc hình lăng trụ) đến ( ) tìm mối quan hệ điểm M điểm H Từ suy khoảng cách từ M đến ( ) Ví dụ (Trích đề thi minh họa THPT năm 2015) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng B Hình chiếu S mặt phẳng đáy trung điểm cạnh AC , AC  2a , ACB  300 , SH  a Khoảng cách Từ C đến mặt phẳng ( SAB ) A a 66 B a 66 11  C a 15 D 2a 66 11 Phân tích : Ta nhận thấy mp ( SAB ) không chứa đường cao, điểm C khơng phải chân đường cao hình chóp nên toán thuộc vào dạng Lời giải S - Dựng hình: Lấy điểm H trung điểm AC Kẻ - Chứng minh: K  AB  HI A C  AB  ( SHI ) Ta có  30° H AB  SH  I  ( SAB)  ( SHI ) theo giao tuyến SI Hình 18a Trong ( SHI ) có HK  SI  HK  ( SAB ) B - Tính : C  ABC HI đường trung bình nên ta có H 1 a HI  BC  AC.cos300  2a  2 2 (SAB) Trong SHI vuông H : K M A a Hình 18b a HS HI  a 66 HK   11 HS  HI 3a 2 2a  Mặt khác HC  ( SAB )  A , K hình chiếu H ( SAB) Gọi M hình chiếu C mặt phẳng ( SAB) ta có 10 skkn Vậy Chọn đáp án D Ví dụ (Trích đề thi tuyển sinh khối B năm 2014) Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu A ' lên mặt phẳng ( ABC ) trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng A ' C mặt phẳng đáy 600 Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng A a 13 13 B 3a 13 26 C 3a 13 13 Phân tích: Ta nhận thấy A ' H đường cao đường hình lăng trụ nên ( ACC ' A ') không chứa đường cao Điểm B chân đường cao nên toán rơi vào dạng Ta tính khoảng cách từ điểm H đến ( ACC ' A ') suy khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( ACC ' A ') D a 13 26 A' C' B' K I A 60° C Lời giải H -Dựng hình: Lấy H trung điểm AB B Hình 19a Kẻ HI  AC ( I  AC ) HK  A ' I Khi -Chứng minh:  AC  HI H  AC  ( A ' HI ) Ta có  AC  A ' I   ( ACC ' A ')  ( A ' HI ) theo giao tuyến A’I A K (ACC'A') mp ( A ' HI ) HK  A ' I  HK  ( ACC ' A ') Trong có Hình 19b (đpcm) -Tính : HC hình chiếu A ' C ( ABC ) nên A ' CH  600 a a 3a A ' HC vuông H : A ' H  CH tan  A ' CH  tan 600  3 2 a a a  AHI vuông I : HI  AH sin IAH  sin 600   2 HA '.HI 3a 13  Trong A ' HI vuông H : HK  26 HA '2  HI Mặt khác B 11 skkn Vậy Chọn đáp án C Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB  a, AD  2a, SA  a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ trung điểm I đoạn thẳng SC đến mặt phẳng ( SBD ) a S A a a B C I G K a A D O Phân tích: Ta nhận thấy đường cao hình chóp H C SA, mp ( SBD ) không chứa đường cao điểm D Hình 20a I khơng phải chân đường cao hình chóp Vậy nên ta tính khoảng cách từ A đến (SBD) suy khoảng cách từ I đến (SBD) B A Lời giải -Dựng hình: Kẻ Khi G (SBD)  BD  AH  BD  ( SAH ) -Chứng minh: Ta có   BD  SA  ( SBD)  ( SAH ) theo giao tuyến SH Trong mp( SAH ) có AK  SH  AK  ( SBC ) I K Hình 20b AD AB a.2a 2a   BD a 5 SA AH 2a  SAH vuông A : AK  2 SA  AH và G trọng tâm SAC : ABD vng A : AH  -Tính Gọi Suy Ta có: Vậy Chọn đáp án C Ví dụ (Trích đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh hóa năm 2021-2022)  Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có BAC  600 , AC  120, AB  40 khoảng cách hai đáy 45 Biết hình chiếu A ' lên mặt phẳng đáy ( ABC ) điểm H thuộc cạnh BC Hai mặt phẳng ( ABB ' A '), ( ACC ' A ') tạo với đáy góc Khoảng cách hai đường thẳng AB ' A ' C gần với số sau đây? 12 skkn A 10 B C 32 D 21 Lời giải Gọi O, I trung điểm A ' B BC Do hai mặt phẳng ( ABB ' A ') ( ACC ' A ') tạo với đáy góc nên H chân đường phân giác góc A B' C' HC AC    H trung điểm BI Ta có HB AB A' A' H  15 Khi Gọi G  A ' H  OI  GH  O G Gọi M , N hình chiếu H AI N MG  HN  ( AIG ) I B H Theo định lý cosin tam giác ABC ta có M 60° BC  40 A Theo công thức độ dài đường trung tuyến cho Hình 21 tam giác ABC ta có AI  20 13 S ABC  40.120.sin 600  1200 , Trong tam giác GHM , vng H ta có 1 1 13       HN  HN HG HM 152 108 30  C  Vậy Chọn đáp án D Ví dụ 10 Cho hình chóp tứ giác S ABCD , đáy ABCD hình thoi cạnh AB  , AC  O giao điểm AC BD , SO  2; SO  ( ABCD) M trung điểm SC Tính khoảng cách hai đường thẳng SA MB D A B C S M Lời giải H Ta có Vì Mặt khác: BO  OC (vì ABCD hình thoi) BO  SO (vì SO  ( ABCD ) ) Suy BO  ( MOC )  ( MOB)  (MOC ) D (1) (2) K C O A Hình 22 B 13 skkn Vì ( MOB)  ( MOC )  OM nên kẻ CH  OM ( H  OM ) CH  ( BOM ) (3) SA 1  SO  OA2  (2 2)  22  Ta có OM  2 1 MC  SC  SA   OMC cân M 2 Kẻ MK  OC  K trung điểm OC nên MK  SO  MK OC 2.2   Trong MOC , ta có MK OC  MO.CH  CH  (4) MO 3 Từ (1),(2),(3) (4) ta có Chọn đáp án A Nhận xét: Qua ví dụ ta thấy cách giải nhìn chung dài, học sinh trung bình, yếu tiếp thu chậm nên nhiều thời gian để làm toán, khơng phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm Vì mạnh dạn đưa số cách giải nhanh 2.3.4 Cơng thức tính nhanh khoảng cách Bài tốn 1: Cho hình chóp O ABC có OA, OB, OC A đơi vng góc OA  a, OB=b, OC=c Tính a khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( ABC ) H Lời giải h b O Gọi d  d (O,( ABC )) ta có công thức B 1 1 c I    C d a2 b2 c2 Hình 23 Chứng minh: (trường hợp đặc biệt mục 2.3.2) Ví dụ 11 Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Tính khoảng cách từ A đến mp ( SBC ) S a 2a A B H 2a a A C D B 3 Lời giải I O Gọi O  AC  BD, D C Hình 24 Tứ giác ABCD hình vng nên OC  OB 14 skkn Xét hình chóp S OBC ta có  a 2        a2  d  a O a 2 a 2     2     a Vậy Chọn đáp án D d  2dO  Bài tốn 2: Cho hình chóp S ABC , SH  ( ABC ) Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC S Lời giải: Gọi chiều cao hình chóp AH A K  AH  BC , k= C AK H K Khi khoảng cách d tính cơng thức D 1 k t B   Hình 25 d x2 h2 Chứng minh: Kẻ At // BC  (SAt) // BC : khoảng cách từ chân đường cao SH đến Đặt Khi h.k x h.x 1 k2     (đpcm) Từ ta có d  k h  k x2 d x h h2  k x2 1 k2 Nhận xét: Công thức   dùng để tính khoảng cách hai đường d x h thẳng chéo đường chứa cạnh bên đường lại nằm mặt phẳng đáy Trong nhiều trường hợp học sinh áp dụng cơng thức để tính khoảng cách từ điểm nằm mặt phẳng đáy đến mặt AH bên Trong công thức học sinh cần ý xác định xác tỷ số k = AK Ví dụ 12 Cho h ình ch óp S.ABCD có đáy ABCD S hình vng cạnh a, SO  ( ABCD ) SO  a Khoảng cách SC AB A 2a 15 B a a A D 15 O skkn B a Hình 26 C C a 15 2a D h  SO  a, CO k  CA 1 k2 Áp dụng cơng thức   ta có d x h Lời giải Gọi Ví dụ 13 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC vng C , AB=5a, BC=4a, SA  (ABC), góc mp( SBC ) mp( ABC ) 600 Gọi D trung điểm cạnh AB Khoảng cách đường thẳng SD BC A a 39 13 B 3a 39 13 C a 39 D a 39 S Lời giải 3a A 5a Gọi 60° C M 4a D DA B  Hình 27 DB 1 k 3a 39 Áp dụng công thức   ta có     d  d x h d 9a 27 a 4a 13 h  SA  3a.tan 600  3a 3, k  Ví dụ 14 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, hình chiếu vng góc S mp ( ABCD ) trùng với trung điểm H cạnh AB Biết SA  a 2, AB=2a, BC=a Tính khoảng cách từ A đến mp ( SBD ) A B C D S a Lời giải Đối với học sinh tính khoảng cách từ chân đường cao H đến mp( SBD ) từ suy khoảng cách từ A đến mp ( SBD ) (h.28) F A D H B a 2a E Hình 28 C 1 k2 Tuy nhiên để rút gọn thời gian ta áp dụng công thức   d x h 16 skkn Gọi h  SH  SA2  HA2   a 2 Vậy Chọn đáp án B AH  AB  a  a, k  S Ví dụ 15 Cho hình chóp S ABC , đáy tam giác vuông cân B, AB  BC  2a Giả sử hai mặt phẳng ( SAB) ( SAC ) vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Gọi M trung điểm AB Mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) 600 Khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a A 2a 39 B a 39 13 A 2a N 60° M 2a 39 13 C C 2a Hình 29 B D 2a 41 13 Lời giải Gọi mp ( SAB ) mp( SAC ) vng góc với mp ( ABC ) nên SA  ( ABC ) NA 1 h  SA  AB.tan 600  2a , k  NA ( MN qua trung điểm AB song song với BC) 1 k2 1     Áp dụng công thức d x h a 2a  Vậy   13 2a 39  d  12a 13 Chọn đáp án C 1 k2 Ở ví dụ ta áp dụng cơng thức   để tính sau: d x h Gọi (vì x đường cao tam giác cạnh a) h  A' H  BH a 3a  tan 600  , k  BA 2 17 skkn 4 13 3a 13  2  d  2 d 3a 4.9a 9a 13 1 k2 Ở ví dụ 10 ta áp dụng cơng thức   để tính sau: d x h Ta có Khi Xét hình chóp S AOB có h  SO  2 , ,k AO 1 AO 1 12  2  d  2 d (2 2) Nhận xét: Như với việc áp dung linh hoạt cơng thức tính nhanh khoảng cách giúp học sinh rút ngắn nhiều thời gian mà kết tính tốn lại xác Với phần đa tập em áp dụng cơng thức tính nhanh để giải tốn Bài tập đề nghị Bài tập Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng A , ABC  300 , SBC tam giác cạnh a mặt bên ( SBC ) vng góc với đáy Khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SAB) a 29 a 39 a 39 A B a 13 C D 13 13 Bài tập Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, AC  a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) Góc SC mặt phẳng đáy 450 Gọi E trung điểm BC Khoảng cách từ E đến mặt phẳng ( SCD) a 21 a 21 a A a B C D 14 Bài tập Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M , N trung điểm AB AD Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( SCN ) theo a 4a a a a A B C D 3 4 Bài tập Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, ABC  300 , SBC tam giác cạnh a mặt bên ( SBC ) Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SAB ) a 39 a 39 a 39 2a 39 A B C D 13 26 39 13 18 skkn Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng B,C AB  3a, BC=CD=a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc SC mặt phẳng đáy 300 Gọi M điểm thuộc cạnh AB cho AM  AB Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SB DM 2a 470 3a 470 3a 47 2a 47 A B C D 47 47 47 47 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 2.4.1 Đối với hoạt động giáo dục • Thực nghiệm sư phạm trình quan trọng nhằm làm sáng tỏ vấn đề lí luận đề tài trường THPT Tĩnh Gia 4, đồng thời kết thu thực nghiệm sở khoa học để xác định tính đắn đề tài • Kết việc thực nghiệm sư phạm cho biết phù hợp đề tài với xu hướng đổi phương pháp dạy học theo hướng tích cực Sau năm học 2021 - 2022 việc áp dụng cho đối tượng học sinh lớp 11 trường THPT Tĩnh Gia Kết thực nghiệm tiến hành lớp thu sau: Trước áp dụng đề tài vào giảng dạy Lớp Sĩ số Loại giỏi Loại Loại TB 11B3 (ĐC) 44 2,5 % 12,8 % 75,9 % 11B4 (TN) 40 2,4 % 10,5 % 77,4 % Loại yếu Loại 8,8 % % 9,7 % % Sau áp dụng đề tài vào giảng dạy Lớp Sĩ số Loại giỏi Loại Loại TB 11B3 (ĐC) 44 3,5 % 18,3 % 74,7 % Loại yếu Loại 3,5 % 0% 11B4 (TN) 40 8,7 % 43,5 % 45,7 % 2,1 % 0% Qua bảng kết cho thấy có tiến lớn học sinh trình học tập tiếp cận sáng kiến kinh nghiệm Đây minh chứng cho thấy chất lượng dạy học cải thiện nâng cao, giúp em tự tin trước kỳ thi cuối năm lớp 11 học sinh lớp 12 kỳ thi THPT quốc gia tới 2.4.2 Đối với thân - Giáo viên phải phân tích sâu, kỹ kiến thức chun mơn kiến thức liên quan đến dạy Từ mà bồi dưỡng cho kiến thức chun mơn vững vàng - Thông qua đề tài sáng kiến kinh nghiệm, với nhiều cách giải vấn đề khác học sinh làm cho giáo viên có nhiều kinh nghiệm 2.4.3 Đối với đồng nghiệp, tổ nhóm chun mơn 19 skkn Đây phương pháp khơng q khó, giáo viên thực Và đặc biệt áp dụng với tất đối tượng học sinh Nên đem phổ biến tổ Toán - Tin , anh em tổ có nhiều góp ý q báu tơi mạnh dạn áp dụng vào lớp phụ trách bước đầu mang lại thành công Kết luận kiến nghị 3.1 Kết luận Thông qua trình làm sáng kiến tơi rút cho học kinh nghiệm sau: Theo phương pháp giúp học sinh tiếp thu học cách tích cực giải vấn đề cách tường minh, khoa học Kết thu góp phần không nhỏ, đáp ứng nhu cầu đổi phương pháp mà ngành giáo dục đề Trong trình làm sáng kiến tơi thấy tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng có mối liên hệ với tốn tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, khoảng cách hai mặt phẳng song song, khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau, tốn tính thể tích khối chóp, thể tích khối lăng trụ Thể tích khối cầu…vv Vì tơi khuyến khích em học sinh tìm hiểu thêm ứng dụng khác phương pháp Thực tế giảng dạy cho thấy học sinh hào hứng tiếp thu vận dụng tốt ý tưởng đề tài, học sinh khơng cịn sợ mơn hình mà trở nên thích thú, ham tìm hiểu tốn tương tự 3.2 Kiến nghị Việc nâng cao chất lượng giảng dạy mơn tốn học nhiệm vụ, trách nhiệm lương tâm nghề thầy giáo Với tinh thần tơi mong muốn góp phần nhỏ trí tuệ giảng dạy với đồng nghiệp Tuy nhiên lực thời gian có hạn, tơi mong đóng góp, bổ sung đồng nghiệp hội đồng khoa học cấp để sáng kiến kinh nghiệm tơi hồn chỉnh hơn, đồng thời giúp đỡ tiến thành công giảng dạy Mong tất thầy, cô giáo có nhiều SKKN hay góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy nói chung mơn Tốn nói riêng Tơi xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2022 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Tôi xin cam đoan SKKN ĐƠN VỊ viết, không chép nội dung người khác Người thực 20 skkn Phan Thị Nhường 21 skkn PHỤ LỤC MỘT SỐ SÁCH VÀ WEBSITE ĐÃ THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa hình học 11 - Nhà xuất giáo dục [2] Sách giáo khoa hình học lớp 10 - Nhà xuất giáo dục [3] Sách giáo khoa hình học lớp - Nhà xuất giáo dục [4] Chun đề hình học khơng gian -Nguyễn Anh Trường - Nguyễn Tấn Siêng [5] Chuyên đề trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi hình học khơng gian –Nhà xuất ĐHQGHN- Nguyễn Quang Sơn [6] Tài liệu bồi dưỡng hình học khơng gian chọn lọc – Tài liệu.VN [7] www.mathvn.com [8] http://violet.vn skkn ... để giải số tốn liên quan đến khoảng cách hình học khơng gian lớp 11 ” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Khi nghiên cứu đề tài này, mong muốn học sinh tiếp cận toán liên quan đến khoảng cách hình học. .. gian lớp 11, biết quy lạ quen Đồng thời giúp học sinh có số kiến thức, phương pháp kỹ để học sinh giải số dạng tốn liên quan - Bài tốn tính khoảng cách tảng quan trọng cho tốn tính thể tích hình. .. nhiều cách tiếp cận khác Nhưng hầu hết dạng toán dẫn đến việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Để giải tốn ta quy tốn tính khoảng cách từ điểm chân đường vng góc hình chóp hình lăng trụ đến